上海市奉賢區(qū)奉賢中學(xué)2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、填空題（54分）1.設(shè)集合，若，則的所有可能的取值構(gòu)成的集合是_；【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系可確定可能的取值，從而得到結(jié)果.【詳解】由得：或或所有可能的取值構(gòu)成的集合為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)集合的包含關(guān)系求解參數(shù)值的問題，屬于基礎(chǔ)題.2.若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為：，解得：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3.在長(zhǎng)方體中，二面角的大小是_（用反三角表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)二面角平面角的定義可知為二面角的平面角，在直角三角形中表示出，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】由長(zhǎng)方體特點(diǎn)可知：平面又平面，平面 ，即為二面角的平面角又， 即二面角的大小為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查二面角的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)二面角平面角的定義確定平面角，將平面角放到直角三角形中來進(jìn)行求解.4.如圖為某幾何體的三視圖，則其側(cè)面積為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)三視圖可知幾何體為圓錐，利用底面半徑和高可求得母線長(zhǎng)；根據(jù)圓錐側(cè)面積公式可直接求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，幾何體為底面半徑為，高為的圓錐圓錐的母線長(zhǎng)為：圓錐的側(cè)面積：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)三視圖準(zhǔn)確還原幾何體，考查學(xué)生對(duì)于圓錐側(cè)面積公式的掌握情況.5.已知球o的半徑為r，點(diǎn)a在東經(jīng)120和北緯60處，同經(jīng)度北緯15處有一點(diǎn)b，球面上a，b兩點(diǎn)的球面距離為_；【答案】；【解析】【分析】根據(jù)緯度差可確定，根據(jù)扇形弧長(zhǎng)公式可求得所求距離.【詳解】在北緯，在北緯，且均位于東經(jīng) 兩點(diǎn)的球面距離為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查球面距離的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過緯度確定扇形圓心角的大小，屬于基礎(chǔ)題.6.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是_；【答案】；【解析】【分析】令，可將化為，根據(jù)三角函數(shù)值域可求得結(jié)果.【詳解】 可令， 本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用三角換元的方式求解取值范圍的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域的求解.7.在四棱錐中，設(shè)向量，則頂點(diǎn)到底面的距離為_【答案】2；【解析】【分析】根據(jù)法向量的求法求得平面的法向量，利用點(diǎn)到面的距離的向量求解公式直接求得結(jié)果.【詳解】設(shè)平面的法向量則，令，則， 點(diǎn)到底面的距離：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到面的距離的向量求法，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求解出平面的法向量，考查學(xué)生對(duì)于點(diǎn)到面距離公式掌握的熟練程度.8.除以9的余數(shù)為_；【答案】【解析】【分析】將變?yōu)?，利用二?xiàng)式定理展開可知余數(shù)因不含因數(shù)的項(xiàng)而產(chǎn)生，從而可知余數(shù)為.【詳解】由題意得：除以的余數(shù)為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查余數(shù)問題的求解，考查學(xué)生對(duì)于二項(xiàng)式定理的掌握情況，關(guān)鍵是能夠配湊出除數(shù)的形式，屬于常考題型.9.如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為4，記，若，則此棱柱的體積為_【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出直四棱柱的高h(yuǎn)，求出的坐標(biāo)，由數(shù)量積為0求得h，則棱柱的體積可求【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，又，則，即此棱柱的體積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查棱柱體積的求法，考查利用空間向量解決線線垂直問題，是中檔題10.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則在上的投影的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)不等式組畫出可行域，可知；根據(jù)向量投影公式可知所求投影為，利用的范圍可求得的范圍，代入求得所求的結(jié)果.【詳解】由不等式組可得可行域如下圖陰影部分所示：由題意可知：，在上的投影為： 本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中的求解取值范圍類問題，涉及到平面向量投影公式的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠根據(jù)可行域確定向量夾角的取值范圍，從而利用三角函數(shù)知識(shí)來求解.11.正方體的邊長(zhǎng)為，p是正方體表面上任意一點(diǎn)，集合，滿足的點(diǎn)p在正方體表面覆蓋的面積為_；【答案】【解析】【分析】分別在六個(gè)側(cè)面上找到滿足到點(diǎn)的距離小于等于的點(diǎn)的集合，可大致分為兩類；從而確定滿足集合的點(diǎn)構(gòu)成的圖形，通過計(jì)算圖形面積加和得到結(jié)果.【詳解】在正方形、上，滿足集合的點(diǎn)構(gòu)成下圖的陰影部分：在側(cè)面、覆蓋的面積：在正方形、上，滿足集合的點(diǎn)構(gòu)成下圖的陰影部分：在側(cè)面、覆蓋的面積：滿足的點(diǎn)在正方體表面覆蓋的面積為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的距離類問題的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過給定集合的含義，確定在正方體側(cè)面上滿足題意的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形，對(duì)于學(xué)生的空間想象能力有一定要求.12.