2017年05月21日數(shù)學（因式分解難題）2一填空題（共10小題）1已知XY10，XY16，則X2YXY2的值為2兩位同學將一個二次三項式分解因式，一位同學因看錯了一次項系數(shù)而分解成2（X1）（X9）；另一位同學因看錯了常數(shù)項分解成2（X2）（X4），請你將原多項式因式分解正確的結果寫出來3若多項式X2MX4能用完全平方公式分解因式，則M的值是4分解因式4X24X35利用因式分解計算20222021969826ABC三邊A，B，C滿足A2B2C2ABBCCA，則ABC的形狀是7計算122232425262100210128定義運算AB（1A）B，下面給出了關于這種運算的四個結論2（2）3ABBA若AB0，則（AA）（BB）2AB若AB0，則A1或B0其中正確結論的序號是（填上你認為正確的所有結論的序號）9如果1AA2A30，代數(shù)式AA2A3A4A5A6A7A810若多項式X26XB可化為（XA）21，則B的值是二解答題（共20小題）11已知N為整數(shù)，試說明（N7）2（N3）2的值一定能被20整除12因式分解4X2Y4XYY13因式分解（1）A3AB2（2）（XY）24XY14先閱讀下面的內容，再解決問題，例題若M22MN2N26N90，求M和N的值解M22MN2N26N90M22MNN2N26N90（MN）2（N3）20MN0，N30M3，N3問題（1）若X22Y22XY4Y40，求XY的值（2）已知ABC的三邊長A，B，C都是正整數(shù)，且滿足A2B26A6B18|3C|0，請問ABC是怎樣形狀的三角形15如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”如42202，124222，206242，因此4，12，20這三個數(shù)都是和諧數(shù)（1）36和2016這兩個數(shù)是和諧數(shù)嗎為什么（2）設兩個連續(xù)偶數(shù)為2K2和2K（其中K取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎為什么（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和為16如圖1，有若干張邊長為A的小正方形、長為B寬為A的長方形以及邊長為B的大正方形的紙片（1）如果現(xiàn)有小正方形1張，大正方形2張，長方形3張，請你將它們拼成一個大長方形（在圖2虛線框中畫出圖形），并運用面積之間的關系，將多項式A23AB2B2分解因式（2）已知小正方形與大正方形的面積之和為169，長方形的周長為34，求長方形的面積（3）現(xiàn)有三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（按原紙張進行無空隙、無重疊拼接），求可以拼成多少種邊長不同的正方形17（1）有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個新的長方形，如圖2用兩種不同的方法，計算圖2中長方形的面積；由此，你可以得出的一個等式為（2）有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖3所示請你用拼圖等方法推出一個完全平方公式，畫出你的拼圖；請你用拼圖等方法推出2A25AB2B2因式分解的結果，畫出你的拼圖18已知AB1，AB1，設S1AB，S2A2B2，S3A3B3，SNANBN（1）計算S2；（2）請閱讀下面計算S3的過程因為AB1，AB1，所以S3A3B3（AB）（A2B2）AB（AB）1S2（1）S21你讀懂了嗎請你先填空完成（2）中S3的計算結果，再用你學到的方法計算S4（3）試寫出SN2，SN1，SN三者之間的關系式；（4）根據(jù)（3）得出的結論，計算S619（1）利用因式分解簡算9820498004（2）分解因式4A（A1）2（1A）20閱讀材料若M22MN2N28N160，求M、N的值解M22MN2N28N160，（M22MNN2）（N28N16）0（MN）2（N4）20，（MN）20，（N4）20，N4，M4根據(jù)你的觀察，探究下面的問題（1）已知X22XY2Y22Y10，求XY的值（2）已知ABC的三邊長A、B、C都是正整數(shù)，且滿足A2B26A8B250，求ABC的最大邊C的值（3）已知AB4，ABC26C130，則ABC21仔細閱讀下面例題，解答問題例題已知二次三項式X24XM有一個因式是（X3），求另一個因式