多邊形和圓 農(nóng)安縣合隆中學(xué) 徐亞惠 一選擇題（共 8 小題） 1正多邊形的中心角是 36，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（ ） A 10 B 8 C 6 D 5 2圓內(nèi)接正六邊形的周長為 24，則該圓的內(nèi)接正三角形的周長為（ ） A 12 B 6 C 12 D 6 3如圖，由 7 個形狀，大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)格，正六邊形的頂點稱為格點 ，已知每個正六邊形的邊長為 1， 頂點都在格點上，則 面積是（ ） A B 2 C D 3 4半徑為 8圓的內(nèi)接正三角形的邊長為（ ） A 8 4 8 4正六邊形內(nèi)切圓面積與外接圓面積之比為（ ） A B C D 6正六邊形的邊長等于 2，則這個正六邊形的面積等于 （ ） A 4 B 6 C 7 D 8 7 O 的半徑等于 3，則 O 的內(nèi)接正方形的邊長等于（ ） A 3 B 2 C 3 D 6 8同圓的內(nèi)接正三角形與內(nèi)接正方形的邊長的比是（ ） A B C D 二填空題（共 6 小題） 9正六邊形的中心角等于 _ 度 10正 n 邊形的邊長與半徑的夾角為 75，那么 n= _ 11已知正六邊形的半徑為 2么這個正六邊形的邊心距為 _ 12如圖， O 的半徑為 1六 邊形 接于 O，則圖中陰影部分面積為 _ 結(jié)果保留 ） 13半徑為 1 的圓內(nèi)接正三角形的 邊心距為 _ 14如圖，正六邊形 接于 O，若 O 的半徑為 4，則陰影部分的面積等于 _ 三解答題（共 6 小題） 15如圖，正五邊形 ，點 F、 G 分別是 中點， 交于 H （ 1）求證： （ 2）求 度數(shù) 16如圖，正六邊形 ，點 M 在 上， 20， 六邊形外角的平分線 于點 H （ 1）當(dāng)點 M 不與點 A、 B 重合時，求證： （ 2）當(dāng)點 M 在正 六邊形 邊 運動（點 M 不與點 B 重合）時，猜想 數(shù)量關(guān)系，并對猜想的結(jié)果加以證明 17如圖，分別求出半徑為 R 的圓內(nèi)接正三角形圓內(nèi)接正方形的周長和面積 18正六邊形的邊長為 8，則陰影部分的面積是多少？ 19如圖，把一根圓柱形的木頭鋸成正方體形的柱子，使截面正方形的四個頂點均在圓上 （ 1）正方形的對角線與圓的直徑有什么關(guān)系？ （ 2）設(shè)圓 O 的半徑為 2，求圓中陰影部分的面積之和 20如圖，某圓形場地內(nèi)有一個內(nèi)接于 O 的正方形中心場地，若 O 的 半徑為 10 米，求圖中所畫的一塊草地的面積（計算結(jié)果保留 ） 多邊形和圓 參考答案與試題解析 一選擇題（共 8 小題） 1正多邊形的中心角是 36，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（ ） A 10 B 8 C 6 D 5 考點： 正多邊形和圓 分析： 設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)是 n，再根據(jù)正多邊形的中心角是 36求出 n 的值即可 解答： 解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)是 n， 正多邊形的中心角是 36， =36，解得 n=10 故選 A 點評： 本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多 邊形每一邊所對的圓 心角叫做正多邊形的中心角是解答此題的關(guān)鍵 2圓內(nèi)接正六邊形的周長為 24，則該圓的內(nèi)接正三角形的周長為（ ） A 12 B 6 C 12 D 6 考點： 正多邊形和圓 分析： 根據(jù)題意畫出圖形，求出正六邊形的邊長，再由正多邊形及直角三角形的性質(zhì)求解即可 解答： 解： 圓內(nèi)接正六邊形的周長為 24， 圓內(nèi)接正六邊形的邊長為 4， 圓的半徑為 