對不等式選講的認(rèn)識與思考1不等式選講構(gòu)成的背景及其定位眾所周知，不等式一直在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中占有相當(dāng)?shù)奈恢?，也一直是高考中的必考?nèi)容，但由于“不等式的證明”所涉及到的復(fù)雜變換技巧和過于形式化的知識特點，給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了一定的困難，因此，近些年來，不等式內(nèi)容有逐漸淡化處理的傾向。例如，1963年制定的全日制數(shù)學(xué)教學(xué)大綱在我國數(shù)學(xué)教育史上首次提出要培養(yǎng)學(xué)生的“三大能力”（計算能力、邏輯思維能力、空間想象能力），根據(jù)該大綱編寫的高中數(shù)學(xué)教材（普遍認(rèn)為是建國以來編寫得最好的一套教材）對不等式學(xué)習(xí)的要求較高；1978年制定的全日制十年制學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，首次提出了“逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力”，對不等式學(xué)習(xí)的要求有增無減；1986年，國家教委按照“適當(dāng)降低難度、減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)、教學(xué)要求盡量明確具體”的三項原則制定了全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，對不等式學(xué)習(xí)的要求開始降低，特別是對“不等式的證明”只要求會用重要不等式證明或求解一些簡單問題；伴隨著90年代“素質(zhì)教育”的大力提倡，被認(rèn)為“繁難”的不等式證明最終以“選修”教材的形式出現(xiàn)?？偟膩碚f，不等式問題的處理逐漸呈現(xiàn)出淡化理論闡述與推導(dǎo)、減少恒等變換的技巧訓(xùn)練的趨勢。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）對不等式的處理分為兩個部分一是必修模塊數(shù)學(xué)5中的一元二次不等式、二元一次不等式組以及基本不等式，重在強調(diào)不等式的現(xiàn)實背景和實際應(yīng)AB2用，把不等式作為描述、刻畫優(yōu)化問題的一種數(shù)學(xué)模型；二是選修系列4中的專題5“不等式選講”，涉及的內(nèi)容仍然大都是基礎(chǔ)性的不等式知識，如，含有絕對值的不等式、不等式的基本證明方法、幾個重要的不等式等。特別值得注意的是，“不等式選講”仍屬于高等院校招生考試的命題范圍。而且，考慮到不等式在高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)性和工具性特點，標(biāo)準(zhǔn)在“不等式選講”中增加了“柯西不等式”、“排序不等式”、“貝努利不等式”等幾個重要不等式的內(nèi)容，并特別強調(diào)這些不等式的幾何背景知識的介紹，意在增強學(xué)生對不等式本質(zhì)的認(rèn)識，為后續(xù)進一步的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。2新增內(nèi)容的特點及其設(shè)列意向“不等式選講”中真正能稱得上是新增內(nèi)容的實質(zhì)上只有柯西不等式和排序不等式，貝努利不等式作為數(shù)學(xué)歸納法的一個簡單應(yīng)用算不上是新內(nèi)容，而排序不等式的去留又一直存在著爭議。這樣，柯西不等式就成為本專題的一大特色內(nèi)容。鑒于此，此處僅重點討論一下柯西不等式的特點及其設(shè)列意向，順便介紹排序不等式的大概情況。一般來講，柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西NIINIIBAA1212CAUCHY在研究數(shù)學(xué)分析中的“留數(shù)”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為CAUCHBUNIAKOWSKYSCHWARZ不等式，因為，正是后兩位數(shù)學(xué)家彼此獨立地在積分學(xué)中推而廣之，并將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步。BABABADXGXFDXGF222這也說明，柯西不等式主要是作為數(shù)學(xué)分析的重要工具受到關(guān)注的。但真正能顯示其魅力的還在于它與高等代數(shù)中的內(nèi)積空間的密切聯(lián)系，即任意兩個向量的夾角的余弦，于是,COS，這就是柯西不等式的向量形式，如果設(shè)1，容易得到?？