以及M的值解設另一個因式為（XN），得X24XM（X3）（XN），則X24XMX2（N3）X3NN34M3N解得N7，M21另一個因式為（X7），M的值為21問題（1）若二次三項式X25X6可分解為（X2）（XA），則A；（2）若二次三項式2X2BX5可分解為（2X1）（X5），則B；（3）仿照以上方法解答下面問題已知二次三項式2X25XK有一個因式是（2X3），求另一個因式以及K的值22分解因式（1）2X2X；（2）16X21；（3）6XY29X2YY3；（4）412（XY）9（XY）223已知A，B，C是三角形的三邊，且滿足（ABC）23（A2B2C2），試確定三角形的形狀24分解因式（1）2X44X2Y22Y4（2）2A34A2B2AB225圖是一個長為2M、寬為2N的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖的形狀拼成一個正方形（1）圖中的陰影部分的面積為；（2）觀察圖請你寫出三個代數(shù)式（MN）2、（MN）2、MN之間的等量關系是（3）若XY7，XY10，則（XY）2（4）實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示如圖，它表示了（5）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示（MN）（M3N）M24MN3N226已知A、B、C滿足AB8，ABC2160，求2ABC的值27已知一個長方體的長、寬、高分別為正整數(shù)A、B、C，且滿足ABCABBCACABC2006，求這個長方體的體積28（X24X）22（X24X）1529閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題1XX（X1）X（X1）2（1X）1XX（X1）（1X）2（1X）（1X）3（1）上述分解因式的方法是，共應用了次（2）若分解1XX（X1）X（X1）2X（X1）2004，則需應用上述方法次，結果是（3）分解因式1XX（X1）X（X1）2X（X1）N（N為正整數(shù)）30對于多項式X35X2X10，如果我們把X2代入此多項式，發(fā)現(xiàn)多項式X35X2X100，這時可以斷定多項式中有因式（X2）（注把XA代入多項式能使多項式的值為0，則多項式含有因式（XA），于是我們可以把多項式寫成X35X2X10（X2）（X2MXN），（1）求式子中M、N的值；（2）以上這種因式分解的方法叫試根法，用試根法分解多項式X32X213X10的因式2017年05月21日數(shù)學（因式分解難題）2參考答案與試題解析一填空題（共10小題）1（2016秋望謨縣期末）已知XY10，XY16，則X2YXY2的值為160【分析】首先提取公因式XY，進而將已知代入求出即可【解答】解XY10，XY16，X2YXY2XY（XY）1016160故答案為160【點評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵2（2016秋新賓縣期末）兩位同學將一個二次三項式分解因式，一位同學因看錯了一次項系數(shù)而分解成2（X1）（X9）；另一位同學因看錯了常數(shù)項分解成2（X2）（X4），請你將原多項式因式分解正確的結果寫出來2（X3）2【分析】根據(jù)多項式的乘法將2（X1）（X9）展開得到二次項、常數(shù)項；將2（X2）（X4）展開得到二次項、一次項從而得到原多項式，再對該多項式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式【解答】解2（X1）（X9）2X220X18；2（X2）（X4）2X212X16；原多項式為2X212X182X212X182（X26X9）2（X3）2【點評】根據(jù)錯誤解法得到原多項式是解答本題的關鍵二次三項式分解因式，看錯了一次項系數(shù)，但二次項、常數(shù)項正確；看錯了常數(shù)項，但二次項、一次項正確3（2015春昌邑市期末）若多項式X2MX4能用完全平方公式分解因式，則M的值是4【分析】利用完全平方公式（AB）2（AB）24AB、（AB）2（AB）24AB計算即可【解答】解X2MX4（X2）2，即X2MX4X24X4，M4故答案為4【點評】此題主要考查了公式法分解因式，熟記有關完全平方的幾個變形公式是解題關鍵4（2015秋利川市期末）分解因式4X24X3（2X3）（2X1）【分析】AX2BXC（A0）型的式子的因