第八章玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)81試證明，對(duì)于玻色或費(fèi)米統(tǒng)計(jì)，玻耳茲曼關(guān)系成立，即LNSK解對(duì)于理想費(fèi)米系統(tǒng)，與分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為（式LA（654）（1）,LL取對(duì)數(shù)，并應(yīng)用斯特令近似公式，得（式（677）（2）LNLLNLNLLLAA另一方面，根據(jù)式（8110），理想費(fèi)米系統(tǒng)的熵為LLLNSKNU（3）L,LLKA其中費(fèi)米巨配分函數(shù)的對(duì)數(shù)為（式（8113）（4）LNL1LLE由費(fèi)米分布E1LLA易得（5）1LLA和（6）LNLA將式（5）代入式（4）可將費(fèi)米巨配分函數(shù)表示為（7）LNLLLA將式（6）和式（7）代入式（3），有LNLNLLLASKA（8）LLLLLLL比較式（8）和式（2），知（9）LNSK對(duì)于理想玻色系統(tǒng)，證明是類似的82試證明，理想玻色和費(fèi)米系統(tǒng)的熵可分別表示為BEFDLN1LN,SSSSSSKFFF其中為量子態(tài)上的平均粒子數(shù)表示對(duì)粒子的所有量子態(tài)求和同時(shí)SFSS證明，當(dāng)時(shí)，有1SBEFDMBLNSSSKFF解我們先討論理想費(fèi)米系統(tǒng)的情形根據(jù)81題式（8），理想費(fèi)米系統(tǒng)的熵可以表示為FDLNLLNLLLLLLLLSKAA（1）1LNLN,LLAAK式中表示對(duì)粒子各能級(jí)求和以表示在能量為的量子態(tài)上的平LLSFLS均粒子數(shù)，并將對(duì)能級(jí)求和改為對(duì)量子態(tài)求和，注意到L,LS上式可改寫為（2）FDLN1LNSSSSKFFF由于，計(jì)及前面的負(fù)號(hào)，式（2）的兩項(xiàng)都是非負(fù)的1SF對(duì)于理想玻色氣體，通過類似的步驟可以證明（3）FDLN1LNSSSSKFFF對(duì)于玻色系統(tǒng)，計(jì)及前面的負(fù)號(hào)，式（3）求和中第一項(xiàng)可以取負(fù)值，0SF第二項(xiàng)是非負(fù)的由于絕對(duì)數(shù)值上第二項(xiàng)大于第一項(xiàng)，熵不會(huì)取負(fù)值在的情形下，式（2）和式（3）中的1SF1LN1SSSSFFFF所以，在的情形下，有SF（4）BEFDLNSSSKFF注意到，上式也可表示為SFN（5）BEFLSFNK上式與74題式（8）一致，這是理所當(dāng)然的83求弱簡并理想費(fèi)米（玻色）氣體的壓強(qiáng)和熵解式（828）已給出弱簡并費(fèi)米（玻色）氣體的內(nèi)能為（1）325231NHUKTGVMKT（式中上面的符號(hào)適用于費(fèi)米氣體，下面的符號(hào)適用于玻色氣體，下同）利用理想氣體壓強(qiáng)與內(nèi)能的關(guān)系（見習(xí)題71）（2）2,3PV可直接求得弱簡并氣體的壓強(qiáng)為（3）32521,HPNKTNGMKT式中是粒子數(shù)密度NNV由式（1）可得弱簡并氣體的定容熱容量為（4）327231,VVUCTHNKNMKT參照熱力學(xué)中的熵的積分表達(dá)式（245），可將熵表示為（5）0VCSDST將式（4）代入，得弱簡并氣體的熵為（6）3207231LN2HSNKNSVGMKT式中的函數(shù)可通過下述條件確定在0V3231HNVKT的極限條件下，弱簡并氣體趨于經(jīng)典理想氣體將上述極限下的式（6）與式（762）比較（注意補(bǔ)上簡并度G），可確定，從而得弱簡并費(fèi)米0SV（玻色）氣體的熵為（7）33227251LNMKTHSNKHGMKT弱簡并氣體的熱力學(xué)函數(shù)也可以按照費(fèi)米（玻色）統(tǒng)計(jì)的一般程序求得；先求出費(fèi)米（玻色）理想氣體巨配分函數(shù)的對(duì)數(shù)，然后根據(jù)式（816）、LN（818）和（8110）求內(nèi)能、壓強(qiáng)和熵在求巨配分函數(shù)的對(duì)數(shù)時(shí)可利用弱簡并條件作相應(yīng)的近似關(guān)于費(fèi)米（玻色）理想氣體巨配分函數(shù)的計(jì)算可參閱王竹溪統(tǒng)計(jì)物理學(xué)導(dǎo)論65和6484試證明，在熱力學(xué)極限下均勻的二維理想玻色氣體不會(huì)發(fā)生玻色受因斯坦凝聚解如83所述，令玻色氣體降溫到某有限溫度，氣體的化學(xué)勢將趨CT于0在時(shí)將有宏觀量級(jí)的粒子凝聚在的基態(tài)，稱為玻色愛因斯CT0坦凝聚臨界溫度由條件（1）0DE1CKTDN確定將二維自由粒子的狀態(tài)密度（習(xí)題63式（4）2DLDMH代入式（1），得（2）20