第14講三角形與全等三角形知識(shí)梳理一、三角形的概念及性質(zhì)1概念1由三條線段_順次相接組成的圖形，叫做三角形2三角形按邊可分為非等腰三角形和等腰三角形；按角可分為銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形2性質(zhì)1三角形的內(nèi)角和是_；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的_；三角形的一個(gè)外角大于與它_的任何一個(gè)內(nèi)角2三角形的任意兩邊之和_第三邊；三角形任意兩邊之差_第三邊二、三角形中的重要線段1三角形的角平分線三角形一個(gè)角的平分線和這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線特性三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的_2三角形的高線從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作_，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱高特性三角形的三條高線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的_3三角形的中線在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊_的線段叫做三角形的中線特性三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的_4三角形的中位線連接三角形兩邊_的線段叫做三角形的中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，且等于它的_三、全等三角形的性質(zhì)與判定1概念能夠_的兩個(gè)三角形叫做全等三角形2性質(zhì)全等三角形的_、_分別相等3判定1有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為SSS；2有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為SAS；3有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為ASA；4有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為AAS；5有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)記為HL四、定義、命題、定理、公理1定義對(duì)一個(gè)概念的特征、性質(zhì)的描述叫做這個(gè)概念的定義2命題判斷一件事情的語(yǔ)句1命題由_和_兩部分組成命題通常寫(xiě)成“如果，那么”的形式，“如果”后面是題設(shè)，“那么”后面是結(jié)論2命題的真假正確的命題稱為_(kāi)；錯(cuò)誤的命題稱為_(kāi)3互逆命題在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的_，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的_，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題每一個(gè)命題都有逆命題3定理經(jīng)過(guò)證明的真命題叫做定理因?yàn)槎ɡ淼哪婷}不一定都是真命題所以不是所有的定理都有逆定理4公理有一類命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它們作為判斷其他命題真?zhèn)蔚脑家罁?jù)，這樣的真命題叫做公理五、證明1證明從一個(gè)命題的條件出發(fā)，根據(jù)定義、公理及定理，經(jīng)過(guò)_，得出它的結(jié)論成立，從而判斷該命題為真，這個(gè)過(guò)程叫做證明2證明的一般步驟1審題，找出命題的題設(shè)和結(jié)論；2由題意畫(huà)出圖形，具有一般性；3用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫(xiě)出已知、求證；4分析證明的思路；5寫(xiě)出證明過(guò)程，每一步應(yīng)有根據(jù)，要推理嚴(yán)密3反證法先假設(shè)命題中結(jié)論的反面成立，推出與已知條件或是定義、定理等相矛盾，從而結(jié)論的反面不可能成立，借此證明原命題結(jié)論是成立的這種證明的方法叫做反證法自主測(cè)試12012浙江嘉興已知ABC中，B是A的2倍，C比A大20，則A等于A40B60C80D902下列長(zhǎng)度的三條線段，不能組成三角形的是A3,8,4B4,9,6C15,20,8D9,15,832012貴陽(yáng)如圖，已知點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，ABDE，BCEF，要使ABCDEF，還需要添加一個(gè)條件是ABCAFBBECBCEFDAEDF4下面的命題中，真命題是A有一條斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等B有兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C有一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等D