式分解，這種方法的關鍵是把二次項系數(shù)A分解成兩個因數(shù)A1，A2的積A1A2，把常數(shù)項C分解成兩個因數(shù)C1，C2的積C1C2，并使A1C2A2C1正好是一次項B，那么可以直接寫成結果AX2BXC（A1XC1）（A2XC2），進而得出答案【解答】解4X24X3（2X3）（2X1）故答案為（2X3）（2X1）【點評】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確分解各項系數(shù)是解題關鍵5（2015春東陽市期末）利用因式分解計算202220219698290000【分析】通過觀察，顯然符合完全平方公式【解答】解原式20222X202X98982（20298）2300290000【點評】運用公式法可以簡便計算一些式子的值6（2015秋浮梁縣校級期末）ABC三邊A，B，C滿足A2B2C2ABBCCA，則ABC的形狀是等邊三角形【分析】分析題目所給的式子，將等號兩邊均乘以2，再化簡得（AB）2（AC）2（BC）20，得出ABC，即選出答案【解答】解等式A2B2C2ABBCAC等號兩邊均乘以2得2A22B22C22AB2BC2AC，即A22ABB2A22ACC2B22BCC20，即（AB）2（AC）2（BC）20，解得ABC，所以，ABC是等邊三角形故答案為等邊三角形【點評】此題考查了因式分解的應用；利用等邊三角形的判定，化簡式子得ABC，由三邊相等判定ABC是等邊三角形7（2015秋鄂托克旗校級期末）計算122232425262100210125151【分析】通過觀察，原式變?yōu)?（3222）（5242）（10121002），進一步運用高斯求和公式即可解決【解答】解122232425262100210121（3222）（5242）（10121002）1（32）（54）（76）（101100）（1101）10125151故答案為5151【點評】此題考查因式分解的實際運用，分組分解，利用平方差公式解決問題8（2015秋樂至縣期末）定義運算AB（1A）B，下面給出了關于這種運算的四個結論2（2）3ABBA若AB0，則（AA）（BB）2AB若AB0，則A1或B0其中正確結論的序號是（填上你認為正確的所有結論的序號）【分析】根據(jù)題中的新定義計算得到結果，即可作出判斷【解答】解2（2）（12）（2）2，本選項錯誤；AB（1A）B，BA（1B）A，故AB不一定等于BA，本選項錯誤；若AB0，則（AA）（BB）（1A）A（1B）BAA2BB2A2B22A22AB，本選項正確；若AB0，即（1A）B0，則A1或B0，本選項正確，其中正確的有故答案為【點評】此題考查了整式的混合運算，以及有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵9（2015春張掖校級期末）如果1AA2A30，代數(shù)式AA2A3A4A5A6A7A80【分析】4項為一組，分成2組，再進一步分解因式求得答案即可【解答】解1AA2A30，AA2A3A4A5A6A7A8，A（1AA2A3）A5（1AA2A3），00，0故答案是0【點評】此題考查利用因式分解法求代數(shù)式的值，注意合理分組解決問題10（2015春昆山市期末）若多項式X26XB可化為（XA）21，則B的值是8【分析】利用配方法進而將原式變形得出即可【解答】解X26XB（X3）29B（XA）21，A3，9B1，解得A3，B8故答案為8【點評】此題主要考查了配方法的應用，根據(jù)題意正確配方是解題關鍵二解答題（共20小題）11已知N為整數(shù)，試說明（N7）2（N3）2的值一定能被20整除【分析】用平方差公式展開（N7）2（N3）2，看因式中有沒有20即可【解答】解（N7）2（N3）2（N7N3）（N7N3）20（N2），（N7）2（N3）2的值一定能被20整除【點評】主要考查利用平方差公式分解因式公式A2B2（AB）（AB）12（2016秋農安縣校級期末）因式分解4X2Y4XYY【分析】先提取公因式Y，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解【解答】解4X2Y4XYYY（4X24X1）Y（2X1）2【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止13（2015秋成都校級期末）因式分解（1）A3AB2（2）（XY）24XY【分析】（1）原式提取A，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