河南省焦作市2020屆高三數(shù)學第三次模擬考試試題 理（含解析）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再求即可.【詳解】由，得 ，得 .故選：B【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算和復數(shù)的模長，屬于基礎(chǔ)題.2.若集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再由補集運算求出最后并集運算即可.【詳解】集合 ，所以 ，且，所以 = ，故選：C【點睛】本題考查了集合的交并補運算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖給出的是某小區(qū)居民一段時間內(nèi)訪問網(wǎng)站的比例圖，則下列選項中不超過的為（ ）A. 網(wǎng)易與搜狗的訪問量所占比例之和B. 騰訊和百度的訪問量所占比例之和C. 淘寶與論壇的訪問量所占比例之和D. 新浪與小說的訪問量所占比例之和【答案】A【解析】【分析】由訪問網(wǎng)站的扇形比例圖即可得答案.【詳解】由訪問網(wǎng)站的扇形比例圖得，網(wǎng)易與搜狗的訪問量所占比例分別為15和3，總和為18，不超過，滿足題意.故選：A【點睛】本題考查的是扇形統(tǒng)計圖部分占總體的百分比的大小，從圖中得到必要的信息是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.為了得到函數(shù)的圖像，需對函數(shù)的圖像所作的變換可以為（ ）A. 先將圖像上所有的橫坐標壓縮為原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位B. 先向左平移 個單位，再將圖像上所有點的橫坐標壓縮為原來的，縱坐標不變C. 先向左平移 個單位，再將圖像上所有點的橫坐標壓縮為原來的，縱坐標不變D. 先向右平移 個單位，再將圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)yAsin（x+）的圖象變換規(guī)律，即可得出結(jié)論【詳解】先將函數(shù)上的點向左平行移動個單位，得到，再將圖像上所有的橫坐標壓縮為原來的，縱坐標不變，得到.故選：B【點睛】本題主要考查函數(shù)yAsin（x+）的圖象變換規(guī)律：平移與伸縮，屬于基礎(chǔ)題5.已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為P，且P滿足|PF1|PF2|2b，則C的離心率e滿足（）A. e23e+10B. e43e2+10C. e2e10D. e4e210【答案】D【解析】【分析】可設(shè)|PF1|m，|PF2|n，運用直角三角形的勾股定理，漸近線方程與圓方程聯(lián)立，求得P的坐標，再由直角三角形的面積公式，結(jié)合離心率公式，計算即可得到所求關(guān)系式【詳解】可設(shè)|PF1|m，|PF2|n，可得mn2b，在直角三角形PF1F2中，m2+n24c2，由可得mn2c22b2，由漸近線方程yx和圓x2+y2c2，可得P（a，b），由三角形的面積公式可得：mn2cb，即c2b2cb，可得a2cb，即有a4c2（c2a2）c4c2a2，由離心率e可得1e4e2，即有e4e210故選：D【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率，考查直角三角形的勾股定理和面積公式的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題6.若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，得，化簡 ，代入求值即可.【詳解】由，得，則 故選：D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變形，考查了三角函數(shù)的倍角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識，也考查了計算能力，屬于中檔題7.已知拋物線E：y22px（p0）的準線為l，圓C：（x）2+y24，l與圓C交于A，B，圓C與E交于M，N若A，B，M，N為同一個矩形的四個頂點，則E的方程為（）A. y2xB. y2xC. y22xD. y22x【答案】C【解析】【分析】由A，B，M，N為同一個矩形的四個頂點，可得點A，N關(guān)于直線x 對稱，即 ，可得|NA|=2p，由拋物線定義得2p2，可得E的方程【詳解】如圖，圓C：（x）2+y24的圓心C（，0）是拋物線E：y22px（p0）的焦點，圓C：（x）2+y24的半徑為2，|NC|2，根據(jù)拋物線定義可得：|NA|NC|2A，B，M，N為同一個矩形的四個頂點，點A，N關(guān)于直線x對稱，即，|NA|2，2p2，則E的方程為y22x故選：C【點睛】本題考查了拋物線的定義與圓的性質(zhì)的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，平面幾何知識，屬于中檔題8.陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，但陀螺這個名詞，直到明朝劉侗、于奕正合撰的京地景物略一書中才正式出現(xiàn)，如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長均為，粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三視圖知該幾何體是上部為圓錐，中部為圓柱體，下部為圓錐體的組合體，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算它的表面積即可【詳解】由三視圖知，該幾何體是上部為圓錐，中部為圓柱體，下部為圓錐體的組合體，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算該陀螺的表面積為S+14+4222故選：B【點睛】本題考查了三視圖的還原和組合體的表面積的應用問題，屬于中檔題9.