E1CKTN二維理想玻色氣體的凝聚溫度由式（2）確定令，上式可改寫為CCXKT（3）20DE1CXLMKTNH在計(jì)算式（3）的積分時(shí)可將被積函數(shù)展開，有21,EEXXXX則0D1E23X（4）1N式（4）的級(jí)數(shù)是發(fā)散的，這意味著在有限溫度下二維理想玻色氣體的化學(xué)勢不可能趨于零換句話說，在有限溫度下二維理想玻色氣體不會(huì)發(fā)生玻色愛因斯坦凝聚85約束在磁光陷阱中的原子，在三維諧振勢場221XYXVMZ中運(yùn)動(dòng)如果原子是玻色子，試證明在時(shí)將有宏觀量級(jí)的原子凝聚在CT能量為02XYZ的基態(tài)，在保持有限的熱力學(xué)極限下，臨界溫度由下式3,0,NCT確定3120,CKTN其中溫度為T時(shí)凝聚在基態(tài)的原子數(shù)與總原子數(shù)N之比為13XYZ0N301CTN解約束在磁光陷阱中的原子，在三維諧振勢場中運(yùn)動(dòng)，其能量可表達(dá)為（1）222222111,YXZXYZPPPMM這是三維諧振子的能量（哈密頓量）根據(jù)式（624），三維諧振子能量的可能值為,111,222XYZNXYZNNN（2）,0,XYZ如果原子是玻色子，根據(jù)玻色分布，溫度為T時(shí)處在量子態(tài)上的粒子,XYZN數(shù)為（3）,111222EXYZXYZNNNNKTA處在任一量子態(tài)上的粒子數(shù)均不應(yīng)為負(fù)值，所以原子氣體的化學(xué)勢必低于最低能級(jí)的能量，即（4）02XYZ化學(xué)勢由（5）01,E1XYZXYZNNNKTN確定化學(xué)勢隨溫度降低而升高，當(dāng)溫度降到某臨界值時(shí)，將趨于臨CT0界溫度由下式確定CT（6）1,E1XYZXYZNNNKTN或（7）,EXYZXYZN其中,IICNZKT在的情形下，可以將看作連續(xù)變量而將式（7）的求和用積分代替1ICKTI注意到在范圍內(nèi)，粒子可能的量子態(tài)數(shù)為DXYZN3D,CXYZKTN即有（8）3,1XZYCNKNE式中13XYZ為了計(jì)算式（8）中的積分，將式中的被積函數(shù)改寫為011EEEXYZXYZXYZXYZXYZNNNLL積分等于00030DEDEDE12YXZXYZLNLNLNNLL所以式（8）給出（9）1320CNKT式（9）意味著，在而保持有限的極限情形下，取有限,NCKT值上述極限稱為該系統(tǒng)的熱力學(xué)極限在時(shí)，凝聚在基態(tài)的粒子數(shù)由下式確定CT0N3012,KT上式可改寫為（10）301CNT式（9）和式（10）是理想玻色氣體的結(jié)果實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)玻色凝聚的氣體，原子之間存在弱相互作用，其特性與理想玻色氣體有差異互作用為斥力或吸力時(shí)氣體的特性也不同關(guān)于互作用玻色氣體的凝聚可參閱DALFOVOETALREVMODPHYS1999,71（465）86承前85題，如果，則在的情形下，原子在,ZXYZKT方Z向的運(yùn)動(dòng)將凍結(jié)在基態(tài)作零點(diǎn)振動(dòng)，于是形成二維原子氣體試證明時(shí)原子的二維運(yùn)動(dòng)中將有宏觀量級(jí)的原子凝聚在能量為的CT02XY基態(tài)，在保持有限的熱力學(xué)極限下，臨界溫度由下式確2,0,NCT定21645,CKTN其中溫度為T時(shí)凝聚在基態(tài)的原子數(shù)與總原子數(shù)N之比為12XY0N201CTN解在的情形下，原子方向的運(yùn)動(dòng)將凍結(jié)在基態(tài)作零點(diǎn)振,ZXYZ動(dòng)，于是形成二維原子氣體與85題相似，在時(shí)將有宏觀量級(jí)的原子C凝聚在能量為的基態(tài)臨界溫度由下式確定02XYCT20DE1XYCNKN（1）21645,T其中12,XY（2）201D645EXYNL在而保持有限的熱力學(xué)極限下為有限值，有,0N2NCKT（3）12645CNKT時(shí)凝聚在基態(tài)的原子數(shù)與總原子數(shù)N之比由下式確定CT021,KT或（4）201CNT低維理想玻色氣體玻色凝聚的理論分析可參看85題所引DALFOVOETAL及其所引文獻(xiàn)低維玻色凝聚已在實(shí)驗(yàn)上得到實(shí)現(xiàn)，見ETALGORLIZPHYSREVLETT2001,87（130402）87計(jì)算溫度為T時(shí)，在體積V內(nèi)光子氣體的平均總光子數(shù)，并據(jù)此估算（A）溫度為1000K的平衡輻射（B）溫度為3K的宇宙背景輻射中光子的數(shù)密度解式（845）和（846）已給出在體積V內(nèi)，在到的圓頻率D范圍內(nèi)光子的量子態(tài)數(shù)為（1）23DDC溫度為T時(shí)平均光子數(shù)為（2）D,E1KTDN因此溫度為T時(shí)，在體積V內(nèi)光子