第3講 圓的方程隨堂演練鞏固1.點P(2,-1)為圓內(nèi)弦AB的中點,則直線AB的方程是( ) A.x-y-3=0B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0D.2x-y-5=0 【答案】A 【解析】因為過圓心和點P的直線垂直于弦AB所在的直線,設(shè)圓心C(1,0),直線CP、AB的斜率分別為、則即所以. 又直線AB過點P(2,-1),所以直線AB的方程為y+1=x-2,即x-y-3=0. 2.已知點O(0,0),A(6,0),B(0,8),C(5,8),下列判斷正確的是( ) A.O、A、B、C四點共圓,且圓的半徑為5 B.O、A、B、C四點不共圓,點C在過O、A、B三點的圓外 C.O、A、B、C四點不共圓,點C在過O、A、B三點的圓內(nèi) D.O、A、B、C四點共圓,且圓的半徑為 【答案】C 【解析】由于 過O、A、B三點的圓以AB長為直徑. 圓心M(3,4),半徑r=. 的方程為. 由于 點C(5,8)在的內(nèi)部. 3.由直線y=x+1上的一點向圓引切線,則切線長的最小值為( ) A.1B.C.D.3 【答案】C 【解析】如圖所示,設(shè)直線上一點P,由P所引圓的切線的切點為Q,圓心為M,則|PQ|即為切線長,MQ為圓M的半徑,長度為1,|PQ| 要使|PQ|最小,即求|PM|的最小值,此題轉(zhuǎn)化為求直線y=x+1上的點到圓心M的最小距離,設(shè)圓心到直線y=x+1的距離為d, 則 |PM|的最小值為. |PQ|. 4.若圓心在直線2x-y-7=0上的圓C與y軸交于兩點A(0,-4),B(0,-2),則圓C的方程為 . 【答案】 【解析】圓心是AB的垂直平分線和直線2x-y-7=0的交點,則圓心為E(2,-3),r=|EA|故圓的方程為. 課后作業(yè)夯基基礎(chǔ)鞏固1.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程是( ) A. B. C.D. 【答案】A 【解析】設(shè)圓的圓心為C(0,b),則 b=2.圓的標準方程是. 2.若方程表示圓,則a的值是( ) A.-1B.2C.-1或2D.1 【答案】A 【解析】當方程表示圓時,. 方程可轉(zhuǎn)化為. 若方程表示圓,則有 即 也即a=-1時方程表示圓. 3.已知圓的方程為0,那么下列直線中經(jīng)過圓心的直線的方程為( ) A.2x-y+1=0B.2x-y-1=0 C.2x+y+1=0D.2x+y-1=0 【答案】C 【解析】圓的方程可化為圓心為(1,-3),而(1,-3)滿足2x+y+1=0. 直線2x+y+1=0過圓心. 4.已知兩點A(-1,0),B(0,2),點P是圓上任意一點,則PAB面積的最大值與最小值分別是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如圖,圓心(1,0)到直線AB:2x-y+2=0的距離為故圓上的點P到直線AB的距離的最大值是最小值是. 又|AB|故PAB面積的最大值和最小值分別是. 5.若兩條直線y=x+2a,y=2x+a的交點P在圓的內(nèi)部,則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.B.a1或 C.D.或 【答案】A 【解析】由 得P(a,3a), .故應(yīng)選A. 6.若圓的圓心到直線x-y-a=0的距離為則a的值為( ) A.-2或2B.或 C.-2或0D.2或0 【答案】C 【解析】圓的圓心(1,2)到直線x-y-a=0的距離為.a=-2或a=0,選C. 7.已知圓C的方程為.設(shè)過點(3,5)的直線l將圓C分成兩段弧,當其中的劣弧最短時,直線l被圓C截得的弦長為( ) A.B.C.D. 【答案】B 【解析】依題意知劣弧最短時,弦長最短,故過點(3,5)的最短弦長為選B. 8.設(shè)A為圓上的動點,PA是圓的切線且|PA|=1,則P點的軌跡方程是( ) A.B. C.D. 【答案】B 【解析】作圖可知圓心(1,0)到P點距離為所以P在以(1,0)為圓心,以為半徑的圓上,其軌跡方程為. 9.已知圓C:0(a為實數(shù))上任意一點關(guān)于直線l:x-y+2=0的對稱點都在圓C上,則a= . 【答案】-2 【解析】由題意,知直線x-y+2=0需經(jīng)過圓心,所以從而有a=-2. 10.已知M是圓C:上的動點,點N(2,0),則MN的中點P的軌跡方程是 . 【答案】 【解析】設(shè)P(x則 點P的軌跡方程是. 11.已知直線:4x+y=0,直線:x+y-1=0以及上一點P(3,-2).求圓心C在上且與直線相切于點P的圓的方程. 【解】設(shè)圓心為C(a,b),半徑為r,依題意,得b=-4a. 又直線的斜率 過P,C兩點的直線的斜率 解得a=1,b=-4,r=|PC|. 故所求圓的方程為. 12.如圖,已知點A(-1,0)與點B(1,0),C是圓上的動點,連接BC并延長至D,使得|CD|=|BC|,求AC與OD的交點P的軌跡方程. 【解】設(shè)動點P(x,y),由題意可知P是ABD的重心. 由A(-1,0),B(1,0),令動點則由重心坐標公式: 則 代入整理得 所求軌跡方程為. 13.已知圓M過兩點C(1,-1),D(-1,1),且圓心M在x+y-2=0上. (1)求圓M的方程; (2)設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點,PA、PB是圓M的兩條切線,A、B為切點,求四邊形PAMB面積的最小值. 【解】 (1)設(shè)圓M的方程為. 根據(jù)題意,得 解得a=b=1,r=2, 故所求圓M的方程為. (2)因為四邊形PAMB的面積|AM|PA|BM|PB|, 又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|, 所以S=2|PA|, 而|PA| 即. 因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直線3x+4y+8=0上找一點P,使得|PM|的值最小,所以|PM|. 所以四邊形PAMB面積的最小值為S=. 拓展延伸14.已知方程0表示一個圓. (1)求t的取值范圍; (2)求該圓半徑的取值范圍; (3)