第3節(jié)萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用1了解萬(wàn)有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用2會(huì)用萬(wàn)有引力定律計(jì)算天體質(zhì)量（重點(diǎn)難點(diǎn)）3理解研究天體運(yùn)動(dòng)的基本思路及主要類(lèi)型（難點(diǎn)）一、預(yù)言彗星回歸1哈雷根據(jù)萬(wàn)有引力理論對(duì)1682年出現(xiàn)的哈雷彗星的軌道運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了計(jì)算，指出了不同年份出現(xiàn)的情況，并預(yù)言了再次出現(xiàn)的時(shí)間21743年，克雷洛計(jì)算了遙遠(yuǎn)的木星和土星對(duì)哈雷彗星運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響，指出了哈雷彗星運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)近日點(diǎn)的時(shí)間3總之，由萬(wàn)有引力理論可以預(yù)知哈雷彗星每次臨近地球的時(shí)間，并且經(jīng)過(guò)驗(yàn)證都是正確的二、預(yù)言未知星體1已發(fā)現(xiàn)天體的軌道推算18世紀(jì)，人們觀測(cè)到太陽(yáng)系第七個(gè)行星天王星的軌道和用萬(wàn)有引力定律計(jì)算出來(lái)的軌道有一些偏差2未知天體的發(fā)現(xiàn)根據(jù)已發(fā)現(xiàn)的天體的運(yùn)動(dòng)軌道結(jié)合萬(wàn)有引力定律推算出還沒(méi)發(fā)現(xiàn)的未知天體的軌道，如海王星、冥王星就是這樣發(fā)現(xiàn)的三、計(jì)算天體質(zhì)量1地球質(zhì)量的計(jì)算利用地球表面的物體：若不考慮地球自轉(zhuǎn)，質(zhì)量為m的物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，即mg，則m，只要知道g、r的值，就可計(jì)算出地球的質(zhì)量2太陽(yáng)質(zhì)量的計(jì)算利用某一質(zhì)量為m的行星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)：行星與太陽(yáng)間的萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，即g，由此可得太陽(yáng)質(zhì)量ms，由此式可知只要測(cè)出行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期就可以計(jì)算出太陽(yáng)的質(zhì)量根據(jù)月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律應(yīng)用萬(wàn)有引力定律求出的天體質(zhì)量是地球的質(zhì)量還是月球的質(zhì)量？月球的質(zhì)量如何求？提示：求出的是地球的質(zhì)量，利用gmr求出的質(zhì)量m為中心天體的質(zhì)量做圓周運(yùn)動(dòng)的月球的質(zhì)量m在等式中已消掉要想求月球的質(zhì)量，要根據(jù)繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律天體質(zhì)量和密度的估算1求天體質(zhì)量的思路繞中心天體運(yùn)動(dòng)的其他天體或衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力等于它與中心天體的萬(wàn)有引力，利用此關(guān)系建立方程求中心天體的質(zhì)量2計(jì)算天體的質(zhì)量下面以地球質(zhì)量的計(jì)算為例，介紹幾種計(jì)算天體質(zhì)量的方法：(1)若已知地球的半徑r和地球表面的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力，得mgg，解得地球質(zhì)量為m地(2)質(zhì)量為m的衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)3計(jì)算天體的密度(1)利用天體表面的重力加速度來(lái)求天體的自身密度由mgg和得，g為天體表面的重力加速度，r為天體半徑(2)若天體的半徑為r，求天體的密度gmr由式得m，將m代入式得：當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r等于天體半徑r，則計(jì)算天體質(zhì)量的方法不僅適用于地球，也適用于其他任何星體，明確計(jì)算出的是中心天體的質(zhì)量 假設(shè)在半徑為r的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，若它貼近天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為t1，已知引力常量為g，則該天體的密度是多少？