,高考專題突破四高考中的立體幾何問題,空間角的求法,題型一,多維探究,命題點(diǎn)1求線線角例1(2019安徽知名示范高中聯(lián)合質(zhì)檢)若在三棱柱abca1b1c1中，a1acbac60，平面a1acc1平面abc，aa1acab，則異面直線ac1與a1b所成角的余弦值為_.,解析方法一令m為ac的中點(diǎn)，連接mb，ma1，由題意知abc是等邊三角形，所以bmac，同理，a1mac，因?yàn)槠矫鎍1acc1平面abc，平面a1acc1平面abcac，bm平面abc，所以bm平面a1acc1，因?yàn)閍1m平面a1acc1，所以bma1m，,方法二如圖，在平面abc，平面a1b1c1中分別取點(diǎn)d，d1，連接bd，cd，b1d1，c1d1，使得四邊形abdc，a1b1d1c1為平行四邊形，連接dd1，bd1，則abc1d1，且abc1d1，所以ac1bd1，故a1bd1或其補(bǔ)角為異面直線ac1與a1b所成的角.連接a1d1，過點(diǎn)a1作a1mac于點(diǎn)m，連接bm，,因?yàn)槠矫鎍1acc1平面abc，平面a1acc1平面abcac，a1m平面a1acc1，所以a1m平面abc，又bm平面abc，,(1)求異面直線所成角的思路：選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系.求出兩直線的方向向量v1，v2.,思維升華,siweishenghua,(2)兩異面直線所成角的關(guān)注點(diǎn)：兩異面直線所成角的范圍是兩向量的夾角的范圍是0，當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角.,跟蹤訓(xùn)練1(2019龍巖月考)若正四棱柱abcda1b1c1d1的體積為ab1，則直線ab1與cd1所成的角為a.30b.45c.60d.90,以d為原點(diǎn)，da所在直線為x軸，dc所在直線為y軸，dd1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，,設(shè)直線ab1與cd1所成的角為，,又090，60，直線ab1與cd1所成的角為60.故選c.,命題點(diǎn)2求線面角例2(2018浙江)如圖，已知多面體abca1b1c1，a1a，b1b，c1c均垂直于平面abc，abc120，a1a4，c1c1，abbcb1b2.(1)證明：ab1平面a1b1c1；,證明方法一由ab2，aa14，bb12，aa1ab，bb1ab，,故ab1a1b1.由bc2，bb12，cc11，bb1bc，cc1bc，,故ab1b1c1.又因?yàn)閍1b1b1c1b1，a1b1，b1c1平面a1b1c1，所以ab1平面a1b1c1.,方法二如圖，以ac的中點(diǎn)o為原點(diǎn)，分別以射線ob，oc為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：,又a1b1a1c1a1，a1b1，a1c1平面a1b1c1，所以ab1平面a1b1c1.,(2)求直線ac1與平面abb1所成的角的正弦值.,解方法一如圖，過點(diǎn)c1作c1da1b1，交直線a1b1于點(diǎn)d，連接ad.由ab1平面a1b1c1，得平面a1b1c1平面abb1.由c1da1b1，平面a1b1c1平面abb1a1b1，c1d平面a1b1c1，得c1d平面abb1.所以c1ad即為ac1與平面abb1所成的角.,方法二設(shè)直線ac1與平面abb1所成的角為.,設(shè)平面abb1的一個(gè)法向量為n(x，y，z).,(1)利用向量求直線與平面所成的角有兩個(gè)思路：分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角).通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.,思維升華,siweishenghua,跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知三棱柱abca1b1c1中，平面a1acc1平面abc，abc90，bac30，a1aa1cac，e，f分別是ac，a1b1的中點(diǎn).(1)證明：efbc；,證明方法一如圖，連接a1e，因?yàn)閍1aa1c，e是ac的中點(diǎn)，所以a1eac.又平面a1acc1平面abc，a1e平面a1acc1，平面a1acc1平面abcac，所以a1e平面abc，則a1ebc.又因?yàn)閍1fab，abc90，故bca1f，又a1e，a1f平面a1ef，a1ea1fa1，所以bc平面a1ef.又ef平面a1ef，因此efbc.,證明方法二連接a1e，因?yàn)閍1aa1c，e是ac的中點(diǎn)，所以a1eac.又平面a1acc1平面abc，a1e平面a1acc1，平面a1acc1平面abcac，所以a1e平面abc.如圖，以e為原點(diǎn)，分別以射線ec，ea1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.,(2)求直線ef與平面a1bc所成角的余弦值.,解方法一取bc的中點(diǎn)g，連接eg，gf，則egfa1是平行四邊形.由于a1e平面abc，故a1eeg，所以平行四邊形egfa1為矩形.連接a1g交ef于o，由(1)得bc平面egfa1，則平面a1bc平面egfa1，所以ef在平面a1bc上的射影在直線a1g上.