第1課時導數(shù)與不等式證明不等式命題點1構(gòu)造函數(shù)法例1(2020贛州模擬)已知函數(shù)f(x)1，g(x)bx，若曲線yf(x)與曲線yg(x)的一個公共點是a(1,1)，且在點a處的切線互相垂直.(1)求a，b的值；(2)證明：當x1時，f(x)g(x).(1)解因為f(x)1，x0，所以f(x)，f(1)1.因為g(x)bx，所以g(x)b.因為曲線yf(x)與曲線yg(x)的一個公共點是a(1,1)，且在點a處的切線互相垂直，所以g(1)1，且f(1)g(1)1，所以g(1)a1b1，g(1)a1b1，解得a1，b1.(2)證明由(1)知，g(x)x，則f(x)g(x)1x0.令h(x)1x(x1)，則h(1)0，h(x)11.因為x1，所以h(x)10，所以h(x)在1，)上單調(diào)遞增，所以當x1時，h(x)h(1)0，即1x0，所以當x1時，f(x)g(x).命題點2分拆函數(shù)法例2(2019福州期末)已知函數(shù)f(x)eln xax(ar).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當ae時，證明：xf(x)ex2ex0.(1)解f(x)a(x0).若a0，則f(x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；若a0，則當0x0，當x時，f(x)0，所以只需證f(x)2e，當ae時，由(1)知，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減.所以f(x)maxf(1)e，記g(x)2e(x0)，則g(x)，所以當0x1時，g(x)1時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)ming(1)e，綜上，當x0時，f(x)g(x)，即f(x)2e，即xf(x)ex2ex0.思維升華(1)利用導數(shù)證明不等式的基本思路是依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，然后由f(x)f(x)max或f(x)f(x)min證得不等式.(2)證明f(x)g(x)，可以構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后利用h(x)的最值證明不等式.(3)若直接求導比較復雜或無從下手時，可將待證式進行變形分拆，構(gòu)造兩個函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達到證明的目的.跟蹤訓練1(1)設函數(shù)f(x)ln xx1.討論f(x)的單調(diào)性；證明：當x(1，)時，1x.解由題設知，f(x)的定義域為(0，)，f(x)1，令f(x)0，解得x1.當0x0，f(x)單調(diào)遞增；當x1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減.證明由知，f(x)在x1處取得極大值也為最大值，最大值為f(1)0.所以當x1時，ln xx1.故當x(1，)時，ln xx1，ln1，即11.證明函數(shù)f(x)的定義域為(0，).f(x)1等價于xln xxex.設函數(shù)g(x)xln x，則g(x)1ln x，所以當x時，g(x)0.故g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，)上的最小值為g.設函數(shù)h(x)xex，則h(x)ex(1x)，所以當x(0,1)時，h(x)0；當x(1，)時，h(x)0時，g(x)h(x)，即f(x)1.不等式恒成立或有解問題例3已知函數(shù)f(x).(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上存在極值，求正實數(shù)a的取值范圍；(2)如果當x1時，不等式f(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.解(1)函數(shù)的定義域為(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.當x(0,1)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當x(1，)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減.所以x1為函數(shù)f(x)的極大值點，且是唯一極值點，所以0a1a，故a0，所以g(x)為單調(diào)增函數(shù)，所以g(x)g(1)2，故k2，即實數(shù)k的取值范圍是(，2.本例中(2)若改為：x1，e，使不等式f(x)成立，求實數(shù)k的取值范圍.解當x1，e時，k有解，令g(x)(x1，e)，由本例(2)解題知，g(x)為單調(diào)增函數(shù)，所以g(x)maxg(e)2，所以k2，即實數(shù)k的取值范圍是.思維升華利用導數(shù)解決不等式的恒成立或有解問題的策略(1)構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出最值，進而求出參數(shù)的取值范圍.(2)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)ex1xax2.(1)當a0時，求證：f(x)0；(2)當x0時，若不等式f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.(1)證明當a0時，f(x)ex1x，f(x)ex1.當x(，0)時，f(x)0.故f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(0)0，f(x)0.(2)解f(x)ex12ax，令h(x)ex12ax，則h(x)ex2a.