若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測(cè)得在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為t2，則該天體的密度又是多少？解析設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為m衛(wèi)星貼近天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)有g(shù)mr，解得m根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知星球的體積vr3故該星球密度衛(wèi)星距天體表面距離為h時(shí)有g(shù)m（rh），解得m所以答案利用公式m計(jì)算出天體的質(zhì)量，再利用計(jì)算天體的密度，注意r指天體運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，而r指中心天體的半徑，只有貼近中心天體運(yùn)行時(shí)才有rr 1假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為t，引力常量為g，則地球的密度為( )ab cd解析：選b物體在地球的兩極時(shí)，mg0g，物體在赤道上時(shí)，mgmrg，以上三式聯(lián)立解得地球的密度故選項(xiàng)b正確，選項(xiàng)a、c、d錯(cuò)誤天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的分析1解決天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本思路一般行星或衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)可看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需要的向心力都由中心天體對(duì)它的萬(wàn)有引力提供，所以研究天體時(shí)可建立基本關(guān)系式：gma，式中a是向心加速度2常用的關(guān)系式(1)gmm2rmr，萬(wàn)有引力提供行星或衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力(2)mgg即gr2gm，物體在天體表面時(shí)受到的引力等于物體的重力該公式通常被稱(chēng)為黃金代換式3四個(gè)重要結(jié)論設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為m的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)(1)由gm得vr越大，天體的v越小(2)由gm2r得r越大，天體的越小(3)由gmr得t2，r越大，天體的t越大(4)由gman得an，r越大，天體的an越小以上結(jié)論可總結(jié)為“一定四定，越遠(yuǎn)越慢”4雙星模型如圖所示，宇宙中有相距較近、質(zhì)量可以相比的兩個(gè)星球，它們離其他星球都較遠(yuǎn)，因此其他星球?qū)λ鼈兊娜f(wàn)有引力可以忽略不計(jì)在這種情況下，它們將圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這種結(jié)構(gòu)叫做“雙星”5雙星模型的特點(diǎn)(1)兩星的運(yùn)行軌道為同心圓，圓心是它們之間連線上的某一點(diǎn)(2)兩星的向心力大小相等，由它們間的萬(wàn)有引力提供(3)兩星的運(yùn)動(dòng)周期、角速度都相同(4)兩星的運(yùn)動(dòng)軌道半徑之和等于它們之間的距離，即r1r2l(1)應(yīng)用萬(wàn)有引力定律求解時(shí)還要注意挖掘題目中的隱含條件，如地球公轉(zhuǎn)一周時(shí)間是365天，自轉(zhuǎn)一周是24小時(shí)，其表面的重力加速度約為98 m/s2等(2)由mgg可以得到：gmgr2由于g和m（地球質(zhì)量）這兩個(gè)參數(shù)往往不易記住，而g和r容易記住所以粗略計(jì)算時(shí)，一般都采用上述代換，這就避開(kāi)了引力常量g值和地球的質(zhì)量m值，非常方便 命題視角1運(yùn)行天體的物理量的規(guī)律 小行星繞恒星運(yùn)動(dòng)，恒星均勻地向四周輻射能量，質(zhì)量緩慢減小，可認(rèn)為小行星在繞恒星運(yùn)動(dòng)一周的過(guò)程中近似做圓周運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，小行星運(yùn)動(dòng)的( )a半徑變大 b速率變大c角速度變大 d加速度變大解析因恒星質(zhì)量m減小，所以萬(wàn)有引力減小，不足以提供行星所需向心力，行星將做離心運(yùn)動(dòng)，半徑r變大，a項(xiàng)正確再由v，a可知，速率、角速度、加速度均變小，故b、c、d均錯(cuò)誤答案a 命題視角2宇宙中的雙星系統(tǒng) 質(zhì)量分別為m1和m2的兩個(gè)星球，繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離恒為l，不考慮其他星體的影響，兩星球的軌道半徑和周期各是多少？