第2章多自由度系統(tǒng)振動,2.1多自由度系統(tǒng)的自由振動2.2動力減振器2.3多自由度系統(tǒng)的模態(tài)分析方法2.4確定系統(tǒng)固有頻率與主振型的方法,本章目的：掌握多自由度系統(tǒng)建模方法，重點是剛度系數(shù)法掌握多自由度振動系統(tǒng)的固有頻率、主振型概念掌握矩陣迭代法、傳遞矩陣法掌握多自由度振動系統(tǒng)的模態(tài)分析方法了解動力減振器的基本原理,2.1多自由度系統(tǒng)的自由振動,1.振動微分方程的建立2.多自由度系統(tǒng)的固有頻率與主振型3.初始條件和系統(tǒng)響應(yīng)（模態(tài)疊加）,（一）多自由度振動微分方程的建立,牛頓運動方程（或達(dá)朗伯爾原理）拉格朗日運動方程影響系數(shù)法哈密爾頓原理有限單元法（第9章）,1.用牛頓定律建立微分方程,例題1（P24）：在不平路面上行駛的車輛的二自由度系統(tǒng)（圖）。設(shè)剛性桿的質(zhì)量為m，兩端的支承剛度分別為k1、k2，桿繞質(zhì)心G點的轉(zhuǎn)動慣量為J。假設(shè)作用在質(zhì)心G點的激勵力為簡諧力F和簡諧轉(zhuǎn)矩T，則剛性桿不僅沿x方向振動，而且繞其質(zhì)心扭轉(zhuǎn)振動。,解取剛性桿的廣義坐標(biāo)為,由牛頓定律，系統(tǒng)的振動微分方程為,和,寫成矩陣表達(dá)式：,即,質(zhì)量矩陣,剛度矩陣,力列陣,2.用拉格朗日方程建立微分方程,T為系統(tǒng)的動能U為系統(tǒng)的勢能qi為廣義坐標(biāo)Fi為非有勢廣義力,拉格朗日方程,討論：質(zhì)量矩陣、剛度矩陣的特性與廣義坐標(biāo)的關(guān)系?。≒25）,和,在兩個方程中出現(xiàn)，稱為靜力參數(shù)耦合或彈性耦合。,例題2（P25）：用拉格朗日方程方法，列出車輛二自由度系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程（右圖）。,解廣義坐標(biāo)：取C點（G點為質(zhì)心）的直線位移為xc為q1，轉(zhuǎn)角為c為q2，此時外力Fc和轉(zhuǎn)矩Tc作用在C點。,另設(shè)：,系統(tǒng)的動能：,系統(tǒng)的勢能：,利用拉格朗日方程，得,寫出矩陣,質(zhì)量矩陣,討論：質(zhì)量矩陣、剛度矩陣的特性與廣義坐標(biāo)的關(guān)系?。≒26）,為對稱陣,剛度矩陣,為對角陣,和,在兩個方程中出現(xiàn)，稱為慣性耦合。,3.影響系數(shù)法,剛度影響系數(shù)法柔度影響系數(shù)法,剛度影響系數(shù)kij：在系統(tǒng)的j點產(chǎn)生單位位移（即xj=1），而其余各點的位移均為零時，在系統(tǒng)的i點所需要加的力。,剛度影響系數(shù)法又成為單位位移法,例如，上圖中k11表示在質(zhì)量m1產(chǎn)生單位位移xl=1，而其它各質(zhì)量位移均為0時，在質(zhì)量m1所施加的力。此時,例（P26）：質(zhì)量m1、m2、m3的位移為x1、x2、x3。列出三自由度系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程。,解剛度影響系數(shù)kij：,動力學(xué)微分方程為,則,討論：（1）如果直接用牛頓定律，可否列出上述方程？?。?）剛度影響系數(shù)kij=kji與剛度矩陣的對稱性?。≒27）,11表示在m1上作用一個單位力Fj=1，而質(zhì)量m2、m3上無作用力時，梁上m1處所產(chǎn)生得位移，由材料力學(xué)，得,柔度影響系數(shù)法又稱為單位力法,柔度影響系數(shù)ij：在系統(tǒng)的j點作用一個單位力（即Fj=1），而其余各點均無作用力時，在系統(tǒng)的i點產(chǎn)生的位移。,例（P27）：圖2-3所示，簡支梁上有質(zhì)量m1、m2、m3，不計梁的自重。的位移為x1、x2、x3。列出三自由度鉛垂方向振動微分方程。