氣體的平均光子數(shù)為（3）2230DE1KTC引入變量，上式可表示為XKT32203DE14XVKNTCT或（3）3240KNTC在1000K下，有163M在3K下，有8350N88試根據(jù)普朗克公式證明平衡輻射內(nèi)能密度按波長的分布為58D,E1HCKTUT并據(jù)此證明，使輻射內(nèi)能密度取極大的波長滿足方程MMHCXKT5XE這個(gè)方程的數(shù)值解為因此4961X,4961MHCTK隨溫度增加向短波方向移動(dòng)M解式（847）給出平衡輻射內(nèi)能按圓頻率的分布為（1）321,DDEKTUTC根據(jù)圓頻率與波長熟知的關(guān)系，有（2）2D如果將式（1）改寫為內(nèi)能按波長的分布，可得（3）58D,E1HCKTUT令，使取極大的波長由下式確定HCXKT,UM（4）5D0E1X由式（4）易得（5）5X這方程可以用數(shù)值方法或圖解方法求解圖解方法如下以為橫坐標(biāo)，X為縱坐標(biāo)，畫出兩條曲線Y1E,5XY如圖所示兩條曲線的交點(diǎn)就是方程（5）的解，其數(shù)值約為496精確的數(shù)值解給出所以使為極大的滿足49651X,UTM49651MHCK（6）328910MK右方是常量，說明隨溫度的增加向短波方向移動(dòng)，稱為維恩位移定律M值得注意，式（6）確定的使為極大的與式（8411）給出的使,UT為極大的并不相同原因是是單位波長間隔的內(nèi)能密度，,UT,是單位頻率間隔的內(nèi)能密度與分別由M（4）5D0E1X和（7）3D0E1X確定，其中HCXKT由這兩個(gè)方程解得顯然不同MX89按波長分布太陽輻射能的極大值在處，假設(shè)太陽是黑體，480NM求太陽表面的溫度解由上題式（6）知328910KMT假設(shè)太陽是黑體，太陽表面溫度的近似值為3964801810試根據(jù)熱力學(xué)公式及光子氣體的熱容量求光子氣體的熵DVCST解式（8410）給出光子氣體的內(nèi)能為（1）24315KUVTC由此易得其定容熱容量為（2）24315VVUKCTTC根據(jù)熱力學(xué)關(guān)于均勻系統(tǒng)熵的積分表達(dá)式（245），有（3）0D,VVPSS積分沿任意一條積分路線進(jìn)行如果取積分路線為由（0，V）到（T，V）的直線，即有（4）24242330D,155TKKSTCC其中已取積分常量為零0如果取其他積分路線，例如由（0，0）至（T，V）的直線，結(jié)果如何811試計(jì)算平衡輻射中單位時(shí)間碰到單位面積器壁上的光子所攜帶的能量，由此即得平衡輻射的通量密度計(jì)算6000K和1000K時(shí)的值UJUJ解根據(jù)式（843）和（6215），在單位體積內(nèi)，動(dòng)量大小在到，PD動(dòng)量方向在到到范圍內(nèi)，平衡輻射的光子數(shù)為D,D（1）23SIND,E1CPH其中已利用式（842）將動(dòng)量為的光子能量表示為CP，因子2是計(jì)及光子自旋在動(dòng)量方向的兩個(gè)可能投影而引入的以DA表示法線方向沿Z軸的器壁的面積元以表示在DT時(shí)間內(nèi)DAT碰到DA面積上，動(dòng)量大小在到，方向在到到范圍的PD,光子數(shù)它等于以DA為底，以為高，動(dòng)量在范圍內(nèi)的光子數(shù)COSTP因此單位時(shí)間（）內(nèi)，碰到單位面積的器壁上（或穿過單位面積）1T1A，動(dòng)量在范圍內(nèi)的光子所攜帶的能量為P（2）23SINDCOSECPPH對(duì)式（2）積分，從0到從0到從0到，即得到輻射動(dòng)量密度P,22UJ為23223000DSINCODE1UCPCJH令，上式可表示為XCP423304231DE6,9UXJHCKT或（3）24360UKJTC在6000K，有7214JMUJ在1000K，有520JU812室溫下某金屬中自由電子氣體的數(shù)密度某半導(dǎo)體中283610M,N導(dǎo)電電子的數(shù)密度為，試驗(yàn)證這兩種電子氣體是否為簡并氣體28310MN解根據(jù)85，在，即的情形下費(fèi)米氣體滿足非簡并性條E31N件，遵從玻耳茲曼分布；反之，在，即的情形下，氣體形成強(qiáng)E3簡并的費(fèi)米氣體（1）323,HNMKT將代入，得28330,610MTKN（2）310,說明該金屬中的自由電子形成強(qiáng)簡并的費(fèi)米氣體將代入，033K,1MTN得3510,N所以該半導(dǎo)體中的導(dǎo)電電子是非簡并氣體，可以用玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)討論金屬中自由電子數(shù)密度的估計(jì)見85，半導(dǎo)體中導(dǎo)電電子數(shù)密度的估計(jì)請(qǐng)參閱補(bǔ)充題3813銀的導(dǎo)電電子數(shù)密度為試求0K時(shí)電子氣體的費(fèi)米能2835910M量、費(fèi)米速率和簡并壓解根據(jù)式（856）和（858），