思路點(diǎn)撥 本題的關(guān)鍵是弄清雙星問(wèn)題中兩星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由彼此間的引力提供，即f向大小相等，且相同，再由牛頓第二定律分別對(duì)兩星列方程求解解析如圖所示，雙星繞同一圓心o做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需要的向心力由雙星間彼此相互吸引的萬(wàn)有引力提供故f向f引g設(shè)m1的軌道半徑為r1，m2的軌道半徑為r2，r1r2l，由于它們之間的距離恒定，因此雙星在空間的繞向一定相同，同時(shí)角速度和周期也都相同由向心力公式可得：對(duì)m1：gm1r12對(duì)m2：gm2r22由式可得：m1r1m2r2又r1r2l所以r1，r2將，r1代入式可得gm1所以t 2l 答案見(jiàn)解析2（多選）為了探測(cè)x星球，載著登陸艙的探測(cè)飛船在以該星球中心為圓心、半徑為r1的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為t1，總質(zhì)量為m1隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r2的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)登陸艙的質(zhì)量為m2，則( )ax星球的質(zhì)量為mbx星球表面的重力加速度為gxc登陸艙在r1與r2軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小之比為d登陸艙在半徑為r2軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為t2t1解析：選ad選飛船為研究對(duì)象，則m1，解得x星球的質(zhì)量為m，選項(xiàng)a正確；飛船的向心加速度為a，不等于x星球表面的加速度，選項(xiàng)b錯(cuò)誤；登陸艙在r1的軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)滿(mǎn)足：m2，m2，登陸艙在r2的軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)滿(mǎn)足：m2，m2由上述公式聯(lián)立可解得：，所以選項(xiàng)c錯(cuò)誤，選項(xiàng)d正確隨堂檢測(cè)1 “嫦娥一號(hào)”是我國(guó)首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200 km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為127分鐘已知引力常量g6671011 nm2/kg2，月球半徑為174103 km利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為( )a811010 kg b741013 kgc541019 kg d741022 kg解析：選d天體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)都是萬(wàn)有引力提供向心力，“嫦娥一號(hào)”繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律知：，得m，其中rrh，代入數(shù)據(jù)解得m741022 kg，選項(xiàng)d正確2宇宙中兩個(gè)星球可以組成雙星，它們只在相互間的萬(wàn)有引力作用下，繞球心連線的某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)根據(jù)宇宙大爆炸理論，雙星間的距離在不斷緩慢增加，設(shè)雙星仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )a雙星相互間的萬(wàn)有引力減小b雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度增大c雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期增大d雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑增大解析：選b距離增大萬(wàn)有引力減小，a正確；由m1r12m2r22及r1r2r得，r1，r2，可知d正確；fgm1r12m2r22，r增大f減小，r1增大，故減小，b錯(cuò)誤；由t知c正確3據(jù)美國(guó)宇航局網(wǎng)站報(bào)道，他們發(fā)現(xiàn)了太陽(yáng)系外第一顆類(lèi)似地球的、可適合居住的行星“開(kāi)普勒22b”，它每290天環(huán)繞著一顆類(lèi)似于太陽(yáng)的恒星運(yùn)轉(zhuǎn)一周，距離地球約600光年，體積是地球的24倍已知引力常量和地球表面的重力加速度根據(jù)以上信息，下列推理中正確的是( )a若能觀測(cè)到該行星的軌道半徑，可求出該行星所受的萬(wàn)有引力b若已知該行星的密度和半徑，可求出該行星的軌道半徑c根據(jù)地球的公轉(zhuǎn)周期與軌道半徑，可求出該行星的軌道半徑d若該行星的密度與地球的密度相等，可求出該行星表面的重力加速度解析：選d若能觀測(cè)到該行星的軌道半徑，由于不知道行星和恒星的質(zhì)量，不能求出該行星所