湖南省長(zhǎng)沙市一中高三第二次模擬試卷文科數(shù)學(xué)命題：長(zhǎng)沙市一中高三文科備課組時(shí)量：120分鐘 滿分：150分一、選擇題（第小題5分，共8小題，共40分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）1化簡(jiǎn)的值為（ ）A5BC5D2為得到函數(shù)y = log22x的圖象，可以把函數(shù)y = log2x的圖象（ ）A向上平移一個(gè)單位B向下平移一個(gè)單位C向左平移一個(gè)單位D向右平移一個(gè)單位3函數(shù)y = cos (x + )的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） A，B，C，0D0，4若平面向量與向量= (1，2)的夾角為180，且| = ，則= （ ）A(3，6)B(3，6)C(6，3)D(6，3)5甲、乙、丙、丁四位同學(xué)計(jì)劃暑假分別外出旅游，有A、B、C三條線路可選，若每條線路至少有1人選擇，則不同的安排方法有（ ） A72種B36種C18種D16種6與圓x2 + (y + 5)2 = 3相切，且縱截距和橫截距相等的直線共有（ ） A2條B3條C4條D6條7等差數(shù)列an各項(xiàng)為正數(shù)，公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，若 也是等差數(shù)列，則a1 = （ ） A1B2C3D8已知平面，直線l，點(diǎn)Pl，平面、間的距離為5，則在內(nèi)到點(diǎn)P的距離為13且到直線l的距離為的點(diǎn)的軌跡是（ ） A一個(gè)圓B雙曲線的一支C兩條直線D四個(gè)點(diǎn)二、填空題（每小題5分，共7小題，共35分）9若sin= ，則cos2= 10()6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 11統(tǒng)計(jì)某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)會(huì)考成績(jī)，得到樣本頻率分布直方圖，規(guī)定不低于60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，則及格人數(shù)為 ；優(yōu)秀率為 12集合A = y| y = x2 + 2x 3，B = y| y = x + ，x0，則AB = 13正三棱錐P ABC底面正三角形的邊長(zhǎng)為1，其外接球球心O為 ABC的重心，則此正三棱錐的體積為 14某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)和總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x = 噸15我們把在線段上到兩端點(diǎn)距離之比為的點(diǎn)稱為黃金分割點(diǎn)。類似地，在解析幾何中，我們稱離心率為的橢圓為黃金橢圓，已知= 1 (ab0)是黃金橢圓，給出下列四個(gè)命題： a、b、c成等比數(shù)列；若F2為右焦點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，A1為左頂點(diǎn)，則：以兩通徑的4個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形；若直線l過橢圓中心，與橢圓交于點(diǎn)E、F，P為橢圓上任意一點(diǎn)（除頂點(diǎn)外），則KPE KPF為定值其中正確命題的序號(hào)為 三、解答題16（本小題滿分12分）一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆均勻的骰子n次，如果第n關(guān)的n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于n2就算過關(guān)問： （1）玩家小強(qiáng)在這項(xiàng)游戲中最多能連過幾關(guān)？ （2）他連過前兩關(guān)的概率是多少？ 17（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f (x) = ，其中向量= 若函數(shù)y = sin2x按向量= (p，q) (|p|)平移后得到函數(shù)y = f (x)的圖象，求實(shí)數(shù)p，q的值若f (x) = 1 + ，求sinxABCB1A1C118（本小題滿分12分）如圖：正三棱柱ABCA1B1C1中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，若經(jīng)過對(duì)角線AB1且與對(duì)角線BC1平行的平面交上底面于DB1 （1）試確定D點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論； （2）求二面角A1AB1D的大小 19（本小題滿分13分）數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，Sn = 2an 3n (nN*)（1）若數(shù)列an + t成等比數(shù)列，求常數(shù)t 的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）數(shù)列an中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由20（本小題滿分13分）已知x=1是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，且m0（1）求m與n的關(guān)系表達(dá)式；（2）若f (x)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)y= f (x)的的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍21（本小題滿分13分）已知函數(shù)y = kx與y = x2 + 2 (x0)的圖象相交于不同兩點(diǎn)A (x1，y1)，B (x2，y2)，l1，l2分別是y = x2 + 2 (x0)的圖象在A、B兩點(diǎn)的切線，M、N分別是l1、l2與x軸的交點(diǎn)，P為l1與l2的交點(diǎn) （1）求證：直線l1，y = kx，l2的斜率成等差數(shù)列； （2）求l1與l2交點(diǎn)P的軌跡方程； （3）是否存在實(shí)數(shù)k使得ABP的面積最大？