小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題類型及解題方法小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題類型及解題方法一和差問題已知兩個數(shù)的和與差，求這兩個數(shù)的應(yīng)用題，叫做和差問題。一般關(guān)系式有（和差）2較小數(shù)（和差）2較大數(shù)例甲乙兩數(shù)的和是24，甲數(shù)比乙數(shù)少4，求甲乙兩數(shù)各是多少（244）228214乙數(shù)（244）220210甲數(shù)答甲數(shù)是10，乙數(shù)是14二差倍問題已知兩個數(shù)的差及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)的應(yīng)用題，叫做差倍問題?；娟P(guān)系式是兩數(shù)差倍數(shù)差較小數(shù)例有兩堆煤，第二堆比第一堆多40噸，如果從第二堆中拿出5噸煤給第一堆，這時第二堆煤的重量正好是第一堆的3倍。原來兩堆煤各有多少噸分析原來第二堆煤比第一堆多40噸，給了第一堆5噸后，第二堆煤比第一堆就只多4052噸，由基本關(guān)系式列式是（4052）（31）5（4010）25302515510（噸）第一堆煤的重量104050（噸）第二堆煤的重量答第一堆煤有10噸，第二堆煤有50噸。三還原問題已知一個數(shù)經(jīng)過某些變化后的結(jié)果，要求原來的未知數(shù)的問題，一般叫做還原問題。還原問題是逆解應(yīng)用題。一般根據(jù)加、減法，乘、除法的互逆運算的關(guān)系。由題目所敘述的的順序，倒過來逆順序的思考，從最后一個已知條件出發(fā)，逆推而上，求得結(jié)果。例倉庫里有一些大米，第一天售出的重量比總數(shù)的一半少12噸。第二天售出的重量，比剩下的一半少12噸，結(jié)果還剩下19噸，這個倉庫原來有大米多少噸分析如果第二天剛好售出剩下的一半，就應(yīng)是1912噸。第一天售出以后，剩下的噸數(shù)是（1912）2噸。以下類推。列式（1912）212231212262122502100（噸）答這個倉庫原來有大米100噸。四置換問題題中有二個未知數(shù)，常常把其中一個未知數(shù)暫時當作另一個未知數(shù)，然后根據(jù)已知條件進行假設(shè)性的運算。其結(jié)果往往與條件不符合，再加以適當?shù)恼{(diào)整，從而求出結(jié)果。例一個集郵愛好者買了10分和20分的郵票共100張，總值18元8角。這個集郵愛好者買這兩種郵票各多少張分析先假定買來的100張郵票全部是20分一張的，那么總值應(yīng)是201002000（分），比原來的總值多20001880120（分）。而這個多的120分，是把10分一張的看作是20分一張的，每張多算201010（分），如此可以求出10分一張的有多少張。列式（20001880）（2010）1201012（張）10分一張的張數(shù)1001288（張）20分一張的張數(shù)或是先求出20分一張的張數(shù)，再求出10分一張的張數(shù)，方法同上，注意總值比原來的總值少。五盈虧問題（盈不足問題）題目中往往有兩種分配方案，每種分配方案的結(jié)果會出現(xiàn)多（盈）或少（虧）的情況，通常把這類問題，叫做盈虧問題（也叫做盈不足問題）。解答這類問題時，應(yīng)該先將兩種分配方案進行比較，求出由于每份數(shù)的變化所引起的余數(shù)的變化，從中求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意，求出被分配物品的數(shù)量。其計算方法是當一次有余數(shù)，另一次不足時每份數(shù)（余數(shù)不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差當兩次都有余數(shù)時總份數(shù)（較大余數(shù)較小數(shù)）兩次每份數(shù)的差當兩次都不足時總份數(shù)（較大不足數(shù)較小不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差例1、解放軍某部的一個班，參加植樹造林活動。如果每人栽5棵樹苗，還剩下14棵樹苗；如果每人栽7棵，就差4棵樹苗。求這個班有多少人一共有多少棵樹苗分析由條件可知，這道題屬第一種情況。列式（144）（75）1829（人）5914451459（棵）或79463459（棵）答這個班有9人，一共有樹苗59棵。六年齡問題年齡問題的主要特點是兩人的年齡差不變，而倍數(shù)差卻發(fā)生變化。常用的計算公式是成倍時小的年齡大小年齡之差（倍數(shù)1）幾年前的年齡小的現(xiàn)年成倍數(shù)時小的年齡幾年后的年齡成倍時小的年齡小的現(xiàn)在年齡例父親今年54歲，兒子今年12歲。幾年后父親的年齡是兒子年齡的4倍（5412）（41）42314（歲）兒子幾年后的年齡14122（年）2年后答2年后父親的年齡是兒子的4倍。例2、父親今年的年齡是54歲，兒子今年有12歲。幾年前父親的年齡是兒子年齡的7倍（5412）（71）4267（歲）兒子幾年前年齡1275（年）5年前答5年前父親的年齡是兒子的7倍。例3、王剛父母今年的年齡和是148歲，父親年齡的3倍與母親年齡的差比年齡和多4歲。王剛父母親今年的年齡各是多少歲（14824）（31）300475（歲）父親的年齡1487573（歲）或（1482）2150275（歲）75273（歲）答王剛的父親今年75歲，母親今年73歲。七雞兔問題已知雞兔的總只數(shù)和總足數(shù)，求雞兔各有多少只的一類應(yīng)用題，叫做雞兔問題，也叫“龜鶴問題”、“置換問題”。一般先假設(shè)都是雞（或兔），然后以兔（或雞）置換雞（或兔）。