,解柔度影響系數(shù)ij：,21表示在m1上作用一個單位力Fj=1，而質(zhì)量m2、m3上無作用力時，梁上m2處所產(chǎn)生得位移，由材料力學(xué)，得,同理，可以求出其他柔度系數(shù)。,最后得出總?cè)岫认禂?shù)矩陣,可以證明，柔度影響系數(shù)矩陣與剛度影響系數(shù)矩陣互為逆陣，即,三自由度鉛垂方向振動微分方程為,討論：（1）如果直接用牛頓定律，可否列出上述方程？！難度多大？（2）上述方程為什么不用剛度影響系數(shù)法？難度多大？用拉格朗日方程方法？（3）什么時候用柔度影響系數(shù)法？什么時候用剛度影響系數(shù)法？（P28）,結(jié)論：（1）對于質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，應(yīng)用剛度影響系數(shù)法較容易（2）對于梁、多重擺系統(tǒng)則用柔度影響系數(shù)法容易（3）對于桿件機(jī)構(gòu)，應(yīng)用拉格朗日方程方法較容易,（二）多自由度系統(tǒng)的固有頻率與主振型,對于一個多自由度的自由振動系統(tǒng)（以二自由度系統(tǒng)為例）,設(shè)質(zhì)量塊作簡諧振動，即,（2-5）,帶入（2-5）式，則,上式對于任意時間t成立，則,振幅列陣,特征方程,（2-6）,即為振型,求解二自由度系統(tǒng)的固有頻率與主振型,二自由度系統(tǒng)特征矩陣方程的展開式為,（2-7）,（2-8）,該方程具有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零,也可表示為,易解出,得出兩個固有頻率下的振幅比值,為一階固有頻率（或第一階主頻率）,為二階固有頻率（或第二階主頻率）,固有頻率的大小僅取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)。,將所求得的固有頻率,和,代入系統(tǒng)特征矩陣方程,因此，振型可表示為,第一主振型,第二主振型,22方陣,對于n個自由度振動系統(tǒng),由特征方程，可求出n個固有頻率,其振型可表示為,nn方陣,（三）初始條件和系統(tǒng)響應(yīng)（模態(tài)疊加）,以二自由度系統(tǒng)為例，質(zhì)量塊m1、m2組成的二自由度振動系統(tǒng)有兩組解，而其全解由這兩組解疊加而成，即,系統(tǒng)的響應(yīng)為,引入振型,設(shè)初始條件：t=0時，,推導(dǎo)出,已知：,求：,（2-14）,2.2動力減振器,在工程中，為減少振動帶來的危害，可以在主系統(tǒng)上裝設(shè)一個輔助的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。該輔助裝置與主系統(tǒng)構(gòu)成一個二自由度系統(tǒng)。該輔助裝置能使主系統(tǒng)避開共振區(qū)，并有減振效果，故稱為動力減振器。,動力減振器與隔振器是本質(zhì)不同的。,該二自由度系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程為,采用復(fù)數(shù)法求解微分方程（參見第1.9節(jié)，P20）,（2-18）,帶入（218）式，得,為了比較安裝動力減振器前后的減振效果，用減振后主系統(tǒng)的振幅與主系統(tǒng)在激振力幅值作用下產(chǎn)生的靜位移之比來評價。,（2-20）,展開后，求出B1，再將B1的復(fù)數(shù)值求模，得,靜位移為,設(shè),帶入（220）式，得,注意希臘字母(ksi),原機(jī)械固有頻率,減振器固有頻率,注意：為了工程設(shè)計方便，與二自由度系統(tǒng)兩階固有頻率概念有別。,注意希臘字母(ksi),如果,（2-22）,則,無阻尼動力減振器的設(shè)計討論,當(dāng)減振器的固有頻率等于激振頻率時，即,則,（2-23）,達(dá)到了消振目的,然而，減振器的引入，卻出現(xiàn)了兩個新的共振點：,和,取式（2-23）分母為零（意味著共振），并令,則,即：新的共振頻率僅由減振器與主系統(tǒng)質(zhì)量之比,為使主系統(tǒng)能遠(yuǎn)離新的共振點的范圍內(nèi)，希望,與,相差較大,一般在設(shè)計無阻尼動力減振器時，取,（2-24）,理想情況,2.3多自由度系統(tǒng)的模態(tài)分析方法,1.