第5章：范數(shù)理論及其應(yīng)用NormTheory4,5,6;7,8,9,矩陣范數(shù)的公理化定義Definition(P116):要點(diǎn)：1.正定性2.齊次性3.三角不等式4.相容性：（這是與向量范數(shù)不一樣的地方）,例Rnn上的幾種范數(shù),Remark上面矩陣范數(shù)都是向量范數(shù)的類推。,Remark上面矩陣范數(shù)都與相應(yīng)的向量范數(shù)相容。,例Rnn上的幾種范數(shù),5.2范數(shù)的應(yīng)用,Content：范數(shù)在特征值理論上的應(yīng)用；范數(shù)在數(shù)值計(jì)算上的應(yīng)用；范數(shù)在最小二乘解上的應(yīng)用,最小二乘解的問題(1):最小二乘解滿足的條件,Motivation若線性方程組Ax=b無解，則希望尋找一個最接近的解。,Solution定義誤差(cost)函數(shù)：使誤差最??！,Solution根據(jù)正交投影定理(P039)或者Laglange乘子法:在駐點(diǎn)處取得極值,線性方程組Ax=b的最小二乘解一定滿足,例求下面方程組的最小二乘解,最小二乘解的問題(2):最小二乘解的表示,利用廣義逆表示最小二乘解(P127,Theorem5.3.7)不相容線性方程Ax=b的全部最小二乘解為,Motivation最小二乘解如果有多個，那么代價(cost)最小的一個是什么？,最小二乘解的問題(3):極小范數(shù)的最小二乘解,Solution極小范數(shù)最小二乘解為(P128,Theorem5.3.8),例求下面方程組的最小二乘解,以及極小范數(shù)最小二乘解,第6章：矩陣分析及其應(yīng)用Ch6MatrixAnalysis&itsApplictions,6.2矩陣函數(shù)及其計(jì)算,1Definition(P142)是冪級數(shù)，收斂半徑為R。如果(A)R，則有意義。,定義，稱之為矩陣函數(shù),Remark一個函數(shù)可以寫成冪級數(shù)，則可以定義相應(yīng)的矩陣函數(shù),常見的矩陣函數(shù),含參數(shù)的的矩陣函數(shù),例題5、設(shè)A為反對稱矩陣，證明eA為正交矩陣。例題6設(shè)，討論lnA是否有意義,2.矩陣函數(shù)的計(jì)算,Purpose:計(jì)算,Idea:,Keystep:計(jì)算,SpectialCase:矩陣可對角化,例，計(jì)算eA和eAt。,2最小多項(xiàng)式方法,確定r()的依據(jù)：由在譜上等值確定r(),即f()與r()在特征值的各階導(dǎo)數(shù)相等,Remarkr()為待定函數(shù)，其次數(shù)比最小多項(xiàng)式低1次,f(A)=r(A),例(P147,Ex6.2.3)設(shè)，計(jì)算eA和eAt,例(P148,Ex6.2.4)設(shè)，計(jì)算sinA,sinAt,6.3矩陣函數(shù)的微積分,一、矩陣函數(shù)及其分析性質(zhì)矩陣函數(shù)：A（t）=aij（t）mn，分析性質(zhì)：A（t）連續(xù)、可微分、可積分aij（t）,連續(xù)可微分可積分,微分性質(zhì),例題1設(shè)，計(jì)算deAt/dt對任意方陣A，計(jì)算deAt/dt,6.4矩陣函數(shù)的應(yīng)用（求解常系數(shù)微分方程組）,1.微分方程組的一般形式X（t）=A（t）X（t）+f（t）X（t0）=C。,齊次：f（t）=0非齊次：f（t）0常系數(shù)：A（t）=A,2.一階線性常系數(shù)齊次微分方程組X（t）=AX（t）X（t0）=C。其解為：X（t）=eA（tt0）x（t