0K下金屬中自由電子氣體的費(fèi)米能量（電子的最大能量）、費(fèi)米速率（電子的最大速率）和電子氣體的壓強(qiáng)取決于電子氣體的密度N式（856）給出（1）2230NM將代入，即得31342890KG,51JS,591M（2）76J6EV費(fèi)米速率等于F（3）61F204MS式（858）給出0K下電子氣體的壓強(qiáng)為（4）102PA5PN814試求絕對(duì)零度下自由電子氣體中電子的平均速率解根據(jù)式（854），絕對(duì)零度下自由電子氣體中電子動(dòng)量（大小）的分布為F1,FP（1）0,其中是費(fèi)米動(dòng)量，即0K時(shí)電子的最大動(dòng)量據(jù)此，電子的平均動(dòng)量為FP（2）F34F023381DPVHP因此電子的平均速率為（3）F34PM815試證明，在絕對(duì)零度下自由電子的碰壁數(shù)可表示為1,4N其中是電子的數(shù)密度，是平均速率NNV解絕對(duì)零度下電子速率分布為（1）F1,0F式中是0K時(shí)電子的最大速率，即費(fèi)米速率單位體積中速率在間FD隔的電子數(shù)為（2）32FSINDMH單位時(shí)間內(nèi)上述速度間隔的電子碰到法線沿Z軸的單位面積器壁上的碰撞數(shù)為（3）322COSINDMDH將上式積分，從0到從0到從0到，得0K時(shí)電子氣體的碰壁F,數(shù)為F322004F32DSINCOD1MH（4）4F32H但由式（2）知單位體積內(nèi)的電子數(shù)為NF322003FDSIND1MH（5）3F8H所以F314N最后一步用了814題式（3）816已知聲速（式（188），試證明在0K理想費(fèi)米氣體SPA中F3A解式（188）已給出聲速為A，（1）SP式中的偏導(dǎo)數(shù)是熵保持不變條件下的偏導(dǎo)數(shù)根據(jù)能氏定理，0K下物質(zhì)系統(tǒng)的熵是一個(gè)絕對(duì)常數(shù)，因此0K下物理量的函數(shù)關(guān)系滿足熵為不變的條件根據(jù)式（858）和（856），0K下理想費(fèi)米氣體的壓強(qiáng)為25325PNM（2）253315故222F31,SPPNM即（3）F3PAM817等溫壓縮系數(shù)和絕熱壓縮系數(shù)的定義分別為TS1TPV和1SSP試證明，對(duì)于0K的理想費(fèi)米氣體，有31020TSN解根據(jù)式（856）和（854），0K下理想費(fèi)米氣體的壓強(qiáng)為（1）52325NPNMV在溫度保持為0K的條件下，對(duì)V的偏導(dǎo)數(shù)等于23T由式（A5）知（2）2231TTVVPNM所以0K下（3）5231310TTVVPN根據(jù)能氏定理，T0的等溫線與S0的等熵線是重合的，因此0K下TSVP由此可知（4）13120SSVPN式（4）也可以從另一角度理解式（2214）和（2212）給出（5）SVTPC和（6）2PVT由式（6）知，0K下,PVC所以式（5）給出0K下ST818試求在極端相對(duì)論條件下自由電子氣體在0K時(shí)的費(fèi)米能量、內(nèi)能和簡并壓解極端相對(duì)論條件下，粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為CP根據(jù)習(xí)題64式（2），在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，極端相對(duì)論D粒子的量子態(tài)數(shù)為（1）238DCH式中已考慮到電子自旋在動(dòng)量方向的兩個(gè)可能投影而將習(xí)題64式（2）的結(jié)果乘以因子20K下自由電子氣體的分布為（2）1,0F費(fèi)米能量由下式確定00233881D0,VVNCHCH故（3）1308NCH0K下電子氣體的內(nèi)能為03043D81UDVCH（4）0N根據(jù)習(xí)題72式（4），電子氣體的壓強(qiáng)為（5）134UPNV819假設(shè)自由電子在二維平面上運(yùn)動(dòng)，面密度為試求0K時(shí)二維N電子氣體的費(fèi)米能量、內(nèi)能和簡并壓解根據(jù)63題式（4），在面積A內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，二維D自由電子的量子態(tài)數(shù)為（1）24DDMH式中已考慮到電子自旋在動(dòng)量方向的兩個(gè)可能投影而將63題式（4）的結(jié)果乘以20K下自由電子的分布為（2）1,0F費(fèi)米能量由下式確定002244D0,AANMHH即（3）2204NA0K下二維自由電子氣體的內(nèi)能為（4）02244D0AAMNUHH仿照習(xí)題71可以證明，對(duì)于二維的非相對(duì)論粒子，氣體壓強(qiáng)與內(nèi)能的關(guān)系為（5）UPA因此0K下二維自由電子氣體的壓強(qiáng)為（6）102N820已知0K時(shí)銅中自由電子