4， 如圖， 連接 O 作 D， 則 0， B4 =2 ， ； 該圓的內(nèi)接正三 角形的周長為 12 ， 故選 A 點評： 本題考查了正多邊形和圓，以及圓內(nèi)接正三角形及正六邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵 3如圖，由 7 個形狀，大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)格，正六邊形的頂點稱為格點，已知每個正六邊形的邊長為 1， 頂點都在格點上，則 面積是（ ） A B 2 C D 3 考點： 正多邊形和圓 分析： 延長 后作出過點 C 與格點所在的直線，一定交于格點 E，根據(jù) S S 解答： 解：延長 后作出過點 C 與格點所在的直線，一定交于格點 E 正六邊形的邊長為 1，則半徑是 1，則 ， 中間間隔一個頂點的兩個頂點之間的距離是： ，則 邊 的高是： ， 的高是： ， 則 S S 4（ ） =2 故選： B 點評： 本題考查了正多邊形的計算，正確理解 S S 4半徑為 8圓的內(nèi)接正三角形的邊長為（ ） A 8 4 8 4點： 正多邊形和圓 分析： 欲求 邊長，把 當(dāng)弦，作 垂線，在 ，求 長；根據(jù)垂徑定理知： 而求正三角形的邊長 解答： 解：如圖所示： 半徑為 8圓的內(nèi)接正三角形， 在 ， 0， BD= 8=4 （ D， 故它的內(nèi)接正三角形的邊長為 8 故選： A 點評： 本題主要考查了正多邊形和圓，根據(jù)正三角形的性質(zhì)得出， 0是解題關(guān)鍵 5正六邊形內(nèi)切圓面積與外接圓面積之比為（ ） A B C D 考點： 正多邊形和圓 分析： 作出正三角形的邊心 距，連接正三角形的一個頂點和中心可得到一直角三角形解直角三角形即可 解答： 解：正六邊形可以分六個全等等邊三角形，則這樣的等邊三角形的一邊上的高為原正六邊形的內(nèi)切圓的半徑； 因為等邊三角形的邊長為正六邊形的外接圓的半徑， 所以內(nèi)切圓面積與外接圓面積之比 =（ 2= 故選： D 點評： 本題考查了正多邊形和圓，利用正六邊形可以 分六個全等等邊三角形進而得出是解題關(guān)鍵 6正六邊形的邊長等于 2，則這個正六邊形的面積等于（ ） A 4 B 6 C 7 D 8 考點： 正多邊形和圓 分析： 邊長為 2 的正六邊形可以分成六個邊長為 2 的正三角形，計算出正六邊形的面積即可 解答： 解：連接正六變形的中心 O 和兩個頂點 D、 E，得到 60 =60， 又 E， 180 60） 2=60， 則 正三角形， E=， S M= E 22 = 正六邊形的面積為 6 =6 ， 故選 B 點評： 本題考查了正多邊形的計算，理解正六邊形倍半徑分成六個全等的等邊三角形是關(guān)鍵，此題難度不大 7 O 的半徑等于 3，則 O 的內(nèi)接正方形的邊長等于（ ） A 3 B 2 C 3 D 6 考點： 正多邊形和圓 分析： 根據(jù)正方形與圓的性質(zhì)得出 C，以及 而得出正方形的邊長即可 解答： 解：如圖所示： O 的半徑為 3， 四邊形 正方形， B=90， O 的直徑， 3=6， C， 6， 解得： ， 即 O 的內(nèi)接正方形的邊長等于 3 ， 故選 C 點評： 此題主要考查了正方形與它的外接圓的性質(zhì)，根據(jù)已知得出 C 2=題難度一般 8同圓的內(nèi)接正三角形與內(nèi)接正方形的邊長的比是（ ） A B C D 考點： 正多邊形和圓 分析： 根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)出圓的半徑，再由正多邊形及直角三角形的性質(zhì)求解即可 解答： 解：設(shè)圓的 半徑為 R， 如圖（一），連接 O 作 D， 則 0， B R， 故 R； 如圖（二），連 接 O 作 E， 則 等腰直角三角形， 2 R， 故 R； 故圓內(nèi)接正三角形、正方形的邊長之比為 R： R= ： = ： 2 故選： A 點評： 本題考查的是圓內(nèi)接正三角形、正方形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵 二填空題（共 6 小題） 9正六邊形的中心角 等于 60 度 考點： 正多邊形和圓 分析： 根據(jù)正六邊形的六條邊都相等即可得出結(jié)論 解答： 解： 正六邊形的六條邊都相等， 正六邊形的中心角 = =60 故答案為： 60 點評： 本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵 10正 n 邊形的邊長與半徑的夾角為 75，那么 n= 12 考點： 正多邊形和圓 分析： 先根據(jù)正 n 邊形的邊長與半徑的夾角為 75求出一個內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)正多邊形的各角都相等可列出關(guān)于 n 的方程，求出 n 的值即可 解答： 解： 正 n 邊形的邊長與半 徑的夾角為 75， 一個內(nèi)角的度數(shù) =150，即 =150解得 n=12 故答案為： 12 點評： 本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵 11已知正六邊形的半徑為 2么這個正六邊形的邊心距為 考點： 正多邊形和圓 分析： 根據(jù)正六邊形的特點，通過中心作邊的垂 線，連接半徑，結(jié)合解直角三角形的有關(guān)知識解決 解答： 解：如圖，連接 點 O 作 點 G 在 ， 0， A0=2 = （ 故答案為： 點評： 本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)題意畫出圖 形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵 12 如圖， O 的半徑為 1六邊形 接于 O，則圖中陰影部分面積為 結(jié)果保留 ） 考點： 正多邊形和圓 專題： 計算題 分析： 根據(jù)圖形分析可得求 圖中陰影部分面積實為求扇形部分面積，將原圖陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形面積求解即可 解答： 解：如圖所示：連接 正六邊形 接于 O， C=， 20， 等邊三角形 ， 在 ， 圖中陰影部分面積為： S 扇形 = 故答案為： 點評： 此題主要考查了正多邊形和圓以及扇形面積求法，得出陰影部分面積 =S 扇形 13半徑為 1 的圓內(nèi)接正三角形的邊心距為 考點： 正多邊形和圓 專題： 幾何圖形問題 分析： 作出幾何圖形，再由外接圓半徑、邊心距和邊長的一半組成的三角形中，已知外接圓半徑和特殊角，可求得邊心距 解答： 解：如圖 ， O 的內(nèi)接等邊三角形， ， 等邊三角形的內(nèi)心和外心重合， O B 平分 0； ， 故答案為： 點評： 考查了等邊三角形的性質(zhì)注意：等邊三角形的外接圓和內(nèi)切圓是同心圓，圓心到頂點的距離等于外接圓半徑，邊心距等于內(nèi)切圓半徑 14如圖，正六邊形 接于 O，若 O 的半徑為 4，則陰影部分的面積等于 考點： 正多邊形和圓；扇形面積的計算 專題： 壓軸題 分析： 先正確作輔助線，構(gòu)造 扇形和等邊三角形、直角三角形 ，分別求出兩個弓形的面積和兩個三角形面積，即可求出陰影部分的面積 解答： 解：連接 M， N，過 O 作 Z， 六邊形 正六邊形， D=F， 0， 由垂徑定理得： M， N， 在 ， ， 0， B2 ， B2， ， 面積是 M= 4 2=4 ， 同理 面積是 4 ； 0， D=4， 等邊三角形， 0， 在 ， ， C2 ， S 扇形 S 42 = 4 ， 陰影部分的面積是： 4 +4 + 4 + 4 = ， 故答案為： 點評： 本題考查了正多邊形與圓及扇形的面積的計算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出兩個弓形和兩個三角形面積，題目比較好，難度適中 三解答 題（共 6 小題） 15如圖，正五邊形 ，點 F、 G 分別是 中點， 交于 H （ 1）求證： （ 2）求 度數(shù) 考點： 