方程的耦合與坐標(biāo)變換2.主振型的正交性3.模態(tài)矩陣和模態(tài)坐標(biāo)4.多自由度系統(tǒng)的模態(tài)分析方法5.模態(tài)矩陣正則化6.振型截斷法（CutOff）,1.方程的耦合與坐標(biāo)變換,回顧（第2.1節(jié)P24、P25）,（G點為質(zhì)心）為剛性桿的廣義坐標(biāo)時，有,和,針對行駛車輛的二自由度系統(tǒng)，用牛頓定律，以,用拉格朗日方程，以,和,為剛性桿的廣義坐標(biāo)時，有,稱謂彈性耦合,稱謂慣性耦合,對于同一系統(tǒng)，采用的坐標(biāo)系統(tǒng)不同，微分方程的形式和耦合情況就不同。即微分方程的耦合狀態(tài)是由所選的坐標(biāo)系統(tǒng)決定的。如果振動微分方程組的各系數(shù)矩陣均為對角陣，各方程間不存在任何耦合，各分別求解，與單自由度求解完全相同。適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，可以使相互耦合的方程解除耦合，即解耦。,結(jié)論,問題,如何進(jìn)行坐標(biāo)變換？,仍然采用行駛車輛的二自由度系統(tǒng)圖，有如下關(guān)系,寫成矩陣,對于任意的線性變換可表達(dá)為,為變換矩陣,遺憾：前面這個變換矩陣不能達(dá)到解耦目的,要做的工作：,尋找一個合適的變換矩陣，使原來方程解耦,結(jié)論：,這個變換矩陣,就是主振型矩陣,2.主振型的正交性,與第一式相減，有,以二自由度系統(tǒng)為例,特征方程,或,將兩個固有頻率和相應(yīng)振型代入，得,將上式兩邊分別前乘以,和,將第二式轉(zhuǎn)置，有,主振型的正交性的物理意義：各階主振型之間的能量不能傳遞，保持各自的獨立性，但每個主振型內(nèi)部的動能和勢能是可以相互轉(zhuǎn)化的（P33）,當(dāng),時，有,主振型對質(zhì)量矩陣的正交性,同理可得,主振型對剛度矩陣的正交性,條件：主振型的正交性只有在質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為對稱矩陣時才成立,推論：,3.模態(tài)矩陣和模態(tài)坐標(biāo),由主振型,對質(zhì)量矩陣,和剛度矩陣,的正交性,可使M、K變?yōu)閷蔷仃嚒?以主振型,線性變換矩陣，,對系統(tǒng)的原方程進(jìn)行坐標(biāo)變換,設(shè)系統(tǒng)原方程為（仍以二自由度為例）,主振型,稱為模態(tài)矩陣或振型矩陣,坐標(biāo)變換,線性變換矩陣，,為模態(tài)坐標(biāo),（2-35）,代入原方程，并在等號兩邊分別前乘以,，得,（2-35）,為模態(tài)質(zhì)量矩陣,為模態(tài)剛度矩陣,為第一、二階模態(tài)質(zhì)量或主質(zhì)量,為第一、二階模態(tài)剛度或主剛度,為模態(tài)力列陣,理解：,運用主振型的正交性,4.多自由度系統(tǒng)的模態(tài)分析方法,在二自由度系統(tǒng)模態(tài)分析基礎(chǔ)上擴(kuò)展,多自由度系統(tǒng)運動微分方程為,坐標(biāo)變換,有,（2-38）,（2-40）,系統(tǒng)的模態(tài)方程是一組不耦合的方程組,理解：,運用主振型的正交性,（4）把模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)變換成廣義坐標(biāo)響應(yīng)，即為系統(tǒng)的響應(yīng),小結(jié)：多自由度系統(tǒng)模態(tài)分析的基本步驟（P34）,（1）求系統(tǒng)的固有頻率與主振型，構(gòu)成主振型矩陣,（2）坐標(biāo)變換,得,（3）求模態(tài)方程的解。一般可由杜哈美積分，或待定系數(shù)法求微分方程的特解。將廣義坐標(biāo)表示的初始條件，變換為用模態(tài)坐標(biāo)表示，并代入模態(tài)方程，求出各積分常數(shù)。