當2a1，即a時，在0，)上，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增，h(x)h(0)，即f(x)f(0)0，f(x)在0，)上為增函數(shù)，f(x)f(0)0，當a時滿足條件.當2a1，即a時，令h(x)0，解得xln(2a)，在0，ln(2a)上，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減，當x(0，ln(2a)時，有h(x)h(0)0，即f(x)f(0)0，f(x)在區(qū)間(0，ln(2a)上為減函數(shù)，f(x)2.證明設f(x)exln x(x0)，則f(x)ex.令h(x)f(x)，則h(x)ex0，f(x)在(0，)上是增函數(shù)，又f20，在上存在x0使f(x0)0，即x0ln x0.在(0，x0)上f(x)單調(diào)遞減，在(x0，)上f(x)單調(diào)遞增，f(x)在xx0處有極小值，也是最小值.f(x0)ln x0x02，故f(x)2，即exln x2.二、分離ln x與ex例2(2019長沙三校統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)ax2xln x.(1)若函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若ae，證明：當x0時，f(x)0時，f(x)0，即2a恒成立.令g(x)(x0)，則g(x)，易知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，則g(x)maxg(1)1，所以2a1，即a.故實數(shù)a的取值范圍是.(2)證明若ae，要證f(x)xex，只需證exln xex，即exex0)，則h(x)，易知h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則h(x)minh0，所以ln x0.再令(x)exex，則(x)eex，易知(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，則(x)max(1)0，所以exex0.因為h(x)與(x)不同時為0，所以exex0恒成立，求整數(shù)a的最大值.解(1)f(x)ex，因為函數(shù)f(x)的圖象與直線yx1相切，所以令f(x)1，即ex1，得x0，即f(0)1，解得a2.(2)先證明exx1，設f(x)exx1，則f(x)ex1，令f(x)0，則x0，當x(0，)時，f(x)0，當x(，0)時，f(x)ln x，當a2時，ln x0恒成立.當a3時，存在x1，使exaln x不恒成立.綜上，整數(shù)a的最大值為2.1.已知函數(shù)f(x)ln xx，g(x)xex1，求證：f(x)g(x).證明令f(x)f(x)g(x)ln xxxex1(x0)，則f(x)1exxex(x1)ex(x1).令g(x)ex，可知g(x)在(0，)上為減函數(shù)，且g20，g(1)1e0，f(x)0，f(x)為增函數(shù)；當x(x0，)時，g(x)0，f(x)ln 21且x0時，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xr，得f(x)ex2，xr，令f(x)0，得xln 2.于是當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)2(1ln 2a)故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，).f(x)在xln 2處取得極小值，極小值f(ln 2)2(1ln 2a).無極大值.(2)證明設g(x)exx22ax1，xr.于是g(x)ex2x2a，xr.由(1)知當aln 21時，g(x)的最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是對任意xr，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在r內(nèi)單調(diào)遞增.于是當aln 21時，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0).又g(0)0，從而對任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.3.(2017全國)已知函數(shù)f(x)ln xax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當a0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.若a0；當x時，f(x)0.故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)證明由(1)知，當a0；當x(1，)時，g(x)0時，g(x)0.從而當a0且x1時，求證：f(x).(1)解函數(shù)f(x)aln x的導數(shù)為f(x)，x0，由曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為y2，可得f(1)2b2，f(1)ab0，解得ab1.(2)證明由(1)知f(x)ln x1，x0，當x1時，f(x)，即為ln x1ln x，即x2ln x0.當0x，即為x2ln x0，g(x)10，可得g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，當x1時，g(x)g(1)0，即有f(x).當0x1時，g(x).綜上可得，當x0且x1時，f(x)恒成立.5.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當x0時，f(x)2ex，若存在實數(shù)m，對任意的x1，k(k1)，都有f(xm)2ex，求整數(shù)k的最小值.解因為f(x)為偶函數(shù)，且當x0時，f(x)2ex，所以f(x)2e|x|，對于x1，k，由f(xm)2ex得2e|xm|2ex，兩邊取以e為底的對數(shù)得|