第2講數(shù)形結(jié)合思想感悟高考 明確考向(2020全國)已知函數(shù)f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，則abc的取值范圍是()A(1,10)B(5,6) C(10,12) D(20,24)解析作出f(x)的大致圖象由圖象知，要使f(a)f(b)f(c)，不妨設(shè)abc，則lg alg bc6.lg alg b0，ab1，abcc.由圖知10c12，abc(10,12)考題分析 本小題考查了分段函數(shù)的特征及性質(zhì)考查了對數(shù)函數(shù)及其運算重點考查了解決問題的方法即數(shù)形結(jié)合的思想方法體現(xiàn)了對知識和能力的雙重考查易錯提醒(1)找不到問題解決的突破口即想不到用數(shù)形結(jié)合(2)f(x)的圖象的特征不清，忽視對(1,0)和(10,1)這兩個特殊點的分析(3)不會借助圖形進行分析考題分析 本小題考查了分段函數(shù)的特征及性質(zhì)考查了對數(shù)函數(shù)及其運算重點考查了解決問題的方法即數(shù)形結(jié)合的思想方法體現(xiàn)了對知識和能力的雙重考查易錯提醒(1)找不到問題解決的突破口即想不到用數(shù)形結(jié)合(2)f(x)的圖象的特征不清，忽視對(1,0)和(10,1)這兩個特殊點的分析(3)不會借助圖形進行分析考題分析 本小題考查了分段函數(shù)的特征及性質(zhì)考查了對數(shù)函數(shù)及其運算重點考查了解決問題的方法即數(shù)形結(jié)合的思想方法體現(xiàn)了對知識和能力的雙重考查易錯提醒(1)找不到問題解決的突破口即想不到用數(shù)形結(jié)合(2)f(x)的圖象的特征不清，忽視對(1,0)和(10,1)這兩個特殊點的分析(3)不會借助圖形進行分析思想方法概述1 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)2運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：(1)等價性原則在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負面效應(yīng)(2)雙方性原則既要進行幾何直觀分析，又要進行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易出錯(3)簡單性原則不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線3數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；(3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；(5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；(6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；(7)構(gòu)建方程模型，求根的個數(shù)；(8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等4數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學(xué)習(xí)中加強這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度具體操作時，應(yīng)注意以下幾點：(1)準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式(有時可能先作適當調(diào)整，以便于作圖)，然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解5在運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：(1)要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；(2)要恰當設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；(3)要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；(4)精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，以便于問題求解很多數(shù)學(xué)概念都具有明顯的幾何意義，善于利用這些幾何意義，往往能收到事半功倍的效果題型一數(shù)形結(jié)合思想在解決方程的根的個數(shù)、不等式解集的問題中的應(yīng)用例1 (1)已知：函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系f(x1)f(x1)；當x1,1時，f(x)x2.則方程f(x)lg x解的個數(shù)是()A5B7C9D10(2)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，)上為增函數(shù)，且f(1)0，則不等式0的解集為 ()A(1,0)(1，) B(，1)(0,1)C(，1)(1，) D(1,0)(0,1)(2)f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)2f(x)畫出y2f(x)的大致圖象如圖，則f(x)與x異號的區(qū)間如圖陰影所示，解集為(1,0)(0,1)，故選D.