核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)三十五 合情推理與演繹推理(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2020欽州模擬)平面內(nèi),圓有如下性質(zhì):“圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦”,由此類比可以得到空間中,球有如下性質(zhì)()a.球心與弦(非直徑)的中點(diǎn)連線垂直于弦b.球心與該球小圓圓心的連線垂直于小圓c.與球心距離相等的弦長(zhǎng)相等d.與球心距離相等的小圓面積相等【解析】選b.圓心對(duì)應(yīng)球心,弦對(duì)應(yīng)小圓,弦中點(diǎn)對(duì)應(yīng)小圓圓心,根據(jù)類比推理則有:球心與該球小圓圓心的連線垂直于小圓.2.設(shè)三角形abc的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,面積為s,內(nèi)切圓半徑為r,則r=2sa+b+c;類比這個(gè)結(jié)論可知:若四面體s-abc的四個(gè)面的面積分別為s1,s2,s3,s4,內(nèi)切球的半徑為r,四面體s-abc的體積為v,則r等于()a.vs1+s2+s3+s4b.2vs1+s2+s3+s4c.3vs1+s2+s3+s4d.4vs1+s2+s3+s4【解析】選c.設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為o,則v=vo-abc+vo-sab+vo-sac+vo-sbc,即v=13s1r+13s2r+13s3r+13s4r,所以r=3vs1+s2+s3+s4.3.(2019安慶模擬)某中學(xué)在高二下學(xué)期開設(shè)四門數(shù)學(xué)選修課,分別為數(shù)學(xué)史選講球面上的幾何對(duì)稱與群矩陣與變換.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)從這四門選修課程中選修一門,且這四位同學(xué)選修的課程互不相同,下面關(guān)于他們選課的一些信息:甲同學(xué)和丙同學(xué)均不選球面上的幾何,也不選對(duì)稱與群:乙同學(xué)不選對(duì)稱與群,也不選數(shù)學(xué)史選講:如果甲同學(xué)不選數(shù)學(xué)史選講,那么丁同學(xué)就不選對(duì)稱與群.若這些信息都是正確的,則丙同學(xué)選修的課程是()a.數(shù)學(xué)史選講b.球面上的幾何c.對(duì)稱與群d.矩陣與變換【解析】選d.由信息可得,甲、丙選擇矩陣與變換和數(shù)學(xué)史選講;由信息可得,乙選擇矩陣與變換或球面上的幾何.第一種可能:當(dāng)甲選擇矩陣與變換時(shí),則丙選擇數(shù)學(xué)史選講,乙選擇球面上的幾何,丁選擇對(duì)稱與群,與信息矛盾,不合題意;第二種可能:當(dāng)甲選擇數(shù)學(xué)史選講時(shí),則丙選擇矩陣與變換,乙選擇球面上的幾何,丁選擇對(duì)稱與群,符合題意.綜上可得丙同學(xué)選修的課程是矩陣與變換.【變式備選】在一次數(shù)學(xué)單元測(cè)驗(yàn)中,甲、乙、丙、丁四名考生只有一名獲得了滿分.這四名考生的對(duì)話如下,甲:我沒(méi)考滿分;乙:丙考了滿分;丙:丁考了滿分;丁:我沒(méi)考滿分,其中只有一名考生說(shuō)的是真話,則考得滿分的考生是()a.甲b.乙c.丙d.丁【解析】選a.若甲考滿分,則甲、乙、丙說(shuō)的都是假話,丁說(shuō)的是真話,符合題意;若乙考滿分,則乙、丙說(shuō)的是假話,甲和丁說(shuō)的是真話,不合題意;若丙考滿分,則甲、乙、丁說(shuō)的都是真話,丙說(shuō)的是假話,不合題意;若丁考滿分,則甲、丙說(shuō)的真話,乙、丁說(shuō)的假話,不合題意.綜上,甲考滿分.4.我國(guó)的刺繡有著悠久的歷史,如圖所示的(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案,這些圖案都是由小正方形構(gòu)成,小正方形個(gè)數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形,則f(n)的表達(dá)式為()a.f(n)=2n-1b.f(n)=2n2c.f(n)=2n2-2nd.f(n)=2n2-2n+1【解析】選d. 我們考慮f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,結(jié)合圖形不難得到f(n)-f(n-1)=4(n-1),累加得f(n)-f(1)=2n(n-1)=2n2-2n,故f(n)=2n2-2n+1.5.(2020瀘州模擬)已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,.其中第一項(xiàng)是20,接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21,再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,22,以此類推,記此數(shù)列為an,則a2 019=()a.1b.2c.4d.8【解析】選c.將所給的數(shù)列分組:第1組為20,第2組為20,21,第三組為:20,21,22,則數(shù)列的前n組共有n(n+1)2項(xiàng),由于63642=2 016,故數(shù)列的前63組共有2 016項(xiàng),數(shù)列的第2 017項(xiàng)為20,數(shù)列的第2 018項(xiàng)為21,數(shù)列的第2 019項(xiàng)為22,所以a2 019=4.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2019豐臺(tái)模擬)已知數(shù)列an的通項(xiàng)an=2n-1,把a(bǔ)n中的各項(xiàng)按照一定的順序排列成如圖所示的三角形數(shù)陣. 135791113151719 (1)數(shù)陣中第5行所有項(xiàng)的和為_.