梢?2121NNBANIINIIBAA1212說，標(biāo)準(zhǔn)將柯西不等式列為“不等式選講”的重要內(nèi)容，正是看中它的這一數(shù)學(xué)背景。柯西不等式的向量形式將數(shù)學(xué)中的兩個重要概念長度和角度（只考慮長度又如何）內(nèi)在地統(tǒng)一起來處理，一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性和美感，作為中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容很有必要（多個國家的數(shù)學(xué)教材中也早已采用）。但考慮到中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實際情況以及當(dāng)前課程改革的基本理念，柯西不等式的呈現(xiàn)仍不宜過難，基本上應(yīng)以二維形式為主，即重點研究及其簡單222BDACCBA應(yīng)用，而且還應(yīng)淡化過于技巧化的式的變換。關(guān)于不等式的證明及其幾何背景222DCCBA（1）由于,22CBABAD2CBDAC22C從而，又非負(fù)22D2DC所以，。22BACDC（2）證明2BA0222BDACCBA02DBAC22CDC0AB幾何背景如圖，在三角形中，OPQQOPDCBA,則Q（C，D）,22DCAOPOBCQP（A，B）將以上三式代入余弦定理，并化簡，可得COS222OPQOP或22COSDCBAOS222DBAC因為，所以，10122CD于是222BABA教材編寫和教學(xué)過程重點則應(yīng)放在柯西不等式的幾何解釋、向量背景以及實際應(yīng)用上?？挛鞑坏仁降南嚓P(guān)內(nèi)容簡介（1）赫爾德HOLDER不等式1212121QPBABABAANQNQPNP當(dāng)時，即為柯西不等式。因此，赫爾德不等式是柯西不Q等式更為一般的形式，在分析學(xué)中有著較為廣泛的應(yīng)用。（2）平面三角不等式（柯西不等式的等價形式）2221221221NNNBABABBAA可以借助其二維形式來2212A理解，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，很容易驗證這一不等式的正確性。該不等式的一般形式PNPPPNPPNPBABABBAA12112121稱為閔可夫斯基（MINKOWSKI）不等式。它是由閔可夫斯基在對N維空間中的對稱凸幾何體定義了一種“距離”的基礎(chǔ)上得到的，即對于點，定義其距離為,2121NNYYXXPIIX1,閔可夫斯基立足于這一不等式確立了相應(yīng)的幾何，建立了一種類似于現(xiàn)代度量空間的理論，即實變函數(shù)中的賦范空間基礎(chǔ)。這從另一個側(cè)面體現(xiàn)了柯西不等式的豐富數(shù)學(xué)背景。排序不等式的設(shè)列意向及其基本思想排序不等式還從來沒有作為正式內(nèi)容進入中學(xué)教材。標(biāo)準(zhǔn)之所以將其作為重要不等式提出來，主要是看中了其蘊含的一種重要數(shù)學(xué)思想排序思想。如所知，在解各種涉及到若干個可以比較大小的對象（如實數(shù)、線段、角度等）的數(shù)學(xué)問題時，如NA,21果根據(jù)對稱性，假定他們按一定的順序排列起來，往往能使問題迎刃而解。這就是數(shù)學(xué)中的排序思想。可以借助一個幾何問題來認(rèn)識排序不等式。BN設(shè)（常數(shù)），在邊上順次取NBJAOBOA個點，在邊上順次取N個點B1NA,21OB將任意兩個點連結(jié)，得到OA1AIANBJI,，這樣一共可以搭配成N個三角形。JIO顯然，搭配的方式不同，得到的三角形不同，面積也就可能JIB不一樣。問如何搭配，才能使得到的N個三角形面積的總和最大最小不妨設(shè)由題設(shè)知,21,JIBOBAAJII（1）321NA（2）,因為，而是常數(shù)。于是，上述幾何問題SIN2JOBABASJISI就歸結(jié)為下面的代數(shù)問題在數(shù)組（1）中取定，然后在數(shù)組1A（2）中任取，得乘積；再取及作乘積；類似地，得1J1J2A1JB21JB乘積。這N個乘積的和是NJBA1JBA21JNJ問怎樣安排，使這個和最大或最小。這個問題的解就N,2是下面的排序不等式。一般地，設(shè)有兩組正數(shù)與，且，NA,21NB,21NAA21若將兩組中的數(shù)一對一相乘后再相加，則其和同序時NBB21最大，倒序時最小即（倒序）（亂序）（同序）112121BABANNIIIN其中是的任一個排列，等號當(dāng)且僅當(dāng)NII,21,或時成立。NAA21NBB21其證明一般采用“逐步調(diào)整法”進行，教材對此不作要求，但要會用“向量遞歸方法”討論這一不等式成立的事實。排序不等式也有廣泛的應(yīng)用，許多重要的不等式（如柯西不等式、平均不等式等）都可以由它推得。此外，它在涉及最優(yōu)化問題的實際生活中也是重要的解決工具。