江蘇省無錫市天一中學2018-2019學年高一數(shù)學下學期期中試題（平行班，含解析）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共計70分.不需寫出解答過程， 請把答案寫在答題紙的指定位置上）1.已知集合,則_.【答案】【解析】【分析】直接進行交集的運算即可【詳解】解：a2，3，4，b3，5；ab3故答案為：3【點睛】考查列舉法的定義以及交集的運算，屬于基礎題.2.在極坐標系中，點到直線的距離為_.【答案】【解析】【分析】把點的極坐標化為直角坐標，把直線的極坐標方程化為直角坐標方程，利用點到直線的距離公式求出a到直線的距離【詳解】解：點a（2，）的直角坐標為（0，2），直線（cos+sin）6的直角坐標方程為 x+y60，利用點到直線的距離公式可得，點a（2，）到直線（cos+sin）6的距離為 ，故答案為 .【點睛】本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題3.若“”是“”的必要不充分條件，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由題，“”是“”的必要不充分條件，則是的真子集，可得答案.【詳解】因為“”是“”的必要不充分條件，所以是的真子集，所以，故答案為.【點睛】本題考查了不要不充分條件，屬于基礎題.4.函數(shù)在點處切線的斜率為_【答案】【解析】【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，計算得，即可得到切線的斜率【詳解】由題意，函數(shù)，則，所以，即切線的斜率為，故答案為：【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)求解曲線在某點處的切線的斜率，其中解答中熟記導數(shù)的幾何意義的應用，以及準確求解函數(shù)的導數(shù)是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題5.從2個男生、3個女生中隨機抽取2人，則抽中的2人不全是女生的概率是_.【答案】【解析】【分析】基本事件總數(shù)n10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件個數(shù)m7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率【詳解】解：從2個男生、3個女生中隨機抽取2人，基本事件總數(shù)n10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件個數(shù)m7，抽中的2人不全是女生的概率p故答案為：【點睛】本題考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題6.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后,得到函數(shù)的圖象，則的值是_.【答案】0【解析】【分析】利用函數(shù)yasin（x+）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再代入后可得g（）的值【詳解】解：將函數(shù)f（x）sin（2x+）的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)g（x）sin2（x）+cos2x的圖象，則g（）cos（2）0，故答案為：0【點睛】本題主要考查誘導公式的應用，函數(shù)yasin（x+）的圖象平移變換，屬于基礎題7.函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間為_.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)兩角和與差的公式化簡，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間可得【詳解】解：y2sin（x+），由+2kx+2k，kz得+2kx+2k，kz，又x0，x，故答案為：【點睛】本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了三角函數(shù)輔助角公式，屬中檔題8.己知函數(shù)是定義在r上的周期為2的奇函數(shù)，時，的值是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性與周期性分析可得f（）f（）f（），結合解析式求出f（）的值，又因為f（2019）f（1+21009）f（1）0；據(jù)此分析可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是定義在r上的周期為2的奇函數(shù)，則f（）f（）f（），f（2019）f（1+21009）f（1），又由函數(shù)f（x）是定義在r上的周期為2的奇函數(shù)，則有f（1）f（1）且f（1）f（1），故f（1）0，則f（2019）0，又由0xl時，f（x）4x，則f（）2，則f（）f（）2；則2；故答案為：2【點睛】本題考查函數(shù)的周期性與函數(shù)值的計算，屬于基礎題9.己知矩陣，若矩陣c滿足，則矩陣c所有特征值之和為_.【答案】5【解析】【分析】本題根據(jù)矩陣乘法運算解出矩陣c，再依據(jù)特征多項式求出特征值，即可得到所有特征值之和【詳解】解：由題意，可設c，則有即，解得cf（）（1）（4）+225+6（2）（3）0，特征值12，231+22+35故答案為：5【點睛】本題主要考查矩陣乘法運算及依據(jù)特征多項式求出特征值，本題不難，但有一定綜合性本題屬基礎題10.