高三數(shù)學(xué)（理）高三數(shù)學(xué)（理）映射；函數(shù)映射；函數(shù)人教版人教版 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 映射；函數(shù) 二. 本周教學(xué)重、難點(diǎn)： 1. 了解映射的概念，理解函數(shù)的概念。 2. 了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域，在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需 要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)。 3. 理解函數(shù)值域的概念，掌握函數(shù)值域的幾種求解方法。 【典型例題】 例 1 設(shè)，,cbaM 2 , 0 , 2N （1）從 M 到 N 的映射的個(gè)數(shù)為 ； （2）從 M 到 N 的映射滿足，這樣的映射的個(gè)數(shù)為 。)()()(cfbfaff 解： （1）由分步計(jì)數(shù)原理和映射的概念，知這樣的映射有個(gè)。27333 （2）若，則或；0)(, 2)(bfaf0)(cf2)(cf 若，則 若，則2)(, 2)(bfaf2)(cf0)(af2)()(cfbf 故共有 4 個(gè)不同映射 例 2 函數(shù)，若，則的所有可能值為（ 0, 01),sin( )( 1 2 xe xx xf x 2)() 1 (affa ） A. 1 B. C. D. 1， 2 2 , 1 2 2 2 2 解：，即1) 1 ( 0 ef1)(af 當(dāng)時(shí)， 0a 1 1)( a eaf1a 當(dāng)時(shí)，01a1)sin()( 2 aaf 只能取 0，此時(shí) 2 2 2 ka 2 1 2 2 kak 2 1 2 a 01a 2 2 a 例 3 規(guī)定為不超過 的最大整數(shù)，例如，對(duì)實(shí)數(shù)，令tt45 . 3 ,13 7 . 13x ，進(jìn)一步令4)( 1 xxf44)(xxxg)()( 12 xgfxf （1）若，分別求和； 16 7 x)( 1 xf)( 2 xf （2）若同時(shí)滿足，求的取值范圍。3)(, 1)( 21 xfxfx 解析： （1）當(dāng)時(shí)， ，且 16 7 x 4 7 4 x1 4 7 )( 1 xf 4 3 4 7 4 7 )(xg 3) 4 3 ()()( 112 fxgfxf （2）由=1，得4)( 1 xxf14)(xxg 于是 3416) 14()( 12 xxfxf 44163 241 x x 解得 2 1 16 7 x 例 4 求函數(shù)的定義域xxycoslg25 2 解析：由，得 0cos 025 2 x x )( 2 2 2 2 55 Zkkxk x 借助于數(shù)軸，得函數(shù)的定義域?yàn)? , 2 3 () 2 , 2 () 2 3 , 5 例 5 求下列函數(shù)的定義域 （1）已知的定義域?yàn)?，求的定義域)(xf) 1 , 0)( 2 xf 解： 的定義域?yàn)?)(xf) 1 , 010 2 x11x 的定義域?yàn)?( 2 xf) 1 , 1( （2）已知的定義域?yàn)?，5，求的定義域)21 (xf)(xf 解： 的定義域?yàn)?，5 )21 (xf53 x 6210x5219x 的定義域?yàn)?(xf5, 9 （3）已知的定義域?yàn)?，求的定義域) 1( xf)3 , 2)2 1 ( x f 解： 的定義域?yàn)?) 1( xf)3 , 232x 的定義域?yàn)?411x)(xf)4 , 142 1 1 x 由（1）知或 )2(42 1 ) 1 ( 12 1 x x 3 1 x0x 由（2）知或 或0x 2 1 x 3 1 x 2 1 x 的定義域?yàn)?2 1 ( x f), 2 1 ( 3 1 ,( 例 6 求下列函數(shù)的值域； （1）； 2 2 1 1 x x y （2）；xxy21 （3）； x xy 4 （4） x x y cos2 sin 解： （1）方法一： 1 1 2 1 1 22 2 xx x y11 2 x2 1 2 0 2 x ，即11 1 2 1 2 x y 1 , 1(y 方法二：由 得 2 2 1 1 x x y y y x 1 1 2 ，解得0 2 x0 1 1 y y 11y （2）方法一：設(shè)，得)0(21ttx 2 1 2 t x )0( 2 1 1) 1( 2 1 2 1 2 2 ttt t y 2 1 ,(y 方法二： 定義域?yàn)?21 x 2 1 x 2 1 ,( 函數(shù)在上均單調(diào)遞增xyxy21, 2 1 ,( 2 1 2 1 21 2 1 y 2 1 ,(y （3）方法一：當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；0x4 4 2 4 x x x xy2x 當(dāng)時(shí)，=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)0x x x x xy 4 )(2 4 )(42x 綜上，所求函數(shù)的值域?yàn)?, 44,( 方法二：先證此函數(shù)的單調(diào)性 任取且 21 xx 、 21 xx 21 2121 2 2 1 121 )4)( ) 4 ( 4 )()( xx xxxx x x x xxfxf 當(dāng)或時(shí)，遞增2 21 xx 21 2xx )(xf 當(dāng)或時(shí)，遞減02x20 x)(xf 故時(shí)，2x4)2()( fxf 極大 時(shí)，2x4)2()( fxf 極小 所求函數(shù)的值域?yàn)?, 44,( （4）方法一：利用函數(shù)的有界性 將原函數(shù)化為yxyx2cossin 