則eog是直線ef與平面a1bc所成的角(或其補(bǔ)角).,解方法二設(shè)直線ef與平面a1bc所成角為.,設(shè)平面a1bc的法向量為n(x，y，z).,命題點(diǎn)3求二面角例3如圖，在四棱錐abcde中，平面bcde平面abc，beec，bc2，ab4，abc60.(1)求證：be平面ace；,所以ac2bc2ab2，所以acbc.又因?yàn)槠矫鎎cde平面abc，平面bcde平面abcbc，ac平面abc，所以ac平面bcde.又be平面bcde，所以acbe.又beec，ac，ce平面ace，且accec，所以be平面ace.,(2)若直線ce與平面abc所成的角為45，求二面角eabc的余弦值.,解方法一因?yàn)橹本€ce與平面abc所成的角為45，平面bcde平面abc，平面bcde平面abcbc，所以bce45，所以ebc為等腰直角三角形.取bc的中點(diǎn)f，連接ef，過點(diǎn)f作fgab于點(diǎn)g，連接eg，則egf為二面角eabc的平面角.,方法二因?yàn)橹本€ce與平面abc所成的角為45，平面bcde平面abc，平面bcde平面abcbc，所以bce45，所以ebc為等腰直角三角形.記bc的中點(diǎn)為o，連接oe，則oe平面abc，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ob，oe所在直線為x軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,設(shè)平面abe的法向量m(x，y，z)，,易知二面角eabc為銳角，,(1)求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.(2)利用向量法求二面角的大小的關(guān)鍵是確定平面的法向量，求法向量的方法主要有兩種：求平面的垂線的方向向量.利用法向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積為零，列方程組求解.,思維升華,siweishenghua,跟蹤訓(xùn)練3(2020湖北宜昌一中模擬)如圖，在四棱錐pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，addcap2，ab1，點(diǎn)e為棱pc的中點(diǎn).(1)證明：bepd；,解依題意，以點(diǎn)a為原點(diǎn)，以ab，ad，ap為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，可得b(1,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2).由e為棱pc的中點(diǎn)，得e(1,1,1).,(2)若f為棱pc上一點(diǎn)，滿足bfac，求二面角fabd的余弦值.,不妨令z1，可得n1(0,3，1)為平面fab的一個(gè)法向量，取平面abd的法向量n2(0,0,1)，,又因?yàn)槎娼莊abd為銳二面角，,例4(2019淄博模擬)已知正方形的邊長為4，e，f分別為ad，bc的中點(diǎn)，以ef為棱將正方形abcd折成如圖所示的60的二面角，點(diǎn)m在線段ab上.(1)若m為ab的中點(diǎn)，且直線mf與由a，d，e三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為o，試確定點(diǎn)o的位置，并證明直線od平面emc；,立體幾何中的探索性問題,題型二,師生共研,解因?yàn)橹本€mf平面abfe，故點(diǎn)o在平面abfe內(nèi)也在平面ade內(nèi)，所以點(diǎn)o在平面abfe與平面ade的交線上(如圖所示)，因?yàn)閍obf，m為ab的中點(diǎn)，所以oamfbm，所以ommf，aobf，所以點(diǎn)o在ea的延長線上，且ao2，連接df交ec于n，因?yàn)樗倪呅蝐def為矩形，所以n是ec的中點(diǎn)，連接mn，因?yàn)閙n為dof的中位線，所以mnod，又因?yàn)閙n平面emc，od平面emc，所以直線od平面emc.,(2)是否存在點(diǎn)m，使得直線de與平面emc所成的角為60；若存在，求此時(shí)二面角mecf的余弦值，若不存在，說明理由.,解由已知可得，efae，efde，aedee，所以ef平面ade，所以平面abfe平面ade，取ae的中點(diǎn)h為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ah，dh所在直線分別為x軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,設(shè)平面emc的法向量m(x，y，z)，,因?yàn)閐e與平面emc所成的角為60，,解得t1或t3，所以存在點(diǎn)m，使得直線de與平面emc所成的角為60，,取ed的中點(diǎn)q，因?yàn)閑f平面ade，aq平面ade，所以aqef，又因?yàn)閍qde，deefe，de，ef平面cef，,設(shè)二面角mecf的大小為，,因?yàn)楫?dāng)t2時(shí)，cos0，平面emc平面cdef，,(1)對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè).(2)平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.