常用的基本公式有（總足數(shù)雞足數(shù)總只數(shù)）每只雞兔足數(shù)的差兔數(shù)兔子只數(shù)總腿數(shù)總頭數(shù)22雞的只數(shù)總頭數(shù)4總腿數(shù)2（兔足數(shù)總只數(shù)總足數(shù)）每只雞兔足數(shù)的差雞數(shù)例雞兔同籠共有24只。有64條腿。求籠中的雞和兔各有多少只（64224）（42）（6448）（42）1628（只）兔的只數(shù)24816（只）雞的只數(shù)答籠中的兔有8只，雞有16只。八牛吃草問題（船漏水問題）若干頭牛在一片有限范圍內(nèi)的草地上吃草。牛一邊吃草，草地上一邊長草。當增加（或減少）牛的數(shù)量時，這片草地上的草經(jīng)過多少時間就剛好吃完呢例1、一片草地，可供15頭牛吃10天，而供25頭牛吃，可吃5天。如果青草每天生長速度一樣，那么這片草地若供10頭牛吃，可以吃幾天分析一般把1頭牛每天的吃草量看作每份數(shù)，那么15頭牛吃10天，其中就有草地上原有的草，加上這片草地10天長出草，以下類推其中可以發(fā)現(xiàn)25頭牛5天的吃草量比15頭牛10天的吃草量要少。原因是因為其一，用的時間少；其二，對應(yīng)的長出來的草也少。這個差就是這片草地5天長出來的草。每天長出來的草可供5頭牛吃一天。如此當供10牛吃時，拿出5頭牛專門吃每天長出來的草，余下的牛吃草地上原有的草。（1510255）（105）（150125）（105）2555（頭）可供5頭牛吃一天。15010515050100（頭）草地上原有草供100頭牛吃一天100（105）100520（天）答若供10頭牛吃，可以吃20天。例2、一口井勻速往上涌水，用4部抽水機100分鐘可以抽干；若用6部同樣的抽水機則50分鐘可以抽干?，F(xiàn)在用7部同樣的抽水機，多少分鐘可以抽干這口井里的水（1004506）（10050）（400300）（10050）1005024001002400200200200（72）200540（分）答用7部同樣的抽水機，40分鐘可以抽干這口井里的水。九公約數(shù)、公倍數(shù)問題運用最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)解答應(yīng)用題，叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問題。例1一塊長方體木料，長25米，寬175米，厚075米。如果把這塊木料鋸成同樣大小的正方體木塊，不準有剩余，而且每塊的體積盡可能的大，那么，正方體木塊的棱長是多少共鋸了多少塊分析25250厘米175175厘米07575厘米其中250、175、75的最大公約數(shù)是25，所以正方體的棱長是25CM（25025）（17525）（7525）1073210（塊）答正方體的棱長是25厘米，共鋸了210塊。例2、兩嚙合齒輪，一個有24個齒，另一個有40個齒，求某一對齒從第一次接觸到第二次接觸，每個齒輪至少要轉(zhuǎn)多少周分析因為24和40的最小公倍數(shù)是120，也就是兩個齒輪都轉(zhuǎn)120個齒時，第一次接觸的一對齒，剛好第二次接觸。120245（周）120403（周）答每個齒輪分別要轉(zhuǎn)5周、3周。十分數(shù)應(yīng)用題指用分數(shù)計算來解答的應(yīng)用題，叫做分數(shù)應(yīng)用題，也叫分數(shù)問題。分數(shù)應(yīng)用題一般分為三類1求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾。2求一個數(shù)的幾分之幾是多少。3已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)。其中每一類別又分為二種，其一一般分數(shù)應(yīng)用題；其二較復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題。例1育才小學(xué)有學(xué)生1000人，其中三好學(xué)生250人。三好學(xué)生占全校學(xué)生的幾分之幾例2一堆煤有180噸，運走了3/5。運走了多少噸例3某農(nóng)機廠去年生產(chǎn)農(nóng)機1800臺，今年計劃比去年增加1/3。今年計劃生產(chǎn)多少臺1800（11/3）18004/32400（臺）答今年計劃生產(chǎn)2400臺。例4修一條長2400米的公路，第一天修完全長的1/3，第二天修完余下的1/4。還剩下多少米2400（11/3）（11/4）24002/33/41200（米）答還剩下1200米。例5一個學(xué)校有三好學(xué)生168人，占全校學(xué)生人數(shù)的4/7。全校有學(xué)生多少人例6甲庫存糧120噸，比乙?guī)斓拇婕Z少1/3。乙?guī)齑婕Z多少噸120（11/3）1203/2180（噸）答乙?guī)齑婕Z180噸。例7一堆煤，第一次運走全部的1/2，第二次運走全部的1/3，第二次比第一次少運8噸。這堆煤原有多少噸8（1/21/3）81/648（噸）答這堆煤原有48噸。十一工程問題它是分數(shù)應(yīng)用題的一個特例。是已知工作量、工作時間和工作效率，三個量中的兩個求第三個量的問題。解答工程問題時，一般要把全部工程看作“1”，然后根據(jù)下面的數(shù)量關(guān)系進行解答工作效率工作時間工作量工作量工作時間工作效率工作量工作效率工作時間例1一項工程，甲隊單獨做需要18天，乙隊單獨做需要24天。如果兩隊合作8天后，余下的工程由甲隊單獨做，還要幾天完成例2一個水池，裝有甲、乙兩個進水管，一個出水管。單開甲管2小時可以注滿；單開乙管3小時可以注滿；單開出水管6小時可以放完?，F(xiàn)在三管在池空時齊開，多少小時可以把水池注滿百分數(shù)應(yīng)用題這類應(yīng)用題與分數(shù)應(yīng)用題的解答方式大致相同，僅求“率”時，表達方式不同，意義不同。