探究提高 (1)用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式(不熟悉時，需要作適當變形轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù)(2)解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決不等式的解的問題，往往可以避免繁瑣的運算，獲得簡捷的解答(3)函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對稱性；最值(值域)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點的縱坐標變式訓(xùn)練1 已知f(x)是定義在(3,3)上的奇函數(shù)，當0x3時，f(x)的圖象如圖所示，那么不等式f(x)cos x0的解集是()A(3，)(0,1)(，3)B(，1)(0,1)(，3)C(3，1)(0,1)(1,3)D(3，)(0,1)(1,3)解析不等式f(x)cos x0等價于或畫出f(x)在(3,3)上的圖象，cos x的圖象又熟知，運用數(shù)形結(jié)合，如圖所示，從“形”中找出圖象分別在x軸上、下部分的對應(yīng)“數(shù)”的區(qū)間為(，1)(0,1)(，3)題型二數(shù)形結(jié)合思想在求參數(shù)、代數(shù)式的取值范圍、最值問題中的應(yīng)用例2 已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)2a|x|2xa，若函數(shù)yf(x)有且僅有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_思維啟迪函數(shù)零點方程的根函數(shù)圖象交點數(shù)形結(jié)合解析易知a0，f(x)0，即2a|x|2xa0，變形得|x|x，分別畫出函數(shù)y1|x|，y2x的圖象(如圖所示)，由圖易知：當01或10時，y1和y2的圖象有兩個不同的交點，當a1時，函數(shù)yf(x)有且僅有兩個零點，即實數(shù)a的取值范圍是(，1)(1，)探究提高 解決函數(shù)的零點問題，通常是轉(zhuǎn)化為方程的根，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點問題在解決函數(shù)圖象的交點問題時，常用數(shù)形結(jié)合，以“形”助“數(shù)”，直觀簡潔變式訓(xùn)練2 (2020江西)若不等式k(x2)的解集為區(qū)間a，b，且ba2，則k_.解析令y1，y2k(x2)，在同一個坐標系中作出其圖象，因k(x2)的解集為a，b且ba2.結(jié)合圖象知b3，a1，即直線與圓的交點坐標為(1,2)k.題型三數(shù)形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用例3 已知P是直線3x4y80上的動點，PA、PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值思維啟迪同一坐標系中畫出直線與圓作出圓的切線PA、PB，則四邊形PACB的面積S四邊形PACBSPACSPBC2SPAC.把S四邊形PACB轉(zhuǎn)化為2倍的SPAC可以有以下多條數(shù)形結(jié)合的思路解方法一從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x4y80向左上方或向右下方無窮遠處運動時，直角三角形PAC的面積SRtPAC|PA|AC|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直直線時，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值，此時|PC|3，從而|PA|2.(S四邊形PACB)min2|PA|AC|2.這是運動變化的思想幫助我們打開了解題的思路方法二利用等價轉(zhuǎn)化的思想，設(shè)點P坐標為(x，y)，則|PC|，由勾股定理及|AC|1，得|PA|，從而S四邊形PACB2SPAC2|PA|AC|PA|，從而欲求S四邊形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2(x1)2(y1)2的最小值，即定點C(1,1)與直線上動點P(x，y)距離的平方的最小值，它也就是點C(1,1)到直線3x4y80的距離的平方，這個最小值d2()29，(S四邊形PACB)min2.方法三利用函數(shù)思想，將方法二中S四邊形PACB中的y由3x4y80中解出，代入化為關(guān)于x的一元函數(shù)，進而用配方法求最值，也可得(S四邊形PACB)min2.