23個(gè)求極值和值域?qū)ｎ} 1、求函數(shù)的值域.2、求函數(shù)的值域.3、求函數(shù)的值域. 4、求函數(shù)的值域.5、已知函數(shù)（其中）的值域是，求實(shí)數(shù).6、已知：為正實(shí)數(shù)，且，求函數(shù)的最小值.7、已知：，求：的最小值.8、設(shè)函數(shù)在區(qū)間的最小值為，最大值為，求區(qū)間.9、已知：，求函數(shù)的最大值.10、求函數(shù)：的最小值.11、求函數(shù)：的值域.12、已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足和，求的最小值. 13、求函數(shù)：的最小值. 14、已知：，求函數(shù)：的最小值. 15、已知點(diǎn)在橢圓上，求的最大值. 16、求函數(shù)：的值域. 17、求函數(shù)：的值域. 18、求函數(shù)：的最大值. 19、設(shè)：為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，試求：的最小值. 20、已知為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，求：的最大值.21、設(shè)為銳角，求：的最小值. 22、設(shè)為銳角，求證：. 23、已知為正實(shí)數(shù)，求證：. 23個(gè)求極值和值域?qū)ｎ}解析1、求函數(shù)的值域.解析：函數(shù)的定義域?yàn)椋?函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：當(dāng)時(shí)，則故即：函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù)，故：；故：函數(shù)在該區(qū)間的值域是. 當(dāng)時(shí)，則即：函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故：；故：函數(shù)在該區(qū)間的值域是.綜上，函數(shù)的值域是.本題采用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的增減，此法稱(chēng)為“單調(diào)性法”. 2、求函數(shù)的值域.解析：函數(shù)的定義域是：. 待定系數(shù)法用于柯西不等式來(lái)解本題.設(shè)：，則柯西不等式為：即：令：，即： 由柯西不等式的等號(hào)成立條件，即函數(shù)取極值時(shí)條件得： 由得：，即：，即： 將代入得：即：即：，即： 試解，由于，則式剛好也是3項(xiàng)相乘，不妨試解采用各項(xiàng)都是3.則：，且. 則：，代入得：，即時(shí)函數(shù)取得極大值.函數(shù)極大值為當(dāng)時(shí)，函數(shù)在本區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù). 故：即：函數(shù)在區(qū)間的值域是當(dāng)時(shí)，函數(shù)在本區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù). 故：即：函數(shù)在區(qū)間的值域是綜上，函數(shù)的值域是.本題采用“待定系數(shù)法”、“柯西不等式”和“單調(diào)性法”.3、求函數(shù)的值域. 解析：函數(shù)的定義域是：. 待定系數(shù)法用于柯西不等式來(lái)解本題.設(shè)：，則柯西不等式為：即：令：，即： 由柯西不等式的等號(hào)成立條件，即函數(shù)取極值時(shí)條件得： 即：，即：，即：即：，即：，即： 將式代入式得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)達(dá)到極大值. 極大值為：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：當(dāng)區(qū)間時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增. 故：即：函數(shù)在本區(qū)間的值域是.當(dāng)區(qū)間時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減. 故：即：函數(shù)在本區(qū)間的值域是.綜上，函數(shù)的值域是.本題采用“待定系數(shù)法”、“柯西不等式”和“單調(diào)性法”.4、求函數(shù)的值域.解析：函數(shù)的定義域是：. 則函數(shù)為：（當(dāng)時(shí)取負(fù)號(hào)，當(dāng)時(shí)取正號(hào)）于是函數(shù)的極值在： 即：即：，即：在區(qū)間，函數(shù)的極值為：在區(qū)間的邊界有：故：函數(shù)在該區(qū)間的值域是.在區(qū)間，函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù). 故有：；故：函數(shù)在該區(qū)間的值域是. 綜上，函數(shù)的值域是. 本題方法屬“單調(diào)性法”5、已知函數(shù)（其中）的值域是，求實(shí)數(shù).解析：函數(shù)的定義域?yàn)?將函數(shù)變形為：，即：其判別式不等式為：即： 而函數(shù)的值域是，即：，即： 對(duì)比兩式得：，即，因，故：故：實(shí)數(shù)，. 此法稱(chēng)為“判別式法”.6、已知：為正實(shí)數(shù)，且，求函數(shù)的最小值.解析：首先設(shè)，代入得：，即：，則： 當(dāng)時(shí)，由均值不等式，即：得：則：當(dāng)時(shí)，由均值不等式，即：得：則：當(dāng)時(shí)，由均值不等式，即：代入已知條件， 得：則：故：由、得，的最小值是.本題先確定均值，然后在均值和均值下求極值.此法稱(chēng)為“分別討論法”.7、已知：，求：的最小值.解析：由已知條件得： 代入得：即：令：，則方程變?yōu)椋翰捎门袆e式法得：，即：，即：故：的最小值是. 此題采用的是“判別式法”8、設(shè)函數(shù)在區(qū)間的最小值為，最大值為，求區(qū)間.解析：首先，是一個(gè)偶函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，即：.故：是最大值為，是最小值為. 