高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第23講：空間角與距離（2）【復(fù)習(xí)目標(biāo)】1、熟練轉(zhuǎn)化空間角與空間距離2、掌握運(yùn)用空間向量求解有關(guān)空間角與距離【課前熱身】1、在正三棱錐S-ABC中，E為SA的中點(diǎn)，F(xiàn)為ABC的中心，SA=BC，則異面直線與AB所成的角是 （ ）A、90 B、60 C、45 D、302、正四棱錐PABCD的高為PO，AB=2PO=2cm，則AB與側(cè)面PCD的距離為：( ) A、cm B、2cm C、cm D、3cm3、在底面邊長(zhǎng)為的正三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分別為側(cè)棱BB1、CC1上的點(diǎn)且EC=BC=2BD，則截面ADE與底面ABC所成的角為 A 、30B、45C、60D、754、空間四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC中點(diǎn)，若AB1，CD，ABCD,則EF與CD所成的角為_(kāi)5、半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體, 正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi). 若正方體的棱長(zhǎng)為, 則半球的體積為 .【例題探究】例1、如圖，在四面體P-ABC中， PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，F(xiàn)是線段PB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上，且EFPB.（1）求證：PB平面CEF；（2）求二面角BCEF的大小。例2. 在四棱錐PABCD中，ADAB，CDAB，PD底面ABCD，,直線PA與底面ABCD成60角，點(diǎn)M、N分別是PA、PB的中點(diǎn)（1）求二面角PMND的大??；（2）如果CDN為直角三角形，求的值例3、如圖已知四棱錐PABCD，PA平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，A=90且AB/CD，AB=CD.（1）點(diǎn)F在線段PC上運(yùn)動(dòng)，且設(shè)為何值時(shí)，BF/ 平面PAD？并證明你的結(jié)論；（2）二面角FCDB為45，求二面角BPCD的大小；（3）在（2）的條件下，若AD=2，CD=3，求點(diǎn)A到平面PBC的距離.【方法點(diǎn)撥】1、“三垂線法”是找二面角的平面角常用方法，進(jìn)而將平面角的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形；2、借助空間的角的大小可以得到三角形的邊的關(guān)系，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求角和距離也是一個(gè)重要的方法；3、靈活運(yùn)用體積法求點(diǎn)面距離，利用空間向量求解空間角與距離時(shí)關(guān)鍵是建立恰當(dāng)空間坐標(biāo)系，準(zhǔn)確得出各點(diǎn)、各向量的坐標(biāo)，再用相關(guān)公式求解空間角與距離。沖刺強(qiáng)化訓(xùn)練(23)班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 成績(jī) 1將菱形ABCD沿對(duì)角線BD折起，A點(diǎn)變?yōu)锳，當(dāng)三棱錐ABDC體積最大時(shí)，直線AC與平面BCD所成的角為： （ ）A、90 B、60 C、45 D、302、在一個(gè)45的二面角的一個(gè)面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成45角，則此直線與二面角的另一個(gè)面所成的角為 （ ）A、30 B、45 C、60 D、903、將半徑都為1的4個(gè)鉛球完全裝人形狀為正四面體的容品里，這個(gè)正四面體的高最小值為（ ）A、B、C、D、4、如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是 （）A圓B拋物線C雙曲線D直線5、一個(gè)棱長(zhǎng)都為a的正三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)全部在同一個(gè)球面上, 則此球的表面積為 ( )A、 B、 C、 D、6、設(shè)M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DEAB于E(如圖)現(xiàn)將ADE沿DE折起，使二面角ADEB為45，此時(shí)點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，則M、N的連線與AE所成角的大小等于_7、如圖，PA矩形ABCD所在平面，PA=AD=a， M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，（1）證明平面MND平面PCD；（2）若AB=，求二面角N-MD-C的大小。8、已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)。