遞推數(shù)列求通項公式的基本類型及其對策江西省于都縣第二中學 謝才興(郵編：342300)高中數(shù)學遞推數(shù)列通項公式的求解，在高考中婁見不鮮，其豐富的內(nèi)涵及培養(yǎng)學生思維邏輯性具有較高的價值，同時對于培養(yǎng)學生的歸納推理能力也具有十分重要的意義，下面就遞推數(shù)列求通項的基本類型作一個歸納，以供讀者參考。類型一、對策：利用迭加或迭乘方法，即：或例1、（2020年山東高考文科）已知數(shù)列中，）在直線y=x上，其中n=1,2,3. ()令()求數(shù)列解析：（I）在直線y=x上 得： 又 而得數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列（II）由（I）得，即由： =類型二、對策：巧用例2、（2020年福建高考文科）數(shù)列an的前N項和為Sn，a1=1，an+1=2Sn (nN*).求數(shù)列an的通項an。解析：（I）an+1=2Sn,Sn+1-Sn=2Sn,=3.又S1a1=1,數(shù)列Sn是首項為1、公比為3的等比數(shù)列，Sn=3n-1(nN*).當n2時，an-2Sn-1=23n-2(n2),an=類型三、對策：等價轉(zhuǎn)化為：從而化為等比數(shù)列，并且該數(shù)列以為首項，公比為p例3、（2020年福建高考理科）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式.解： 是以為首項，2為公比的等比數(shù)列 即變式1：對策：（1）若p=q，則化為，從而化為以為首項，公差等于r的等差數(shù)列（2）若pq，則化為，進而轉(zhuǎn)化為類型三求通項例4、已知數(shù)列滿足求及.解析： 令，則+1是以首項為，公比為2的等比數(shù)列得數(shù)列的通項公式為變式2：對策：等價轉(zhuǎn)化為：，再化為，對照系數(shù)，解出x，y，進而轉(zhuǎn)化為類型三例5、題見例1（2020山東高考文科）解析：）在直線y=x上 令，可化為：與比較系數(shù)得 可化為：變式3、型對策：取倒數(shù)后得，化為類型三例6、已知數(shù)列滿足a1=1，求解析：由，得即：，以下請讀者解決。變式4：若p=1，則等式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)，化為：，得到首項為，公比為r的等比數(shù)列，所以=，得若p1，則等式兩邊取以p為底的對數(shù)得：，轉(zhuǎn)為類型三求通項。例7、（06年石家莊模擬）若數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項公式為 解析：及知，兩邊取對常用對數(shù)得： 是以首項為，公比為2的等比數(shù)列。 變式5、對策： 兩端除以得：（1）若，則構(gòu)成以首項為，公差為的等差數(shù)列；例8、（07保定摸底）已知數(shù)列滿足時，求通項公式。解：，數(shù)列是以首項，公差為2的等差數(shù)列（2）若，轉(zhuǎn)化為類型三求解。變式6：對策：等價轉(zhuǎn)化為，利用與恒等求出x,y得到一等比數(shù)列，得=f(n)，進而化為變式2類型例9、題見例1（2020山東高考文科）解析：）在直線y=x上 得： 數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列以下同例1（II）求通項類型四、奇偶項型對策一：求出奇數(shù)項（或偶數(shù)項）的遞推關(guān)系，再對應以上方法求解。例10（2020年高考北京卷改編）設(shè)數(shù)列的首項，且，求解：若n為偶數(shù)，則即若n為奇數(shù)，則即，對策二：，這種類型一般可轉(zhuǎn)化為與是等差或等比數(shù)列。例11、在數(shù)列中，解：由，得兩式相除得：，與均為公比為2的等比數(shù)列，易求得：類型五、周期型例12、（2020年高考湖南卷）已知數(shù)列滿足（ ）A0 B C D略解：由，得，因此數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，所以，選B作者簡介：謝才興 19