氣體的化學(xué)勢074EV,試求300K時(shí)的一級(jí)修正值解根據(jù)式（8517），溫度為T時(shí)金屬中自由電子氣體的化學(xué)勢為2201,0K300K下化學(xué)勢對(duì)的一級(jí)修正為T2235121078EVKT這數(shù)值很小，不過值得注意，它是負(fù)的，這意味著金屬中自由電子氣體的化學(xué)勢隨溫度升高而減小這一點(diǎn)可以從下圖直接看出圖中畫出了在不同溫度下電子分布函數(shù)隨的變化0K時(shí)電子占據(jù)了能量從零到的每F0一個(gè)量子態(tài)，而的狀態(tài)則全部未被占據(jù)，如圖中的線所示溫度升00T高時(shí)熱激發(fā)使一些電子從能量低于的狀態(tài)躍遷到能量高于的狀態(tài)溫度愈高，熱激發(fā)的電子愈多，如圖中的線和線所示費(fèi)米分布1T2121EHTF要求在任何溫度下的狀態(tài)，即占據(jù)概率為從圖82可以看出，2F12化學(xué)勢必然隨溫度升高而減少，即10821試根據(jù)熱力學(xué)公式，求低溫下金屬中自由電子氣體的VCSDT熵解式（8519）給出低溫下金屬中自由電子氣體的定容熱容量為（1）20VKTCN根據(jù)熱力學(xué)關(guān)于均勻系統(tǒng)熵的積分表達(dá)式（245），有（2）0DVVPSTS取積分路線為（0，V）至（T，V）的直線，即有（3）220D,0TNKKTS其中已取積分常量為零0822由N個(gè)自旋極化的粒子組成的理想費(fèi)米氣體處在徑向頻率為，R軸向頻率為的磁光陷阱內(nèi)，粒子的能量（哈密頓量）為R22221XYZRMPXYZ試求0K時(shí)費(fèi)米氣體的化學(xué)勢（以費(fèi)米溫度表示）和粒子的平均能量假設(shè)，求出數(shù)值結(jié)果5121,38S,RN解由式（624）知，粒子的能量本征值為,XYZNRXYZN（1）,0,12YZ式中已將能量零點(diǎn)取為12R理想費(fèi)米氣體的化學(xué)勢由下式確定,TN（2）,1ERXYZXYZNN如果N足夠大使大量粒子處在高激發(fā)能級(jí)，粒子的平均能量遠(yuǎn)大于，或R者溫度足夠高使，式（2）的求和可以改寫為對(duì)能量的積分令RKT,DDDXYRZZRRNNN式（2）可表達(dá)為（3）31E1XYZRN引入新的積分變量，可進(jìn)一步將式（2）改寫為XYZ（4）31D,E1XYR式中被積函數(shù)只是變量的函數(shù)，與和無關(guān)對(duì)一定的，和的積XYDXY分等于以軸、軸和三條直線為邊界的三角形面積，如圖所示，XYXY這面積等于所以式（4）可表達(dá)為21（5）D,1DNE其中（6）23DDR它是能量在到范圍內(nèi)粒子的狀態(tài)數(shù)D0K時(shí)系統(tǒng)盡可能處在能量最低的狀態(tài)由于泡利原理的限制，粒子將從能量為零的狀態(tài)開始，每一量子態(tài)填充一個(gè)粒子，到能量為的狀態(tài)止0由下式確定3023011D2RRN由此可得（7）1306RN0K時(shí)費(fèi)米氣體的能量為00343D12RRED（8）0N粒子的平均能量為（9）34對(duì)于題給的數(shù)據(jù)，可得0NK,R35,FTK27E823承上題，試求低溫極限和高溫極限下，磁光陷阱中FTFT理想費(fèi)米氣體的化學(xué)勢、內(nèi)能和熱容量解首先討論低溫極限的情形根據(jù)式（8513）和（8516）,積F分（1）0D,E1KTI在低溫極限下可展開為（2）20D6IKT對(duì)于磁光陷阱中的理想費(fèi)米氣體，有（3）20,E1KTCN其中上式確定費(fèi)米氣體的化學(xué)勢利用式（1），（2）可得32RC231,CKTN因此11233KTC（4）220130氣體的內(nèi)能為30D,1KTCUE利用式（1），（2）可得2442224242224210130031CUKTKTN（5）220430KT熱容量為（6）2D0UKTCN在高溫極限的情形下，有FT（7）FE1TK磁光陷阱內(nèi)的費(fèi)米氣體是非簡并的，遵從玻耳茲曼分布按照玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)求熱力學(xué)函數(shù)的一般程序，先求粒子配分函數(shù)10230ED2RZD（8）31R內(nèi)能為（9）1LN3UNZKT上式與能量均分定理的結(jié)果相符根據(jù)式（767），氣體的化學(xué)勢為（10）31ZLNL60KTKTN最后一步用了式（8）和補(bǔ)充題4式（7）實(shí)驗(yàn)已觀察到處在磁光陷阱內(nèi)的費(fèi)米氣體在溫度低于費(fèi)米溫度時(shí)所顯示的費(fèi)米簡并性和費(fèi)米壓強(qiáng)見BDEMARCO,DSJINSCIENCE1999,2851703AGTRUSCOTTETALSCIENCE2001,1912570824關(guān)于原子核半徑R的經(jīng)驗(yàn)公式給