核心素養(yǎng)測評四十七 垂直關(guān)系(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.,為不同的平面,m,n,l為不同的直線,則m的一個充分條件是()a.n,n,mb.=m,c.,md.,=l,ml【解析】選a.由n,n知,又m,所以m.所以a正確.2.(2020銅陵模擬)教師拿了一把直尺走進(jìn)教室,則下列判斷正確的個數(shù)是()教室地面上有且僅有一條直線與直尺所在直線平行;教室地面上有且僅有一條直線與直尺所在直線垂直;教室地面上有無數(shù)條直線與直尺所在直線平行;教室地面上有無數(shù)條直線與直尺所在直線垂直.a.1b.2c.3d.4【解析】選a.當(dāng)直尺與地面平行時,有無數(shù)條直線與直尺平行,錯誤當(dāng)直尺與地面垂直時,有無數(shù)條直線與直尺垂直,錯誤當(dāng)直尺與地面相交時,沒有直線與直尺平行,錯誤不管直尺與地面是什么關(guān)系,有無數(shù)條直線與直尺所在直線垂直,正確.3.如圖,在四邊形abcd中,adbc,ad=ab,bcd=45,bad=90,將abd沿bd折起,使平面abd平面bcd,構(gòu)成三棱錐a-bcd,則在三棱錐a-bcd中,下面結(jié)論正確的是()a.平面abd平面abcb.平面adc平面bdcc.平面abc平面bdcd.平面adc平面abc【解析】選d.在平面圖形中cdbd,折起后仍有cdbd,由于平面abd平面bcd,故cd平面abd,所以cdab,又abad,adcd=d,故ab平面adc,又因?yàn)閍b平面abc,所以平面abc平面adc.4.下列說法正確的是()a.直線a平行于平面m,則a平行于m內(nèi)的任意一條直線b.直線a與平面m相交,則a不平行于m內(nèi)的任意一條直線c.直線a不垂直于平面m,則a不垂直于m內(nèi)的任意一條直線d.直線a不垂直于平面m,則過a的平面不垂直于m【解析】選b.a選項不正確,因?yàn)橐粭l線平行于一個平面,則它與該平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系是平行或者異面;b選項正確,因?yàn)橹本€a與平面m相交,則a與m內(nèi)的任意一條直線位置關(guān)系是異面或相交;c選項不正確,因?yàn)橹本€a不垂直于平面m,則a與平面m內(nèi)與它的投影垂直的直線是垂直關(guān)系;d選項不正確,因?yàn)橹本€a不垂直于平面m,則過a的平面可以垂直于m.5.如圖,正三角形pad所在平面與正方形abcd所在平面互相垂直,o為正方形abcd的中心,m為正方形abcd內(nèi)一點(diǎn),且滿足mp=mc,則點(diǎn)m的軌跡為()【解析】選a.取ad的中點(diǎn)e,連接pe,pc,ce.由pead知pe平面abcd,從而平面pec平面abcd,取pc,ab的中點(diǎn)f,g,連接df,dg,fg,由pd=dc知dfpc,由dgec知,dg平面pec,又pc平面pec,所以dgpc,dfdg=d,所以pc平面dfg,又點(diǎn)f是pc的中點(diǎn),因此,線段dg上的點(diǎn)滿足mp=mc.二、填空題(每小題5分,共15分)6.如圖,pa圓o所在的平面,ab是圓o的直徑,c是圓o上的一點(diǎn),e,f分別是點(diǎn)a在pb,pc上的射影,給出下列結(jié)論:afpb;efpb;afbc;ae平面pbc.其中正確結(jié)論的序號是_.【解析】由題意知pa平面abc,所以pabc.又acbc,且paac=a,所以bc平面pac,所以bcaf.因?yàn)閍fpc,且bcpc=c,所以af平面pbc,所以afpb,又aepb,aeaf=a,所以pb平面aef,所以pbef.故正確.答案:7.如圖所示,在四棱錐p-abcd中,pa底面abcd,且底面各邊都相等,m是pc上的一動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)m滿足_時,平面mbd平面pcd.