有一條高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等52012四川雅安在ADB和ADC中，下列條件BDDC，ABAC；BC，BADCAD；BC，BDDC；ADBADC，BDDC能得出ADBADC的序號(hào)是_62012廣東廣州如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，ABAC，BC，求證BECD考點(diǎn)一、三角形的邊角關(guān)系【例1】若某三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則下列長(zhǎng)度的線段能作為其第三邊的是A1B5C7D9解析設(shè)第三邊為X，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得43X34，即1X7答案B方法總結(jié)1在具體判斷時(shí)，可用較小的兩條線段的和與最長(zhǎng)的線段進(jìn)行比較若這兩條線段的和大于最長(zhǎng)的那條線段，則這三條線段能組成三角形否則就不能組成三角形2三角形邊的關(guān)系的應(yīng)用1判定三條線段是否構(gòu)成三角形；2已知兩邊的長(zhǎng)，確定第三邊的取值范圍；3可證明線段之間的不等關(guān)系觸類旁通1已知三角形三邊長(zhǎng)分別為2，X,13，若X為正整數(shù)，則這樣的三角形個(gè)數(shù)為A2B3C5D13考點(diǎn)二、全等三角形的性質(zhì)與判定【例2】2012云南如圖，在ABC中，C90，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，DMAB，且DMAC，過(guò)點(diǎn)M作MEBC交AB于點(diǎn)E求證ABCMED證明在ABC和MED中，BCEM，MEDBDMAB，MDE90，CMDEACMD，ABCMED方法總結(jié)1判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，常用下面的思路有兩角對(duì)應(yīng)相等時(shí)找?jiàn)A邊或任一邊對(duì)應(yīng)相等；有兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)找?jiàn)A角或另一邊對(duì)應(yīng)相等在具體的證明中，要根據(jù)已知條件靈活選擇證明方法2全等三角形的性質(zhì)主要是指全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線、周長(zhǎng)、面積等之間的等量關(guān)系觸類旁通2如圖，在ABC中，ACB90，ACBC，BECE于點(diǎn)E，ADCE于點(diǎn)D求證BECCDA考點(diǎn)三、真假命題的判斷【例3】2012湖南益陽(yáng)下列命題是假命題的是A中心投影下，物高與影長(zhǎng)成正比B平移不改變圖形的形狀和大小C三角形的中位線平行于第三邊D圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑解析同一時(shí)刻，平行投影下物高與影長(zhǎng)成正比，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；平移是全等變換，不改變圖形的形狀和大小，故B項(xiàng)正確；三角形的中位線平行于第三邊，故C項(xiàng)正確；圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是切線的性質(zhì)，故D項(xiàng)正確答案A方法總結(jié)對(duì)命題的正確性理解一定要準(zhǔn)確，判定命題不成立時(shí)，有時(shí)可以舉反例說(shuō)明道理；命題有正、誤，錯(cuò)誤的命題也是命題觸類旁通3已知三條不同的直線A，B，C在同一平面內(nèi)，下列四個(gè)命題如果AB，AC，那么BC；如果BA，CA，那么BC；如果BA，CA，那么BC；如果BA，CA，那么BC其中為真命題的是_填寫(xiě)所有真命題的序號(hào)考點(diǎn)四、證明的方法【例4】如圖，已知在梯形ABCD中，ADBC，BCDC，CF平分BCD，DFAB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E求證1BFCDFC；2ADDE證明1CF平分BCD，BCFDCF在BFC和DFC中，ERRORBFCDFC2如圖，連接BDBFCDFC，BFDFFBDFDBDFAB，ABDFDBABDFBDADBC，BDADBCBCDC，DBCBDCBDABDC又BD是公共邊，BADBEDADDE方法總結(jié)1證明問(wèn)題時(shí)，首先要理清證明的思路，做到證明過(guò)程的每一步都有理有據(jù)，推理嚴(yán)密要證明線段、角相等時(shí)，證全等是常用的方法2證明的基本方法1綜合法，從已知條件入手，探索解題途徑的方法；2分析法，從結(jié)論出發(fā)，用倒推來(lái)尋求證題思路的方法；3兩頭“湊”的方法，綜合應(yīng)用以上兩種方法找證明思路的方法觸類旁通4如圖，在ABC中，AD是中線，分別過(guò)點(diǎn)B，C作AD及其延長(zhǎng)線的垂線BE，CF，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)求證BECF12012湖南長(zhǎng)沙現(xiàn)有3CM,4CM,7CM,9CM長(zhǎng)的四根木棒，任取其中三根組成一個(gè)三