2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文史類(陜西卷)一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求(本大題共10小題，每小題5分，共50分)1(2013陜西，文1)設(shè)全集為R，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镸，則RM為()A(，1) B(1，)C(，1 D1，)答案：B解析：要使f(x)有意義，則須1x0，即x1，所以Mx|x1，RMx|x12(2013陜西，文2)已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，則實(shí)數(shù)m等于()A BC或 D0答案：C解析：由ab知12m20，即或.3(2013陜西，文3)設(shè)a，b，c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則下列等式中恒成立的是()AlogablogcblogcaBlogablogcalogcbCloga(bc)logablogacDloga(bc)logablogac答案：B解析：由換底公式得logablogcalogcb，所以B正確4(2013陜西，文4)根據(jù)下列算法語句，當(dāng)輸入x為60時(shí)，輸出y的值為()A25 B30 C31 D61答案：C解析：因?yàn)閤6050，所以y250.6(6050)31，故選C5(2013陜西，文5)對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進(jìn)行抽樣檢測，下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間20,25)上為一等品，在區(qū)間15,20)和25,30)上為二等品，在區(qū)間10,15)和30,35上為三等品用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，則其為二等品的概率是()A0.09 B0.20 C0.25 D0.45答案：D解析：由頻率分布直方圖知識可知：在區(qū)間15,20)和25,30)上的概率為0.0451(0.020.040.060.03)50.45.6(2013陜西，文6)設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A若z20，則z是實(shí)數(shù)B若z20，則z是虛數(shù)C若z是虛數(shù)，則z20D若z是純虛數(shù)，則z20答案：C解析：由復(fù)數(shù)的基本知識可知：z2能與0比較大小且z20，則z為實(shí)數(shù)，所以A正確；同理，z20，則z是純虛數(shù)，所以B正確；反過來，z是純虛數(shù)，z20，D正確；對于選項(xiàng)C，不妨取z1i，則z22i不能與0比較大小7(2013陜西，文7)若點(diǎn)(x，y)位于曲線y|x|與y2所圍成的封閉區(qū)域，則2xy的最小值是()A6 B2 C0 D2答案：A解析：設(shè)z2xy，可行域如圖：當(dāng)直線y2xz過點(diǎn)A時(shí)，截距z最大，即z最小，所以最優(yōu)解為(2,2)，zmin2(2)26.8(2013陜西，文8)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線axby1與圓O的位置關(guān)系是()A相切 B相交C相離 D不確定答案：B解析：點(diǎn)M(a，b)在圓x2y21外，點(diǎn)M(a，b)到圓心(0,0)的距離要大于半徑，即a2b21，而圓心(0,0)到直線axby1的距離為d1，直線與圓相交9(2013陜西，文9)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A直角三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D不確定答案：A解析：，sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin A，即sin(BC)sin2A，即sin A1，故選A10(2013陜西，文10)設(shè)x表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有()AxxBC2x2xDx2x答案：D解析：令x1.1，1.12，而1.11，所以A錯；令，所以B錯；令x0.5，2x1,2x0，所以C錯；故選D二、填空題：把答案填寫在答題卡相應(yīng)題號后的橫線上(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11(2013陜西，文11)雙曲線的離心率為_答案：解析：在雙曲線中，a4，b3，則c5，.12(2013陜西，文12)某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為_答案：3解析：由三視圖可知該幾何體為半徑為1的球體的一半，所以表面積為412123.13(2013陜西，文13)觀察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_答案：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)解析：觀察規(guī)律，等號左側(cè)為(n1)(n2)(nn)，等號右側(cè)分兩部分，一部分是2n，另一部分是13(2n1)14(2013陜西，文14)在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為_(m)答案：20解析：設(shè)DEx，MNy，由三角形相似得：，即，即xy40，由均值不等式可知xy40，Sxy400，當(dāng)xy20時(shí)取等號，所以當(dāng)寬為20時(shí)面積最大15(2013陜西，文15)(考生注意：請?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分)A(不等式選做題)設(shè)a，bR，|ab|2，則關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|xa|xb|2的解集是_答案：(，)解析：由不等式性質(zhì)知：|xa|xb|(xa)(xb)|ba|ab|2，所以|xa|xb|2的解集為全體實(shí)數(shù)B(幾何證明選做題)如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點(diǎn)P，已知AC，PD2DA2，則PE_.答案：解析：PEBC，CPED又CA，故APED又PP，故PEDPAE，則，PE2PAPD又PD2DA2，PAPDDA3，PE2326，PE.C(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)圓錐曲線(t為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_答案：(1,0)解析：由消去t得，y24x，故曲線表示為焦點(diǎn)(1,0)的拋物線三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(本大題共6小題，共75分)16(2013陜西，文16)(本小題滿分12分)已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，設(shè)函數(shù)f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值解：f(x)(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2xsin 2xcos 2x.