(只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可)【解析】因?yàn)閜a底面abcd,所以bdpa,連接ac,則bdac,且paac=a,所以bd平面pac,所以bdpc,所以當(dāng)dmpc(或bmpc)時,即有pc平面mbd,而pc平面pcd,所以平面mbd平面pcd.答案:dmpc(答案不唯一)8.設(shè),是空間兩個不同的平面,m,n是平面及外的兩條不同直線.從“mn;n;m”中選取三個作為條件,余下一個作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個命題:_(用代號表示).【解析】逐一判斷.若成立,則m與的位置關(guān)系不確定,故錯誤;同理也錯誤;與均正確.答案:(或)三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2020新余模擬)如圖,在直三棱柱abc-a1b1c1中,abac,ac=aa1,d是棱ab的中點(diǎn).(1)求證:bc1平面a1cd.(2)求證:bc1a1c.【證明】(1)連接ac1,設(shè)ac1a1c=o,連接od,在直三棱柱abc-a1b1c1中,側(cè)面acc1a1是平行四邊形,所以o為ac1的中點(diǎn),又因?yàn)閐是棱ab的中點(diǎn),所以odbc1,又因?yàn)閎c1平面a1cd,od平面a1cd,所以bc1平面a1cd.(2)由(1)可知側(cè)面acc1a1是平行四邊形,因?yàn)閍c=aa1,所以平行四邊形acc1a1是菱形,所以ac1a1c,在直三棱柱abc-a1b1c1中,aa1平面abc,因?yàn)閍b平面abc,所以abaa1,又因?yàn)閍bac,acaa1=a,ac平面acc1a1,aa1平面acc1a1,所以ab平面acc1a1,因?yàn)閍1c平面acc1a1,所以aba1c,又因?yàn)閍c1a1c,abac1=a,ab平面abc1,ac1平面abc1,所以a1c平面abc1,因?yàn)閎c1平面abc1,所以bc1a1c.10.如圖,在四棱錐p-abcd中,四邊形abcd是菱形,padbad,平面pad平面abcd,ab=4,pa=pd,m在棱pd上運(yùn)動.(1)當(dāng)m在何處時,pb平面mac.(2)已知o為ad的中點(diǎn),ac與ob交于點(diǎn)e,當(dāng)pb平面mac時,求三棱錐e-bcm的體積.【解析】(1)如圖,設(shè)ac與bd相交于點(diǎn)n,當(dāng)m為pd的中點(diǎn)時,pb平面mac.證明:因?yàn)樗倪呅蝍bcd是菱形,可得dn=nb,又因?yàn)閙為pd的中點(diǎn),可得dm=mp,所以nm為bdp的中位線,可得nmpb,又因?yàn)閚m平面mac,pb平面mac,所以pb平面mac.(2)因?yàn)閛為ad的中點(diǎn),pa=pd,則opad,又padbad,所以obad,且ob=23,又因?yàn)閍eoceb,所以oebe=oabc=12,所以be=23ob=433,所以sebc=124433=833.又因?yàn)閛p=432=23,點(diǎn)m為pd的中點(diǎn),所以m到平面ebc的距離為3,所以ve-bcm=vm-ebc=138333=83.(15分鐘35分)1.(5分)如圖,在三棱錐d-abc中,若ab=cb,ad=cd,e是ac的中點(diǎn),則下列正確的是()a.平面abc平面abdb.平面abd平面bdcc.平面abc平面bde,且平面adc平面bded.平面abc平面adc,且平面adc平面bde【解析】選c.要判斷兩個平面的垂直關(guān)系,就需固定其中一個平面,找另一個平面內(nèi)的一條直線與第一個平面垂直.因?yàn)閍b=cb,且e是ac的中點(diǎn),所以beac,同理有deac,于是ac平面bde.因?yàn)閍c在平面abc內(nèi),所以平面abc平面bde.又由于ac平面acd,所以平面acd平面bde.2.(5分)四面體p-abc的四個頂點(diǎn)都在球o的球面上,pa=8,bc=4,pb=pc=ab=ac,且平面pbc平面abc,則球o的表面積為()a.64b.65c.66d.128【解析】選b.