精選文庫2013年浙江理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽封面題目： A（） B （在相應(yīng)的題號上打鉤）姓名年級（注1）專業(yè)手機(jī)號（注1）：須注明本科生或研究生及年級浙江理工大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)建模實踐基地二零一三年三月病人候診問題摘要本文針對病人候診問題，通過采用服從泊松分布的病人到達(dá)率和服從負(fù)指數(shù)分布的看病時間，建立病人候診單服務(wù)臺的排隊模型，來分析診所的工作狀態(tài)。 針對問題一，我們假設(shè)病人到達(dá)率服從泊松分布，病人的看病時間服從負(fù)指數(shù)分布，診所容量無限，引入排隊論原理和“生滅過程”狀態(tài)方程表達(dá)出病人排隊看病過程，編寫LINGO程序來運(yùn)算得到該診所內(nèi)排隊候診病人的數(shù)學(xué)期望，病人每看一次病平均所花費(fèi)的時間、醫(yī)生空閑的概率，以及排隊隊長。同時通過模型分析，給出了最優(yōu)服務(wù)率（即病人看病時間）的求解方程式。針對問題二，我們在問題一的基礎(chǔ)上將模型進(jìn)行推廣，在問題一的基礎(chǔ)上限制診所的容量，通過計算得出了診所內(nèi)排隊候診病人的數(shù)學(xué)期望，病人每看一次病平均所花費(fèi)的時間、醫(yī)生空閑的概率，以及排隊隊長的表達(dá)式，將數(shù)據(jù)代入得到最后的結(jié)論。編寫LINGO程序方便求解。得出最優(yōu)服務(wù)率的方程式。關(guān)鍵字：泊松分布，負(fù)指數(shù)分布，容量，排隊論，生滅過程，LINGO，最優(yōu)服務(wù)率。 一、問題的提出某私人診所只有一位醫(yī)生，已知來看病的病人和該醫(yī)生的診病時間都是隨機(jī)的，若病人的到達(dá)服從泊松分布且每小時有4位病人到來，看病時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每個病人需要12分鐘。試分析該診所的工作狀況，即求出該診所內(nèi)排隊候診病人的數(shù)學(xué)期望，病人每看一次病平均所花費(fèi)的時間、醫(yī)生空閑的概率等。二、模型的準(zhǔn)備 本題是單服務(wù)臺的排隊模型，排隊是日常生活中常見的一種現(xiàn)象，其特點是：在一個排隊服務(wù)系統(tǒng)中包含有一個或多個“服務(wù)設(shè)施”，有許多需要進(jìn)入服務(wù)系統(tǒng)的“被服務(wù)者”或“顧客”，當(dāng)被服務(wù)者進(jìn)入系統(tǒng)后不能立即得到服務(wù)，也就出現(xiàn)排隊現(xiàn)象。由于“ 被服務(wù)者”到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的時間不確定，是隨即的，所以排隊論又稱為“隨即服務(wù)系統(tǒng)理論”，因此，排隊論在實際中有著廣泛的應(yīng)用。如：病人候診，顧客到商店購物，輪船入港，機(jī)器等待修理。排隊論主要研究的內(nèi)容是性態(tài)問題，最優(yōu)化問題和排隊系統(tǒng)的統(tǒng)計推斷。排隊論中的排隊系統(tǒng)由下列三部分組成：（1）輸入過程，即顧客來到服務(wù)臺的概率分布。在輸入過程中要弄清顧客按怎樣的規(guī)律到達(dá)。（2）排隊規(guī)則，即顧客排隊和等待的規(guī)則，排隊規(guī)則一般有即時制和等待制兩種。所謂即時制就是當(dāng)服務(wù)臺被占用時顧客便隨即離去；等待制就是當(dāng)服務(wù)臺被占用時顧客便排隊等待服務(wù)。等待制服務(wù)的次序規(guī)則有先到先服務(wù)，隨機(jī)服務(wù)，有優(yōu)先權(quán)的先服務(wù)等。（3）服務(wù)機(jī)構(gòu)，其主要特征為服務(wù)臺的數(shù)目，服務(wù)時間的分布。服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是沒有服務(wù)員的，也可以是一個或多個服務(wù)員；可以對單獨顧客進(jìn)行服務(wù)，也可以對成批顧客進(jìn)行服務(wù)。和輸入過程一樣，多數(shù)的服務(wù)時間都是隨機(jī)的，但通常假定服務(wù)時間的分布是平穩(wěn)的。 排隊論主要是研究排隊系統(tǒng)運(yùn)行的效率，估計服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值，以決定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是否合理、研究設(shè)計改進(jìn)措施。因此，研究排隊問題，首先要確定用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本量化指標(biāo)，然后求出這些指標(biāo)的概率分布和數(shù)學(xué)特征。