十二、過橋問題，從車頭上橋，到車尾離開橋，求所用的時間。路程橋長列車長度。十三、流水問題，求船在流水中航行的時間。船速水速順流速度，船速水速逆流速度。十四、線上植樹問題，求植樹的株數(shù)。在封閉的線上植樹。路長株距株數(shù)株距路長株數(shù)株數(shù)路長株距。在不封閉的線上植樹，兩端都植樹。路長株距（株數(shù)1）株距路長（株數(shù)1）株數(shù)路長株距1。十五、面上植樹問題，求植樹的株數(shù)。當長方形土地的長、寬分別能被株距、行距整除時。行距株距每株植物的占地面積，土地面積每株植物的占地面積株數(shù)。當長方形土地的長、寬不能被株距、行距整除時。可以按線上植樹問題解題。十六、盈虧問題，求分配的人數(shù)。剩余物品的個數(shù)差分配方法的個數(shù)差分配的人數(shù)。十七、時鐘問題，求時針和分針重合、成直線或直角的時間。兩針重合時間兩針間隔格數(shù)11/12。兩針成直線時間（兩針間隔格數(shù)30）11/12。兩針成直角時間（兩針間隔格數(shù)15或45）11/12。十八、時間差問題，計算幾月幾日到幾月幾日的時間差。先計算首月和尾月，再計算中間幾個月。十九、預(yù)測星期幾問題，已知今天是星期幾，計算經(jīng)過多少天是星期幾。用經(jīng)過的天數(shù)除以7，求出剩余的天數(shù)，再計算是星期幾。1、求平均數(shù)應(yīng)用題解題方法讀題，找出總數(shù)量；找出總份數(shù)；平均數(shù)總數(shù)量總份數(shù)總數(shù)量平均數(shù)總份數(shù)總份數(shù)總數(shù)量平均數(shù)2、分數(shù)（百分數(shù)）應(yīng)用題解題方法（三步走）讀題，找準題里單位“1”的量；確定單位“1”是已知，還是未知。單位“1”已知，用乘法單位“1”的量分率分率對應(yīng)量；單位“1”未知，用除法或方程分率對應(yīng)量（已知數(shù)）對應(yīng)分率單位“1”的量比單位“1”多就用單位“1”的量多的或（1），比單位“1”少就用單位“1”的量少的或（1）。3、工程問題解題方法讀題，根據(jù)所求問題找出需要完成的工作量和各自的工作效率；（注意要對應(yīng)求誰的時間就去找他需要完成的工作量和他的工作效率）；工作時間工作總量工作效率工作總量工作效率工作時間工作效率工作總量工作時間4、相遇問題解題方法讀題，從問題入手；總路程速度和相遇時間相遇時間總路程速度和速度和總路程相遇時間。5、按比例分配應(yīng)用題解題方法讀題，找出總數(shù)量（各部分的總和）；根據(jù)各部分的比找出總份數(shù)；用總數(shù)量乘以各部分占總數(shù)的分率。6、幾何形體應(yīng)用題解題方法讀題，看清是什么形體；分析，是計算它的什么；該怎樣計算（相關(guān)計算公式）；注意單位。7、列方程解應(yīng)用題解題方法根據(jù)題意，找出未知數(shù)并用表示；分析題里數(shù)量之間的相等關(guān)系（找出等量關(guān)系）列方程；解方程；檢驗，寫出答案。8、用比例知識解應(yīng)用題解題方法讀題，找準題里一定的量；判斷題里的比例關(guān)系（是成正還是反比例）；列比例（成正比例，比值相等；成反比例，乘積相等）。解比例。9、一般應(yīng)用題（通用）解題方法弄清題意，找出已知條件和所求問題；分析題里數(shù)量之間的關(guān)系，確定先算什么、再算什么、最后算什么；確定每一步該怎樣算；列出算式，算出得數(shù)。分數(shù)應(yīng)用題,先要弄清兩個概念帶單位的分數(shù)和不帶單位的分數(shù)。帶單位的分數(shù)，如3/4噸，叫數(shù)量，與我們以前學(xué)過的“3噸”、“03噸”表示的意義一樣，都是表示一個物體的具體的數(shù)量。只不過在這里用分數(shù)的形式表示出來而已。不帶單位的分數(shù)，如3/4，叫分率，它表示一個數(shù)的幾分之幾。由于這兩種分數(shù)表示意義不同，出現(xiàn)在應(yīng)用題中，它們的分析思路、解題過程也不同。請仔細看下面的對比例子例1（1）一根鐵絲長5米，用去了2/5米，還剩下多少米（2）一根鐵絲長5米，用去了2/5，還剩下多少米解析（1）剩下的總長用去的52/54又3/5米（2）用去的52/52米；剩下523米例2（1）一根鐵絲，用去了2/5米，還剩下3米，這根鐵絲多長（2）一根鐵絲，用去了2/5，還剩下3米，這根鐵絲多長解析（1）總長用去的剩下的2/533又2/5米（2）3（12/5）33/55米由此可見，大家在做分數(shù)應(yīng)用題時，一定要看清楚題中的分數(shù)是哪類分數(shù)。一、題中沒有不帶單位的分數(shù)。解題思路這類分數(shù)應(yīng)用題與三、四、五年級學(xué)習(xí)的應(yīng)用題，在解題思路和解題方法上是一樣的，只不過題中的數(shù)量不是整數(shù)、也不是小數(shù)，而是分數(shù)。當在做這類分數(shù)應(yīng)用題出現(xiàn)障礙時，可把題中的分數(shù)換成整數(shù)來看例一輛汽車1/3小時行駛20千米，照這樣的速度，3/4小時能行駛多少千米解析這是一道簡單的行程問題，從“一輛汽車1/3小時行駛20千米”這句話，我們可以求出速度，速度路程時間201/360（千米/小時）；題目求的是“3/4小時能行駛多少千米”，求路程速度時間603/445千米二、題中有不帶單位的分數(shù)（即題中有分率）解題思路四步法第一步確定單位“1”找單位“1”的方法找到題中不帶單位的分數(shù)的那句話，“誰”的幾分之幾，那個“誰”就是單位“1”；如果這句話中含有“比”字，“比”后面的那個量就是單位“1”。