如圖,d,e分別為bc,pa的中點(diǎn),易知球心點(diǎn)o在線段de上,因?yàn)閜b=pc=ab=ac,則pdbc,adbc,pd=ad.又因?yàn)槠矫鎝bc平面abc,平面pbc平面abc=bc,所以pd平面abc,所以pdad,所以pd=ad=42.因?yàn)辄c(diǎn)e是pa的中點(diǎn),所以edpa,且de=ea=pe=4 .設(shè)球o的半徑為r,oe=x,則od=4-x.在rtoea中,有r2=16+x2,在rtobd中,有r2=4+(4-x)2,解得r2=654,所以s=4r2=65.3.(5分)如圖,在四棱錐p-abcd中,pab與pbc是正三角形,平面pab平面pbc,acbd,則下列結(jié)論不一定成立的是()a.pbacb.pd平面abcdc.acpdd.平面pbd平面abcd【解析】選b.取bp的中點(diǎn)o,連接oa,oc,易得bpoa,bpocbp平面oacbpac選項a正確;又acbdac平面bdpacpd,平面pbd平面abcd,故選項c,d正確.4.(10分)(2020淮北模擬)在直三棱柱abc-a1b1c1中,abc=90,ab=bc=1,bb1=2.(1)求異面直線b1c1與a1c所成角的正切值.(2)求直線b1c1與平面a1bc的距離.【解析】(1)因?yàn)閎1c1bc,所以a1cb (或其補(bǔ)角)是異面直線b1c1與a1c所成角.因?yàn)閎cab,bcbb1,abbb1=b,所以bc平面abb1,所以bca1b.在rta1bc中,tana1cb=a1bbc=51=5,所以異面直線b1c1與a1c所成角的正切值為5.(2)因?yàn)閎1c1平面a1bc,所以b1c1到平面a1bc的距離等于b1到平面a1bc的距離,設(shè)b1到平面a1bc的距離為d,因?yàn)関b1-a1bc=va1-bb1c,所以13sa1bcd=13sb1bca1b1,可得d=255,所以直線b1c1與平面a1bc的距離為255.5.(10分)如圖,在正方體abcd-a1b1c1d1中,e,f分別是cd,a1d1的中點(diǎn).(1)求證:ab1bf.(2)求證:aebf.(3)棱cc1上是否存在點(diǎn)p,使bf平面aep?若存在,確定點(diǎn)p的位置,若不存在,說明理由.【解析】(1)連接a1b,則ab1a1b,又因?yàn)閍b1a1f,且a1ba1f=a1,所以ab1平面a1bf.又bf平面a1bf,所以ab1bf.(2)取ad中點(diǎn)g,連接fg,bg,則fgae,又因?yàn)閎agade,所以abg=dae.所以aebg.又因?yàn)閎gfg=g,所以ae平面bfg.又bf平面bfg,所以aebf.(3)存在.取cc1的中點(diǎn)p,即為所求.連接ep,ap,c1d,因?yàn)閑pc1d,c1dab1,所以epab1.由(1)知ab1bf,所以bfep.又由(2)知aebf,且aeep=e,所以bf平面aep.1.如圖,點(diǎn)p在正方體abcd-a1b1c1d1的面對角線bc1上運(yùn)動,則下列四個結(jié)論:三棱錐a-d1pc的體積不變;a1p平面acd1;dpbc1;平面pdb1平面acd1.其中正確的結(jié)論序號是_.【解析】由題意可得直線bc1平行于直線ad1,并且直線ad1平面ad1c,直線bc1平面ad1c,所以直線bc1平面ad1c.所以點(diǎn)p到平面ad1c的距離不變,va-d1pc=vp-ad1c,所以三棱錐a-d1pc的體積不變,故正確;連接a1c1,a1b,可得平面ad1c平面a1c1b.又a1p平面a1c1b,所以a1p平面acd1,故正確;當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動到b點(diǎn)時,dbc1是等邊三角形,所以dp不垂直于bc1,故不正確;連接bd,因?yàn)橹本€ac平面db1b,db1平面db1b.所以acdb1.同理可得ad1db1.所以可得db1平面ad1c.又db1平面pdb1.所以可得平面pdb1平面acd1.故正確.答案:2.