Ch5特征值問題與二次型,第一節(jié)二次型及其標(biāo)準形,一、二次型及其標(biāo)準形的概念,稱為二次型.,例如,都為二次型；而,為二次型的標(biāo)準形.,1用和號表示,對二次型,二、二次型的表示方法,2用矩陣表示,三、二次型的矩陣及秩,在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系,解,例,設(shè)有可逆線性變換,四、化二次型為標(biāo)準形的正交變換法,對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準形,說明：,用正交變換化二次型為標(biāo)準形的具體步驟：,1寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值,例4,從而得特征值,2求特征向量,3將特征向量正交化,得正交向量組,4將正交向量組單位化，得正交矩陣,于是所求正交變換為,說明：,思考題1,思考題1解答,五、化標(biāo)準形的拉格朗日配方法,用正交變換化二次型為標(biāo)準形，其特點是保持幾何形狀不變,問題有沒有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準形？,問題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法拉格朗日配方法,1.若二次型含有的平方項，則先把含有的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準形;,拉格朗日配方法的步驟,2.若二次型中不含有平方項，但是則先作可逆線性變換,化二次型為含有平方項的二次型，然后再按1中方法配方.,解,例7,所用的可逆變換矩陣為,例7,解,例8,由于所給二次型中無平方項，所以,再配方，得,所用的可逆變換矩陣為,思考題2,思考題2解答,四、用初等變換法,化二次型為標(biāo)準形,任一二次型f(x1,x2,xn),=XTAX(其中AT=A)，一定存在可逆線性替換X=,CY將其化為標(biāo)準形.,即存在可逆矩陣C，使CTAC,為對角矩陣.,在第一章，我們知道：可逆矩陣可寫,成若干個初等矩陣的乘積.,所以，存在初等矩陣,P1,P2,Ps,有,C=P1P2Ps,對于任一初等矩陣Pi(1is)，PiT仍為同種,初等矩陣.,所以,CTAC=PsTP2TP1TAP1P2Ps,為對角矩陣.,上式說明：對于實對稱矩陣A相繼施,以初等列變換，同時施以同種的初等行變換，矩陣,A就合同于一個對角矩陣.,由此得到將二次型標(biāo)準,化的初等變換法：,首先構(gòu)造2nn矩陣,對A每施以一次行,初等變換，就對,施行一次同種的初等列變換.,當(dāng),矩陣A化為對角矩陣時，矩陣E將化為可逆矩陣C.,即,對A施以一系列行初等變換,由此可得可逆矩陣C=P1P2Ps和對應(yīng)的可逆線性,替換X=CY，在此變換下，二次型XTAX化為標(biāo)準,五、二次型的規(guī)范形,對于二次型,在本節(jié),例3中所得到的標(biāo)準形為,而,在例5中所到的標(biāo)準形為,即一個,二次型的標(biāo)準形不唯一，這與所作的可逆線性替換,有關(guān).,但是，同一個二次型化為標(biāo)準形后，標(biāo)準形,中所含的正、負平方項的個數(shù)卻是相同的.,為了深,入地討論這一問題，需引入二次型的規(guī)范形的概念.,如果二次型f(x1,x2,xn)=XTAX(其中AT=,A)通過可逆線性替換可以化為,y12+yp2y2p+1yr2(prn),(5.12),則(5.12)稱為該二次型的規(guī)范形.,定理5.4(慣性定理)任一二次型f(x1,x2,xn)都可以通過可逆線性替換化為規(guī)范形，且規(guī),范形是唯一的.,例如，本節(jié)例5中，二次型,的標(biāo)準形為,作可逆線性替換,即,則二次型化為規(guī)范形,記,則所作的可逆線性替換為,即,在例3中，我們曾用配方法將同一二次型,化為標(biāo)準形.,不難驗證，作適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換，,該標(biāo)準形也可化為規(guī)范形(5.13).,這表明，一個二,次型的規(guī)范形與所作的可逆線性替換無關(guān).,利用矩陣的語言，定理5.4可以敘述為,推論1任意實對稱矩陣A合同于對角矩陣,在二次型的規(guī)范形,y12+yp2y2p+1yr2(prn),中，正平方項的個數(shù)p稱為二次型的正慣性指數(shù)；,負平方項的個數(shù)rp稱為二次型的負慣性指數(shù)；,它們的差，即p(rp)=2pr稱為二次型的符號,差.,正慣性指數(shù)與負慣指數(shù)的和為r，恰等于二次型,的秩，即二次型矩陣A的秩.,由此可得,推論2兩個實對稱矩陣合同的充分必要條件,是它們具有相同的正慣指數(shù)和秩.,六、小結(jié),1.實二次型的化簡問題，在理論和實際中經(jīng)常遇到，通過在二次型和對稱矩陣之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對稱矩陣化為對角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問題，請同學(xué)們注意這種研究問題的思想方法,2.實二次型的化簡，并不局限于使用正交矩陣，根據(jù)二次型本身的特點，可以找到某種運算更快的可逆變換拉格朗日配方法,3.將二次型化為標(biāo)準形，可以用正交變換法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，這取決于問題的要求如果要求找出一個正交矩陣，無疑應(yīng)使用正交變換法；如果只需要找出一個可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用正交變換法的好處是有固定的步驟，