一般地，翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.,思維升華,siweishenghua,跟蹤訓(xùn)練4(2019天津市南開區(qū)南開中學(xué)月考)如圖1，在邊長為2的菱形abcd中，bad60，deab于點(diǎn)e，將ade沿de折起到a1de的位置，使a1dbe，如圖2.,(1)求證：a1e平面bcde；,證明因?yàn)閍1dbe，debe，a1dded，a1d，de平面a1de，所以be平面a1de，因?yàn)閍1e平面a1de，所以a1ebe，又因?yàn)閍1ede，bedee，be，de平面bcde，所以a1e平面bcde.,(2)求二面角ea1db的余弦值；,解以e為原點(diǎn)，分別以eb，ed，ea1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，,設(shè)平面a1bd的法向量n(x，y，z)，,因?yàn)閎e平面a1de，,因?yàn)樗蠖娼菫殇J角，,(3)在線段bd上是否存在點(diǎn)p，使平面a1ep平面a1bd？若存在，求的值；若不存在，說明理由.,解假設(shè)在線段bd上存在一點(diǎn)p，使得平面a1ep平面a1bd，,設(shè)平面a1ep的法向量m(x1，y1，z1)，,因?yàn)槠矫鎍1ep平面a1bd，,例(12分)(2019全國)如圖，直四棱柱abcda1b1c1d1的底面是菱形，aa14，ab2，bad60，e，m，n分別是bc，bb1，a1d的中點(diǎn).(1)證明：mn平面c1de；(2)求二面角ama1n的正弦值.,利用空間向量求解空間角,答題模板,規(guī)范解答(1)證明連接b1c，me.因?yàn)閙，e分別為bb1，bc的中點(diǎn)，,由題設(shè)知a1b1dc且a1b1dc，可得b1ca1d且b1ca1d，故mend且mend，因此四邊形mnde為平行四邊形，3分所以mned.4分又mn平面c1de，ed平面c1de，5分所以mn平面c1de.6分,可取n(2,0，1).10分,利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo)；第三步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)，并轉(zhuǎn)化為所求角.,答題模板,datimuban,1.(2019大連模擬)如圖，在三棱柱abca1b1c1中，abc和aa1c均是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)o為ac中點(diǎn)，平面aa1c1c平面abc.(1)證明：a1o平面abc；,基礎(chǔ)保分練,1,2,3,4,5,課時(shí)精練,證明aa1a1c，且o為ac的中點(diǎn)，a1oac，又平面aa1c1c平面abc，平面aa1c1c平面abcac，a1o平面aa1c1c，a1o平面abc.,(2)求直線ab與平面a1bc1所成角的正弦值.,1,2,3,4,5,解如圖，以o為原點(diǎn)，ob，oc，oa1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.,1,2,3,4,5,設(shè)平面a1bc1的法向量為n(x，y，z)，,平面a1bc1的一個(gè)法向量為n(1,0,1)，設(shè)直線ab與平面a1bc1所成的角為，,1,2,3,4,5,2.如圖1，在abc中，bc3，ac6，c90，且debc，將ade沿de折起到a1de的位置，使a1dcd，如圖2.(1)求證：bc平面a1dc；,1,2,3,4,5,證明dea1d，debc，bca1d，又bccd，a1dcdd，a1d，cd平面a1cd，bc平面a1dc，,(2)若cd2，求be與平面a1bc所成角的正弦值.,1,2,3,4,5,在直角梯形cdeb中，過e作efbc，ef2，bf1，bc3，b(3,0，2)，e(2,0,0)，c(0,0，2)，a1(0,4,0)，,設(shè)平面a1bc的法向量為m(x，y，z)，,令y1，m(0,1，2)，設(shè)be與平面a1bc所成角為，,1,2,3,4,5,(1)求證：平面pac平面abc；,1,2,3,4,5,證明取ac的中點(diǎn)o，連接po，bo得到pbo.四邊形abcd是菱形，papc，poac.dc5，ac6，oc3，poob4，,poob.obaco，ob，ac平面abc，po平面abc.po平面pac，平面pac平面abc.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解abbc，boac.易知ob，oc，op兩兩垂直.以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，ob，oc，op所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則b(4,0,0)，c(0,3,0)，p(0,0,4)，a(0，3,0).設(shè)點(diǎn)q(x，y，z).,設(shè)n1(x1，y1，z1)為平面bcq的法向量.,1,2,3,4,5,取平面abc的一個(gè)法向量n2(0,0,1).,由圖可知二面角qbca為銳角，,1,2,3,4,5,(1)若點(diǎn)e為pd上的點(diǎn)，且pb平面eac，試確定e點(diǎn)的位置；,1,2,3,4,5,技能提升練,解設(shè)bd交ac于點(diǎn)o，連接oe，pb平面aec，平面aec平面bdpoe，pboe.又o為bd的中點(diǎn)，e為pd的中點(diǎn).,(2)在(1)的條件下，在線段pa上是否存在點(diǎn)f，使平面aec和平面bdf所成的銳二面角的余弦值為若存在，求線段pf的長度，若不存在，請說明理由.,1,2,3,4,5,解連接op，由題意知po平面abcd