可【解答】解（1）原式A（A2B2）A（AB）（AB）；（2）原式X22XYY24XYX22XYY2（XY）2【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵14（2015春甘肅校級期末）先閱讀下面的內容，再解決問題，例題若M22MN2N26N90，求M和N的值解M22MN2N26N90M22MNN2N26N90（MN）2（N3）20MN0，N30M3，N3問題（1）若X22Y22XY4Y40，求XY的值（2）已知ABC的三邊長A，B，C都是正整數(shù)，且滿足A2B26A6B18|3C|0，請問ABC是怎樣形狀的三角形【分析】（1）首先把X22Y22XY4Y40，配方得到（XY）2（Y2）20，再根據(jù)非負數(shù)的性質得到XY2，代入求得數(shù)值即可；（2）先把A2B26A6B18|3C|0，配方得到（A3）2（B3）2|3C|0，根據(jù)非負數(shù)的性質得到ABC3，得出三角形的形狀即可【解答】解（1）X22Y22XY4Y40X2Y22XYY24Y40，（XY）2（Y2）20XY2；（2）A2B26A6B18|3C|0，A26A9B26B9|3C|0，（A3）2（B3）2|3C|0ABC3三角形ABC是等邊三角形【點評】此題考查了配方法的應用通過配方，把已知條件變形為幾個非負數(shù)的和的形式，然后利用非負數(shù)的性質得到幾個等量關系，建立方程求得數(shù)值解決問題15（2015秋太和縣期末）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”如42202，124222，206242，因此4，12，20這三個數(shù)都是和諧數(shù)（1）36和2016這兩個數(shù)是和諧數(shù)嗎為什么（2）設兩個連續(xù)偶數(shù)為2K2和2K（其中K取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎為什么（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和為2500【分析】（1）利用3610282；201650525032說明36是“和諧數(shù)”，2016不是“和諧數(shù)”；（2）設兩個連續(xù)偶數(shù)為2N，2N2（N為自然數(shù)），則“和諧數(shù)”（2N2）2（2N）2，利用平方差公式展開得到（2N22N）（2N22N）4（2N1），然后利用整除性可說明“和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)；（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”中，最小的為22024，最大的為502482196，將它們全部列出不難求出他們的和【解答】解（1）36是“和諧數(shù)”，2016不是“和諧數(shù)”理由如下3610282；201650525032；（2）設兩個連續(xù)偶數(shù)為2K2和2K（N為自然數(shù)），（2K2）2（2K）2（2K22K）（2K22K）（4K2）24（2K1），4（2K1）能被4整除，“和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)；（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和，S（2202）（4222）（6242）（502482）5022500故答案是2500【點評】本題考查了因式分解的應用利用因式分解把所求的代數(shù)式進行變形，從而達到使計算簡化16（2015春興化市校級期末）如圖1，有若干張邊長為A的小正方形、長為B寬為A的長方形以及邊長為B的大正方形的紙片（1）如果現(xiàn)有小正方形1張，大正方形2張，長方形3張，請你將它們拼成一個大長方形（在圖2虛線框中畫出圖形），并運用面積之間的關系，將多項式A23AB2B2分解因式（2）已知小正方形與大正方形的面積之和為169，長方形的周長為34，求長方形的面積（3）現(xiàn)有三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（按原紙張進行無空隙、無重疊拼接），求可以拼成多少種邊長不同的正方形【分析】（1）根據(jù)小正方形1張，大正方形2