受的萬(wàn)有引力，a錯(cuò)誤；若已知該行星的密度和半徑，不能求出該行星的軌道半徑，b錯(cuò)誤；根據(jù)地球的公轉(zhuǎn)周期與軌道半徑，由于不知恒星與太陽(yáng)質(zhì)量的關(guān)系，不能求出該行星的軌道半徑，c錯(cuò)誤；地球質(zhì)量m，若該行星的密度與地球的密度相等，則該行星的質(zhì)量為24m，該行星的半徑rr，可求出該行星表面的重力加速度ggg，d正確4（多選）“嫦娥二號(hào)”已成功進(jìn)入了環(huán)繞“日地拉格朗日點(diǎn)”的軌道，我國(guó)成為世界上第三個(gè)造訪該點(diǎn)的國(guó)家如圖所示，該拉格朗日點(diǎn)位于太陽(yáng)和地球連線的延長(zhǎng)線上，一飛行器處于該點(diǎn)，在幾乎不消耗燃料的情況下與地球同步繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，則此飛行器的( )a線速度大于地球的線速度b向心加速度大于地球的向心加速度c向心力僅由太陽(yáng)的引力提供d向心力僅由地球的引力提供解析：選ab飛行器與地球同步繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，所以飛地，由圓周運(yùn)動(dòng)線速度和角速度的關(guān)系vr得v飛v地，選項(xiàng)a正確；由公式ar2知，a飛a地，選項(xiàng)b正確；飛行器受到太陽(yáng)和地球的萬(wàn)有引力，方向均指向圓心，其合力提供向心力，故c、d選項(xiàng)錯(cuò)誤5如圖為“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器在月球上著陸最后階段的示意圖首先在發(fā)動(dòng)機(jī)作用下，探測(cè)器受到推力在距月面高度為h1處懸停（速度為0，h1遠(yuǎn)小于月球半徑）；接著推力改變，探測(cè)器開(kāi)始豎直下降，到達(dá)距月面高度為h2處的速度為v，此后發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉，探測(cè)器僅受重力下落至月面，已知探測(cè)器總質(zhì)量為m（不包括燃料），地球和月球的半徑比為k1，質(zhì)量比為k2，地球表面附近的重力加速度為g，求月球表面附近的重力加速度大小及探測(cè)器剛接觸月面時(shí)的速度大小解析：設(shè)地球的質(zhì)量和半徑分別為m和r，月球的質(zhì)量、半徑和表面附近的重力加速度分別為m、r和g，探測(cè)器剛接觸月面時(shí)的速度大小為vt由mgg和mgg，得gg由vv22gh2，得vt答案：g課時(shí)作業(yè)學(xué)生用書(shū)p105（單獨(dú)成冊(cè)）一、單項(xiàng)選擇題1設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量為m，某行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期為t，軌道可視作半徑為r的圓已知萬(wàn)有引力常量為g，則描述該行星運(yùn)動(dòng)的上述物理量滿(mǎn)足( )agm bgmcgm dgm解析：選a對(duì)行星有：mr，故gm，選項(xiàng)a正確2科學(xué)家在研究地月組成的系統(tǒng)時(shí)，從地球向月球發(fā)射激光，測(cè)得激光往返時(shí)間為t，若已知萬(wàn)有引力常量為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)（可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)）的周期為t，光速為c，地球到月球的距離遠(yuǎn)大于它們的半徑則可求出地球的質(zhì)量為( )a bc d解析：選a月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r由gmr得地球質(zhì)量m，選項(xiàng)a正確3我國(guó)載人航天飛行任務(wù)中，設(shè)宇航員測(cè)出自己繞地球球心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為t，離地面的高度為h，地球半徑為r則根據(jù)t、h、r和萬(wàn)有引力常量，不能計(jì)算出的量是( )a地球的質(zhì)量 b地球的平均密度c飛船所需的向心力 d飛船線速度的大小解析：選c設(shè)地球質(zhì)量為m，由萬(wàn)有引力提供向心力得：gm（hr）2m（hr），由此式可求出地球的質(zhì)量m，再由，可求出地球的平均密度由v，可求出飛船的線速度大小故只有c選項(xiàng)是符合題目要求的4設(shè)某飛行器變軌前和變軌完成后的運(yùn)行軌道均可視為圓軌道，對(duì)應(yīng)的軌道半徑分別為r1、r2，線速度大小分別為v1、v2則等于( )a b c d解析：選b飛行器運(yùn)行時(shí)所需的向心力由萬(wàn)有引力提供，根據(jù)g得線速度v ，所以 ，故選項(xiàng)b正確，選項(xiàng)a、c、d錯(cuò)誤5“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星環(huán)月飛行的高度距離月球表面100 