探究提高本題的解答運用了多種數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想，運動變化的思想，等價轉(zhuǎn)化的思想以及配方法，靈活運用數(shù)學(xué)思想方法，能使數(shù)學(xué)問題快速得以解決變式訓(xùn)練3 已知點P在拋物線y24x上，那么點P到點Q(2，1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為 ()A(，1)B(，1)C(1,2) D(1，2)解析定點Q(2，1)在拋物線內(nèi)部，由拋物線的定義知，動點P到拋物線焦點的距離等于它到準線的距離，問題轉(zhuǎn)化為當點P到點Q和到拋物線的準線距離之和最小時，求點P的坐標，顯然點P是直線y1和拋物線y24x的交點，解得這個點的坐標是(，1)律方法總結(jié)1利用數(shù)形結(jié)合解題，只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象2數(shù)形結(jié)合思想是解決高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別在解選擇題、填空題時更方便，可以提高解題速度3數(shù)形結(jié)合思想常用模型：一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式；兩點間的距離公式(或向量的模、復(fù)數(shù)的模)，點到直線的距離公式等. 知能提升演練一、選擇題1設(shè)全集I是實數(shù)集R.Mx|x24與Nx|1都是I的子集(如圖所示)，則陰影部分所表示的集合為()Ax|x2 Bx|2x1Cx|1x2 Dx|2x22設(shè)函數(shù)f(x)若f(x0)1，則x0的取值范圍是 ()A(1,1)B(1，)C(，2)(0，)D(，1)(1，)解析方法一因為f(x0)1，當x0時， 11,2，x01，x01；當x00時， 1，x01.綜上，x0的取值范圍為(，1)(1，)方法二首先畫出函數(shù)yf(x)與y1的圖象(如圖)，解方程f(x)1，得x1，或x1.由圖中易得f(x0)1時，所對應(yīng)x0的取值范圍為(，1)(1，)3定義在R上的偶函數(shù)yf(x)滿足f(x2)f(x)，當x3,4時，f(x)x2，則 ()Af(sin)f(cos)Cf(sin 1)f(cos)解析由f(x)f(x2)知T2為f(x)的一個周期，設(shè)x1,0，知x43,4，f(x)f(x4)x42x2，畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示：sinf(cos)；sincosf(sin)cos 1f(sin 1)cosf(sin)f(cos)故選C.4已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是 ()A2 B3 C. D.解析記拋物線y24x的焦點為F，則F(1,0)，注意到直線l2：x1是拋物線y24x的準線，于是拋物線y24x上的動點P到直線l2的距離等于|PF|，問題即轉(zhuǎn)化為求拋物線y24x上的動點P到直線l1：4x3y60的距離與它到焦點F(1,0)的距離之和的最小值，結(jié)合圖形，可知，該最小值等于焦點F(1,0)到直線l1：4x3y60的距離，即等于2，故選A. 5不等式x2logax0，在x(0，)時恒成立，則a的取值范圍是()A0a1 B.a1 D0a解析不等式x2logax0轉(zhuǎn)化為x2logax，由圖形知0a1且()2loga，a，故選B.二、填空題6 AB是過橢圓b2x2a2y2a2b2的中心弦，F(xiàn)(c,0)為它的右焦點，則FAB面積的最大值是_解析如圖所示，F(xiàn)為橢圓的左焦點，連結(jié)AF，BF，則四邊形AFBF為平行四邊形，SABFSAFF|FF|hbc.當A與短軸端點重合時，(SABF)maxbc.7yf(x)，若不等式f(x)2xm恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_解析在平面直角坐標系中作出函數(shù)y2xm及yf(x)的圖象(如圖)，由于不等式f(x)2xm恒成立，所以函數(shù)y2xm的圖象應(yīng)總在函數(shù)yf(x)的圖象的下方，因此，當x2時，y4m0，所以m4，所以m的取值范圍是4，)8函數(shù)f()的最大值為_解析可以與兩點連線的斜率聯(lián)系起來，它實際上是點P(cos ，sin )與點A(，0)連線的斜率，而點P(cos ，sin )在單位圓上移動，問題變?yōu)椋呵髥挝粓A上的點與A(，0)連線斜率的最大值如圖，顯然，當P點移動到B點(此時，AB與圓相切)時，AP的斜率最大，最大值為tanBAO1.三、解答題9不等式x2|2x4|p對所有x都成立，求實數(shù)p的最大值三、解答題9不等式x2|2x4|p對所有x都成立，求實數(shù)p的最大值構(gòu)造函數(shù)f(x)|x2|，g(x)，解不等式f(x)g(x)，即確定使函數(shù)yf(x)的圖象在函數(shù)yg(x)“上方”的點的橫坐標x的取值范圍，而本題是已知這個范圍對一切x成立，求p的最大值如圖，y的圖象可以由y的圖象的頂點在y軸上下移動而得，滿足題目條件的解應(yīng)為y|x2|的圖象在y的圖象上方的極端情況只有一解2x，即x22x(p4)0，44(p4)0，p3.即p的最大值為3.10已知實系數(shù)一元二次方程x2ax2b0有兩個根，一個根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，另一個根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求：(1)點(a，b)對應(yīng)的區(qū)域的面積；(2)的取值范圍；(3)(a1)2(b2)2的值域解方程x2a