張，長方形3張，直接畫出圖形，利用圖形分解因式即可；（2）由長方形的周長為34，得出AB17，由題意可知小正方形與大正方形的面積之和為A2B2169，將AB17兩邊同時平方，可求得AB的值，從而可求得長方形的面積；（3）設正方形的邊長為（NAMB），其中（N、M為正整數(shù)）由完全平方公式可知（NAMB）2N2A22NMABM2B2因為現(xiàn)有三種紙片各8張，N28，M28，2MN8（N、M為正整數(shù)）從而可知N2，M2，從而可得出答案【解答】解（1）如圖拼成邊為（A2B）和（AB）的長方形A23AB2B2（A2B）（AB）；（2）長方形的周長為34，AB17小正方形與大正方形的面積之和為169，A2B2169將AB17兩邊同時平方得（AB）2172，整理得A22ABB2289，2AB289169，AB60長方形的面積為60（3）設正方形的邊長為（NAMB），其中（N、M為正整數(shù)）正方形的面積（NAMB）2N2A22NMABM2B2現(xiàn)有三種紙片各8張，N28，M28，2MN8（N、M為正整數(shù)）N2，M2共有以下四種情況；N1，M1，正方形的邊長為AB；N1，M2，正方形的邊長為A2B；N2，M1，正方形的邊長為2AB；N2，M2，正方形的邊長為2A2B【點評】此題考查因式分解的運用，要注意結合圖形解決問題，解題的關鍵是靈活運用完全平方公式17（2014秋萊城區(qū)校級期中）（1）有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個新的長方形，如圖2用兩種不同的方法，計算圖2中長方形的面積；由此，你可以得出的一個等式為A22A1（A1）2（2）有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖3所示請你用拼圖等方法推出一個完全平方公式，畫出你的拼圖；請你用拼圖等方法推出2A25AB2B2因式分解的結果，畫出你的拼圖【分析】（1）要能根據(jù)所給拼圖運用不同的計算面積的方法，來推導公式；（2）要能根據(jù)等式畫出合適的拼圖【解答】解（1）長方形的面積A22A1；長方形的面積（A1）2；A22A1（A1）2；（2）如圖，可推導出（AB）2A22ABB2；2A25AB2B2（2AB）（A2B）【點評】本題考查運用正方形或長方形的面積計算推導相關的一些等式；運用圖形的面積計算的不同方法得到多項式的因式分解18（2013秋海淀區(qū)校級期末）已知AB1，AB1，設S1AB，S2A2B2，S3A3B3，SNANBN（1）計算S2；（2）請閱讀下面計算S3的過程因為AB1，AB1，所以S3A3B3（AB）（A2B2）AB（AB）1S2（1）S214你讀懂了嗎請你先填空完成（2）中S3的計算結果，再用你學到的方法計算S4（3）試寫出SN2，SN1，SN三者之間的關系式；（4）根據(jù)（3）得出的結論，計算S6【分析】（1）（2）利用完全平方公式進行化簡，然后代入AB，AB的值，即可推出結論；（3）根據(jù)（1）所推出的結論，即可推出SN2SN1SN；（4）根據(jù)（3）的結論，即可推出A6B6S6S4S52S4S3【解答】解（1）S2A2B2（AB）22AB3；（2）（A2B2）（AB）A3AB2A2BB3A3B3AB（AB），31A3B31，A3B34，即S34；S4（A2B2）22（AB）27，S47；（3）S23，S34，S47，S2S3S4，SN2SN1SN；（3）SN2SN1SN，S23，S34，S47，S54711，S671118【點評】本題主要考查整式的混合運算、完全平方公式的運用，關鍵在于根據(jù)題意推出S23，S34，S47，分析歸納出規(guī)律SN2SN1SN19（2013春重慶校級期末）（1）利用因式分解簡算9820498004（2）分解因式4A（A1）2（1A）【分析】（1）利用完全平方公式因式分解計算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可【解答】解（1）原式98220298022（9802）2100；（2）4A（A1）2（1A）（A1）（4A24A1）（A1）（2A1）2【點評】此題考查因式分解的實際運用，掌握平方差公式和完全平方公式是解決問題的關鍵20（2013春惠山區(qū)校級期末）閱讀材料若M22MN2N28N160，求M、N的值解M22MN2N28N160，（M22MNN2）（N28N16）0（MN）2（N4）20，（MN）20，（N4）20