要研究的系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)主要有：（1）隊長 指在系統(tǒng)中的顧客數(shù)，期望值記作；（2）排隊長（隊列長） 指在系統(tǒng)中等待服務(wù)的顧客數(shù)，其期望值記作，即=+，其中為正在接受服務(wù)的顧客數(shù)；（3）逗留時間 指一個顧客在系統(tǒng)中的停留時間，其期望值記作；（4）等待時間 指一個顧客在系統(tǒng)中排對等待的時間，其期望值記作，即=+，其中為服務(wù)時間；（5）忙期 服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)工作的時間長度，記作；（6）損失率 由于系統(tǒng)的條件限制，使顧客被拒絕服務(wù)而使服務(wù)部門受到損失的概率，用表示；（7）服務(wù)強(qiáng)度 絕對通過能力A，表示單位時間內(nèi)被服務(wù)完顧客的均值，或稱為平均服務(wù)率；相對通過能力Q，表示單位時間內(nèi)被服務(wù)完的顧客數(shù)與請求服務(wù)的顧客數(shù)之比值。 要解決這里的病人候診問題，只要分析排隊論中最簡單的單服務(wù)臺排隊問題即可。所謂單服務(wù)臺是指服務(wù)機(jī)構(gòu)由一個服務(wù)員組成，對顧客進(jìn)行單獨的服務(wù)。下面通過對這類問題的分析和討論來解決病人候診問題。三、模型假設(shè)（1）顧客源無限，顧客單個到來且相互獨立，顧客流平穩(wěn)，不考慮出現(xiàn)高峰期和空閑期的可能性。（2）排隊方式為單一隊列的等待制，先到先服務(wù)。隊長沒有限制。（3）顧客流滿足參數(shù)為的泊松分布，其中是單位時間到達(dá)顧客的平均數(shù)。（4）各顧客的服務(wù)時間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，其中表示單位時間內(nèi)能服務(wù)完的顧客的平均數(shù)。（5）顧客到達(dá)的時間間隔和服務(wù)時間是相互獨立的。四、模型的分析與建模確定系統(tǒng)在任意時刻t的狀態(tài)為n的概率(t)。由假設(shè)知，當(dāng)充分小時，在 t,t+時間間隔內(nèi)：有一個顧客到達(dá)的概率為：+；沒有一個顧客到達(dá)的概率為：1+；有一個顧客被服務(wù)完的概率為：+；沒有一個顧客被服務(wù)完的概率為: 1+;多于一個顧客到達(dá)或被服務(wù)完離開的概率為：；現(xiàn)在考慮在+時刻系統(tǒng)中有n個顧客的概率(+)，可能有四種情況A：時刻t顧客數(shù)為n (+)=(t)(1)(1)B：時刻t顧客數(shù)為n+1 (+)=(t)(1)C：時刻t顧客數(shù)為n1 (+)=(t)()(1)D：時刻t顧客數(shù)為n (+)=(t)()()這是一個生滅過程，四種情況相互獨立，則有(+)=()(1)+()+()+()，令0，則得=()+()(+)()， n=1,2,. 當(dāng)=0時，類似有=+.于是，一般的，有 n=1,2.五、模型求解此方程為差分微分方程，假設(shè)，極限存在，于是有=0，=則狀態(tài)平衡方程為 令=，它表示平均每單位時間內(nèi)系統(tǒng)可以為顧客服務(wù)的時間比例，它是刻畫服務(wù)效率和服務(wù)機(jī)構(gòu)利用程度的重要標(biāo)志，稱為服務(wù)強(qiáng)度。我們的問題求解將在1的條件下進(jìn)行，否則系統(tǒng)內(nèi)排隊的長度將無窮增大，永遠(yuǎn)不能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。由差分方程（1），得= , n = 0,1,2,又由概率的性質(zhì)=1和1，得從而， 下面我們就可以計算出系統(tǒng)的一些重要運(yùn)行指標(biāo)。（1）隊長 =(1)=；（2）隊列長 =；（3）逗留時間 逗留時間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，分布函數(shù)和分布密度分別為=1 和 =()所以=；（4） 等待時間 等待時間=逗留時間被服務(wù)時間，即 =由題意可得=，從而，該診所內(nèi)平均有病人人數(shù)為：=（人）該診所內(nèi)排隊候診病人的平均數(shù)為：=（人）看一次病平均所需的時間：= （小時）排隊等候看病的平均時間：= （小時）診所的醫(yī)生空閑的概率，即診所中沒有病人的概率為：結(jié)論：由結(jié)果可知病人平均等待的概率為0.8，病人平均等待時間0.8h，系統(tǒng)排隊長3.2人，病人平均逗留時間為1h，系統(tǒng)隊長4人。六、模型推廣在剛剛的建模中，我們考慮的是顧客源為無限的情形。在實際情況下，我們常考慮系統(tǒng)容量有限的模型（記之為模型）。