第四章無約束優(yōu)化方法,第一節(jié)概述,從第一章列舉的機(jī)械設(shè)計(jì)問題，大多數(shù)實(shí)際問題是約束優(yōu)化問題。,約束優(yōu)化問題的求解轉(zhuǎn)化為一系列的無約束優(yōu)化問題實(shí)現(xiàn)的。,因此，無約束優(yōu)化問題的解法是優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的基本組成部分，也是優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。,無約束優(yōu)化問題的極值條件,1,解析法,數(shù)值法,數(shù)學(xué)模型復(fù)雜時(shí)不便求解,可以處理復(fù)雜函數(shù)及沒有數(shù)學(xué)表達(dá)式的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,搜索方向問題是無約束優(yōu)化方法的關(guān)鍵。,各種無約束優(yōu)化方法的區(qū)別：確定搜索方向的方法不同。,無約束優(yōu)化方法分類,利用目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù),利用目標(biāo)函數(shù)值,（最速下降法、共軛梯度法、牛頓法）,（坐標(biāo)輪換法、鮑威爾等）,2,3,第二節(jié)最速下降法,優(yōu)化設(shè)計(jì)追求目標(biāo)函數(shù)值最小，若搜索方向取該點(diǎn)的負(fù)梯度方向，使函數(shù)值在該點(diǎn)附近的范圍內(nèi)下降最快。,按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代算法：,以負(fù)梯度方向?yàn)樗阉鞣较颍苑Q最速下降法或梯度法。,搜索方向確定為負(fù)梯度方向，還需確定步長(zhǎng)因子,即求一維搜索的最佳步長(zhǎng)，既有,4,由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負(fù)梯度方向，因此相鄰兩個(gè)搜索方向互相垂直。,5,6,7,8,第三節(jié)牛頓型方法,在第三章中，我們已經(jīng)討論了一維搜索的牛頓方法。,得出一維情況下的牛頓迭代公式,對(duì)于多元函數(shù)，在,泰勒展開，得,9,這是多元函數(shù)求極值的牛頓法迭代公式。,對(duì)牛頓法進(jìn)行改進(jìn)，提出“阻尼牛頓法”,10,11,第四節(jié)共軛方向及共軛方向法,為了克服最速下降法的鋸齒現(xiàn)象，提高收斂速度，發(fā)展了一類共軛方向法。搜索方向是共軛方向。,一、共軛方向的概念,共軛方向的概念是在研究二次函數(shù),時(shí)引出的。,首先考慮二維情況,12,如果按最速下降法，選擇負(fù)梯度方向?yàn)樗阉鞣较颍瑫?huì)產(chǎn)生鋸齒現(xiàn)象。,為避免鋸齒的發(fā)生，取下一次的迭代搜索方向直接指向極小點(diǎn)，如果選定這樣的搜索方向，對(duì)于二元二次函數(shù)只需進(jìn)行兩次直線搜索就可以求到極小點(diǎn)。,13,應(yīng)滿足什么條件？,對(duì)于二次函數(shù)在處取得極小點(diǎn)的必要條件,等式兩邊同乘得,是對(duì)G的共軛方向。,14,三、共軛方向法,1、選定初始點(diǎn)，下降方向和收斂精度，k=0。,2、沿方向進(jìn)行一維搜索，得,3、判斷是否滿足，若滿足則打印,否則轉(zhuǎn)4。,4、提供新的共軛方向，使,5、置，轉(zhuǎn)2。,15,16,第五節(jié)共軛梯度法,共軛梯度法是共軛方向法的一種，共軛向量有迭代點(diǎn)的負(fù)梯度構(gòu)造出來，所以稱共軛梯度法。,從點(diǎn)出發(fā)，沿G某一共軛方向作一維搜索,到達(dá),而在點(diǎn)、處的梯度分別為：,17,18,圖4-9共軛梯度法的幾何說明,19,20,第六節(jié)變尺度法,變尺度法的基本思想：,前面討論的梯度法和牛頓法，它們的迭代公式可以看作下列公式的特例。,變尺度法是對(duì)牛頓法的修正，它不是計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)的矩陣和它的逆矩陣，而是設(shè)法構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱正定矩陣H來代替Hesse矩陣的逆矩陣。并在迭代過程中，使其逐漸逼近H-1。,由于對(duì)稱矩陣H在迭代過程中是不斷修正改變的，它對(duì)于一般尺度的梯度起到改變尺度的作用，因此H又稱變尺度矩陣。,21,一、尺度矩陣的概念,變量的尺度變換是放大或縮小各個(gè)坐標(biāo)。,通過尺度變換可以把函數(shù)的偏心程度降低到最低限度。,對(duì)于一般二次函數(shù),如果進(jìn)行尺度變換,22,則在新的坐標(biāo)系中，函數(shù)的二次項(xiàng)變?yōu)?選擇這樣變換的目的：降低二次項(xiàng)的偏心程度。,若矩陣G是正定的，則總存在矩陣Q使,使得函數(shù)偏心度變?yōu)榱恪?用Q-1右乘等式兩邊，得,再用Q左乘等式兩邊，得,所以,23,說明二次函數(shù)矩陣G的逆矩陣，可以通過尺度變換矩陣Q求得。,這樣，牛頓法迭代過程中的牛頓方向可寫成：,三、變尺度法的一般步驟,24,25,第七節(jié)坐標(biāo)輪換法,坐標(biāo)輪換法是每次搜索只允許一個(gè)變量變化，其余變量保持不變，即沿坐標(biāo)方向輪流進(jìn)行搜索的尋優(yōu)方法。,它把多變量的優(yōu)化問題輪流地轉(zhuǎn)化成單變量的優(yōu)化問題。,因此又稱變量輪換法。,其基本原理是將一個(gè)多維的無約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列較低維的最優(yōu)化問題來求解，簡(jiǎn)單地說，就是先將(n-1)個(gè)變量固定不動(dòng)，只對(duì)第一個(gè)變量進(jìn)行一維搜索得到最優(yōu)點(diǎn)x1（1）。然后，又保持(n-1)個(gè)變量不變，再對(duì)第二個(gè)變量進(jìn)行一維搜索到x2（1）等等。,26,27,圖412坐標(biāo)輪換法原理圖（動(dòng)畫演示）,28,2.搜索方向與步長(zhǎng)的確定,（1）搜索方向的確定,對(duì)于第k輪第i次的計(jì)算,第k輪第I次的迭代方向，它輪流取n維坐標(biāo)的單位向量。,29,3.搜索步長(zhǎng)的確定,關(guān)于值通常有以下幾種取法（1）加速步長(zhǎng)法（2）最優(yōu)步長(zhǎng)法最優(yōu)步長(zhǎng)法就是利用一維最優(yōu)搜索方法來完成每一次迭代，即此時(shí)可以采用0.618方法或二次插值方法來計(jì)算的值。,30,圖413加速步長(zhǎng)法的搜索路線,31,圖414最優(yōu)步長(zhǎng)法的搜索路線,32,4.坐標(biāo)輪換法存在的問題,圖415坐標(biāo)輪換法在各種不同情況下的效能（a）搜索有效；（b）搜索低效；（c）搜索無效,33,第八節(jié)Powell法（方向加速法）,Powell法是利用共軛方向可以加速收斂的性質(zhì)所形成的一種搜索算法。,一、共軛方向的生成,34,35,二、基本算法,36,三、