不等式選講標(biāo)準(zhǔn)在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系和等量關(guān)系，不等關(guān)系和相等關(guān)系是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系。它們在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要的作用。本專題將介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學(xué)歸納法和它的簡單應(yīng)用。本專題特別強調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學(xué)生對這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力。內(nèi)容與要求1回顧和復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)和基本不等式。2理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式（1）；BA（2）C（3）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式；CBAX；AXC3認(rèn)識柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義。（1）證明柯西不等式向量形式（2）證明222BDACCBA（3）證明23123123232121YXYXYX4用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況1212NIINIIBAA5用向量遞歸方法討論排序不等式。6了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題。7會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式。為正整數(shù),11NXXN了解當(dāng)N為大于1的實數(shù)時貝努利不等式也成立。8會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。9通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。10完成一個學(xué)習(xí)總結(jié)報告。說明與建議1在本專題教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解重要的不等式都有深刻的數(shù)學(xué)意義和背景，例如本專題給出的不等式大都有明確的幾何背景。學(xué)生在學(xué)習(xí)中應(yīng)該把握這些幾何背景，理解這些不等式的實質(zhì)。2利用代數(shù)恒等變換以及放大、縮小方法是證明不等式的常用方法，例如，比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等，在很多情況下需要一些前人為我們創(chuàng)造的技巧，對于專門從事某些數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究的人們掌握這些技巧是極為重要的。但是，對大多數(shù)學(xué)習(xí)不等式的人來說，常常很難從這些復(fù)雜的代數(shù)恒等變換中看到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，對他們更為重要的是理解這些不等式的數(shù)學(xué)思想和背景。所以，本專題盡力使用幾何或其他方法來證明這些不等式，使學(xué)生較為容易地理解這些不等式以及證明的數(shù)學(xué)思想，不對恒等變換的難度特別是一些技巧作更多的要求，不希望不等式的教學(xué)陷在過于形式化的和復(fù)雜的恒等變換的技巧之中。要求教材的編寫者和教師不要選擇那些代數(shù)恒等變換比較復(fù)雜或過于技巧化的問題或習(xí)題。3數(shù)學(xué)歸納法是重要的數(shù)學(xué)思想方法，教師應(yīng)通過對一些簡單問題的分析，幫助學(xué)生掌握這種思想方法。在利用數(shù)學(xué)歸納法解決問題時，常常需要進行一些代數(shù)恒等變換。要求教材的編寫者和教師不要選擇那些代數(shù)恒等變換比較復(fù)雜或過于技巧化的問題或習(xí)題，以免沖淡了對數(shù)學(xué)歸納法思想的理解。不等式選講標(biāo)準(zhǔn)解讀一、設(shè)置“不等式選講”專題的意義同等量關(guān)系一樣，不等量關(guān)系也是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系，他們不僅在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在，而且在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中也起著重要的作用。