這類模型，可以在模型假設(shè)中將原模型假設(shè)中的假設(shè)1中“認(rèn)為顧客源無限”改為“認(rèn)為排隊系統(tǒng)的容量為N，即排隊等待的顧客最多為N1，在某時刻一顧客到達(dá)時，如系統(tǒng)中已有N個顧客，那么這個顧客就被拒絕進(jìn)入系統(tǒng)”，其他假設(shè)一樣。 當(dāng)n=N時，由同樣的方法得： 在穩(wěn)態(tài)情況下，令，得 在條件下，解得 這里，不用假設(shè)1（因為我們限制了系統(tǒng)的容量）。得到的各種指標(biāo)為：（1） ， （2） （3）（4） 應(yīng)該指出，是指有效到達(dá)率，它與平均到達(dá)率不同。這兒對,的導(dǎo)出過程中用而不采用主要是由于當(dāng)系統(tǒng)已滿時，顧客的實際到達(dá)率為0。又正在被服務(wù)的顧客的平均數(shù)為 ，又概率 , 從而。把病人候診問題修改為：某私人診所只有一位醫(yī)生，診所內(nèi)有8個椅子，當(dāng)8個椅子都坐滿時，后來的病人不進(jìn)診所就離開了，病人平均到達(dá)率為5人/小時，醫(yī)生每小時可診6個病人，試分析該服務(wù)系統(tǒng)，給出求解該問題的數(shù)學(xué)模型和一般的計算公式，并計算求出該診所內(nèi)排隊候診病人的期望，病人每看一次病平均所花費(fèi)的時間、醫(yī)生空閑的概率等。診所的醫(yī)生空閑的概率，即診所中沒有病人的概率為：= 從而，該診所內(nèi)平均有病人人數(shù)為 =（人）該診所內(nèi)排隊候診病人的平均數(shù)為：= （人）系統(tǒng)的有效到達(dá)率：=看一次病平均所需的時間：= （小時）排隊等候看病的平均時間：= （小時）結(jié)論：由結(jié)果可知排隊等待時間0.472h，排隊長2.27.看病完成需要0.639h，醫(yī)生空閑概率0.1988。七、最優(yōu)化問題針對問題一模型，設(shè)目標(biāo)函數(shù)，即單位時間服務(wù)成本與顧客等待費(fèi)用之和的期望值，其中表示（單位時間內(nèi)服務(wù)完一個顧客）時服務(wù)機(jī)構(gòu)的服務(wù)費(fèi)用，為每個顧客在系統(tǒng)中停留單位時間的費(fèi)用，由=，則，求其最小值，令，解得最優(yōu)解，即為最優(yōu)服務(wù)率。針對問題二模型，設(shè)系統(tǒng)服務(wù)完一個顧客收入G元，于是單位時間收入的期望值為則系統(tǒng)的純利潤為令，得其中用數(shù)值方法求解出的數(shù)值解。八、參考文獻(xiàn)【1】韓中庚 實用運(yùn)籌學(xué) 模型、方法與計算 清華大學(xué)出版社 2007 195-223【2】徐全智 楊晉浩 數(shù)學(xué)建模 .高等教育出版社 .2003 95-107 九、附錄附錄一：診所容量無限制的模型下，求出該診所內(nèi)排隊候診病人的數(shù)學(xué)期望，病人每看一次病平均所花費(fèi)的時間、醫(yī)生空閑的概率的LINGO程序：Model:S=1;R=4;T=1/5;load=R*T;Pwait=peb(load,S);W_Q=Pwait*T/(S-load);L_Q=R*W_Q;W_S=W_Q+T;L_S=W_S*R;End運(yùn)行結(jié)果： Variable Value S 1.000000 R 4.000000 T 0.2000000 LOAD 0.8000000 PWAIT 0.8000000 W_Q 0.8000000 L_Q 3.200000 W_S 1.000000 L_S 4.000000病人平均等待的概率為0.8，病人平均等待時間0.8h，系統(tǒng)排隊長3.2人，病人平均逗留時間為1h，系統(tǒng)隊長4人。附錄二：診所容量有限制的模型下，求出該診所內(nèi)排隊候診病人的數(shù)學(xué)期望，病人每看一次病平均所花費(fèi)的時間、醫(yī)生空閑的概率的LINGO程序：MODEL: sets: num_i/1.9/:P; endsets c=1;N=9;L=5;T=1/6; P0*L=(1/T)*p(1); (L+1/T)*p(1)=L*p0+c/T*p(2); for(num_i(i)|i#gt#1#and#i#lt#N:(L+c/T)*p(i)=L*p(i-1)+c/T*p(i+1); L*p(N-1)=c/T*P(N); P0+sum(num_i(i)|i#le#N:P(i)=1; Plost=p(N); Q=1-p(N); L_E=Q*L; L_S=sum(num_i(i)|i#le#N:i*P(i); L_Q=L_S-L_E*T; W_S=L_S/L_E; W_Q=W_S-T; end 運(yùn)行結(jié)果為 Variable Value C 1.000000 N 9.000000 L 5.000000 T 0.1666667 P0 0.1987690 PLOST 0.3852276E-01 Q 0.9614772 L_E 4.807386 L_S 3.073862 L_Q 2.272631 W_S 0.6394040 W_Q