例如全長的1/3，“全長”就是單位“1”；第一天比第二天多生產(chǎn)2/7，含有“比”字，“比”后面的量是第二天，那么，“第二天”就是單位“1”第二步確定乘除法1題中直接或間接告訴單位“1”的或可直接算出單位“1”的，用乘法（2）題中單位“1”是未知的，用除法第三步列式（1）如果是乘法單位“1”分率分率指的是誰，求出來的就是誰2如果是除法帶單位的數(shù)量不帶單位的分率單位“1”。帶單位的數(shù)量一定要與不帶單位的分率相對應(yīng)，才能除，所謂相對應(yīng)的意思，就是說，帶單位的數(shù)量和不帶單位的分率所指的是同一事物，在線段圖上，是指同一段。注意這一步是最難最容易出錯的地方，很容易犯這樣的錯誤拿到數(shù)字亂除或看到這么多數(shù)字，不知道哪個除以哪個，除完以后也不知道求出來的是誰，一定要從思維上把握準。分數(shù)應(yīng)用題最難、變化最多的地方也就是在這。第四步檢查檢查上一步列式算出來的結(jié)果是不是題目最后要求的，還有沒有步驟。下面是乘除法的對比例子，例1（1）某車間加工一批零件，共240個，已經(jīng)加工了5/8，還多少個零件沒有加工2某車間加工一批零件，已經(jīng)加工了5/8，正好是240個，這批零件共多少個解析（1）第一步確定單位“1”5/8是指總共的5/8，所以總共的零件個數(shù)是單位“1”第二步確定乘除法題目告訴了零件的總個數(shù)是240個，知道單位“1”的，用乘法第三步列式單位“1”分率2405/8150（個），第四步檢查由于分率5/8是已經(jīng)加工的，所以150個是指已經(jīng)加工了的零件個數(shù)，而題目求的是還有多少個零件沒加工，還應(yīng)有一步驟，沒加工的總共的已加工的24015090個2405/815024015090（2）第一步確定單位“1”分率5/8是指總數(shù)的5/8，所以，總共的零件個數(shù)是單位“1”第二步確定乘除法題目求的就是總零件個數(shù)，單位“1”是未知的，用除法第三步列式帶單位的數(shù)量分率。題中帶單位的數(shù)量只有一個240個，它是已經(jīng)加工了的個數(shù)，而分率5/8也是指已加工的，兩者同指一個事物，可以相除。2405/8384第四步檢查由于帶單位的數(shù)量分率單位“1”，384就是總零件的個數(shù)，這正是題目最后要求的，所以做完了。2405/8384例2（1）某校去年有88個班，今年的班級數(shù)比去年增加3/8，今年多少個班級2某校去年有88個班，比今年的班級數(shù)增加了3/8，今年多少個班級解析1在有分率3/8這句話中有“比”字，“比”后面的量是去年的班級數(shù)，它就是單位“1”，而題目告訴了去年的班級數(shù)，知道單位“1”用乘法，單位“1”分率。去年是單位“1”今年比去年多3/8，所以今年的分率是13/811/8，所以求出來的就是今年的班級數(shù)。88（13/8）8811/8121（個）2單位“1”是今年的班級數(shù)，用除法，88分率，由于88是指去年的班級數(shù)，除以的分率也應(yīng)是表示去年班級數(shù)的分率。3/8是指去年比今年多的分率，今年的班級數(shù)是單位“1”，那么去年的班級數(shù)應(yīng)是13/8；這時可以除了88（13/8）單位“1”，即今年的班級數(shù)88（13/8）8811/8888/1164（個）例3一部長篇小說分上、下兩冊，上冊頁數(shù)的4/5等于下冊頁數(shù)的2/3，上冊有295頁，下冊有多少頁解析題中有兩個不帶單位的分率4/5和2/3，分別找出它們的單位“1”，上冊頁數(shù)的4/5，說明上冊頁數(shù)是單位“1”，是295頁，用乘法，2954/5236（頁），求出來的是上冊4/5的頁數(shù)；下冊頁數(shù)的2/3，說明它的單位“1”是下冊的頁數(shù)，而下冊的頁數(shù)是題目求的，是未知的，所以用除法。由于下冊的2/3就是236，所以只能用236去除，而不是295去除。2954/5236（頁）2362/3354（頁）用“四步法”這種解題思維，可以解決簡單的分數(shù)應(yīng)用題，但對于復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題，我們還需要借助一定的方法。下面就介紹在復(fù)雜分數(shù)應(yīng)用題中一些常見的解題方法（一）畫圖法通過畫線段圖來找出哪個帶單位的數(shù)量與哪個不帶單位的分率是對應(yīng)的。例一桶油，第一次用去1/5，第二次比第一次多用去20千克，還剩下16千克，這桶油有多少千克解析按“四步法”，我們可以找出單位“1”是這桶油，是未知的，用除法。題目中有兩個帶單位的量20千克和16千克，如果列式應(yīng)該至少有四種可能20，16，（2016），（2016），倒底是哪種或是還有別的，最關(guān)鍵的要找到對應(yīng)的分率。1/5只是第一次的，第二次的分率呢剩下的分率呢由題可知，第二次比第一次多用去20千克，那么第二次肯定也用了1/5，還比1/5多20千克，所以，第二次用去了總數(shù)的1/5還多20千克。由于我們從圖上根本找不出20千克這段的分率，所以也找不出剩下16千克所對應(yīng)的分率，不能用20或16去除哪個分率。從圖中我們很容易能找出（2016）千克這段的分率是3/5，相對應(yīng)，可以除了。相除的結(jié)果就是單位“1”，即這桶油重量（很報歉，博文中顯示不了WORD文檔編輯出來的圖，所以圖自己畫一畫，對照這里的解析）（2016）（11/51/5）363/560（千克）小結(jié)由這題我們可以知道，對于一些圖復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題，特別是讓你無從下手時，正確的思路會引導(dǎo)你從哪開始思考，接著往下怎么走，直到最后。這也是我們一直強調(diào)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要重視思維的原因。