（1）證明：面PAD面PCD；（2）求AC與PB所成的角；（3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。9、如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在邊BC上，AMC1是以點(diǎn)M為直A1B1C1ABCM角頂點(diǎn)的等腰直角三角形：求證：點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)求點(diǎn)C到平面AMC1的距離求二面角MAC1C的大小高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第23講：空間角與距離（2）【課前熱身】1、C 2、A 3、B 4、30度5、18【例題探究】例1: （I）證明：PAC是以PAC為直角的直角三角形，同理可證PAB是以PAB為直角的直角三角形，PCB是以PCB為直角的直角三角形。故PA平面ABC又而故CFPB,又已知EFPBPB平面CEF（II）由（I）知PBCE, PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE在平面PAB內(nèi)，過(guò)F作FF1垂直AB交AB于F1，則FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC故FEB是二面角BCEF的平面角。二面角BCEF的大小為例2解法一：（1）PMD為二面角PMND的平面角。4分 計(jì)算得二面角PMND的大小為120。8分 （2）若CDN90，與題意不符10分若DCN90，可算得12分若DNC90，可算得15分 解法二：用向量方法(略)例3：（1）當(dāng) 證明：取PD中點(diǎn)E，則EF/CD，且四邊形ABFE為平行四邊形. BF/AE. 又AE平面PAD BF/平面PAD （2）平面ABCD，即是二面角的平面角 為等腰直角三角形，平面PCD 又BF/AE，平面PCD. 平面PBC，平面PCD平面PBC，即二面角BPCD的大小為90. （3）在平面PCD內(nèi)作EHPC于點(diǎn)H，由平面PCD平面PBC且平面PCD平面PBC=PC知：EH平面PBC. 在，在代入得：即點(diǎn)E到平面PBC的距離為 又點(diǎn)A到平面PBC的距離為【沖刺強(qiáng)化訓(xùn)練23】1、C 2 、A 3、 C 4、B 5、A 6、 7方法一：M、N分別是點(diǎn)AB、PC的中點(diǎn)，可得=1/2 （+）由于=1/2（+）=1/2（+）=0 =1/2 （+）（）=1/2（+）（-）=0MNCD MNDP MN平面PCD =平面MND平面PCD底面的法向量為，得平面MND的法向量為=+ =（+）（）= += a2+a2=0=（+）1/2 （+）=1/2 （|2+）=1/2 （a2+a2）=0=M= 1= +cos= =二面角NMDC為60解法二：連PM、MC易得PM=MC 又N為PC的中點(diǎn)，MNPC取DC的中點(diǎn)為Q。連MQ ，NQ則NQ/PD MQ/ADPA面ABCD，又DACD由三垂線定理的逆定理得PDCDNQCD，MQCDCD面MNQ CDMNMN平面PCD ，MN 面MND 平面MND平面PCD。連AC取AC的中點(diǎn)O，則NO平面ABCD過(guò)O作OEDM 連NE 由三垂線定得得NEDMNEO為二面角NMDC的平面角其中NO=PA=a；AC= a DM= a OE= tanNEO= NEO=60，即二面角NMDC為608方案一：（）證明：PA面ABCD，CDAD，由三垂線定理得：CDPD.因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，CD面PAD.又CD面PCD，面PAD面PCD.（）解：過(guò)點(diǎn)B作BE/CA，且BE=CA，則PBE是AC與PB所成的角.連結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形. 由PA面ABCD得PEB=90在RtPEB中BE=，PB=， （）解：作ANCM，垂足為N，連結(jié)BN.在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB，AMCBMC,BNCM，故ANB為所求二面角的平面角.CBAC，由三垂線定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，ANMC=，. AB=2，故所求的二面角為方法二：因?yàn)镻APD，PAAB，ADAB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.（）證明：因由題設(shè)知ADDC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD面PCD.（）解：因（）解：在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），則存在使要使為所求二面角的平面角.9 解法一：設(shè)=，=，=令=（0）=依題得：=0 ，=0，=1/2 a2=（）（）=22+ =22 =（2/2）a2 =0所以=1/2 ，即點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)H為點(diǎn)C在平面AMC1上的射影令= 且x+y+z=1，由又由得，點(diǎn)C到平面AMC1的距離為a平面AMG的法向量為平面AC1C的法向量