出151/330M,A式中A是原子核所含核子數(shù)假設(shè)質(zhì)子數(shù)和中子數(shù)相等，均為A/2，試計(jì)算二者在核內(nèi)的密度如果將核內(nèi)的質(zhì)子和中子看作簡并費(fèi)米氣體，試求二N者的以及核子在核內(nèi)的平均能量核子質(zhì)量027160KGN解根據(jù)核半徑的經(jīng)驗(yàn)公式115330M,RA假設(shè)核內(nèi)質(zhì)子數(shù)和中子數(shù)相等，均為，則二者的密度均為2453150143NA如果將核內(nèi)的質(zhì)子和中子看作簡并費(fèi)米氣體，根據(jù)式（856），費(fèi)米能量為0223104J7MEVNM由式（857）知，核子在核內(nèi)的平均能量為130526JEV核的費(fèi)米氣體模型是20世紀(jì)30年代提出的核模型它在定性描述原子核的粗略性質(zhì)方面取得了一定的成功核的費(fèi)米氣體模型把核子看作是約束在核內(nèi)的無相互作用的自由粒子從核子散射實(shí)驗(yàn)知道，核子之間存在很強(qiáng)的相互作用，其中包含非常強(qiáng)的排斥心將核子看作核內(nèi)無相互作用的自由粒子，可以這樣理解排斥心的半徑約為，核內(nèi)核子之間的平均1504M距離約為，因此原子核的“最密集”體積與實(shí)際體積之比約為15240M，這樣核子實(shí)際上感受到的只是相互作用中較弱的“尾巴”部分30其次，由于泡利原理的限制，大多數(shù)核子（特別是處在費(fèi)米面深處低能態(tài)的粒子）發(fā)生碰撞時(shí)，其狀態(tài)很難發(fā)生改變，僅在費(fèi)米面附近的少數(shù)核子有可能在碰撞時(shí)改變其狀態(tài)作為一個(gè)初步近似，費(fèi)米氣體模型忽略了核子之間的相互作用825是費(fèi)米子，其自旋為1/2在液中原子有很強(qiáng)的相互作用3HE3HE根據(jù)朗道的正常費(fèi)米液體理論，可以將液看作是由與原子數(shù)目相同的3HE準(zhǔn)粒子構(gòu)成的費(fèi)米液體已知液的密度為，在01K以下的定3HE381KGM容熱容量為試估算準(zhǔn)粒子的有效質(zhì)量289VCNKT3E解我們首先粗略地介紹一下朗道費(fèi)米液體理論的有關(guān)概念如85所述，在0K理想費(fèi)米氣體處在基態(tài)時(shí)，粒子占滿了動(dòng)量空間中半徑為費(fèi)米動(dòng)量的費(fèi)米球FP（1）123F,PN的狀態(tài)則完全未被占據(jù)氣體處在低激發(fā)態(tài)時(shí)，有少量粒子躍造到FP的狀態(tài)，而在費(fèi)米球中留下空穴的大小取決于氣體的數(shù)密度FN朗道假設(shè)，如果在理想費(fèi)米氣體中逐漸加入粒子間的相互作用，理想費(fèi)米氣體將過渡為費(fèi)米液體，氣體的粒子過渡為液體的準(zhǔn)粒子液體中的準(zhǔn)粒子數(shù)與原來氣體或液體中的實(shí)際粒子數(shù)相同對(duì)于均勻系統(tǒng)，準(zhǔn)粒子的狀態(tài)仍可由動(dòng)量和自旋S描述在0K費(fèi)米液體處在基態(tài)時(shí)，準(zhǔn)粒子占滿了動(dòng)P量空間中半徑為的費(fèi)米球，仍由式（1）確定，但是液體的粒子數(shù)密度FFPN費(fèi)米液體處在低激發(fā)態(tài)時(shí)，有少量準(zhǔn)粒子躍遷到的狀態(tài)，而在費(fèi)米球FP中留下空穴以表示單位體積中動(dòng)量在到的準(zhǔn)粒子數(shù)在自旋量子數(shù)DFPPD為1/2的情形下，有32DH滿足歸一化條件FP（2）FPN由于費(fèi)米液體的準(zhǔn)粒子之間存在相互作用，單個(gè)粒子的能量與其他P準(zhǔn)粒子所處的狀態(tài)有關(guān)，即與準(zhǔn)粒子的分布有關(guān)因此，與理想費(fèi)米氣體不同，費(fèi)米液體的能量不能表達(dá)為單個(gè)準(zhǔn)粒子的能量之和，即（3）D,EPFV而是分布函數(shù)的泛函準(zhǔn)粒子能量由下式定義FP（4）,F或（5）EVPF上式的意義是，準(zhǔn)粒子能量等于增加一個(gè)動(dòng)量為的粒子所引起的系統(tǒng)P能量的增加既與液體中準(zhǔn)粒子的分布有關(guān)，也是分布函數(shù)的泛函PFP習(xí)題82曾得到處在平衡狀態(tài)的理想費(fèi)米氣體的熵的表達(dá)式（6）LN1LN1D,SKVFPFFPFP式中的兩項(xiàng)可以分別理解為由于粒子具有分布和空穴具有分布所導(dǎo)致的熵式（6）不僅適用于平衡態(tài)，也適用于非平衡態(tài)如果1FP是某非平衡態(tài)下粒子的分布，相應(yīng)的熵也由式（6）表達(dá)在總粒子數(shù)、總能量和體積給定的情形下，平衡態(tài)的分布（費(fèi)米分布）使式（6）的熵取最大值根據(jù)前述朗道的假設(shè)，費(fèi)米液體的準(