km，所探測(cè)到的有關(guān)月球的數(shù)據(jù)比環(huán)月飛行高度為200 km的“嫦娥一號(hào)”更加詳實(shí)若兩顆衛(wèi)星環(huán)月飛行均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，飛行軌道如圖所示則( )a“嫦娥二號(hào)”環(huán)月飛行的周期比“嫦娥一號(hào)”更小b“嫦娥二號(hào)”環(huán)月飛行的線速度比“嫦娥一號(hào)”更小c“嫦娥二號(hào)”環(huán)月飛行時(shí)角速度比“嫦娥一號(hào)”更小d“嫦娥二號(hào)”環(huán)月飛行時(shí)向心加速度比“嫦娥一號(hào)”更小解析：選a由t可知，a正確；由v可知b錯(cuò)誤；由可知，c錯(cuò)誤；由a可知，d錯(cuò)誤6經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，a行星運(yùn)行的軌道半徑為r0，周期為t0，但其實(shí)際運(yùn)行的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔t0時(shí)間發(fā)生一次最大的偏離如圖所示，天文學(xué)家認(rèn)為形成這種現(xiàn)象的原因可能是a行星外側(cè)還存在著一顆未知行星b，則行星b運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為( )arr0 brr0crr0 drr0解析：選a行星發(fā)生最大偏離時(shí)，a、b行星與恒星在同一直線上且位于恒星同一側(cè)，設(shè)行星b的運(yùn)行周期為t、軌道半徑為r，則有t0t02，所以t由開(kāi)普勒第三定律得，rr0，所以選項(xiàng)a正確二、多項(xiàng)選擇題假設(shè)太陽(yáng)系中天體的密度不變，天體直徑和天體之間距離都縮小到原來(lái)的一半，地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)近似為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列物理量變化正確的是( )a地球的向心力變?yōu)榭s小前的一半b地球的向心力變?yōu)榭s小前的c地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期與縮小前的相同d地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期變?yōu)榭s小前的一半解析：選bc天體的密度不變，天體直徑縮小到原來(lái)的一半，則太陽(yáng)和地球的質(zhì)量都減小為原來(lái)的，又公轉(zhuǎn)半徑變?yōu)樵瓉?lái)的，由fg可知，向心力減小為原來(lái)的，選項(xiàng)b正確由gmr，得t2 ，因此周期不變，選項(xiàng)c正確8地球“空間站”正在地球赤道平面內(nèi)的圓周軌道上運(yùn)行，其離地高度為同步衛(wèi)星離地高度的十分之一，且運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向一致關(guān)于該“空間站”說(shuō)法正確的有( )a運(yùn)行的加速度一定等于其所在高度處的重力加速度b運(yùn)行的速度等于同步衛(wèi)星運(yùn)行速度的倍c站在地球赤道上的人觀察到它向東運(yùn)動(dòng)d在“空間站”工作的宇航員因受力平衡而在其中懸浮或靜止解析：選ac空間站運(yùn)動(dòng)的加速度和其所在位置的重力加速度均由其所受萬(wàn)有引力提供，故a正確；由gmv，運(yùn)行速度與軌道半徑的平方根成反比，并非與離地高度的平方根成反比，故b錯(cuò)誤；由gmrt2r，所以空間站運(yùn)行周期小于地球自轉(zhuǎn)的周期，故c正確；空間站宇航員所受萬(wàn)有引力完全提供向心力，處于完全失重狀態(tài)，d錯(cuò)誤9根據(jù)觀測(cè)，某行星外圍有一模糊不清的環(huán)，為了判斷該環(huán)是連續(xù)物還是衛(wèi)星群，測(cè)出了環(huán)中各層的線速度v的大小與該層至行星中心的距離r則以下判斷中正確的是( )a若v與r成正比，則環(huán)是連續(xù)物b若v與r成反比，則環(huán)是連續(xù)物c若v2與r成反比，則環(huán)是衛(wèi)星群d若v2與r成正比，則環(huán)是衛(wèi)星群解析：選ac若該環(huán)為連續(xù)物，則環(huán)的角速度與行星相同，由vr可知，v與r成正比，a正確；若該環(huán)為衛(wèi)星群，則有：m，得：v2，v2與r成反比，c正確三、非選擇題10天宮一號(hào)與隨后發(fā)射的神舟系列飛船在太空完成交會(huì)對(duì)接，實(shí)現(xiàn)了中國(guó)載人航天工程的一個(gè)新的跨越天宮一號(hào)的運(yùn)行周期為t，距地面的高度為h，已知地球半徑為r，萬(wàn)有引力常量為g若將天宮一號(hào)的運(yùn)行軌道看做圓軌道，求：(1)地球質(zhì)量m；(2)地球的平均密度解析：(1)因?yàn)樘鞂m一號(hào)的運(yùn)行軌道被看做圓軌道，萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，所以：gm（r