第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省新高考教學(xué)教研聯(lián)盟2026屆高三年級12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合A={x|x>2}，B={x||x?2|<3}，則A∩B=(

)A.(2,5) B.(?1,5) C.(?1,+∞) D.(2,+∞)2.2+i1?i(i為虛數(shù)單位)A.32i B.?32i 3.若角θ的終邊過點(diǎn)P(?1,?2)，則tan(θ+π4A.?13 B.?3 C.134.(x2?x?2y)5的展開式中，A.?120 B.?60 C.40 D.805.已知向量a與a?b的夾角為2π3，|a|=1，|A.?2 B.0 C.3 D.6.晉祠圣母殿是現(xiàn)存宋代建筑藝術(shù)的杰出代表，圖1是該建筑的剖面畫圖.圣母殿以其獨(dú)特的木構(gòu)技術(shù)、歷史價(jià)值與藝術(shù)成就聞名，被譽(yù)為研究中國宋代建筑的“活標(biāo)本”.現(xiàn)使用圖2簡單模擬圣母殿的屋頂結(jié)構(gòu)，其中四邊形ABCD為矩形，AB=20m，AE，DE，BF，CF為四段全等的圓弧，其對應(yīng)的圓半徑為6m，圓心角為π3.已知區(qū)域ABFE和DCFE是被瓦片覆蓋的區(qū)域，則該模型中瓦片覆蓋區(qū)域的總面積為(

)

A.40πm2 B.80πm2 C.7.已知雙曲線C1，C2有相同的漸近線，焦點(diǎn)分別在x軸、y軸上，離心率分別為e1，e2，則eA.4 B.23 C.3 8.若?θ∈R，?x∈[π3+θ,m+θ]，使得sinx≤3A.2π3 B.5π6 C.7π6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知點(diǎn)Ai(xi,0)(1≤i≤10,i∈N)與點(diǎn)Bi(yi,10)(1≤i≤10,i∈N)關(guān)于點(diǎn)(3,5)對稱，若x1，x2，?，x10的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，方差為c，極差為A.平均數(shù)為3?a B.中位數(shù)為6?b C.方差為c D.極差為d10.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)A.AE⊥BD B.A1E⊥平面BB1F

C.EF//11.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線y=k|x?1|交C于點(diǎn)A(x1,y1A.y1y2=4 B.|AF|+|BF|=2|AF||BF|

C.△OAB面積的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知2x=12y=3，則13.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若a1+a2+14.已知a>0，若?x>0，不等式eax?1≥lnx+1a恒成立，則四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asinB(1)求B;(2)若∠ABC的角平分線交AC邊于點(diǎn)D，BD=2，b=26，求△ABC16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，且AB=4，BC=3，PA=5，∠ABC=∠BAD=90°，E是CD的中點(diǎn).若四棱錐P?ABCE(1)求四棱錐P?ABCE外接球的體積;(2)求二面角B?PE?C的余弦值．17.(本小題15分將編號為1，2，?，n(n≥3,n∈N?)的小球隨機(jī)放入編號為a1，a2，?，an的盒子，每個(gè)盒子里僅放一個(gè)小球，設(shè)編號為(1)當(dāng)n=3時(shí)，求“配球”個(gè)數(shù)X的分布列和期望．(2)已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且P(Xi=1)=pi，P(Xi=0)=1?pi(ⅰ)求“配球”個(gè)數(shù)X的期望．(ⅱ)若bi滿足：當(dāng)i=1時(shí)，bi>bi+1;當(dāng)i=n時(shí)，bi>bi?118.(本小題17分已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，短軸長為23(1)求橢圓C的方程;(2)若直線Q1Q2的斜率不存在，求(3)求證：點(diǎn)O不是△Q119.(本小題17分已知函數(shù)f(x)=x+(1)若f(2m+1)?f(2m?1)>2，求證：?1<(2)若數(shù)列{an}滿足an=sin(3)若等差數(shù)列{bn}的公差d=2026，前n項(xiàng)和為Tn，i=12026參考答案1.A

2.C

3.B

4.A

5.D

6.B

7.D

8.A

9.BCD

10.BC

11.ACD

12.1

13.1024

14.[1,+∞)

15.解：(1)由正弦定理，sinAsinB2=sinC?sinBcosA，

因C=π?(A+B)，故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinAsinB2=sinAcosB，