zhǔn)粒子與理想費(fèi)米氣體的粒子存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系將式（6）中的理解為費(fèi)米液體中準(zhǔn)粒子的分布，費(fèi)米FP液體的熵亦可由式（6）表達(dá)在總粒子數(shù)、總能量和體積給定的情形下，平衡態(tài)的分布使式（6）的熵取最大值可以證明，平衡態(tài)的分布具有下述形式（7）1EPKTF這是平衡態(tài)下費(fèi)米液體中準(zhǔn)粒子的分布函數(shù)，和是拉氏乘子顯然，TK和分別是費(fèi)米液體的溫度和化學(xué)勢需要強(qiáng)調(diào)，雖然式（7）形式上與費(fèi)米分布相似，但由于是分布函數(shù)的泛函，式（7）實(shí)際上是分布函數(shù)PFP的一個(gè)復(fù)雜的隱函數(shù)表達(dá)式FP以和分別表示0K時(shí)的分布函數(shù)、準(zhǔn)粒子能量和化學(xué)00,F勢由式（7）可知，是一個(gè)階躍函數(shù)0FP（8）01,P上式給出0K時(shí)費(fèi)米液體準(zhǔn)粒子的動(dòng)量分布，與前述的圖像一致在接近0K的低溫下，分布函數(shù)應(yīng)與階躍分布接近作為一級(jí)近0FP似，可以用近似地確定準(zhǔn)粒子的能量這意味著簡單地成為FP的確定的函數(shù)對(duì)于的動(dòng)量值，可以將函數(shù)按作泰P0PFP0PF勒展開，即（9）0F,P其中（10）F0FP是準(zhǔn)粒子在費(fèi)米面的速度對(duì)于理想費(fèi)米氣體，有2F,PM可以類似地引入準(zhǔn)粒子有效質(zhì)量的概念，定義（11）F,并將和處的簡單地記為0FP0P（12）2F0,PM（13）20F如85所述，僅費(fèi)米面附近的電子對(duì)理想費(fèi)米氣體的低溫?zé)崛萘坑胸暙I(xiàn)，其表達(dá)式為（式（8519）和（856）（14）22230VCKTMKNN根據(jù)費(fèi)米液體與理想費(fèi)米氣體的相似性，可以直接寫出低溫下費(fèi)米液體的熱容量為（15）2223,0VCKTKNN其中是費(fèi)米液體準(zhǔn)粒子的有效質(zhì)量將題中所給液的實(shí)測數(shù)據(jù)代入，M3HE注意的質(zhì)量密度（是原子的質(zhì)量），可得準(zhǔn)粒子的有效質(zhì)3HENM3HE量約為（16）M關(guān)于朗道費(fèi)米液體理論，可參看量子統(tǒng)計(jì)物理學(xué)（北京大學(xué)編寫組）55和LIFSHITZ,PITAEVSKIISTATISTICALPHYSICS1,2補(bǔ)充題1寫出二維空間中平衡輻射的普朗克公式，并據(jù)此求平均總光子數(shù)、內(nèi)能和輻射通量密度解根據(jù)（6214），二維空間中在面積A內(nèi)，在到到XPD,XYP的動(dòng)量范圍內(nèi)，光子可能的量子態(tài)數(shù)為DYP（1）2DXYAPH換到平面極坐標(biāo)，并對(duì)輻角積分，可得在面積A內(nèi)，動(dòng)量大小在到范PD圍內(nèi)，光子的量子態(tài)數(shù)為（2）24DPH再利用光子的能量動(dòng)量關(guān)系和能量頻率關(guān)系，可得二維空間中在C面積A內(nèi)，在到的頻率范圍內(nèi)的光子的量子態(tài)數(shù)為D（3）2DADC根據(jù)玻色分布和式（3），可得溫度為T時(shí)二維平衡輻射在面積A內(nèi)，在到的頻率范圍內(nèi)的光子數(shù)為D（4）2,DDE1NC對(duì)頻率積分，得溫度為T時(shí)二維平衡輻射擊的總光子數(shù)為020,DE1XTAC（5）26KTC溫度為T時(shí)在面積A內(nèi)，在到的頻率范圍內(nèi)，二維平衡輻射的D能量為（6）2,E1AUTC這是二維平衡輻射的普朗克公式對(duì)頻率積分，得溫度為T時(shí)二維輻射場的內(nèi)能為2203DE1XAUTC（7）324KTC參照式（267）或811題，可得二維輻射場的輻射通量密度與內(nèi)能密UJ度的關(guān)系為（8）3210UCJKT應(yīng)當(dāng)說明，隨著人工微結(jié)構(gòu)材料研究的進(jìn)展，目前已有可能研制出低維的光學(xué)微腔（參閱EYABLONOVITCHJOURMODOPT1994,41（173）章蓓光學(xué)微腔見介觀物理北京北京大學(xué)出版社，1995276）不過光學(xué)微腔中輻射場的模式分布與（3）所表達(dá)的自由空間中的模式分布是不同的補(bǔ)充題2金屬中的自由電子在外磁場下顯示微弱的順磁性這是泡利（PAULI）根據(jù)費(fèi)米分布首先從理論上預(yù)言的，稱為泡利順磁性試根據(jù)費(fèi)米分布導(dǎo)出0K金屬中自由電子的磁化率解78和習(xí)題727討論的順磁性固體，其順磁性來自磁性離子的磁矩在外磁場作用下的取向離子磁矩是其不滿殼層的束縛電子的軌道磁矩與自旋磁矩之和，磁性離子是定域的，遵從玻耳茲曼分布。