第六節(jié)方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)某一鄰域內(nèi)有定YXFZ,0,YXP0PU義，自點(diǎn)引射線，記為與射線方向相同0PLCOSLEL的單位向量，點(diǎn)為射線上另一點(diǎn)，YX,00,ETL如果TYXFYTXFTPFTT00000,COS,CSLIMLI存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)沿方向的方向?qū)?shù)，記FZ,L為。0PLF注若分別為時(shí)方向?qū)?shù)就是偏導(dǎo)數(shù)。1,0,定理如果函數(shù)在點(diǎn)是可微的，那么函數(shù)YXFZYXP,在該點(diǎn)沿任何方向的方向?qū)?shù)都存在，且LCOSSYFXFL其中為與射線方向相同的單位向量。COS,證明因?yàn)樵邳c(diǎn)是可微,所以YXFZ,YXP22YXOFF兩邊同除以得22YXYFXFZOFFYXCSO即有。COSLIM0YXFFZ例1求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到2,12,13,的方向的方向?qū)?shù)。解方向向量對(duì)應(yīng)的單位向量為3,12,31242,1LZ例2求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲線2BYAXZ,BAP在該點(diǎn)的切線方向（與軸夾角為銳角）的方12BYAXX向?qū)?shù)。（）0,B解在點(diǎn)處曲線的法向量為2,AP12BYAX，其對(duì)應(yīng)的切向量為，其對(duì)應(yīng)單位向B,2A,量為22,BAA0222,BALZBA對(duì)于三元函數(shù)有類(lèi)似定義函數(shù)在ZYXFU,00,ZYXP點(diǎn)沿的方向?qū)?shù)為COS,COSETZFZYTXFLFTP0000,COS,IM0如果函數(shù)在處可微，則0。COSCOS0ZYXPFFFL例3設(shè)點(diǎn)的向徑為，求函數(shù)在點(diǎn)ZYXM,R22ZYXU處沿的方向?qū)?shù)。R解方向向量對(duì)應(yīng)的單位向量為ZYX,22222,ZYXZYXLUM二、梯度如果函數(shù)在內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，我們稱(chēng)向量YXFZ,DYXYXFJFI,為此函數(shù)的梯度，記為。GRAD,設(shè)為與射線同向的單位向量，則有EEYXGRADFYXRFEYXRFLZ,COS,注1沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大值，此方向?qū)?shù)就是梯度的模。注2是梯度在射線上的投影。LZL注3對(duì)于三元函數(shù)也有類(lèi)似結(jié)論。例4設(shè)，求。2LN,YXYXF4,3GRADF例5設(shè)函