在比較復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題中，除了畫圖法外，還有以下幾種解題方法（一）對應(yīng)法對應(yīng)法的核心思維是不僅數(shù)字可以列豎式進行加減，算式也可以列豎式加減例學(xué)校安排一批學(xué)生到圖書館借書，如果男生增加1/5，人數(shù)將達到52人，如果女生減少1/5，人數(shù)是42人。這批學(xué)生原有多少人解析根據(jù)題意，我們可以找出下面兩個數(shù)量關(guān)系式男生人數(shù)1/5的男生人數(shù)女生人數(shù)52男生人數(shù)女生人數(shù)1/5的女生人數(shù)42這兩個式子對應(yīng)相減（豎式相減），得1/5的男生人數(shù)1/5的女生人數(shù)10（二）轉(zhuǎn)化法當題中出現(xiàn)多個單位“1”時，我們可以把不同的單位“1”轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“1”例小明、小英、小麗和小華四人愛好集郵，小明的郵票數(shù)是小英的1/2，小英的郵票數(shù)是小麗的1/3，小麗的郵票數(shù)是小華的1/4，已知四人共集郵132張，小明集郵多少張解析按照“四步法”，題中有三個不帶單位的分率，它們的單位“1”分別是小英、小麗和小華；肯定用除法；題中只有一個帶單位的數(shù)量132張，列式一定是用132去除；132是指四人集郵總數(shù)，應(yīng)除以四人的分率總和，題目最關(guān)鍵就是要把四人的分率表示出來，由于存在不同的單位“1”，首先必須把不同的單位“1”統(tǒng)一成一個單位“1”。有正確的思路，才知道該做什么。把題中三個單位“1”，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成以小華的集郵數(shù)做單位“1”。小華是單位“1”，根據(jù)“小麗的郵票數(shù)是小華的1/4”，小麗就是1/4；根據(jù)“小英的郵票數(shù)是小麗的1/3”，小英就是1/31/41/12；根據(jù)“小明的郵票數(shù)是小英的1/2”，小明就是1/21/121/24，現(xiàn)在四人的分率都表示出來了，可以除了。132（11/41/121/24）13211/896（張）算出來的是單位“1”小華的郵票張數(shù)，小明的張數(shù)是961/244（張）思考為什么要挑小華的郵票張數(shù)做統(tǒng)一的單位“1”，可不可以把三個單位“1”都統(tǒng)一成小英的郵票總數(shù)或小麗的郵票總數(shù)去試試（三）假設(shè)法例某修路隊三天修完一條路，第一天修了全長的1/3多150米，第二天修了全長的2/5少100米，第三天修了1950米，這條路全長多少解析按“四步法”，單位“1”是全長，用除法，題中帶單位的數(shù)量有三個150米、100米和1950米，到底用哪個去除，關(guān)鍵是要找到它們對應(yīng)的分率。除了畫圖法，我們還可以通過假設(shè)法來找相對應(yīng)的分率。假設(shè)第一天只修了全長的1/3，沒有多修150米；假設(shè)第二天修了全長的2/5，沒有少修100米，那么，三天要修完全長，第三天必須要修（1950150100）2000米。很容易求出第三天的分率11/32/54/1520004/157500米，就是單位“1”全長（四）把分數(shù)看成比的方法分數(shù)可以轉(zhuǎn)化成比，把比當份數(shù)，也是一種好的解題方法例學(xué)校田徑隊有35人，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的3/4，女生人數(shù)是多少解析“女生人數(shù)是男生人數(shù)的3/4”轉(zhuǎn)化成比，就是女生人數(shù)和男生人數(shù)之比是34，女生人數(shù)是3份，男生人數(shù)是4份，總共7份，總共35人，每份就是3575人，那么，女生人數(shù)就是5315人（五）抓住不變量的方法一些較復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題中，會出現(xiàn)許多數(shù)量前后發(fā)生變化的。這時的解題思維是在這些變化中抓住不變的量，將不變的量作為標準，有目的地轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系。來找到解題的線索。不變的量可能是某一部分量不變，也可以是和、差不變，視題目具體情況而定例1某車間的女工人數(shù)是男工人數(shù)的1/2，若調(diào)走21個男工，那么男工人數(shù)是女工人數(shù)的1/2，這個車間的女工人數(shù)是多少解析按“四步法”，題中單位“1”有兩個男工人數(shù)和女工人數(shù)，但男工人數(shù)前后發(fā)生了變化，“抓住不變量”，由題意可知，女工人數(shù)不變，把它作為單位“1”，把“女工人數(shù)是男工人數(shù)的1/2”轉(zhuǎn)化成“男工人數(shù)是女工人數(shù)的2倍”，這時兩個單位“1”統(tǒng)一了，可以除了。21是指調(diào)走的男生，必須找出調(diào)走男工人數(shù)的分率。原來男工人數(shù)的分率是2，現(xiàn)在是1/2，說明調(diào)走了（21/2）3/2，213/214（人），就是單位“1”女工的人數(shù)例2甲乙兩個糧倉，原來甲存糧噸數(shù)是乙的5/7，如果從乙倉調(diào)6噸到甲倉，甲倉糧的噸數(shù)是乙倉的4/5，原來甲乙兩倉各有糧多少噸解析按“四步法”，乙倉是單位“1”，肯定用除法。但乙倉存糧前后發(fā)生了變化，“抓住不變量”，兩個倉的存糧總和不變，把它當作單位“1”，題中的條件都轉(zhuǎn)化成以總存糧為單位“1”?！