河北省唐山市2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期摸底考試試題 理（含解析）一選擇題（60分）1.已知集合，則 （）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求得集合，再根據(jù)集合的交集運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，所以，故選C.【點睛】本題主要考查了集合的運算，其中解答中正確求解集合是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知，是關(guān)于的方程的一個根，則（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由是關(guān)于的方程的一個根，代入方程化簡得，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，列出方程組，即可求解.【詳解】依題意，復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，可得，即：，所以，解得，所以，故選A.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)方程的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)相等的充要條件的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知，則，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的單調(diào)性，分別求得的范圍，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)對數(shù)的單調(diào)性，可得，即，即，即，所以，故選D.【點睛】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，其中解答中熟記對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，合理求解得范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，得到，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，排除B、C；再由函數(shù)的單調(diào)性，排除A，即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，排除B、C；當(dāng)時，則0，所以函數(shù)在上遞增，排除A，故選.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進行合理排除是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.5.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由一個半圓和一個四分之一圓構(gòu)成，兩個陰影部分分別標(biāo)記為和.在此圖內(nèi)任取一點，此點取自區(qū)域的概率記為，取自區(qū)域的概率記為，則（）A. B. C. D. 與的大小關(guān)系與半徑長度有關(guān)【答案】C【解析】【分析】利用圓的面積公式和扇形的面積公式，分別求得陰影部分的面積，得到陰影部分的面積陰影部分的面積，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)四分之一圓的半徑為，則半圓的半徑為，陰影部分的面積為，空白部分的面積為，陰影部分M的面積為：，陰影部分的面積陰影部分的面積，所以，故選C.【點睛】本題主要考查了幾何概型的應(yīng)用，其中解答中認真審題，正確求解陰影部分的面積是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.下圖是判斷輸入的年份是否是閏年的程序框圖，若先后輸入，則輸出的結(jié)果分別是（注：表示除以的余數(shù)）（）A. 閏年，是閏年B. 是閏年，是平年C. 平年，是閏年D. 是平年，是平年【答案】C【解析】【分析】由給定的條件分支結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)判斷條件，準(zhǔn)確計算，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，輸入時，輸出是平年，輸入時，輸出是潤年，故選【點睛】本題主要考查了條件分支結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算結(jié)果的輸出，其中解答中根據(jù)條件分支結(jié)構(gòu)的程序框圖，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.若，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得，又由余弦的倍角公式，可得，所以，故選B.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式的化簡求值，其中解答中熟練應(yīng)用三角函數(shù)的基本公式，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知等差數(shù)列的公差不為零，其前項和為，若，成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意，得，利用等差數(shù)列的求和公式，列出方程求得，即可求解的值，得到答案.【詳解】由題意，知，成等比數(shù)列，所以，即，整理得，所以，解得，所以，故選C.【點睛】本題主要考查了等比中項公式，以及等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.9.雙曲線的右焦點為，點為的一條漸近線上的點，為坐標(biāo)原點，若，則的最小值為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得雙曲線的一條漸近線為，由，得到點的坐標(biāo)為，利用三角形的面積公式和基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線為，設(shè)，因為，可得點的橫坐標(biāo)為，代入漸近線，可得，所以點的坐標(biāo)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，即的最小值為.故選B.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì)，利用基本不等式準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10.在的展開式中，的系數(shù)是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由二項的展開式的通項為，進而可求得展開式的的系數(shù)，得到答案.【詳解】由題意，二項式的展開式的通項為，所以的展開式中，的系數(shù)為：,故選B.【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項展開式的通項，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.11.直線經(jīng)過橢圓的左焦點，交橢圓于兩點，交軸于點，若，則該橢圓的離心率是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由直線過橢圓的左焦點，得到左焦點為，且，再由，求得，代入橢圓的方程，求得，進而利用橢圓的離心率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直線經(jīng)過橢圓左焦點，令，解得，所以，即橢圓的左焦點為，且 直線交軸于，所以，因為，所以，所以，又由點在橢圓上，得 由，可得，解得，所以，所以橢圓的離心率為.故選A.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)離心率的求解，其中求橢圓的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：求出 ，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)12.設(shè)函數(shù)，若存在實數(shù)使得恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由存在實數(shù)使得恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，得到，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，得出關(guān)于的不等式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，要使得存在實數(shù)使得恒成立，即恒成立，只需恒成立，即恒成立，即設(shè)，則，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為，即，設(shè)，則當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為，即，所以只需，解得，即實數(shù)的取值范圍是，故選D.