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)教師用卷一、選擇題（第小題5分，共8小題，共40分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）1化簡(jiǎn)的值為（ C ）A5BC5D2為得到函數(shù)y = log22x的圖象，可以把函數(shù)y = log2x的圖象（ A ）A向上平移一個(gè)單位B向下平移一個(gè)單位C向左平移一個(gè)單位D向右平移一個(gè)單位3函數(shù)y = cos (x + )的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（ B ） A，B，C，0D0，4若平面向量與向量= (1，2)的夾角為180，且| = ，則= （ A ）A(3，6)B(3，6)C(6，3)D(6，3)5甲、乙、丙、丁四位同學(xué)計(jì)劃暑假分別外出旅游，有A、B、C三條線路可選，若每條線路至少有1人選擇，則不同的安排方法有（ B ） A72種B36種C18種D16種6與圓x2 + (y + 5)2 = 3相切，且縱截距和橫截距相等的直線共有（ C ） A2條B3條C4條D6條7等差數(shù)列an各項(xiàng)為正數(shù)，公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，若 也是等差數(shù)列，則a1 = （ A ） A1B2C3D8已知平面，直線l，點(diǎn)Pl，平面、間的距離為5，則在內(nèi)到點(diǎn)P的距離為13且到直線l的距離為的點(diǎn)的軌跡是（ D ） A一個(gè)圓B雙曲線的一支C兩條直線D四個(gè)點(diǎn)二、填空題（每小題5分，共7小題，共35分）9若sin= ，則cos2= 10()6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 15 11統(tǒng)計(jì)某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)會(huì)考成績(jī)，得到樣本頻率分布直方圖，規(guī)定不低于60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，則及格人數(shù)為 800 ；優(yōu)秀率為 20 12集合A = y| y = x2 + 2x 3，B = y| y = x + ，x0，則AB = 4，2 13正三棱錐P ABC底面正三角形的邊長(zhǎng)為1，其外接球球心O為 ABC的重心，則此正三棱錐的體積為14某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)和總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x = 20 噸15我們把在線段上到兩端點(diǎn)距離之比為的點(diǎn)稱為黃金分割點(diǎn)。類似地，在解析幾何中，我們稱離心率為的橢圓為黃金橢圓，已知= 1 (ab0)是黃金橢圓，給出下列四個(gè)命題： a、b、c成等比數(shù)列；若F2為右焦點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，A1為左頂點(diǎn)，則：以兩通徑的4個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形；若直線l過橢圓中心，與橢圓交于點(diǎn)E、F，P為橢圓上任意一點(diǎn)（除頂點(diǎn)外），則KPE KPF為定值其中正確命題的序號(hào)為 三、解答題16（本小題滿分12分）一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆均勻的骰子n次，如果第n關(guān)的n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于n2就算過關(guān)問： （1）玩家小強(qiáng)在這項(xiàng)游戲中最多能連過幾關(guān)？ （2）他連過前兩關(guān)的概率是多少？ 