霸瓉砑状婕Z噸數(shù)是乙的5/7”，說明原來乙是7份，甲是5份，總共是12份，甲占5/12，乙占7/12；“甲倉糧的噸數(shù)是乙倉的4/5”說明調(diào)走了后，甲是4份，乙是5份，總共9份，甲占4/9，乙占5/9。題中帶單位的數(shù)量是6噸，是指乙調(diào)走的噸數(shù)，乙調(diào)走的分率是（7/125/9）1/36相對應(yīng)，可以除了。61/36216噸，就是單位“1”總的存糧，那么，原來甲倉2165/1290噸，乙倉存糧2167/12126噸例3有兩根蠟燭，一根長8厘米，另一根長6厘米。把兩根都燃燒掉同樣長的部分后，短的一根剩下的長度是長的一根剩下長度的3/5，每段燃燒掉了多少厘米解析依“四步法”，單位“1”是長的一根剩下的長度，用除法。由題意可知。這兩根蠟燭長度的差沒有發(fā)生變化。燃燒前與燃燒后兩根蠟燭都是相差862厘米。現(xiàn)在最關(guān)鍵的是要找出2厘米所對應(yīng)的分率，也就是兩根蠟燭燃燒后相差的分率?！岸痰囊桓Ｏ碌拈L度是長的一根剩下長度的3/5”，長的一根剩下的長度為單位“1”，那么短的一根剩下的長度就是3/5，相差13/52/5，現(xiàn)在可以除了22/55厘米，就是單位“1”長的一根剩下的長度，說明燃燒掉了853厘米（六）還原法在三、四、五年級奧數(shù)中，都有專門的章節(jié)介紹還原法，它最核心的思維是倒推思維例3只猴子吃籃子的桃子，第一只猴子吃了1/3，第二只猴子吃了剩下的1/3，第三只猴子吃了第二只猴子剩下的1/4，最后籃子里剩下6只桃子。問原來有多少只桃子解析從最后剩下的6只桃子，進行倒推6只桃子占第二只猴子吃剩下后桃子數(shù)的11/43/4，63/48只，就是第二只猴子吃剩下的桃子數(shù)；8只桃子占第一只猴子吃剩下桃子數(shù)的11/32/3，82/312只，就是第一只猴子吃剩下的桃子數(shù)；12只桃子占籃子桃子數(shù)的11/32/3，122/318，就是原有桃子數(shù)了（七）方程法在解任何應(yīng)用題時，方程都是一種不能忽視的備用方法例某校有學(xué)生465人，其中女生的2/3比男生4/5少20人，男生有多少人解析；設(shè)男生為X人，女生就有（465X）人從“女生的2/3比男生4/5少20人”找題中的數(shù)量關(guān)系式女生2/320男生4/5列方程2/3（465X）204/5X解得X225較復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題，題型廣博，變化多端。在教學(xué)中，我們應(yīng)適當?shù)亟探o學(xué)生一些解題方法，以拓寬思路，提高解題能力。一、從確定對應(yīng)入手找出解題方法分數(shù)應(yīng)用題中有一個“量率對應(yīng)”的明顯特點，對一個單位“1”來說，每個分率都對應(yīng)著一個具體的數(shù)量，而每一個具體的數(shù)量，也同樣對應(yīng)著一個分率，因此，正確地確定“量率對應(yīng)”是解題的關(guān)鍵。我們要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會和掌握“明確對應(yīng)，找準對應(yīng)分率”的解題方法。例小冬看一本故事書，第一天看了總頁數(shù)的1/6，第二天看了總頁數(shù)的1/3，還剩78頁沒有看，這本故事書共有多少頁把這本故事書的總頁數(shù)看作單位“1”，要求這本故事書共有多少頁，就要求出剩下的78頁的對應(yīng)分率。根據(jù)已知條件，第一、二天看了總頁數(shù)的（1/61/3），還剩下78頁的對應(yīng)分率是（11/61/3），求這本故事書共有多少頁，就是已知單位“1”的（11/61/3）是78頁，求單位“1”。于是列式為78（11/61/3）156（頁）二、通過統(tǒng)一標準量找出解題方法在一道分數(shù)應(yīng)用題中，如果出現(xiàn)了幾個分率，而且這些分率的標準量不同，量的性質(zhì)相異，在解題時，必須以題中的某一個量為標準量，將其余量的對應(yīng)分率統(tǒng)一到這個標準量上來，才可列式解答。例果園里有蘋果樹和梨樹共420棵，蘋果樹棵數(shù)的1/3等于梨樹的4/9，問這兩種果樹各有多少棵題中的1/3是以蘋果樹為標準量，4/9是以梨樹為標準量，解題時必須統(tǒng)一成一個標準量。若以蘋果樹為單位“1”，則有11/3梨樹4/9，那么梨樹就相當于單位“1”的1/34/9，兩種果樹的總棵數(shù)就相當于單位“1”的（11/34/9），于是列式為420（11/34/9）240（棵）蘋果樹240（1/34/9）180（棵）梨樹也可以把梨樹看作單位“1”，或把兩種果樹的總棵數(shù)，或者相差棵數(shù)看作單位“1”。三、通過假設(shè)推算找出解題方法有些分數(shù)應(yīng)用題，如果按題中所給條件直接去思考，就難以找到解題方法，如果在解題時先假設(shè)一個主觀上所需要的條件，然后按照題目里的數(shù)量關(guān)系推算，所得的結(jié)果則發(fā)生與題目條件不同的矛盾，再進行適當?shù)恼{(diào)整，即可找到正確的答案。例紅花村修一條水渠，第一周修了全長的2/5多10米，第二周修了全長的1/4少5米，還剩下282米沒有修。這條水渠長多少米假設(shè)第一周修的恰好是全長的2/5，這樣第一、二周修后剩下的282米中就要增加10米；假設(shè)第二周修的恰好是全長的1/4，這樣第一、二周修后剩下的282米中又要減少5米，于是條件變?yōu)椤暗谝恢苄蘖巳L的2/5，第二周修了全長的1/4，還剩下（282105）米沒有修。把這條水渠全長看作單位“1”，那么（282105）米的對應(yīng)分率就是（12/51/4）。