(2)2 019是數(shù)陣中第i行的第j列,則i+j=_.【解析】(1)21+23+25+27+29=125.(2)2n-1=2 019,n=1 010,1+2+3+44=990,故i=44+1=45,j=1 010-990=20,i+j=65.答案:(1)125(2)657.(2020孝感模擬)二維空間中,圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l=2r,二維測(cè)度(面積)s=r2,三維空間中,球的二維測(cè)度(表面積)s=4r2,三維測(cè)度(體積)v=43r3,應(yīng)用合情推理,若四維空間中,“超球”的三維測(cè)度v=8r3,則其四維測(cè)度w=_.【解析】二維空間中,圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l=2r,二維測(cè)度(面積)s=r2,(r2)=2r,三維空間中,球的二維測(cè)度(表面積)s=4r2,三維測(cè)度(體積)v=43r3,43r3=4r2,四維空間中,“超球”的三維測(cè)度v=8r3,因?yàn)?2r4)=8r3,所以“超球”的四維測(cè)度w=2r4.答案:2r48.(2020佛山模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)記載:“勾股各自乘,并之,為弦實(shí)”,用符號(hào)表示為a2+b2=c2(a,b,cn*),把a(bǔ),b,c叫做勾股數(shù).下列給出幾組勾股數(shù):3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,以此類推,可猜測(cè)第5組勾股數(shù)的第二個(gè)數(shù)是_.【解析】由前四組勾股數(shù)可得第五組的第一個(gè)數(shù)為11,第二、三個(gè)數(shù)為相鄰的兩個(gè)整數(shù),可設(shè)為x,x+1,所以(x+1)2=112+x2,即x=60,所以第5組勾股數(shù)的三個(gè)數(shù)依次是11,60,61.答案:60(15分鐘25分)1.(5分)圖是美麗的“勾股樹”,它是一個(gè)直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到.圖是第1代“勾股樹”,重復(fù)圖的作法,得到圖為第2代“勾股樹”,以此類推,已知最大的正方形面積為1,則第n代“勾股樹”所有正方形的面積的和為()a.nb.n2c.n-1d.n+1【解析】選d.最大的正方形面積為1,當(dāng)n=1時(shí),由勾股定理知正方形面積的和為2,依次類推,可得所有正方形面積的和為n+1.2.(5分)如圖所示橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),f為左焦點(diǎn),a為右頂點(diǎn),b為上頂點(diǎn),當(dāng)時(shí),其離心率為5-12,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于()a.5+12b.5-12c.5-1d.5+1【解析】選a.設(shè)“黃金雙曲線”方程為x2a2-y2b2=1(a0,b0),則b(0,b),f(-c,0),a(a,0).在“黃金雙曲線”中因?yàn)?所以=0.又=(c,b),=(-a,b).所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac.在等號(hào)兩邊同除以a2,得e=5+12(負(fù)值舍去).3.(5分)(2020清華附中模擬)地鐵某換乘站設(shè)有編號(hào)為a,b,c,d,e的五個(gè)安全出口.若同時(shí)開放其中的兩個(gè)安全出口,疏散1 000名乘客所需的時(shí)間如下:安全出口編號(hào)a,bb,cc,dd,ea,e疏散乘客時(shí)間(s)120220160140200則疏散乘客最快的一個(gè)安全出口的編號(hào)是()a.ab.bc.dd.e【解析】選c.同時(shí)開放a、e兩個(gè)安全出口,疏散1 000名乘客所需的時(shí)間為200 s,同時(shí)開放d、e兩個(gè)安全出口,疏散1 000名乘客所需的時(shí)間為140 s,得到d疏散乘客比a快;同時(shí)開放a、e兩個(gè)安全出口,疏散1 000名乘客所需的時(shí)間為200 s,同時(shí)開放a、b兩個(gè)安全出口,疏散1 000名乘客所需的時(shí)間為120 s,得到b疏散乘客比e快;同時(shí)開放a、b兩個(gè)安全出口,疏散1 000名乘客所需的時(shí)間為120 s,同時(shí)開放b、c兩個(gè)安全出口,疏散1 000名乘客所需的時(shí)間為220 s,得到a疏散乘客比c快;同時(shí)開放b、c兩個(gè)安全出口,疏散1 000名乘客所需的時(shí)間為220 s,同時(shí)開放c、d兩個(gè)安全出口,疏散1 000名乘客所需的時(shí)間為160 s,得到d疏散乘客比b快.綜上,疏散乘客最快的一個(gè)安全出口的編號(hào)是d.4.(10分)(2019龍巖模擬)已知函數(shù)f(x)=ax+a-x2,g(x)=ax-a-x2(其中a0,且a1),(1)若f(1)g(2)+f(2)g(1)=g(k),求實(shí)數(shù)k的值.(2)能否從(1)的結(jié)論中獲得啟示,猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論并證明你的猜想.【解析】(1)f(1)g(2)+f(2)g(1)=a+a-12a2-a-22+a2+a-22a-a-12=a3-a-1+a-a-34+a3-a+a-1-a-34=a3-a-32=g(3),因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是單調(diào)函數(shù),所以k=3.(2)由g(3)=g(1+2)=f(