已知，則 的值是_.【答案】【解析】【分析】由sin（x+）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出cos2（x+）的值，將所求式子的第一項中的角變形為-（x+），第二項中的角變形為（x+），分別利用誘導公式化簡后，將各自的值代入即可求出值【詳解】解：sin（x+）， = = = = 故答案為：.【點睛】此題考查了運用誘導公式化簡求值，熟練掌握誘導公式，靈活變換角度是解本題的關鍵，屬于基礎題.11.已知函數(shù) ,若對任意,存在,，則實數(shù)的取值范圍為_.【答案】【解析】【分析】利用導數(shù)求函數(shù)f（x）在（1，1）上的最小值，把對任意x1（1，1），存在x2（3，4），f（x1）g（x2）轉(zhuǎn)化為g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1有解【詳解】解：由f（x）exx，得f（x）ex1，當x（1，0）時，f（x）0，當x（0，1）時，f（x）0，f（x）在（1，0）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增，f（x）minf（0）1對任意x1（1，1），存在x2（3，4），f（x1）g（x2），即g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1，函數(shù)g（x）x2bx+4的對稱軸為x當3，即b6時，g（x）在（3，4）上單調(diào)遞增，g（x）g（3）133b，由133b1，得b4，4b6；當4，即b8時，g（x）在（3，4）上單調(diào)遞減，g（x）g（4）204b，由204b1，得b，b8；當34，即6b8時，g（x）在（3，4）上先減后增，由1，解得或b，6b8綜上，實數(shù)b的取值范圍為4，+）故答案為：4，+）【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性以及最值的求法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應用，考查計算能力，是中檔題12.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是_【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示時，即，則，且，即的取值范圍是，故答案為.13.用長度分別為的四根木條圍成一個平面四邊形，則該平面四邊形面積的最大值是_.【答案】【解析】分析】在四邊形abcd中，設aba，bcb，cdc，dad，a+c2，利用余弦定理可得 sabcd2+（a2+d2b2c2）2（ad+bc）2abcdcos2（ad+bc）2，設a3，b4，c5，d6，代入計算可得所求最大值【詳解】在四邊形abcd中，設aba，bcb，cdc，dad，a+c2，由sabcdsbad+sbcdadsina+bcsinc，在abd中，bd2a2+d22adcosa，在bcd中，bd2b2+c22bccosc，所以有a2+d2b2c22adcosa2bccosc，（a2+d2b2c2）adcosabccosc，2+2可得sabcd2+（a2+d2b2c2）2（a2d2sin2a+b2c2sin2c+2abcdsinasinc）+（a2d2cos2a+b2c2cos2c2abcdcosacosc） a2d2+b2c22abcdcos（a+c） （ad+bc）22abcd2abcdcos2（ad+bc）2abcdcos2（ad+bc）2當90，即四邊形為圓內(nèi)接四邊形，此時cos0，sabcd取得最大值為由題意可設a3，b4，c5，d6則該平面四邊形面積的最大值為s6（cm2），故答案為：6【點睛】本題考查四邊形的面積的最值求法，運用三角形的面積公式和余弦定理，以及化簡變形，得到四邊形為圓內(nèi)接四邊形時面積取得最大值，是解題的關鍵，屬于難題14.在中，若，則的最大值為_.【答案】【解析】【分析】先由題得，再化簡得=，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出最大值.【詳解】在abc中，有,所以=,當即時取等.故答案為：【點睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)圖像和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解能力掌握水平.解題的關鍵是三角恒等變換.二、解答題（本大題共6小題，共計90分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15.（1）求直線在矩陣對應變換作用下的直線的方程；（2）在平面直角坐標系中，已知曲線以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，求曲線c與直線交點的極坐標.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設直線上任意一點，在矩陣m對應變換作用下的點，然后矩陣的變換列出關系式，代入原直線方程即可求出變換后的直線.（2）將曲線c和直線方程轉(zhuǎn)化為直角坐標系下直角坐標方程，求出交點坐標，然后再轉(zhuǎn)化為極坐標即可.【詳解】（1）設直線上任意一點，在矩陣m對應變換作用下的點則，所以，解得.因為點在直線上，所以，即，所以變換后的直線的方程為.（2）已知曲線（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為：， 直線的極坐標方程為轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為：.