于是列式為（282105）（12/51/4）8201（米）四、通過逆推找出解題方法有些分數(shù)應(yīng)用題，如果按從始至終的先后順序去分析，很難達到解決問題的目的，甚至陷入絕境。不妨“反過來想一想”進行逆推，便容易打開思路，順利解題。例有一個油桶里的油，第一次倒出1/3后加入20千克，第二次倒出這時油的1/6多5千克，這時桶里剩下油95千克。問原來桶里有油多少千克從最后條件出發(fā)思考955100（千克），即為現(xiàn)存油的5/6，故現(xiàn)在桶里有油1005/6120，再從第一個條件思考，12020100（千克），即為原存油的2/3，因此，原來桶里有油1002/3150（千克）。綜合算式（955）（11/6）20（11/3）150（千克）五、借助線段圖找出解題方法分數(shù)應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系比較抽象、隱蔽，如果根據(jù)題意畫出線段圖，可使抽象變具體，隱蔽明朗化，從而借助線段圖揭示的數(shù)量關(guān)系可直觀地找出解題方法，甚至有的題還可找到簡捷的解法。例甲乙兩人共存人民幣若干元，其中甲占3/5，若乙給甲60元后，則乙余下的錢占總數(shù)的1/4，甲乙兩人各存人民幣多少元根據(jù)題意畫線段圖附圖圖從線段圖上一目了然，60元的對應(yīng)分率是（13/51/4），于是可求出甲乙兩人共存人民幣多少元，進而可求出甲乙兩人各存人民幣多少元。60（13/51/4）3200（元）甲乙兩人共存32003/51920（元）甲3200（13/5）1280（元）乙或320019201280（元）六、抓住不變量找出解題方法對于標準量不統(tǒng)一的分數(shù)應(yīng)用題，如果我們能從題中找到一個不變量，就以不變量為突破口，便能夠很快找到解題方法。例一個車間有工人360人，其中女工占3/5，后來又招進一批女工，這時女工人數(shù)占全車間工人總?cè)藬?shù)的5/8，又招進女工多少人從題中可知，女工人數(shù)起了變化，引起全車間工人總?cè)藬?shù)起了變化，但是男工人數(shù)始終沒有增減，因此，抓住男工人數(shù)沒有變化這個不變量來分析。當全車間工人為360人時，女工占3/5，則男工占13/52/5，為3602/5144（人）。又招進一批女工后，女工人數(shù)占這時全車間工人總?cè)藬?shù)的5/8，則男工人數(shù)占這時全車間工人總?cè)藬?shù)的15/83/8，因此，這時全車間有工人1443/83849（人）。原來全車間有工人360人，現(xiàn)在增加到384人，增加的原因是由于招進了一批女工，故又招進女工38436024（人）。綜合算式360（13/5）（15/8）36024（人）七、通過轉(zhuǎn)變換條件找出解題方法有些分數(shù)應(yīng)用題，可以通過改變看問題的角度，將題中某些已知數(shù)量轉(zhuǎn)換成與之有關(guān)聯(lián)的另一個數(shù)量，使之成為一個較為熟悉的簡單的問題，從而找到解題的新方法。例有兩缸金魚，如果從第一缸取出15尾放入第二缸，這時第二缸內(nèi)的金魚正好是第一缸的5/7，已知第二缸內(nèi)原有金魚35尾，第一缸內(nèi)原有金魚多少尾這道題可以轉(zhuǎn)化為熟悉的“歸一”問題。題中的5/7根據(jù)分數(shù)的意義，表示把這時第一缸內(nèi)的金魚尾數(shù)平均分成7份，這時第二缸內(nèi)金魚的尾數(shù)占其中的5份，這5份共351550（尾），則每份是50510（尾），因此，這時第一缸內(nèi)有金魚10770（尾），那么第一缸內(nèi)原有金魚701585（尾）。綜合算式（3515）571585（尾）八、列表對應(yīng)比較找出解題方法有些分數(shù)應(yīng)用題，可以通過列表對應(yīng)比較已知條件，研究其對應(yīng)數(shù)量間的變化規(guī)律，從而可找到解題方法。例某車間舉辦技術(shù)革新培訓(xùn)班，如果抽去全車間男工人數(shù)的1/3和女工人數(shù)的1/4后共有90人參加，如果抽去全車間男工人數(shù)的1/4和女工人數(shù)的1/3后共有85人參加。問這個車間有男工多少人列表對應(yīng)比較分析附圖圖如果都抽去男工人數(shù)和女工人數(shù)的1/3，那么由（5）式又得男工人數(shù)的1/3女工人數(shù)的1/33001/3（男工人數(shù)女工人數(shù)）1/33001/3100（人）（6）將（6）式與（2）式比較，男工人數(shù)的1/3比1/4多1008515（人），這15人就相當于全車間男工人數(shù)的（1/31/4），則這個車間有男工15（1/31/4）180（人）以上幾種解較復(fù)雜分數(shù)應(yīng)用題的方法，并非是絕對孤立的，因此，在教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生靈活運用，以形成自己的解題技能技巧。例21下圖中圓O的面積和長方形OABC的面積相等。已知圓O的周長是942厘米，那么長方形OABC的周長是多少厘米分析與解題中告訴我們，圓O的面積和長方形OABC的面積相等。我們知道，圓的面積等于RR，而圖中圓O的半徑恰好是長方形的寬，因此長方形OABC的長正好是R，即圓O的周長的一半。而長方形的周長等于2個長與2個寬的和，也就是圓O的周長與直徑的和。長方形OABC的周長是94294231494231242（厘米）答長方形OABC的周長是1242厘米。例24在面積是40平方厘米的正方形中，有一個最大的圓（如圖3）。這個圓的面積是多少平方厘米分析與解要求圓的面積，就要先求出圓的半徑。題中告訴我們，正方形的面積是40平方厘米，正方形的邊長的一半，也就是圖中圓的半徑。對小學(xué)生來講，從正方形的面積求正方形的邊長，還不會直接計算。可以這樣思考把正方形平均分成4份（如圖4）。每個小正方形的面積是40410平方厘米。