已知圓，圓，直線分別過圓心，且與圓相交于兩點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為_；【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓和橢圓的參數(shù)方程可假設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)共線、共線可得坐標(biāo)；寫出向量后，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算法則可求得，從而可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，代入求得結(jié)果.【詳解】由題意可設(shè)：，則，同理可得：當(dāng)時(shí)，本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用圓和橢圓的參數(shù)方程的形式，表示出所需的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值的求解問題.二、選擇題（20分）13.為直線，為平面，則下列命題中為真命題的是（ ）a. 若，則b. 則，則c. 若，則d. 則，則【答案】b【解析】【分析】根據(jù)空間中平面和直線平行和垂直的位置關(guān)系可依次通過反例排除，從而得到結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)：若，則與未必平行，錯(cuò)誤選項(xiàng)：垂直于同一平面的兩條直線互相平行，正確選項(xiàng)：垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能相交也可能平行，錯(cuò)誤選項(xiàng)：可能與平行或相交，錯(cuò)誤本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的相關(guān)命題的判定，通常通過反例，采用排除法的方式來得到結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.14.魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作九章算術(shù)注中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，劉徽通過計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為：若正方體的棱長(zhǎng)為2，則“牟合方蓋”的體積為a. 16b. c. d. 【答案】c【解析】分析】由已知求出正方體內(nèi)切球的體積，再由已知體積比求得“牟合方蓋”的體積【詳解】正方體的棱長(zhǎng)為2，則其內(nèi)切球的半徑，正方體的內(nèi)切球的體積，又由已知，故選：c【點(diǎn)睛】本題考查球體積的求法，理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題15.“”是“的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)”的（ ）a. 充分非必要條件b. 必要非充分條件c. 充要條件d. 非充分非必要條件【答案】a【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可知當(dāng)時(shí)，只需即可得到常數(shù)項(xiàng)，可知充分條件成立；當(dāng)時(shí)，展開式均含有常數(shù)項(xiàng)，可知必要條件不成立，從而得到結(jié)果.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為：當(dāng)時(shí)，通項(xiàng)公式為：令，解得：，此時(shí)為展開式的常數(shù)項(xiàng)，可知充分條件成立令，解得：當(dāng)時(shí)，展開式均含有常數(shù)項(xiàng)，可知必要條件不成立“”是“的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)”的充分不必要條件本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判定，涉及到二項(xiàng)式定理的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠熟練掌握二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式的形式，進(jìn)而確定當(dāng)冪指數(shù)為零時(shí)所需要的條件，從而確定是否含有常數(shù)項(xiàng).16.對(duì)于平面上點(diǎn)和曲線，任取上一點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)度存在最小值，則稱該值為點(diǎn)到曲線的距離，記作，若曲線是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)可畫出滿足題意的點(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域；分別求解區(qū)域各個(gè)構(gòu)成部分的面積，加和得到結(jié)果.【詳解】由定義可知，若曲線為邊長(zhǎng)為等邊三角形，則滿足題意的點(diǎn)構(gòu)成如下圖所示的陰影區(qū)域其中， ， 又 又陰影區(qū)域面積為：即點(diǎn)集所表示的圖形的面積為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)定義，找到距離等邊三角形三邊和頂點(diǎn)的最小距離小于等于的點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略三角形內(nèi)部的點(diǎn)，造成區(qū)域缺失的情況.三、解答題（76分）：17.如圖，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面，（1）求直線與直線所成的角的大??；（2）求四棱錐的側(cè)面積；【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)可知所求角為；利用線面垂直性質(zhì)可知，結(jié)合，利用線面垂直判定可證得平面，進(jìn)而得到；利用直角三角形的關(guān)系可求得所求角的正切值，進(jìn)而得到所求角；（2）利用線面垂直的性質(zhì)和判定易得四棱錐的四個(gè)側(cè)面均為直角三角形，分別求得每個(gè)側(cè)面面積，加和得到結(jié)果.【詳解】（1）四邊形是正方形 直線與直線所成角即為直線與直線所成角，即底面，平面 ，又，平面，平面，又平面 ，又 ，即直線與直線所成角為：（2）由（1）知：，底面，平面 ，又，平面 平面平面 四棱錐的側(cè)面積為：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求解、棱錐側(cè)面積的求解問題；關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)，考查基礎(chǔ)計(jì)算能力.18.