2 1yyx y y y x2)cos 11 1 (sin 22 令且 2 1 1 cos y 2 1 sin y y 1 1 2 , 1 2 )sin( 22 y y y y x 平方得 13 2 y 3 3 3 3 y 原函數(shù)的值域?yàn)?3 3 , 3 3 方法二：數(shù)形結(jié)合法或圖象法 原函數(shù)式可化為 x x x x y cos2 )sin(0 cos2 sin 此式可以看作點(diǎn)（2，0）和（）連線的斜率，而點(diǎn)（）的xxsin,cosxxsin,cos 軌跡方程為，如圖所示，在坐標(biāo)系中作出圓和點(diǎn)（2，0）1 22 yx1 22 yx 由圖可看出，當(dāng)過（2，0）的直線與圓相切時(shí)，斜率分別取得最大值和最小值，由直 線與圓的位置關(guān)系知識(shí)可設(shè)直線方程為，即)2( xky02 kykx 易得 3 3 3 3 k 原函數(shù)的值域?yàn)?3 3 , 3 3 例 7 已知橢圓 C：（） ，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A 為橢圓1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 1 F 2 F 的右頂點(diǎn)，的最大值的取值范圍是，其中，P 為橢圓上 21 PFPF 3 , 22 cc 22 bac 任意一點(diǎn)，求橢圓的離心率的取值范圍。 e 解：設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為),( 00 yx 由題意知 故) 0 , (), 0 , ( 21 cFcF 22 0 2 021 cyxPFPF 又 P 點(diǎn)在橢圓上 1 2 2 0 2 2 0 b y a x 2 0 2 2 22 0 x a b by 代入式得 222 0 2 2 222 0 2 2 2 021 cbx a c cbx a b xPFPF 又 22 0 ax 2 21 bPFPF 即的最大值為 21 PFPF 2 b 又，解得 222 3cbc 2 2 2 1 e 例 8 已知函數(shù)的圖象與軸分別相交于點(diǎn) A、B，（bkxxf)(yx、 jiAB22 分別是與軸正半軸同方向的單位向量） ，函數(shù) ji,yx、6)( 2 xxxg （1）求的值；bk、 （2）當(dāng)滿足時(shí)，求函數(shù)的最小值。x)()(xgxf )( 1)( xf xg 解： （1）由已知得，B（0，）) 0 , ( k b A b 則 于是 ),(b k b AB 2 2 b k b 2 1 b k （2）由得)()(xgxf62 2 xxx 即 解之，得0)4)(2(xx42x 5 2 1 2 2 5 )( 1)( 2 x x x xx xf xg 由于，則，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立02 x3 )( 1)( xf xg 12 x1x 的最小值是 )( 1)( xf xg 3 【模擬試題】 一. 選擇題： 1. 設(shè)集合 A=1，2，3，集合 B=，那么從集合 A 到集合 B 的一一映射的個(gè)數(shù)共cba, 有（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 2. 設(shè)集合 A=R，集合 B=正實(shí)數(shù)集，則從集合 A 到集合 B 的映射只可能是（ ）f A. ：fxyx B. ：fxyx C. ：f x yx 3 D. ：f)1 (log2xyx 3. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） 1 1 )( 2 2 kxkx xx xfk A. B. C. D. 0k40 k40 k40 k 4. 已知，則的解析式是（ ） 2 2 1 1 ) 1 1 ( x x x x f )(xf A. B. C. D. 2 1x x 2 1 2 x x 2 1 2 x x 2 1x x 5. 若，則等于（ ）xxf2cos2)(sin) 1(f A. B. 1 C. 3 D. 13 6. 函數(shù)的值域?yàn)?R，則的取值范圍是（ ）)2lg( 2 mxxym A. B. C. D. 1m1m1mRm 7. 已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（ ）yx、06 yx 22 yx A. B. 6 C. D. 182326 8. 已知，則其反函數(shù)的定義域?yàn)椋?）)0( 12)(xxf x )( 1 xfy A. B. C. D. ), 1 ), 0 ), 2 ), 2( 二. 解析題： 1. 某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為 40 元，出廠單價(jià)定為 60 元，該廠為鼓勵(lì)銷售 商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過 100 個(gè)時(shí)，每多訂購一個(gè)，訂購的全部零件的出廠單價(jià)就 降低 0.02 元，但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于 51 元。 （1）當(dāng)一次訂購量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為 51 元？ （2）設(shè)一次訂購量為個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為 P 元，寫出函數(shù)的表達(dá)x)(xfP 式； （3）當(dāng)銷售商一次訂購 500 個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是多少元？