泡利順磁性來自金屬中自由電子的自旋磁矩在外磁場作用下的取向，電子是高度簡并的，遵從費(fèi)米分布，受泡利不相容原理約束因此兩者顯示很不相同的特性電子自旋磁矩大小等于玻爾磁子在外磁場B作用下，磁矩可以平行B或反平行于外磁場B磁矩平行于外磁場的電子，其能量為（1）2BPM磁矩反平行于外磁場的電子，能量為（2）2BP處在外磁場中的電子，其動(dòng)量仍然是守恒量單位體積內(nèi)兩種磁矩取向的電子，在到動(dòng)量范圍內(nèi)的狀態(tài)數(shù)均為，將式（1）和（2）代PD34DPH入，得單位體積內(nèi)兩種磁矩取向的電子在能量到范圍內(nèi)的狀態(tài)數(shù)分別為（3）3122BDDDMH和（4）3122B下圖以為縱坐標(biāo)，和為橫坐標(biāo)，畫出了不存在外磁場（圖（A）和存在外磁場（圖（B），（C）的的情形下狀態(tài)密度隨的變化0K下電子層可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)不存在外磁場時(shí)，兩種磁矩取向的電子能量是相同的，電子的分布將如圖（A）所示加入外磁場后，如果電子的占據(jù)情況不變，電子的分布將如圖（B）所示但是這種分布不是平衡狀態(tài)由于達(dá)到平衡后電子盡可能占據(jù)最低能態(tài)，原來磁矩逆磁場取向的部分電子將改變其磁矩取向，使分布如圖（C）所示在圖（C）的分布中兩種磁矩取向的電子具有相同的最大能量這最大能量就是處在外磁場中電子氣體的費(fèi)米能量后面的數(shù)值估計(jì)指出因此外磁場對(duì)費(fèi)米能量B0的影響很小，可以忽略圖（C）的分布顯示，有更多的電子磁矩順外磁場方向，使金屬表現(xiàn)出順磁性磁化強(qiáng)度（單位體積的磁矩）可以估計(jì)如下磁矩取向發(fā)生改變的電子數(shù)為其中每個(gè)電子磁矩的改變?yōu)橐虼私饘貰102DB2的磁化強(qiáng)度為（5）2B0M式中上式可改寫為132400DMH（6）B320MN對(duì)于，而，所以423B1T0G,10JB18J5B0由此可知，泡利順磁性很弱，這是泡利不相容原理的結(jié)果與順磁性固體中所有磁性離子對(duì)順磁性都有貢獻(xiàn)不同，由于泡利不相容原理的限制，僅費(fèi)米面附近寬度為范圍內(nèi)的電子在外磁場作用下分布發(fā)生改變，對(duì)金屬的順B磁性作出貢獻(xiàn)以表示0K下金屬中自由電子氣體的磁化率由式（6）知（7）2B03N由于一般溫度下金屬中電子氣體的分布與0K時(shí)差異很小，金屬泡利順磁性的磁化率對(duì)溫度只有很微弱的依賴關(guān)系補(bǔ)充題3金屬中的自由電子可以近似看作處在一個(gè)恒定勢阱中的自由粒子下圖示意地表示0K時(shí)處在勢阱中的電子表示勢阱的深度,它等于將處在最低能級(jí)的電子移到金屬外所需的最小功表示0K時(shí)電子氣體00的化學(xué)勢如果將處在費(fèi)米能級(jí)的電子移到金屬外,所需的最小功為0WW稱為功函數(shù)W的大小視不同金屬而異,一般是電子伏的量級(jí)高溫下處在費(fèi)米分布中高能量的電子有可能從金屬表面逸出試證明,單位時(shí)間內(nèi)通過金屬的單位面積發(fā)射的熱電流密度為2EWKTJA上式稱為理查孫RICHARDSON公式解費(fèi)米分布給出,單位體積內(nèi),動(dòng)量在范圍內(nèi)的電子數(shù)為DXYZP1123DEPDXYZMNH單位時(shí)間內(nèi),碰到法線沿Z軸的金屬表面的單位面積上,動(dòng)量在范圍內(nèi)電子數(shù)為DXYZP2123DEPXYZMZZNH將上式改寫為3123DEPXYZMZNH其中是電子在Z方向的平動(dòng)能量電子要擺脫金屬的束縛發(fā)射到2ZZPM體外，它在垂直于表面的方向上具有的動(dòng)能必須大于,即4Z將式3乘發(fā)電子的電荷E,積分即得單位時(shí)間內(nèi)通過金屬表面單位面積發(fā)射的熱電流為5323D2D1E1LNZXYXXYXYJEPHPMKT其中621XYWPKT上式已考慮到相差很小,而令一般情形下可0與TW1以令LN1E而有72132EDXYWPYKTMKTWKJH由于W是電子伏的量級(jí),要在高溫例如才有可觀的熱發(fā)射電子310K補(bǔ)充題4在高純度的半導(dǎo)體中電子的能量本征值形成圖所示的能帶結(jié)構(gòu)0K時(shí)價(jià)帶中的狀態(tài)完全被電子占據(jù)而導(dǎo)帶中的狀態(tài)則完全未被占據(jù)價(jià)帶與導(dǎo)帶之間有能量為的能隙,稱為禁帶,其中不存在電子的可能狀態(tài)0KGE下具有這種能帶結(jié)構(gòu)的晶體形成絕緣體在較高溫度下,價(jià)帶中有些電子因熱激發(fā)會(huì)躍遷到導(dǎo)帶,而在價(jià)帶留下空穴躍遷到導(dǎo)帶的電子和價(jià)帶中的空穴都參與導(dǎo)電,晶體就形成半導(dǎo)體這樣的半導(dǎo)體稱為本征半