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，其中解答中把存在實數(shù)使得恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，進而得得到是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.二、填空題（共20分）13.若滿足約束條件，則的最大值為_.【答案】【解析】【分析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)可化為直線，當(dāng)直線過點C時，此時目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，即，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為.【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題14.已知是夾角為的兩個單位向量，則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算公式，準(zhǔn)確運算，即可求解，得到答案.【詳解】由向量的數(shù)量積的運算公式，可得.【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運算公式，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)，若在上恰有個極值點，則的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得函數(shù)的極值點為，再由在上恰有個極值點，得到，即可求解.【詳解】由題意，令，即，解得，所以函數(shù)的極值點為，又在上恰有個極值點，所以這三個極值點只能是在，所以有，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.故答案.【點睛】本題主要考查了三角還函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)極值點的定義的應(yīng)用，其中解答熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到關(guān)于實數(shù)的不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.16.在三棱錐中，點到底面的距離為，則三棱錐的外接球的表面積為_.【答案】【解析】【分析】由，可知為三棱錐的外接球的一條直徑，過點作平面，可知為外接圓的一條直徑，計算出的長度，再利用勾股定理計算出的長度，即可得出該球的直徑，再利用球體表面積公式可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)的中點為點，為三棱錐的外接球的一條直徑，過點作平面，垂足為點，、平面，由勾股定理可得，同理可知，為等邊三角形，設(shè)的外接圓圓心為點，連接，則，且，由中位線的性質(zhì)可知點為的中點，為圓的一條直徑，所以，由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，由正弦定理可得，因此，球的表面積為，故答案為.【點睛】本題考查多面體的外接球表面積的計算，解題時要充分分析多邊形的形狀，找出球心的位置，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.三（解答題，共70分）17.的內(nèi)角所對的邊分別為，已知的面積為.證明：；若求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由三角形的面積公式化簡得，進而得到，即可作出證明；（2）因為，求得，由（1）得，利用余弦定理求得，再由面積公式，即可求解.【詳解】（1）由三角形的面積公式，可得，即，又因為，所以，又因為，所以，所以.（2）因為，由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，由（1）得，由余弦定理得，解得，所以.【點睛】本題主要考查了余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要抓住題設(shè)條件和利用某個定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18.某音樂院校舉行“校園之星”評選活動，評委由本校全體學(xué)生組成，對兩位選手，隨機調(diào)查了個學(xué)生的評分，得到下面的莖葉圖：通過莖葉圖比較兩位選手所得分數(shù)的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結(jié)論即可）；校方將會根據(jù)評分記過對參賽選手進行三向分流：所得分數(shù)低于分分到分不低于分分流方向淘汰出局復(fù)賽待選直接晉級記事件“獲得的分流等級高于”，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求事件發(fā)生的概率.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】（1）通過莖葉圖可以看出，得分數(shù)的平均值高于得分數(shù)的平均值，得分數(shù)比較集中，得分數(shù)比較分散；（2）記表示事件:“選手直接晉級”表示事件:“選手復(fù)賽待選”表示事件:“選手復(fù)賽待選”表示事件:“選手淘汰出局利用獨立事件的概率乘法公式，即可求解.【詳解】（1）通過莖葉圖可以看出，選手所得分數(shù)的平均值高于選手所得分數(shù)的平均值；選手所得分數(shù)比較集中，選手所得分數(shù)比較分散.（2）記表示事件:“選手直接晉級”表示事件:“選手復(fù)賽待選”表示事件:“選手復(fù)賽待選”表示事件:“選手淘汰出局則與獨立，與獨立，與互斥，則，由所給數(shù)據(jù)得，發(fā)生的頻率分別為.故，所以.【點睛】本題主要考查了莖葉圖的應(yīng)用，以及相互獨立事件的概率的計算，其中解答中正確理解題意，準(zhǔn)確利用獨立事件的概率乘法公式計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，點是的中點.求證：平面；若直線與平面所成角為，求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于，連接，利用線面平行的判定定理，即可證得平面；以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求得平面和平面的一個法向量和，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）連接交于，連接，由題意可知，又在平面外，平面，所以平面.以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，由，得，取，又由直線與平面所成的角為，得，解得，同理可得平面的法向量，由向量的夾角公式，可得，又因為二面角為銳二面角，所以二面角的大小為.【點睛】本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20.已知為拋物線的焦點，直線與相交于兩點.若，求的值；點，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義，即可求解.由，可得，利用向量的夾角公式，聯(lián)立方程組，求得，即可求得直線的方程.【詳解】（1）由題意，可得，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，則，又由.（2）由題意，知，由，可得又，則，整理得，解得，所以直線的方程為.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.21.已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)，且.證明：在內(nèi)有唯一零點；.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意，得，分別求得在區(qū)間和上的單調(diào)性，利用零點的存在定理，即可求解；（2）由（1）得，求得函數(shù)的單調(diào)性，得到的最大值為，再由得，得到，利用作差比較，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則所以，當(dāng)時，可得，即在內(nèi)沒有零點，當(dāng)時，因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，又，且，所以在內(nèi)有唯一零點.（2）由（1）得，當(dāng)時，所以，即單調(diào)遞增；當(dāng)時，所以，即單調(diào)遞減，即的最大值為，由得，所以，因此，因為，所以從而，即，所以，故.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題（二）選考題：共10分.請考生在第（22），（23）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22.在極坐標(biāo)系中，圓.以極點為原點，極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，直線經(jīng)過點且傾斜角為.求圓的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；已知直線與圓交與，滿足為的中點，求.【答案】（1），(為參