正多邊形和圓；全等三角形的判定與性質(zhì) 專題： 綜合題 分析： （ 1）利用正五邊形的相等的角和相等的邊得到證明全等三角形的條件后證明全等即可； （ 2）將 度數(shù)轉(zhuǎn)化為正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)求解 解答： （ 1）證明： 五邊形 正五邊形， C= 2 分） F、 G 分別是 中點， G，（ 4 分） 在 ， C， G，（ 5 分） 6 分） （ 2）解：由（ 1）知 7 分） 正五邊形的內(nèi)角為 108， 08（ 9 分） （注：本小題直接正確寫出 08不扣分） 點評： 本題考查了正多邊形的計算及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地利用正五邊形中相等的元素 16如圖，正六邊形 ，點 M 在 上， 20， 六邊形外角的平分線 于點 H （ 1）當(dāng)點 M 不與點 A、 B 重合時，求證： （ 2）當(dāng)點 M 在正六邊形 邊 運動（點 M 不與點 B 重合）時，猜想 數(shù)量關(guān)系，并對猜想的結(jié)果加以證明 考點： 正多邊形和圓；全等三角形的判定與性質(zhì) 專題： 探究型 分析： （ 1）先有正多邊形的內(nèi)角和定理得出六邊形 角的度數(shù)，再根據(jù) 20， A、 M、B 在一條直線上，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可 得出結(jié)論； （ 2） 當(dāng)點 M 與點 A 重 合時， 20， 交點 H 與點 B 重合，故可直接得出結(jié)論； 當(dāng)點 M 與點 A 不重合時，連接 延長到 G，使 H，連 接 全等三角形的判定定理可得出 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論 解答： （ 1）證明： 六邊形 正六邊形， 每個內(nèi)角均為 120 20， A、 M、 B 在一條直線上， 0， （ 2）解：猜想： H 證明： 當(dāng)點 M 與點 A 重合時， 20， 交點 H 與點 B 重合，有 H 當(dāng)點 M 與點 A 不重合時， 證法一：如圖 1，連接 延長到 G，使 H，連接 20， B， 0， 80 30=150 六邊形外 角的平分線 于點 H， 60=30， 20+30=150， 50 ， G， 0， 0， 0， G= 證法二：如圖 2，在 截取 B，連接 B， B， M A=120， （ 180 120） =30， 有 50， 分 20+30=150， 由（ 1）知 H 點評： 本題考查的是正多 邊形和圓，涉及到正多邊形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，涉及面較廣，難度較大 17如圖，分別求出半徑為 R 的圓內(nèi)接正三角形圓內(nèi) 接正方形的周長和面積 考點： 正多邊形和圓 分析： 如圖 1，連接 O 作 D，求出中心角 直角三角形求出 據(jù)垂徑定理求出 可得出答案；連接 出中心角 據(jù)勾股定理求出 可得出答案 解答： 解：如圖 1，連接 O 作 D， O 是正三角形 外接 圓， =120， B， 0， 在 ， ， R， R， R， 正 周長是 3 R；面積是 3 D=3 R R= 如圖 2，連接 O 是正方形 外接圓， =90， C=R，由勾股定理得； = R， 正方形 周長為 4 R=4 R，面積為 R R=2 點評： 本題考查了正多邊形和圓，解直角三角形，正多邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出正多邊形的邊長，主要考查學(xué)生的計算能力，難度適中 18正六邊形的邊長為 8，則陰影部分的面積是多少？ 考點： 正多邊形和圓 分析： 如圖，作輔助線；首先證明 為等邊三角形，得到 0，借助扇形的面積公式和三角形的面積公式即可解決問題 解答： 解：如圖，連接 由題意知： =60， B= 為等邊 三角形， 0， = ； =32