若，則實數(shù)的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，并且0.741，從而得出a，b，c的大小關(guān)系【詳解】 ，；又 0.740.701；abc故選：A【點睛】本題考查利用對數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題10.運行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為1011，則判斷框中可以填（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用程序框圖的功能，進行模擬計算即可【詳解】程序的功能是計算S1sin+3sin+5sin+13+57+9+，則10111+505213+57+9+則第1011個奇數(shù)為2101112021不成立，第1012個奇數(shù)為2101212023成立，故條件為i2022？，故選：C【點睛】本題主要考查程序框圖的應用，利用程序框圖的功能是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11.在棱長為4的正方體ABCDA1B1C1D1中，點E、F分別在棱AA1和AB上，且C1EEF，則|AF|的最大值為（）A. B. 1C. D. 2【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求出坐標，利用C1EEF，求出|AF|滿足的關(guān)系式，然后求出最大值即可【詳解】以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，則C1（4，4，4），設(shè)E（0，0，z），z0，4，F(xiàn)（x，0，0），x0，4，則|AF|x（4，4，4z），（x，0，z）因為C1EEF，所以 ，即：z2+4x4z0，xz當z2時，x取得最大值為1|AF|的最大值為1故選：B【點睛】本題考查直線與直線的垂直關(guān)系的應用，利用向量法得到|AF|的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題12.已知函數(shù)f（x） ，若x1，x2R，且x1x2，使得f（x1）f（x2），則實數(shù)a的取值范圍是（）A. 2，3（，5B. （，2）（3，5）C. 2，3D. 5，+）【答案】B【解析】【分析】分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合x1，x2R，且x1x2，使得f（x1）f（x2），即可求得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】當a0時，當x1時，f（x）x2，當x1時，f（x）14，此時存在當x1，1時，滿足條件若a0，則當x1時，f（x）為增函數(shù)，且f（x）a27a+14，當x1時，f（x）x2+ax（x）2+，對稱軸為x，若1即a2時，則滿足條件，若1，即a2時，函數(shù)在（，1上單調(diào)遞增，要使條件成立則f（x）在（，1上的最大值f（1）1+aa27a+14，即a28a+150，即3a5，a2，3a5，綜上3a5或a2，故選：B【點睛】本題考查分段函數(shù)的應用，結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性以及對稱性是解決本題的關(guān)鍵，注意分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.13.若向量，且，則實數(shù)_【答案】【解析】【分析】由向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系可得，若，得，解x的值即可【詳解】由，得 且，得 ，解得.故答案為：【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標計算，關(guān)鍵是掌握向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題14.設(shè)x，y滿足約束條件 ，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，由數(shù)形結(jié)合進行求解即可【詳解】作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖所示：則的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點P（6，4）的斜率，由得x1，y1，即A（1，1），則AP的斜率k 1，由得x5，y7，即B（5，7），則BP的斜率k3，則的取值范圍是3，1故答案為：3，1【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.15.在 的展開式中，x1的系數(shù)是_（用數(shù)字填寫答案）【答案】-280【解析】【分析】在二項展開式的通項公式中，令x的指數(shù)等于1，求出r的值，即可求得x1的系數(shù)【詳解】的展開式的通項公式為Tr+1（2）r，令1，求得r3，可得x1的系數(shù)為（8）280，故答案為：280【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題16.如圖所示，點，分別在菱形的邊，上，則的面積的最小值為_【答案】【解析】【分析】設(shè),，在中，且由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中， 計算即可.【詳解】在菱形中，所以=，在中，=，設(shè),則,且由正弦定理得 ，在中， ,則,由正弦定理 ，得 ，在中， 因為，所以，即 ，所以 ，所以故答案為：【點睛】本題考查了正弦定理在三角形的應用，也考查了直角三角形的面積公式，三角函數(shù)求最值得問題，屬于中檔題.