,注意：此時的變量為Y！,即,理解：通過坐標(biāo)變換后，模態(tài)方程中各參量均無任何物理含義！,5.模態(tài)矩陣正則化（P35）（本科生略）,將模態(tài)方程的模態(tài)質(zhì)量矩陣變?yōu)閱挝痪仃?，該坐?biāo)變換稱為模態(tài)矩陣正則化，即,第i階模態(tài)質(zhì)量為,為系統(tǒng)的i階振型；,為系統(tǒng)的i正則階振型,所以，必須對系統(tǒng)主振型加以修正：,為正則化因子,（2-41）,（2-42）,將（2-42）代入（2-41），得,為i階模態(tài)質(zhì)量,理解：正則模態(tài)質(zhì)量矩陣為單位矩陣；正則模態(tài)剛度矩陣為對角陣,用正則模態(tài)矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，有,將正則化因子排成一個對角矩陣,正則模態(tài)矩陣為,（2-44）,（2-45）,（2-47）,6.振型截斷法（CutOff）,適用于：（1）對于自由度很大的系統(tǒng)，可以進(jìn)行自由度縮減，求解大模型的少數(shù)階（前幾階）模態(tài)。（2）對于外力隨時間變化較慢，系統(tǒng)初始條件中包含高階主振型分量較少的情況。,在n個主振型中，取,個主振型，且,進(jìn)行坐標(biāo)變換，有,nn1矩陣，無逆陣正,n1個方程，即自由度縮減,問題,由于,無逆陣，運用,不能直接求出模態(tài)坐標(biāo)的初始條件,方法,利用,則,（2-51）,則可求出模態(tài)坐標(biāo)的初始條件,討論：振型截斷法必然會帶來計算精度的降低。但計算效率多大提高，在工程實際中得到廣泛應(yīng)用。,振型截斷的正則化（P36）（本科生略）,坐標(biāo)變換,振型截斷正則模態(tài)矩陣為,模態(tài)方程,模態(tài)坐標(biāo)的初始條件,（2-54）,2.4確定系統(tǒng)固有頻率與主振型的方法,1.矩陣迭代法2.瑞雷(Rayleigh)法3.鄧克萊(Dunkerley)法4.傳遞矩陣(TransferMatrix)法,1.矩陣迭代法（P36）,基本方法：基于數(shù)值計算方法的迭代計算方法,特征方程,改寫為,或,（2-56）,（2-57）,依次從最低階固有頻率和主振型開始計算,依次從最高階固有頻率和主振型開始計算,動力矩陣,引入一個迭代初始列陣,，進(jìn)行迭代計算：,得到下一步迭代初始列陣,是,中的最后一個元素（最好是絕對值最大的元素）,n為固有特性階數(shù)k為迭代次數(shù),（2-60）,注意：請比較,容易看出：每次迭代中計算,精度設(shè)置：若滿足,（也可以對其他值進(jìn)行精度設(shè)置）,迭代過程終止，,則,第一階主振型,第一階固有頻率（Hz）,過程示范：,初選,注意：到此，只求出第一階主振型、第一階固有頻率！,下一步目的：用矩陣迭代法求出二階及所有固有頻率和主振型,方法：用清除法從動力矩陣D中清除與上一階算出的主振型有關(guān)的部分,清除法,清除（矩陣）部分,上一階算出的主振型固有頻率和,上一階用于迭代計算的動力矩陣。如果上一階計算的是第一階，即為原始動力矩陣,將,，應(yīng)用前面的迭代式，即可求解下一階固有特性,說明：固有特性就是指固有頻率和主振型,問題：有剛體運動的機(jī)械系統(tǒng)，剛度矩陣K是半正定的，無法求逆，也就無法直接形成動力矩陣D，不能直接使用上述算法,方法：,改寫為,是任意正數(shù),是正定矩陣,令,原問題改變?yōu)?利用前面的計算方法，得到固有頻率與主振型,提問：請列舉有剛體運動的機(jī)械系統(tǒng)？例如：空中的飛行器；齒輪減速器中的齒輪軸扭轉(zhuǎn)（不計摩擦力）,（2-66）,（2-64）,（2-65）,討論（P37）,（1）采用（2-64）式后，系統(tǒng)的主振型（特征失量）不變，只是,變?yōu)?原系統(tǒng)的固有頻率（特征值）變了，,（2）一般取比系統(tǒng)估計的最低固有頻率的平方,略小一些為宜。,對經(jīng)驗不足者，這一點難以把握?？梢噪S意取一個正數(shù)，試算之后調(diào)整。