即： 即： （*）（*）兩式相減得：，即： 則: ，即： （*）兩式相加得：將式代入后化簡(jiǎn)得： 由得：，. 則區(qū)間為.當(dāng)、時(shí)，的最大值是，即：.i.若，則的最小值為：，即：，解之及可得：，故此時(shí)區(qū)間為.ii.若則的最小值為：，即：，則：. 不符合題設(shè)，即此時(shí)無(wú)解.當(dāng)時(shí)，由是一個(gè)偶函數(shù)可得：，故：是最小值為，是最大值為，即：即：則：為一元二次方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得：，則由得：異號(hào)，不符合題設(shè)，即此時(shí)無(wú)解.綜上，區(qū)間為或. 本題采用“分別討論法”和“極值法”.9、已知：，求函數(shù)的最大值.解析：由可知，函數(shù)的定義域是：，有均值不等式，即：即：即：當(dāng)時(shí)，即可以取到不等式的等號(hào)。故：函數(shù)的最大值是. 本題采用，稱(chēng)為“均值不等式”.10、求函數(shù)：的最小值.解析：函數(shù)其定義域?yàn)椋毫睿?，則：，于是：當(dāng)時(shí)，即：，即：，則：所以，是可以取到的. 故的最小值是.正是由于時(shí)，函數(shù)取到極值，所以有人總結(jié)出此類(lèi)題的解法用來(lái)解，即設(shè)，代入，后得：即： ，即：，即：，即：，這兩個(gè)結(jié)果分別對(duì)應(yīng)于的極小值和的極大值.本題采用的是“向量法”.11、求函數(shù)：的值域.解析：先求函數(shù)的定義域. 定義域?yàn)椋罕绢}采用判別式法解題.由等價(jià)變形為：即：式上面方程有解得判別式是：即：，即：故：函數(shù)的值域?yàn)? 此法稱(chēng)為“判別式法”本題亦可以采用換元法和配方法來(lái)做.令：，則，于是：當(dāng)時(shí)，即：當(dāng)時(shí)，達(dá)到極小值. 此法就是“換元配方法”.12、已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足和，求的最小值. 解析：由已知得： 則由柯西不等式得： 將、代入得：即：，即：即： 其判別式為：故：方程等號(hào)下的兩根為：則：根據(jù)柯西不等式等號(hào)成立的條件得：代入式得：，即： 代入式得：，即： 由兩式得：，即：即：，即：即：，即：，即：則：，此時(shí)：；此為最大值.，此時(shí)：所以，的最小值為. 此題解法為“柯西不等式”.13、求函數(shù)：的最小值. 解析：待定系數(shù)法用于柯西不等式來(lái)解本題.設(shè)：，則柯西不等式為：即： 則：令：，則：，故：設(shè)，則：， 則： 將、代入得： 柯西不等式中，等號(hào)成立的條件是：即：，則：則： ，即：即：，即：將和代入得：即：，即：于是：當(dāng)，時(shí)，柯西不等式中，等號(hào)成立.即：的最小值是.本題系“待定系數(shù)法”用于“柯西不等式”.14、已知：，求函數(shù)：的最小值. 解析：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，由均值不等式，即：得：即：，則：當(dāng)時(shí)，即：、時(shí)，.故：函數(shù)的最小值是. 此法采用“均值不等式法”.15、已知點(diǎn)在橢圓上，求的最大值. 解析：函數(shù)的定義域?yàn)椋海煽挛鞑坏仁降茫杭矗?，即：由柯西不等式的等?hào)成立的條件得：，即：代入得：，即：，即：則：，于是， 當(dāng)，時(shí)， 當(dāng)，時(shí)，所以，函數(shù)的最大值是. 此法是用“柯西不等式”.本題也可以采用“權(quán)方和不等式”即：，即：此法為“權(quán)方和不等式”.16、求函數(shù)：的值域. 解析：函數(shù)的定義域是：.待定系數(shù)法用于柯西不等式來(lái)解本題.設(shè)：，則柯西不等式為：即： 令：，則： 由柯西不等式的等號(hào)成立條件，即函數(shù)取極值時(shí)條件得：，即：，即：，則： 將代入得：函數(shù)的極值為： 在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)遞增，故：于是，函數(shù)在該區(qū)間的值域是. 在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)遞減，故：于是，函數(shù)在該區(qū)間的值域是.綜上，函數(shù)的值域是.此法為“待定系數(shù)法”用于“柯西不等式”，最后用“單調(diào)性法”得到值域.17、求函數(shù)：的值域. 解析：函數(shù)的定義域是：. 本題采用判別式法.令： 則： 即：，即：即： 由的判別式得：即：，即：，即：故：或，即：或由于式即的條件必須那滿(mǎn)足，故.此時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)? 此法為“判別式法”.18、求：的最大值. 解析：由均值不等式得：所以,兩邊相加得：在時(shí)，即不等式的等號(hào)可以取到.故:的最大值為. 此法為“均值不等式”.19、設(shè)：為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，試求：的最小值. 解析：由均值不等式得：不等式兩邊分別相加得：即：當(dāng)時(shí)，即不等式的等號(hào)可以取到.故：的最小值是. 此法為“均值不等式”.20、已知為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，求：的最大值. 解析：由由柯西不等式得：即：故：因此，的最大值是. 此法為“柯西不等式”.21、設(shè)為銳角，求：的最小值. 解析：將與通分，并與最后一項(xiàng)合并得： 由得：代入式得： 再由輔助角公式得：代入式得： 由式及為銳角，當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)，達(dá)到最小值，即：當(dāng)時(shí)，.故，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值，最小值為.此法為“輔助角公式法”.22、設(shè)為銳角，求證：. 解析：因?yàn)闉殇J角，函數(shù)定義域?yàn)椋?，所以，?gòu)造函數(shù)：則函