由于A∈(0,π)，sinA≠0，兩邊除以sinA得：

sinB2=cosB

利用二倍角公式cosB=1?2sin2B2，代入得：

sinB2=1?2sin2B2，

整理為關(guān)于sinB2的二次方程：

2sin2B2+sinB2?1=0，

設(shè)t=sinB2，因B∈(0,π)，故t∈(0,1)，解方程得t=1216.解：(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB、AD?平面ABCD，所以PA⊥AB、PA⊥AD，

而∠BAD=90°，因此AB、AD、PA兩兩垂直，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、PA所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖：

因?yàn)锳B=4，BC=3，PA=5，∠ABC=∠BAD=90°，且設(shè)D0,a,0a>0，

所以A0,0,0、B4,0,0、C4,3,0、P0,0,5，而E是CD的中點(diǎn)，因此E2,3+a2,0．

因?yàn)樗睦忮FP?ABCE有外接球，所以設(shè)四棱錐P?ABCE的外接球球心為Ox,y,z，

因此四棱錐P?ABCE的外接球半徑R=OA=OB=OC=OP=OE．

由OA=OBOA=OCOA=OPOA=OE得：x2+y2+z2=x?42+y2+z2x2+y2+z2=x?42+y?32+z2x2+y2+z2=x2+y2+z?52x2+y2+z2=x?217.解：(1)當(dāng)n=3時(shí)，小球放入盒子的全排列數(shù)為3!=6種，

設(shè)“配球”個(gè)數(shù)為X，X的可能取值為0,1,3。

P(X=0)：無配球即bi≠i，此時(shí)的排列為(2,3,1)、(3,1,2)，所以P(X=0)=26=13．

P(X=1)：恰1個(gè)配球，即恰好一個(gè)i滿足bi=i，此時(shí)排列是(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，所以P(X=1)=36=12．

P(X=3)：所有小球都是“配球”，即bi=i對所有i成立，此時(shí)排列僅一種(1,2,3)，所以P(X=3)=16．

X的分布列為：

期望E(X)=0×13+1×12+3×16=1．

(2)(ⅰ)對于一般的n，定義隨機(jī)變量Xi，其中Xi=1如果第i個(gè)球是“配球”，即bi=i，否則Xi=0．

那么，“配球”個(gè)數(shù)X可以表示為：X=X1+X2+?+Xn．

因?yàn)槊總€(gè)球被放入任意一個(gè)盒子的概率是相等的，所以P(Xi=1)=1n，P(Xi=0)=1?1n．

所以E(X)=E(X1)+E(X2)+?+E(Xn)，

因?yàn)镋(Xi)=1×1n+0×(1?1n)=1n，所以E(X)=i=1n1n=1．

(ⅱ)定義隨機(jī)變量Yi，其中Yi=1如果第i個(gè)球是“頂球”，否則Yi=0．

那么，“頂球”個(gè)數(shù)Y可以表示為：Y=Y1+Y2+?+Y18.解：(1)由題意得，橢圓C的離心率e=ca=12，短軸長2b=23，故b=3，

根據(jù)橢圓的基本關(guān)系a2=b2+c2，代入c=a2，得：

a2=(3)2+a22，

化簡得3a24=3，解得a2=4，

因此，橢圓C的方程為：

x24+y23=1；

(2)直線Q1Q2斜率不存在，故設(shè)其方程為x=t，

由于Q1Q2是橢圓的切線，代入橢圓方程得y2=31?t24，相切時(shí)y2=0，故t=±2，取t=2，對稱情況同理，

正三角形的另外兩邊與Q1Q2成60°角，由夾角公式tan60°=1|k|得斜率k=±33，

設(shè)斜率為33的切線方程為y=33x+m，相切條件m2=a2k2+b2=133，故m=±393；

同理斜率為?33的切線方程為y=?33x+n(n=±393)，

取m=?393、n=393，兩條切線方程為：

l1:y=33x?393,?l2:y=?33x+393

l1與x=219.解：(1)由題，f(2m+1)?f(2m?1)=(2m+1)+cos(2m+1)?(2m?1)?cos(2m?1)

=2+cos(2m+1)?cos(2m?1)=2?2sin2msin1>2，

因?yàn)閟in1>0，所以sin2m<0，故2m∈(?π+2kπ,2kπ)(