三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答. （一）必考題：共60分.17.已知等差數(shù)列的前項和為，且，.（）證明：是等差數(shù)列；（）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（）詳見解析；（）.【解析】【分析】（）設(shè)等差數(shù)列的公差為， ，由，得，求出，利用定義法即可判斷；（II）由得，由數(shù)列的乘公比錯位相減法求和即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以，解得，所以.所以.所以.因為當時，,當時，,故是首項為，公差為的等差數(shù)列.（II）由可知，故.故. 兩式相減可得 .故.【點睛】本題考查了利用定義法證明數(shù)列是等差數(shù)列，也考查了利用乘公比錯位相減法求數(shù)列和，考查了學生的計算能力，屬于中檔題.18.如圖，在四棱錐中，與交于點，.（）在線段上找一點，使得平面，并證明你的結(jié)論；（）若，求二面角的余弦值.【答案】（）見解析；（）.【解析】【分析】（I）取線段上靠近的三等分點，連接，因為，所以，由，得，所以，即可證明結(jié)論成立.（II）以為坐標原點，以直線分別為軸，過點且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量為，平面的個法向量為，由向量法即可求出二面角的平面角.【詳解】（I）取線段上靠近的三等分點，連接.因為，所以,所以.而，所以，所以.而平面.平面，故平面.（II）易知 為等邊三角形，所以.又，故，所以有.由已知可得，又，所以平面.以為坐標原點，以直線分別為軸，過點且與平面垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)，則，所以，則，.設(shè)平面的一個法向量為，則有即設(shè)，則，所以.設(shè)平面的個法向量為，則有即令，則，所以.所以.因為二面角為銳角，故所求二面角的余弦值為.【點睛】本題考查空間線面平行的判定定理和利用向量法求二面角，也考查了計算能力，屬于中檔題.19.2020年10月28日，重慶公交車墜江事件震驚全國，也引發(fā)了廣大群眾的思考如何做一個文明的乘客.全國各地大部分社區(qū)組織居民學習了文明乘車規(guī)范.社區(qū)委員會針對居民的學習結(jié)果進行了相關(guān)的問卷調(diào)查，并將得到的分數(shù)整理成如圖所示的統(tǒng)計圖.（）求得分在上的頻率；（）求社區(qū)居民問卷調(diào)查的平均得分的估計值；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表）（）以頻率估計概率，若在全部參與學習的居民中隨機抽取5人參加問卷調(diào)查，記得分在間的人數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學期望.【答案】（）0.3 ；（）70.5；（）詳見解析.【解析】【分析】（I）由頻率分布直方圖可得所求的頻率；（II）由頻率分布直方圖的平均值公式計算即可；（III）人數(shù)服從，即可得出P（Xk），k0，1，2，3，4，5，及其分布列與數(shù)學期望E（X）【詳解】（I）依題意，所求頻率.（II）由（1）可知各組的中間值及對應的頻率如下表：即問卷調(diào)查的平均得分的估計值為.（III）依題意，.故,.,.故的分布列為：故.【點睛】本題考查了二項分布列的概率計算公式及其數(shù)學期望、頻率分布直方圖的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題20.已知橢圓：，點，.（）若直線與橢圓交于，兩點，且為線段的中點，求直線的斜率；（）若直線：與橢圓交于，兩點，求的面積的最大值.【答案】（）-1；（）【解析】【分析】（I）因為在橢圓上，設(shè)，且為線段的中點，得，由點差法即可計算直線的斜率；（II）聯(lián)立，得，由可得，,由弦長公式可得點到直線的距離由計算即可.【詳解】（I）設(shè)，故，將兩式相減，可得，即因為為線段的中點，所以得即故直線的斜率（II）聯(lián)立可得，由可得，解得.設(shè)由根與系數(shù)的關(guān)系可得 又點到直線的距離 當且僅當，即時取等號.故的面積的最大值為.【點睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式和點到直線的距離，也考查了點差法在弦中點的應用，計算能力和均值不等式，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性.（）若時，存在兩個正實數(shù)滿足，求證：【答案】（）詳見解析；（）詳見解析.【解析】【分析】（I）對 求導，得，令，對，進行分類討論，得的單調(diào)性即可；（II）存在兩個正數(shù)m，n使得成立，轉(zhuǎn)化為，令對求導，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以在取得最小值為 ，得出，計算即可得出結(jié)論.【詳解】（I）依題意，可知對于函數(shù)，當，即時，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增.當，即時，函數(shù)有兩個零點，且，其中 若，則，當時，；當時，當時，若，則，當時，；當時，.綜上所述，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（II） 當a=4時，存在兩個正數(shù)m，n使得成立，則，所以，即令則當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減； 當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增； 所以函數(shù)在取得最小值，最小值為.所以，即，解得或因為，所以.【點睛