，N4，M4根據(jù)你的觀察，探究下面的問題（1）已知X22XY2Y22Y10，求XY的值（2）已知ABC的三邊長A、B、C都是正整數(shù)，且滿足A2B26A8B250，求ABC的最大邊C的值（3）已知AB4，ABC26C130，則ABC7【分析】（1）將多項式第三項分項后，結合并利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負數(shù)之和為0，兩非負數(shù)分別為0求出X與Y的值，即可求出XY的值；（2）將已知等式25分為916，重新結合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負數(shù)之和為0，兩非負數(shù)分別為0求出A與B的值，根據(jù)邊長為正整數(shù)且三角形三邊關系即可求出C的長；（3）由AB4，得到AB4，代入已知的等式中重新結合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負數(shù)之和為0，兩非負數(shù)分別為0求出B與C的值，進而求出A的值，即可求出ABC的值【解答】解（1）X22XY2Y22Y10（X22XYY2）（Y22Y1）0（XY）2（Y1）20XY0Y10解得X1，Y1XY2；（2）A2B26A8B250（A26A9）（B28B16）0（A3）2（B4）20A30，B40解得A3，B4三角形兩邊之和第三邊CAB，C34C7，又C是正整數(shù)，C最大為6；（3）AB4，即AB4，代入得（B4）BC26C130，整理得（B24B4）（C26C9）（B2）2（C3）20，B20，且C30，即B2，C3，A2，則ABC2（2）37故答案為7【點評】此題考查了因式分解的應用，以及非負數(shù)的性質，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵21（2012秋溫嶺市校級期末）仔細閱讀下面例題，解答問題例題已知二次三項式X24XM有一個因式是（X3），求另一個因式以及M的值解設另一個因式為（XN），得X24XM（X3）（XN），則X24XMX2（N3）X3NN34M3N解得N7，M21另一個因式為（X7），M的值為21問題（1）若二次三項式X25X6可分解為（X2）（XA），則A3；（2）若二次三項式2X2BX5可分解為（2X1）（X5），則B9；（3）仿照以上方法解答下面問題已知二次三項式2X25XK有一個因式是（2X3），求另一個因式以及K的值【分析】（1）將（X2）（XA）展開，根據(jù)所給出的二次三項式即可求出A的值；（2）（2X1）（X5）展開，可得出一次項的系數(shù)，繼而即可求出B的值；（3）設另一個因式為（XN），得2X25XK（2X3）（XN）2X2（2N3）X3N，可知2N35，K3N，繼而求出N和K的值及另一個因式【解答】解（1）（X2）（XA）X2（A2）X2AX25X6，A25，解得A3；（2）（2X1）（X5）2X29X52X2BX5，B9；（3）設另一個因式為（XN），得2X25XK（2X3）（XN）2X2（2N3）X3N，則2N35，K3N，解得N4，K12，故另一個因式為（X4），K的值為12故答案為（1）3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一個因式是X4，K12（6分）【點評】本題考查因式分解的意義，解題關鍵是對題中所給解題思路的理解，同時要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式22（2012春郯城縣期末）分解因式（1）2X2X；（2）16X21；（3）6XY29X2YY3；（4）412（XY）9（XY）2【分析】（1）直接提取公因式X即可；（2）利用平方差公式進行因式分解；（3）先提取公因式Y，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解；（4）把（XY）看作整體，利用完全平方公式分解因式即可【解答】解（1）2X2XX（2X1）；（2）16X21（4X1）（4X1）；（3）6XY29X2YY3，Y（9X26XYY2），Y（3XY）2；（4）412（XY）9（XY）2，23（XY）2，（3X3Y2）2【點評】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，是因式分解的常用方法，難點在（3），提取公因式Y后，需