角形，那么可以組成的三角形的個(gè)數(shù)是A1B2C3D422012湖南婁底下列命題中，假命題是A平行四邊形是中心對(duì)稱圖形B三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等C對(duì)于簡(jiǎn)單的隨機(jī)樣本，可以用樣本的方差去估計(jì)總體的方差D若X2Y2，則XY3以下列各組線段為邊，能組成三角形的是A1CM,2CM,4CMB4CM,6CM,8CMC5CM,6CM,12CMD2CM,3CM,5CM42012湖南長(zhǎng)沙如圖，在ABC中，A45，B60，則外角ACD_52012湖南郴州已知，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線EF交AB于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)F求證AECF62012湖南衡陽(yáng)如圖所示，AFDC，BCEF，請(qǐng)你只補(bǔ)充一個(gè)條件，使ABCDEF，并說(shuō)明理由1如圖，為估計(jì)池塘兩岸A，B間的距離，楊陽(yáng)在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn)P，測(cè)得PA16M，PB12M，那么AB間的距離不可能是A5MB15MC20MD28M2如圖，已知ABC中，ABC45，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，CD4，則線段DF的長(zhǎng)度為A2B4C3D42223如圖，在ABC中，A80，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ACD150，則B_4如圖，在ABC中，BC邊不動(dòng)，點(diǎn)A豎直向上運(yùn)動(dòng)，A越來(lái)越小，B，C越來(lái)越大，若A減少度，B增加度，C增加度，則，三者之間的等量關(guān)系是_5如圖所示，三角形紙片ABC中，A65，B75，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在ABC內(nèi)，若120，則2的度數(shù)為_(kāi)6如圖，點(diǎn)B，C，F(xiàn)，E在同一直線上，12，BCFE，1_填“是”或“不是”2的對(duì)頂角，要使ABCDEF，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是_只需寫(xiě)出一個(gè)7如圖，已知在ABC中，ACB90，CDAB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，CEBC，過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F求證ABFC8如圖，點(diǎn)A，B，D，E在同一直線上，ADEB，BCDF，CF求證ACEF參考答案【知識(shí)梳理】一、11首尾21180兩個(gè)內(nèi)角的和不相鄰2大于小于二、1內(nèi)心2垂線垂心3中點(diǎn)重心4中點(diǎn)一半三、1完全重合2對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角四、21題設(shè)結(jié)論2真命題假命題3結(jié)論題設(shè)五、1邏輯推理導(dǎo)學(xué)必備知識(shí)自主測(cè)試1A設(shè)AX，則B2X，CX20，則X2XX20180，解得X40，即A402A3B由已知可得兩個(gè)三角形已有兩組邊對(duì)應(yīng)相等，還需要另一組邊對(duì)應(yīng)相等或夾角對(duì)應(yīng)相等，只有B能滿足條件4D5由題意知ADAD，條件可組成三邊對(duì)應(yīng)相等，條件可組成兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，條件可組成兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等，這三個(gè)條件都可得出ADBADC，條件組成的是兩邊及其一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，不能得出ADBADC6證明在ABE和ACD中，BC，ABAC，AA，ABEACDASABECD探究考點(diǎn)方法觸類旁通1B由三角形三邊的關(guān)系可得132X132，即11X15，X為正整數(shù)，X為12,13,14，故選B觸類旁通2證明BECF于點(diǎn)E，ADCE于點(diǎn)D，BECCDA90在RTBEC中，BCECBE90，在RTBCA中，BCEACD90，CBEACD在BEC和CDA中，ERRORBECCDA觸類旁通3觸類旁通4證明在ABC中，AD是中線，BDCDCFAD，BEAE，CFDBED90在BED與CFD中，BEDCFD，BDECDF，BDCD，BEDCFD，BECF品鑒經(jīng)典考題1B根據(jù)三角形三邊關(guān)系，能組成三角形的是3,7,9；4,7,92D若X2Y2，則XY或XY，所以D是假命題3B4105ACDAB45601055證明在平行四邊形ABCD中，ABCD，ACDBAC在APE和CPF中，ERRORAPECPFAECF6解答案不唯一，如BCEF等理由AFDC，ACDFBCEF，BCAEFD又BCEF，ABCDEF研習(xí)預(yù)測(cè)試題1D由三角形三邊關(guān)系知1612AB1612，故選D2B