【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)最大為6，拋擲n次點(diǎn)數(shù)之和的最大值為6n，所以6112，6222，6332，6442，6552，66 = 62，6772，當(dāng)n6時(shí)，點(diǎn)數(shù)之和不可能大于n2，即此時(shí)過關(guān)的概率為0所以小強(qiáng)在這項(xiàng)游戲中最多能連過5關(guān)（2）記第n次過關(guān)為事伯An，基本事件總數(shù)為6n第一關(guān)：由12 = 1知，點(diǎn)數(shù)不小于2即可，所以P (A1) = ，第二關(guān)：由22 = 4知，考慮對(duì)立事件，即“不能過第二關(guān)”依次取a = 2，3，4，解不定方程x + y = a，得其解的個(gè)數(shù)是，從而P (A2) = 1 P所以他連過前兩關(guān)的概率是P = (12分)17（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f (x) = ，其中向量= 若函數(shù)y = sin2x按向量= (p，q) (|p|)平移后得到函數(shù)y = f (x)的圖象，求實(shí)數(shù)p，q的值若f (x) = 1 + ，求sinx【解析】f (x) = cos2x sinx cosx = = sin (6分)sin (2x + ) + sin (2x + ) = 1 2x + = 2x = x = (kZ) x，x = (10分)sin () = (12分)ABCB1A1C118（本小題滿分12分）如圖：正三棱柱ABCA1B1C1中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，若經(jīng)過對(duì)角線AB1且與對(duì)角線BC1平行的平面交上底面于DB1 （1）試確定D點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；C1B1AA1DCEB （2）求二面角A1AB1D的大小 【解析】（1）點(diǎn)D為A1C1中點(diǎn)。證明如下 (2分) 設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)E，連結(jié)DE，DEBC1 BC1面DAB1 面DAB1即為所求平面，D點(diǎn)即為所求 (6分)z （2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系C1DB1則A (0，1，0) A1 (0，1，) B1 (0，1，) A1D () C1 CBy OAx 設(shè)=為平面AB1D的一個(gè)法向量，則 又平面A1AB1的法向量，設(shè)的夾角為，則cos= ，又知二面角A1AB1D是銳角，所以二面角A1AB1D的大小為12分19（本小題滿分13分）數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，Sn = 2an 3n (nN*)（1）若數(shù)列an + t成等比數(shù)列，求常數(shù)t 的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）數(shù)列an中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】（1）Sn = 2an 3n Sn + 1 = 2an + 1 3 (n + 1) an + 1 = 2an + 1 2an 3an + 1 = 2an + 3 t = 3 (5分)（2）a1 = S1 = 2a1 3 a1 = 3，an + 3 = 62n1 an = 32n 3 （nN*） (8分)（3）假設(shè)存在s，p，rN*，且spr，使as，ap，ar成等比差數(shù)列 2ap = as + ar，即2 (32p 3) = (32s 3) + (32r 3) 2p + 1 = 2s + 2r 2p + 1s = 1 + 2rs p，r，sN*2p + 1 s為偶數(shù)，1 + 2rs為奇數(shù)，產(chǎn)生矛盾，不存在滿足條件的三項(xiàng) 13分20（本小題滿分13分）已知x=1是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，且m0（1）求m與n的關(guān)系表達(dá)式；（2）若f (x)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)y= f (x)的的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍【解析】（1）x=1是函數(shù)f (x)的一個(gè)極值點(diǎn) 在x=1處的值為0,即 3分（2）,令，即 m0, ,的增區(qū)間為，減區(qū)間為 6分（3）曲線在點(diǎn)（x,y）處切線的斜率 恒成立即 恒成立令此拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為 m0 , 0 ,即 9分當(dāng)-1 時(shí)， ，即 12分綜上可知，m的取值范圍為 13分21（本小題滿分13分）已知函數(shù)y = kx與y = x2 + 2 (x0)的圖象相交于不同兩點(diǎn)A (x1，y1)，B (x2，y2)，l1，l2分別是y = x2 + 2 (x0)的圖象在A、B兩點(diǎn)的切線，M、N分別是l1、l2與x軸的交點(diǎn)，P為l1與l2的交點(diǎn) （1）求證：直線l1，y = kx，l2的斜率成等差數(shù)列； （2）求l1與l2交點(diǎn)P的軌跡方程； （3）是否存在實(shí)數(shù)k使得ABP的面積最大？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 【解析】（1）證明：對(duì)y = x2 + 2求導(dǎo)得：y= 2x，則y即l1，l2的斜率分別為2x1，2x2又由得x2 kx + 2 = 0 x1 + x2 = k即2x1 + 2x2 = 2k2x1，k，2x2成等差數(shù)列 （2）解：A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A (x1，+ 2)，B (x2，)，l1，l2的方程分別為：y 2 = 2x1 (x x1) ，即：y = 2x1x y 2 = 2x2 (x x2) ， 即