要繼續(xù)利用完全平方公式進行二次因式分解23（2012春碑林區(qū)校級期末）已知A，B，C是三角形的三邊，且滿足（ABC）23（A2B2C2），試確定三角形的形狀【分析】將已知等式利用配方法變形，利用非負數(shù)的性質解題【解答】解（ABC）23（A2B2C2），A2B2C22AB2BC2AC，3A23B23C2，A2B22ABB2C22BCA2C22AC0，即（AB）2（BC）2（CA）20，AB0，BC0，CA0，ABC，故ABC為等邊三角形【點評】本題考查了配方法的運用，非負數(shù)的性質，等邊三角形的判斷關鍵是將已知等式利用配方法變形，利用非負數(shù)的性質解題24（2011秋北辰區(qū)校級期末）分解因式（1）2X44X2Y22Y4（2）2A34A2B2AB2【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可【解答】解（1）2X44X2Y22Y42（X42X2Y2Y4）2（X2Y2）22（XY）2（XY）2；（2）2A34A2B2AB22A（A22ABB2）2A（AB）2【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，提取公因式后利用公式進行二次分解，注意分解要徹底25（2011秋蘇州期末）圖是一個長為2M、寬為2N的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖的形狀拼成一個正方形（1）圖中的陰影部分的面積為（MN）2；（2）觀察圖請你寫出三個代數(shù)式（MN）2、（MN）2、MN之間的等量關系是（MN）2（MN）24MN（3）若XY7，XY10，則（XY）29（4）實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示如圖，它表示了（MN）（2MN）2M23MNN2（5）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示（MN）（M3N）M24MN3N2【分析】（1）可直接用正方形的面積公式得到（2）掌握完全平方公式，并掌握和與差的區(qū)別（3）此題可參照第（2）題（4）可利用各部分面積和長方形面積列出恒等式（5）可參照第（4）題畫圖【解答】解（1）陰影部分的邊長為（MN），陰影部分的面積為（MN）2；（2）（MN）2（MN）24MN；（3）（XY）2（XY）24XY72409；（4）（MN）（2MN）2M23MNN2；（5）答案不唯一例如【點評】本題考查了因式分解的應用，解題關鍵是認真觀察題中給出的圖示，用不同的形式去表示面積，熟練掌握完全平方公式，并能進行變形26（2009秋海淀區(qū)期末）已知A、B、C滿足AB8，ABC2160，求2ABC的值【分析】本題乍看下無法代數(shù)求值，也無法進行因式分解；但是將已知的兩個式子進行適當變形后，即可找到本題的突破口由AB8可得AB8；將其代入ABC2160得B28BC2160；此時可發(fā)現(xiàn)B28B16正好符合完全平方公式，因此可用非負數(shù)的性質求出B、C的值，進而可求得A的值；然后代值運算即可【解答】解因為AB8，所以AB8（1分）又ABC2160，所以（B8）BC2160（2分）即（B4）2C20又（B4）20，C20，則B4，C0（4分）所以A4，（5分）所以2ABC4（6分）【點評】本題既考查了對因式分解方法的掌握，又考查了非負數(shù)的性質以及代數(shù)式求值的方法27（2010春北京期末）已知一個長方體的長、寬、高分別為正整數(shù)A、B、C，且滿足ABCABBCACABC2006，求這個長方體的體積【分析】我們可先將ABCABBCACABC分解因式可變?yōu)椋ˋ1）（B1）（C1）1，就得（1B）（C1）（A1）2007，由于A、B、C均為正整數(shù)，所以（A1）、（B1）、（C1）也為正整數(shù)，而2007只可分解為33223，可得（A1）、（B1）、（C1）的值分別為3、3、223，所以A、B、C值為2、2、222就可求出長方體體積ABC了【解答】解原式可化為AABCACABABCB112006，A（1B）C（1B）AC（1B）（1B）12006，（1B）（ACAC）（1B）2007，（1B）（C1AAC）2007，（1B）（C1）（A1）2007，2007只能分解為33223（A1）、（B1）、（C1）也只能分別為3、3、223A、B、C也只能分別為2、2、222長