如果訂購 1000 個(gè)， 利潤(rùn)又是多少元？（工廠售出一個(gè)零件的利潤(rùn)=實(shí)際出廠單價(jià)成本） 2. 函數(shù)是定義域?yàn)?R 的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，均有成立。)(xfRx)()2(xfxf 當(dāng)時(shí)， 1 , 0x) 1)(2(log)(axxf a （1）當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式；)(12 , 12Zkkkx)(xf （2）若的最大值為，解關(guān)于的不等式)(xf 2 1 x 4 1 )(xf 3. 已知，函數(shù)Raaxxxf 2 )( （1）當(dāng)時(shí)，求使成立的的集合；2axxf)(x （2）求函數(shù)在區(qū)間1，2上的最小值。)(xfy 4. 已知是正常數(shù)，ba、), 0(,yxba、 （1）求證：，并指出等號(hào)成立的條件； yx ba y b x a 222 )( （2）利用（1）的結(jié)論求函數(shù)，的最小值，并指出取最 xx xf 21 92 )( ) 2 1 , 0(x 小值時(shí)的值。x 試題答案試題答案 一. 1. B 解析：由一一映射的定義知，共有個(gè)。6 3 3 A 2. C 解析：由題意知：對(duì) A、B 選項(xiàng)中，若，則，對(duì)選項(xiàng) D 中，0xBy 0 故選 C。 Byx0, 0 3. B 解析：排除法，時(shí)，定義域?yàn)?R，排除 A、D；時(shí)，k01)( 2 xxxf4k ，定義域?yàn)椋粸?R，排除 C。 2 2 ) 12( 1 )( x xx xf), 2 1 () 2 1 ,( 4. C 解析：設(shè)，則 t x x 1 1 t t x 1 1 2 2 2 1 2 ) 1 1 (1 ) 1 1 (1 )( t t t t t t tf 2 1 2 )( x x xf 5. C 解析： 1sin2)sin21 (2)(sin 22 xxxf12)( 2 xxf 31) 1(2) 1( 2 f 6. C 解析：的值域?yàn)?R，即的值域，故)2lg( 2 mxxymxxxf2)( 2 RG 的最小值，即)(xf01) 1(mf1m 7. D 解析：數(shù)形結(jié)合知表示原點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)距離的平方，故 22 yx 06 yx 其最小值為。18) 2 6 ( 22 d 8. C 解析：由互為反函數(shù)的性質(zhì)，知的定義域即為的值域，由指數(shù))( 1 xfy )(xfy 函數(shù)的單調(diào)性易知的值域?yàn)?(xfy ), 2 二. 1. 解析：（1）設(shè)一次訂購量為個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為 51 元。m 由題意，得，得。5102 . 0 )100(60 m550x 故當(dāng)一次訂購 550 個(gè)時(shí)，零件實(shí)際出廠單價(jià)恰為 51 元。 （2）由題意知，當(dāng)時(shí)，1000 x60)(xf 當(dāng)時(shí)，550100 x 50 6202 . 0 )100(61)( x xxf 當(dāng)時(shí)， 函數(shù)的表達(dá)式是550x51)(xf)(xfP 550,51 ,550100, 50 62 100 0 , 60 )( * x Nxx x x xf （3）由（2）知當(dāng)銷售商一次訂購 500 個(gè)零件和 1000 個(gè)零件時(shí)銷售單價(jià)分別為 元和 51 元，故其利潤(rùn)分別是元和52 50 500 6260004050052500511000 元。11000401000 2. 解析： （1）當(dāng)時(shí)，)0 , 1x)2(log)(2log)()(xxxfxf aa 當(dāng)時(shí)，)(2 , 12Zkkkx)0 , 12 kx )2(2log)2()(kxkxfxf a 當(dāng)時(shí)，)(12 ,2Zkkkx 1 , 02 kx )2(2log)2()(kxkxfxf a 故當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為)(12 , 12Zkkkx)(xf 12 ,2),2(2log )2 , 12),2(2log )( kkxkx kkxkx xf a a （2） 是以 2 為周期的周期函數(shù)，且為偶函數(shù))(xf 的最大值就是當(dāng)時(shí)的最大值)(xf 1 , 0x)(xf 在0，1上是減函數(shù)1a)2(log)(xxf a 2 1 2log)0()( max a fxf4a 當(dāng)時(shí)，由，得或 1 , 1x 4 1 )(xf 4 1 )2(log 01 4 x x 4 1 )2(log 10 4 x x 得2222x 是以 2 為周期的周期函數(shù))(xf 的解集為 4 1 )(xf,222222|Zkkxkx 3. 方法點(diǎn)撥：去絕對(duì)值號(hào)，將化為基本初等函數(shù)后，再求解。)(xf 解析： （1）由題意2)( 2 xxxf 當(dāng)時(shí)，2xxxxxf)2()( 2 或；當(dāng)時(shí)，0x1x2xxxxxf)2()( 2 綜上，所求解集為21x21 , 1 , 0 （2）設(shè)此最小值為m 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，1a2 , 1 23 )(axxxf ，0) 3 2 (32