已知集合，（1）求；（2）若集合，求的取值范圍；【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分別求解出集合和集合，根據(jù)交集的定義求得結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，由（1）可知，從而得到關(guān)于的不等式，解不等式求得結(jié)果.【詳解】；（1）（2），即又時(shí)， 或或即的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算、求解集合中參數(shù)取值范圍的問題；關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求解出兩個(gè)集合；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略兩個(gè)集合均為數(shù)集的特點(diǎn)，誤認(rèn)為兩集合元素不一致，導(dǎo)致求解錯(cuò)誤.19.某校從參加高二年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的物理成績(jī)（成績(jī)均為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段，后畫出如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求出物理成績(jī)低于50分的學(xué)生人數(shù)；（2）估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率（60分以上為及格）；（3）從物理成績(jī)不及格學(xué)生中選x人，其中恰有一位成績(jī)不低于50分的概率為，求此時(shí)x的值；【答案】（1）6；（2）75%；（3）4；【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖可求得物理成績(jī)低于分的頻率，利用頻率乘以總數(shù)可得所求頻數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可計(jì)算得到物理成績(jī)不低于分的頻率，從而得到及格率；（3）計(jì)算出成績(jī)不低于分的人數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式可列出關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】（1）物理成績(jī)低于分的頻率為：物理成績(jī)低于分的學(xué)生人數(shù)為：人（2）物理成績(jī)不低于分的頻率為：這次考試物理學(xué)科及格率為：（3）物理成績(jī)不及格的學(xué)生共有：人其中成績(jī)不低于分的有：人由題意可知：，解得：【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖計(jì)算頻數(shù)、根據(jù)樣本數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體數(shù)據(jù)特征、古典概型概率的應(yīng)用問題；關(guān)鍵是熟練掌握頻率分布直方圖的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，考查概率和統(tǒng)計(jì)知識(shí)的綜合應(yīng)用.20.已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)在橢圓上，過該橢圓上任意一點(diǎn)p作軸，垂足為q，點(diǎn)c在的延長(zhǎng)線上，且（1）求橢圓的方程；（2）求動(dòng)點(diǎn)c的軌跡e的方程；（3）設(shè)直線（c點(diǎn)不同a、b）與直線交于r，d為線段的中點(diǎn)，證明：直線與曲線e相切；【答案】（1）；（2）；（3）證明略；【解析】【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可知，將代入橢圓方程可求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)，可得到，將代入橢圓方程即可得到所求的軌跡方程；（3）設(shè)，可得直線方程，進(jìn)而求得和點(diǎn)坐標(biāo)；利用向量坐標(biāo)運(yùn)算可求得，從而證得結(jié)論.詳解】（1）由題意可知：將代入橢圓方程可得：，解得：橢圓的方程為：（2）設(shè)，由軸，可得：，即 將代入橢圓方程得：動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：（3）設(shè)，則直線方程為：令，解得： ，即直線與曲線相切【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓、直線與圓的綜合應(yīng)用問題，涉及到橢圓方程的求解、動(dòng)點(diǎn)軌跡的求解問題、直線與圓位置關(guān)系的證明等知識(shí)；求解動(dòng)點(diǎn)軌跡的常用方法是利用動(dòng)點(diǎn)表示出已知曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而代入已知曲線方程整理可得動(dòng)點(diǎn)軌跡.21.如圖所示，某地出土的一種“釘”是由四條線段組成，其結(jié)構(gòu)能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上并記組成該“釘”的四條等長(zhǎng)的線段公共點(diǎn)為，釘尖為（1）判斷四面體的形狀，并說明理由；（2）設(shè)，當(dāng)在同一水平面內(nèi)時(shí)，求與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（3）若該“釘”著地后的四個(gè)線段根據(jù)需要可以調(diào)節(jié)與底面成角的大小，且保持三個(gè)線段與底面成角相同，若，問為何值時(shí)，的體積最大，并求出最大值【答案】（1）正四面體；理由見解析（2）；（3）當(dāng)時(shí)，最大體積為：；【解析】【分析】（1）根據(jù)線段等長(zhǎng)首先確定為四面體外接球球心；又底面，可知為正三棱錐；依次以為頂點(diǎn)均有正三棱錐結(jié)論出現(xiàn)，可知四面體棱長(zhǎng)均相等，可知其為正四面體；（2）由為四面體外接球球心及底面可得到即為所求角；設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為，利用表示出各邊，利用勾股定理構(gòu)造方程可求得，從而可求得，進(jìn)而得到結(jié)果；（3）取中點(diǎn)，利用三線合一性質(zhì)可知，從而可用表示出底面邊長(zhǎng)和三棱錐的高，根據(jù)三棱錐體積公式可將體積表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，并確定此時(shí)的取值，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）四面體為正四面體，理由如下：四條線段等長(zhǎng)，即到四面體四個(gè)頂點(diǎn)距離相等 為四面體外接球的球心又底面 在底面的射影為的外心四面體為正三棱錐，即，又任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上，若豎直向上可得：可知四面體各條棱長(zhǎng)均相等 為正四面體（2）由（1）知，四面體為正四面體，且為其