本專題將介紹一些重要不等式（柯西、排序、貝努利）和他們的證明，數(shù)學(xué)歸納法和它的簡單應(yīng)用。本專題強調(diào)不等式的幾何意義及其背景，旨在加深學(xué)生對這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力。本專題的內(nèi)容是以初中課程為起點的。要求學(xué)生從幾何意義和背景出發(fā)來理解不等式及其數(shù)學(xué)本質(zhì)，要避免過多的代數(shù)恒等變形，不要對恒等變形的難度特別是一些技巧作更多的要求，不等式的教學(xué)不要陷入過與形式化和復(fù)雜的恒等變換的技巧當(dāng)中。數(shù)學(xué)歸納法是重要的數(shù)學(xué)思想方法，同樣不應(yīng)陷于復(fù)雜的恒等變換之中，沖淡對數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的理解。本專題與高中課程中的必修內(nèi)容沒有必然聯(lián)系，無需以他們作為預(yù)備知識。當(dāng)然，如果學(xué)過上述內(nèi)容，特別是數(shù)學(xué)必修4、必修5，對本專題可以更好的理解。二、本專題的主要內(nèi)容和基本思想本專題中的重要不等式主要涉及絕對值不等式、柯西不等式、貝努利不等式和排序不等式，以及比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等不等式證明的的基本方法。其中，貝努利不等式的證明將很自然地和數(shù)學(xué)歸納法聯(lián)系在一起。絕對值有著很明確的幾何意義，即數(shù)軸上坐標(biāo)為的點到原AA點的距離。利用絕對值的幾何意義，可以很好地證明和求解一些基本的含絕對值的不等式。比如，不等式的解就可以直BXC接理解為數(shù)軸上滿足到坐標(biāo)為的點的距離與到坐標(biāo)為的點的距離C之和大于等于的點的坐標(biāo)，而上述距離之和的最小值顯然為A（在，之間的點取到），因此，不等式的解取決于與CBBCB的大小關(guān)系。用類似的方法也不難證明，實際上ACAB只需要注意到，在數(shù)軸上的位置關(guān)系即可。ABC柯西不等式是有著很重要的數(shù)學(xué)背景的不等式，在許多領(lǐng)域當(dāng)中，都能夠看到它的影子。配方法是證明柯西不等式最直接的簡單方法（包括證明柯西不等式的一般情形），平面三角不等式是柯西不等式的等價形式。如果從向量的角度來看，任意兩個向量的夾,角的余弦，于是，這就是柯西不等式,COS1的向量形式。排序不等式也是應(yīng)用范圍比較廣泛的不等式，我們也可以利用它來證明柯西不等式。貝努利不等式是一個很重要的不等式，在很多方面有著廣泛的應(yīng)用。用數(shù)學(xué)歸納法證明它簡單明了。數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于自然數(shù)的有關(guān)命題的重要方法，本質(zhì)上是一個原理?？傮w來看，數(shù)學(xué)歸納法有兩個重要步驟構(gòu)成首先是奠基步，這往往比較容易，但卻是必需的；然后需要有一個一般意義的演繹規(guī)則，按照這個演繹規(guī)則，反復(fù)應(yīng)用，從奠基步開始，在有限步之內(nèi)達到任意指定的情形。通常，這個一般意義的演繹規(guī)則是從所謂的歸納假設(shè)開始，從較小的規(guī)模成立的假設(shè)推導(dǎo)出較大規(guī)模的情形也成立，從而建立一個一般的演繹規(guī)則。一般所謂的第一數(shù)學(xué)歸納法，就是在假設(shè)PK1成立的前提下，得到PK也成立。第二數(shù)學(xué)歸納法則是從PK到PK。靈活應(yīng)用以上原則，即可得到更多的數(shù)學(xué)歸納法的不同形式，有時根據(jù)演繹規(guī)則的需要，奠基步也會有相應(yīng)的變化，比如所謂“跳步”數(shù)學(xué)歸納法和“倒序”數(shù)學(xué)歸納法。我們用具體問題說明如下。用數(shù)學(xué)歸納法證明一個正方形可以劃分為N個小正方形（不一定全等），其中N4或N7首先，當(dāng)N4,7,8,9時，有如下分法一分為四、一分為四后將其中一份再一分為四、第一行第一列分出七個相等的正方形、三等分成九個正方形。然后，假設(shè)NK時命題成立，我們來說明NK3時命題也成立。實際上，只需要注意到上述N4時的情形，再將其中一個小正方形根據(jù)假設(shè)劃分為K個更小的正方形，于是NK3時命題也成立。這就是所謂的“跳步”數(shù)學(xué)歸納法。下面再以平均值不等式的證明為例，來說明“倒序”數(shù)學(xué)歸納法。我們熟知平均值不等式指的是對任意N個正數(shù)都,21NX有