,課后練習(xí)（P37）,課后，請對圖2-8所示的3自由度水平振動系統(tǒng)、圖2-9所示的13自由度扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)，運用MATLAB或自己熟悉的計算機(jī)語言，求出所有各階固有頻率與主振型。要求：編寫程序、打印計算結(jié)果，最好是圖形顯示結(jié)果。,2.瑞雷（Rayleigh）法（P42）,下一小結(jié)之引言：人們早就認(rèn)識到多自由度系統(tǒng)有多個固有頻率與振型。但是，一方面由于微分方程組精確求解困難，另一方面，工程實際中最關(guān)心的是低階固有特性，尤其是第一階固有頻率。在電子計算機(jī)問世之前，瑞雷法、鄧克萊法等具有一定的實用價值。,采用系統(tǒng)的機(jī)械能守恒原理求系統(tǒng)的固有頻率。,基本思想：先根據(jù)經(jīng)驗和理論分析，假定一個振型，然后用能量法求出與這個假定振型相應(yīng)的系統(tǒng)固有頻率。,局限性：只能求一階固有頻率（基頻）,例（P42）：右圖所示的三自由度橫向振動系統(tǒng)，在一根無質(zhì)量彈性梁上，固定三個集中質(zhì)量，用瑞雷法求其基率。,解：（1）假定一階振型,根據(jù)經(jīng)驗和理論分析，這個系統(tǒng)的一階振型十分接近它的靜繞度曲線。,因此，其振型可用各點靜繞度,（由材料力學(xué)）來表示。,（2）梁振動至極限位置的變形能,（3）梁恢復(fù)到平衡位置的動能,由于,則,（4）機(jī)械能守恒,對于保守系統(tǒng)（系統(tǒng)作自由振動，且忽略系統(tǒng)的阻尼時）,（5）推廣到n個自由度,3.鄧克萊(Dunkerley)法（P43）,19世紀(jì)鄧克萊在通過試驗方法確定多圓盤軸的橫向振動固有頻率時，發(fā)現(xiàn)了這樣一個關(guān)系：,系統(tǒng)的基頻,當(dāng)軸上只有圓盤1，而其余圓盤都不存在時，單圓盤軸系統(tǒng)的固有頻率,依此類推,的計算是一個單自由度問題。,可以利用材料力學(xué)公式（可查表），先計算相應(yīng)點的撓度，,，再計算,然后計算相應(yīng)點的剛度,4.傳遞矩陣(TransferMatrix)法,傳遞矩陣法的優(yōu)點：（1）所使用的矩陣階次不隨系統(tǒng)的自由度多少而變對扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)，其矩陣始終為2階（轉(zhuǎn)角和扭矩）對橫向振動系統(tǒng)，其矩陣始終為4階（2個位移和2個力）（2）很容易采用計算機(jī)計算，用同一程序可計算出系統(tǒng)的各階固有頻率與主振型,鏈狀系統(tǒng)：由許多單元一環(huán)連一環(huán)結(jié)合起來的結(jié)構(gòu)例如：汽輪發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子、內(nèi)燃機(jī)曲軸、齒輪傳動系統(tǒng)等，經(jīng)等效轉(zhuǎn)換后，可轉(zhuǎn)化成一個多盤轉(zhuǎn)子式的鏈狀系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動型（本節(jié)介紹）連續(xù)梁可離散成若干個集中質(zhì)量，各集中質(zhì)量之間以無質(zhì)量的彈性梁相聯(lián)接的鏈狀系統(tǒng)橫向振動（彎曲）型（第八章第三節(jié)介紹）,扭轉(zhuǎn)振動的傳遞矩陣法,第i個圓盤的振動方程,圖示一個多盤扭振系統(tǒng)。根據(jù)結(jié)構(gòu)，劃分成n個單元，每個單元由一個無質(zhì)量的彈性軸段與一個無彈性的質(zhì)量圓盤所組成。,第i個單元：第i個圓盤與第i個軸段上標(biāo)L表示圓盤或軸段的左面或左端上標(biāo)R表示圓盤或軸段的右面或右端轉(zhuǎn)矩T與角位移的方向采用右手螺旋法則，且規(guī)定以右向為正,牛頓定律,簡諧扭轉(zhuǎn)振動,則,圓盤無扭轉(zhuǎn)變形,點矩陣（