高等數(shù)學(xué)下冊試卷200971姓名學(xué)院與專業(yè)學(xué)號一、填空題共24分1、4分函數(shù)在點(diǎn)處可微是它在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的必要,FXY,ZXY條件（填必要、充分或充要），又是它在該點(diǎn)有方向?qū)?shù)的充分條件（填必要、充分或充要）2、4分向量場的散度為2COSXYAEIJXZKSIN2XYEXY向量場的旋度為3BZZY2,463、4分設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則,FXYFUVDZ122FYDXFY4、4分交換二次積分的積分次序20,YDFX402,XF5、4分設(shè)曲面為柱面介于平面與部分的外側(cè)，則曲面積21XYZ1分0，2XYD2DS6、設(shè)，則它有極小值32,39,0FXYX,05F二、8分設(shè)，求ZEY2Z解兩邊取微分，得ZDXDYZX,ZZDYEDXYYE從而，ZX221ZZXXZXXZ222223231111ZZXZXZZZXXX三、7分設(shè)長方形的長、寬、高滿足，求體積最小的長方XYZYZ體。解令1LXYZZ則，從而222110,0,0XYZXLXYXYZ再由即約束條件，可得，從而L3Z3Z由問題的實(shí)際意義可知，當(dāng)體積最小長方體的長、寬、高均為3。四、7分求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積224XY2XY解上半球面的部分為21,ZD222,444XYZDSDXYXY112COS22088RSDXY五、7分計(jì)算三重積分，其中是由單位球面XYZDV圍成的閉區(qū)域22XYZ解由對稱性0XDVYZXDV從而2122200SINYZRDR115400042SINCOSRDR六、7分計(jì)算曲面積分，其中是23ZXDYZDZXYD圓錐面位于平面之間下方部分的下側(cè)2ZXY解取上側(cè)21,4ZDXY則原式1121323DVDXYVYDX20SIN2DRR2222300008883ISIN4COS433DD七7分計(jì)算曲線積分，其中表示第四象限內(nèi)以為起點(diǎn)2LYXL,1A為終點(diǎn)的光滑曲線。1,0B解由于，2243XYXYXY2431YXXY從而只要路徑不經(jīng)過直線，該曲線積分就與路徑無關(guān)Y取路徑，1,0X112200LDDXX八、7分求微分方程的通解3SINCOSXEYEY解，COSIN1XYDCO3I1XD，L3LLNXESYE九、7分計(jì)算滿足下述方程的可導(dǎo)函數(shù)，YX0COS2SIN1XYYTDX解原方程兩端求導(dǎo)得COSI2INCOSIN1YXYX即，這是標(biāo)準(zhǔn)的一階線性微分方程SIN1COSXYSIINLNCOSLNCOSCO1TANCOSXDXDXXEEEEX原方程令得，代入通解得，從而0X1Y1CSINCOYX十、6分（非化工類做，即老師教了級數(shù)一章的同學(xué)才做）設(shè)且，0AE試根據(jù)的值判定級數(shù)的斂散性A1NA解，從而NUA111LIMLILIMNNNNUAEA當(dāng)，即時，級數(shù)收斂；當(dāng)，即時，該級數(shù)發(fā)散1E1NA0十一、6分（非化工類做，即老師教了級數(shù)一章的同學(xué)才做）設(shè)是周期FX為的周期函數(shù)，它在上的表達(dá)式為，試將函數(shù)展2,FX開成傅立葉級數(shù)解，（奇函數(shù)在對稱區(qū)間上積分）0110,COS0NAFXDAFXND100222SICSCSOSNNBFXXDXXDNN從而1I,1NFK十二、7分（非化工類做，即老師教了級數(shù)一章的同學(xué)才做）設(shè)，證明滿足微分方程，并求211NNXFXFX4FXFF解22312,1NNNNXXFXFXFX從而21144NNFF而且0,FF解初值問題，4XF0,2FF，通解為21,240,4FXFRI12COSINFXX，由初值條件，12SINCOSCXX120,SI2F十、6分（化工類做，即不學(xué)級數(shù)一章的同學(xué)做）求解初值問題0Y解方程對應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，2X0Y210R特征根為，從而對應(yīng)通解為1,2RI12COSINYX容易看出的一個特解為，因此原方程的通解為2YXY12COSIN從而，由初值條件可得。COS2YXX123,C因此3CSI十一、6分（化工類做，即不學(xué)級數(shù)一章的同學(xué)做）設(shè)是曲線L在點(diǎn)處的切向量，求函數(shù)在2260XYZ1,2,FXYZZX該點(diǎn)沿的方向?qū)?shù)L解方程組兩端對求導(dǎo)，得2260XYZX201XYZ把代入得，解得，于是在點(diǎn)處的切向量1,1YZ0YZ1,2為，單位切向量為,0TYZ,T所求方向?qū)?shù)為1,211,0,202XYZFFT十二、7（化工類做，即不學(xué)級數(shù)一章的同學(xué)做）給定曲面為常數(shù)，其中有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明曲面的,0,XAYBFACZC,FUV切平面通過一個定點(diǎn)證令，則,XAY