(1)f(x)的最小正周期為，即函數(shù)f(x)的最小正周期為.(2)0x，.由正弦函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)，即時(shí)，f(x)取得最大值1.當(dāng)，即x0時(shí)，f(0)，當(dāng)，即時(shí)，f(x)的最小值為.因此，f(x)在上最大值是1，最小值是.17(2013陜西，文17)(本小題滿分12分)設(shè)Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和(1)若an是等差數(shù)列，推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式；(2)若a11，q0，且對所有正整數(shù)n，有.判斷an是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論解：(1)解法一：設(shè)an的公差為d，則Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又Snan(and)an(n1)d，2Snn(a1an)，.解法二：設(shè)an的公差為d，則Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又Snanan1a1a1(n1)da1(n2)da1，2Sn2a1(n1)d2a1(n1)d2a1(n1)d2na1n(n1)d，Snna1d.(2)an是等比數(shù)列，證明如下：，an1Sn1Sn.a11，q0，當(dāng)n1時(shí)，有，因此，an是首項(xiàng)為1且公比為q的等比數(shù)列18(2013陜西，文18)(本小題滿分12分)如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O底面ABCD，ABAA1.(1)證明：平面A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的體積解：(1)由題設(shè)知，BB1DD1，BB1D1D是平行四邊形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1B1C1BC，A1BCD1是平行四邊形，A1BD1C又A1B平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1.又SABD1，SABDA1O1.19(2013陜西，文19)(本小題滿分12分)有7位歌手(1至7號)參加一場歌唱比賽，由500名大眾評委現(xiàn)場投票決定歌手名次根據(jù)年齡將大眾評委分為五組，各組的人數(shù)如下：組別ABCDE人數(shù)5010015015050(1)為了調(diào)查評委對7位歌手的支持情況，現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委，其中從B組抽取了6人，請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表.組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6(2)在(1)中，若A，B兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到的評委中分別任選1人，求這2人都支持1號歌手的概率解：(1)由題設(shè)知，分層抽樣的抽取比例為6%，所以各組抽取的人數(shù)如下表：組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)36993(2)記從A組抽到的3個(gè)評委為a1，a2，a3，其中a1，a2支持1號歌手；從B組抽到的6個(gè)評委為b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1號歌手從a1，a2，a3和b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取1人的所有結(jié)果為：由以上樹狀圖知所有結(jié)果共18種，其中2人都支持1號歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4種，故所求概率.20(2013陜西，文20)(本小題滿分13分)已知動點(diǎn)M(x，y)到直線l：x4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍(1)求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率(1)解：設(shè)M到直線l的距離為d，根據(jù)題意，d2|MN|.由此得，化簡得，所以，動點(diǎn)M的軌跡方程為.(2)解法一：由題意，設(shè)直線m的方程為ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)將ykx3代入中，有(34k2)x224kx240，其中，(24k)2424(34k2)96(2k23)0，由求根公式得，x1x2，x1x2.又因A是PB的中點(diǎn)，故x22x1，將代入，得，可得，且，解得或，所以，直線m的斜率為或.解法二：由題意，設(shè)直線m的方程為ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)A是PB的中點(diǎn)，.又，聯(lián)立，解得或即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)或(2,0)，所以，直線m的斜率為或.21(2013陜西，文21)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)ex，xR.(1)求f(x)的反函數(shù)的圖像上點(diǎn)(1,0)處的切線方程；(2)證明：曲線yf(x)與曲線yx2x1有唯一公共點(diǎn)；(3)設(shè)ab，比較與的大小，并說明理由解：(1)f(x)的反函數(shù)為g(x)ln x，設(shè)所求切線的斜率為k，g(x)，kg(1)1，于是在點(diǎn)(1,0)處切線方程為yx1.(2)解法一：曲線yex與yx2x1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)(x)exx2x1零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(0)110，(x)存在零點(diǎn)x0.又(x)exx1，令h(x)(x)exx1，則h(x)ex1，當(dāng)x0時(shí)，h(x)0，(x)在(，0)上單調(diào)遞減當(dāng)x0時(shí)，h(x)0，(x)在(0，)上單調(diào)遞增(x)在x0有唯一的極小值(0)0，即(x)在R上的最小值為(0)0.(x)0(僅當(dāng)x0時(shí)等號成立)，(x)在R上是單調(diào)遞增的，(x