由，解得：或轉(zhuǎn)換為極坐標為.【點睛】本題考查矩陣變換公式和點的坐標變換，考查極坐標與直角坐標的互換，屬于基礎題.16.甲、乙兩位同學進入新華書店購買數(shù)學課外閱讀書籍，經(jīng)過篩選后，他們都對三種書籍有購買意向，已知甲同學購買書籍的概率分別為,乙同學購買書籍的概率分別為,假設甲、乙是否購買三種書籍相互獨立.（1）求甲同學購買3種書籍的概率；（2）設甲、乙同學購買2種書籍的人數(shù)為,求的概率分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）這是相互獨立事件，所以甲購買書籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件為甲購買兩本書和乙購買兩本書的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【詳解】（1）記“甲同學購買3種書籍”為事件a，則.答：甲同學購買3種書籍的概率為.（2）設甲、乙同學購買2種書籍的概率分別為，.則，所以，所以.，.所以x的概率分布為x012p.答：所求數(shù)學期望為.【點睛】本題考查相互獨立事件的概率，考查二項分布獨立重復事件的概率的求法，解題的關鍵是找出基本事件的概率，屬于中檔題.17.如圖，在直三棱柱中，分別是的中點，且.（1）求直線與所成角的大??；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：由已知有ac、bc、cc1兩兩互相垂直，故可分別以、所在直線為軸建立空間直角坐標系.然后由已知就可寫出所需各點的空間坐標（1）由此就可寫出向量的坐標，然后再由兩向量的夾角公式：求出這兩向量的夾角的余弦值，最后轉(zhuǎn)化為對應兩直線的夾角大??；只是應該注意兩直線的夾角的取值范圍是，而兩向量的夾角的取值范圍是；所以求出兩向量的夾角的余弦值后取絕對值才是兩直線的夾角的余弦值；（2）由中點坐標公式可求得點的坐標，進而就可寫出向量的坐標，再設平面的一個法向量為,由,就可求出平面的一個法向量，從而就可求得這兩向量夾角的余弦值，注意直線與平面所成的角的正弦值就等于直線的方向向量與平面法向量夾角的余弦值試題解析：解：分別以、所在直線為軸建立空間直角坐標系.則由題意可得：,又分別是的中點，,. 3分（1）因為，所以， 7分直線與所成角的大小為. 8分（2）設平面的一個法向量為,由,得,可取， 10分又，所以， 13分直線與平面所成角的正弦值為. 14分考點：異面直線所成的角；直線與平面所成的角18.在中，分別為角，所對的邊，且，.（）若，求的面積；（）若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（）（）【解析】【分析】（i）運用正弦的和公式，計算a角大小，結合余弦定理，計算出b，結合三角形面積計算公式，即可。（ii）運用正弦定理處理，即可?！驹斀狻拷猓海ǎ?，由正弦定理得，.由余弦定理得：，（負值舍去），.法二：由余弦定理得，由余弦定理得：，（負值舍去），.（）由正弦定理得：，.是銳角三角形，.【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等變換等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等，考查應用意識.19.某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，根據(jù)經(jīng)驗，其次品率與日產(chǎn)量 （萬件）之間滿足關系, （其中為常數(shù)，且，已知每生產(chǎn)1萬件合格的產(chǎn)品以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元（注:次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量， 如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件次品，其余為合格品）.（1）試將生產(chǎn)這種產(chǎn)品每天的盈利額 （萬元）表示為日產(chǎn)量 （萬件）的函數(shù)；（2）當日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤?【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【分析】（1）運用每天的贏利為p（x）日產(chǎn)量（x）正品率（1q）2日產(chǎn)量（x）次品率（q）1，整理即可得到p（x）與x的函數(shù)式；（2）當ax11時，求得p（x）的最大值；當1xa時，設12xt，利用基本不等式可得x9時，等號成立，故可分類討論得：當1a3時，當x11時，取得最大利潤； 3a9時，運用復合函數(shù)的單調(diào)性可得當xa時取得最大利潤；當9a11時，當日產(chǎn)量為9萬件時，取得最大利潤【詳解】（1）當時，.當時，.綜上，日盈利額（萬元）與日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關系式為，（其中a為常數(shù)，且）.（2）當時，其最大值為55萬元.當時，設，則，此時，顯然，當且僅當，即時，有最大值，為13.5萬元.令，得，解得（舍去）或，則（i）當時，日產(chǎn)量為11萬件時，可獲得最大利潤5.5萬元.（ii）當時，時，函數(shù)可看成是由函數(shù)與復合而成的.因為，所以，故在上為減函數(shù)又在上為減函數(shù)，所以在上為增函數(shù)故當日產(chǎn)量為a萬件時，可獲得最大利潤萬元.（iii）當時，日產(chǎn)量為9萬件時，可獲得最大利潤13.