小正方形的邊長恰好是圓的半徑，因此圓的半徑的平方恰好是10平方厘米。這樣就可以求出圓的面積是31410314平方厘米了。答圖中圓面積是314平方厘米。例45紅花襯衫廠要制做一批襯衫，原計劃每天生產(chǎn)400件，60天完成。實際每天生產(chǎn)的件數(shù)是原計劃每天生產(chǎn)件數(shù)的15倍。完成這批襯衫的制做任務(wù)，實際用了多少天分析與解要求完成這批襯衫的制做任務(wù)，實際用了多少天，必須知道這批襯衫的總數(shù)和實際每天生產(chǎn)的件數(shù)。已知原計劃每天生產(chǎn)400件，60天完成，就可以求出這批襯衫的總數(shù)量；又知道實際每天生產(chǎn)的件數(shù)是原計劃生產(chǎn)件數(shù)的15倍，就可以求出實際每天生產(chǎn)的件數(shù)。完成這批襯衫的制做任務(wù)，實際用的天數(shù)是40060（40015）2400060040（天）例46東風(fēng)機器廠原計劃每天生產(chǎn)240個零件，18天完成。實際比原計劃提前3天完成，實際每天比原計劃每天多生產(chǎn)多少個零件分析與解要求實際每天比原計劃每天多生產(chǎn)多少個零件，得先求出實際每天生產(chǎn)多少個零件，再減去計劃每天生產(chǎn)的零件數(shù)24018（183）24043201524028824048（個）例47在春光小學(xué)“創(chuàng)造杯”展覽會上，展品中有36件不是六年級的，有37件不是五年級的，又知道五、六兩個年級的展品共有45件。那么，五、六年級的展品各有多少件分析與解根據(jù)已知，有36件不是六年級的，就是說，14年級的展品加上五年級的展品共有36件。有37件不是五年級的，就是說，14年級的展品加上六年級的展品共有37件。比較以上兩個條件，可以得出，六年級比五年級的展品多37361件。又知道五、六兩個年級的展品共有45件，于是求出五年級的展品有（451）244222（件）六年級的展品有（451）246223（件）答五年級的展品有22件，六年級的展品有23件。例48機械廠零件加工組里有1位師傅和6位徒弟，共7人。徒弟每人每天能加工零件50個，師傅每天加工零件的個數(shù)比全組7個人每天平均加工的個數(shù)多24個。師傅每天加工零件多少個分析與解師傅每天加工零件的個數(shù)比全組7個人平均每天加工的個數(shù)多24個。把這24個平均分給6位徒弟，再加上徒弟每天加工的50個，正好是7個人平均每天加工的個數(shù)。這個數(shù)再加上24就是師傅每天加工零件的個數(shù)。246502445024542478（個）答師傅每天加工零件78個。例49兒童服裝廠生產(chǎn)紅上衣和黃上衣。每件紅上衣需要2個鈕扣，每件黃上衣需要4個鈕扣。做成的兩種顏色的上衣，每30件裝成一箱，每箱衣服共需要鈕扣72個。每箱中有紅上衣和黃上衣各多少件分析與解已知每件黃上衣要用4個鈕扣，每件紅上衣要用2個鈕扣。如果將黃上衣一分為二，黃上衣就成為“半件黃上衣”了。這時紅上衣和“半件黃上衣”都需要2個鈕扣。已知每箱中兩種顏色的上衣共需要鈕扣72個，于是可以求出紅上衣和“半件黃上衣”共有72236（件）。實際每箱中兩種顏色的上衣共30件，36件比30件多了6件，說明有6件黃上衣被一分為二了，所以每箱中有6件黃上衣。進而求出每箱中紅上衣的件數(shù)是30624（件）列式為7223036306（件）30624（件）例50主人的籃子里放著蘋果和桃。蘋果的個數(shù)是桃的3倍。一群頑皮的小猴，趁主人不注意的時候，每只小猴子都拿了8個蘋果和3個桃。主人發(fā)現(xiàn)時，桃子已被小猴拿光了，還剩下10個蘋果。這群頑皮的小猴一共有多少只分析與解籃子里的蘋果的個數(shù)是桃的3倍，每只小猴子拿了3個桃子，而且拿光了，那么要是每只小猴子拿9個蘋果，也可以把蘋果拿光（因為蘋果個數(shù)正好是桃個數(shù)的3倍）?？墒?，每只小猴子只拿了8個蘋果，結(jié)果還剩下10個蘋果，這正好說明這群小猴子共有10只。答這群頑皮的小猴一共有10只。例51光明小學(xué)原計劃192天燒煤91800千克。如果每天比原計劃節(jié)約分析與解要求節(jié)約出來的煤還可以再燒幾天，就必須知道一共節(jié)約出來多少煤和節(jié)約后每天的燒煤量。一共節(jié)約出來多少千克的煤節(jié)約出來的煤還可以再燒多少天540045012（天）例55幼兒園小朋友過“六一”兒童節(jié)，阿姨給小朋友分蘋果，開始每人分3個，結(jié)果有15個人只分到2個；后來又買來40個蘋果，又分給小朋友，結(jié)果正好每個分到4個。幼兒園一共有多少個小朋友分析與解題中告訴我們，開始每人分3個，結(jié)果有15個小朋友只分到2個，就是說，每人分3個缺少15個蘋果。后來又買來40個蘋果，又分給小朋友，結(jié)果正好每人分到4個。把這40個蘋果先拿出15個，分給開始分時每人只分到2個蘋果的那些小朋友，這時還剩下25個蘋果，每人再分1個，正好是每人分到4個蘋果。因此得出，幼兒園共有25個小朋友。（4015）（43）25125（人）答幼兒園一共有25個小朋友。例56一個箱子里裝滿了實心球，連箱子共重12千克。從箱中取出實心球的1/4后，剩下的實心球連箱共重95千克。問箱子重多少千克分析與解一個箱子里裝滿了實心球，連箱子共重12千克；從箱中取實心球的1/4后，剩下實心球的3/4連箱子共重95千克。由此可以得出，實心球的1/4重（1295）千克，那么實心球的總重是10（千克）箱子重量是12102（千克）答箱子重2千克。例58同學(xué)們搞野營活動。一個同學(xué)到負責(zé)后勤工作的老師那里去領(lǐng)碗。老師問他領(lǐng)多少，他說領(lǐng)55個。又問“多少人吃飯”他說“一個人1個飯碗，兩個人1個菜碗，三個人1個湯碗。”請算一算這個同學(xué)給參加野營活動的多少人領(lǐng)碗分析與解先算出平均1人要用多少個碗，再算出多少人需要55個碗。