導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)歸納一、相關(guān)概念1導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)YFX,如果自變量X在X處有增量，那么函數(shù)Y相應(yīng)地有增量0XF（X）F（X），比值叫做函數(shù)YF（X）在X到X之間的平均變化Y0Y0率，即。如果當(dāng)時(shí)，有極限，我們就說(shuō)函數(shù)YFXXF0Y在點(diǎn)X處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做F（X）在點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)，記作F（X）或Y|。0000X即F（X）。00LIMXY0LIX說(shuō)明（1）函數(shù)F（X）在點(diǎn)X處可導(dǎo)，是指時(shí)，有極限。如果不存在極限，00XXYXY就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)X處不可導(dǎo)，或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù)。0（2）是自變量X在X處的改變量，時(shí)，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。0XY由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)YF（X）在點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)的步驟0求函數(shù)的增量F（X）F（X）；Y0求平均變化率；F0取極限，得導(dǎo)數(shù)FX。0XYLIM例設(shè)FXX|X|,則F0解析F00|LIM|LILILI0000XXFXXX02導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)YF（X）在點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線(xiàn)YF（X）在點(diǎn)P（X，F(xiàn)（X）處的切000線(xiàn)的斜率。也就是說(shuō)，曲線(xiàn)YF（X）在點(diǎn)P（X，F(xiàn)（X）處的切線(xiàn)的斜率是F（X）。000相應(yīng)地，切線(xiàn)方程為YYF/（X）（XX）。0例在函數(shù)的圖象上，其切線(xiàn)的傾斜角小于的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)X834數(shù)是A3B2C1D0解析切線(xiàn)的斜率為832/XYK又切線(xiàn)的傾斜角小于，即40故18302X解得33X或故沒(méi)有坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)的物理意義如果物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是SS（T），那么該物體在時(shí)刻T的瞬間速度V（T）。S如果物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化的規(guī)律是VV（T），則該物體在時(shí)刻T的加速度AV（T）。例。汽車(chē)經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車(chē)，若把這一過(guò)程中汽車(chē)的行駛路程看作時(shí)間的函數(shù)，其圖像可能是（）STSTOASTOSTOSTOBCD答A。練習(xí)已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（位移單位CM，時(shí)間單位S）。32TS（1）當(dāng)T2，時(shí)，求；01T（2）當(dāng)T2，時(shí)，求；TS（3）求質(zhì)點(diǎn)M在T2時(shí)的瞬時(shí)速度。答案（1）802（2）8002；（3）8SCMSCSCM二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（C為常數(shù)）01NXSICOSXINXELA1LNXGLOAAE例1下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是AXBLOG2X21XLN1XC3X3XLOG3EDX2COSX2XSINX解析A錯(cuò)，X2B正確，LOG2XLN1XC錯(cuò)，3X3XLN3D錯(cuò)，X2COSX2XCOSXX2SINX例2設(shè)F0XSINX，F(xiàn)1XF0X，F(xiàn)2XF1X，F(xiàn)N1XFNX，NN，則F2005XASINXBSINXCCOSXDCOSX解析F0XSINX，F(xiàn)1XF0XCOSX，F(xiàn)2XF1XSINX，F(xiàn)3XF2XCOSX，F(xiàn)4XF3XSINX，循環(huán)了則F2005XF1XCOSX2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則法則1兩個(gè)函數(shù)的和或差的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和或差，即VU法則2兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即UVV若C為常數(shù),則即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘0CUC以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則3兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方（V0）。VU2例設(shè)FX、GX分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)X0時(shí),0且G30則不等式FXGX0的解集是XGFXFA3,03,B3,00,3C,33,D,30,3解析當(dāng)X0時(shí),0，即XGFXF/XGF當(dāng)X0時(shí)，F(xiàn)XGX為增函數(shù)，又GX是偶函數(shù)且G30，G30，F(xiàn)3G30故當(dāng)時(shí)，F(xiàn)XGX0，又FXGX是奇函數(shù)，3當(dāng)X0時(shí)，F(xiàn)XGX為減函數(shù)，且F3G30故當(dāng)時(shí)，F(xiàn)XGX0X故選D3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形如YF的函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟X分解求導(dǎo)回代。法則Y|Y|U|或者XUXFXFX練習(xí)求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（2）SIN25XY321XXY（3）（4）CO1I解1,SINSIN23225XXXYYCOSSINSI2353X（2）Y（X23X2）（X3）X36X211X6，Y3X212X11（3）Y,SIN1COSINXXS2SISI21XY（4），XXX121122Y三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間（A，B）可導(dǎo)，如果，則在此區(qū)間上為XFYFX0XF增函數(shù)；如果，則在此區(qū)間上為減函數(shù)。0XF（2）如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)。F例函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為132XFABCD（0，2）,0,解析由0，當(dāng)時(shí)，0，1X/XF1X/XF1/XF故的極小值、極大值分別為，F(xiàn)3F、而073F、故函數(shù)在3，0上的最大值、最小值分別是3、17。1XF經(jīng)典例題選講例1已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面XFYXFXF四個(gè)圖象中的圖象大致是例2設(shè)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定A的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間。XAF3例3已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)P（0,2）,且在點(diǎn)M處的DAXBF21,F切線(xiàn)方程為076YX（）求函數(shù)的解析式；F（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間XY例4設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。32FBCXRGXFX（）求、的值。（）求的單調(diào)區(qū)間與極值。C例5已知F（X）在X1，X時(shí)，都取得極值。CBXA2332（1）求A、B的值。（2）若對(duì)，都有恒成立，求C的取值范圍。,1F1例6已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，其中X321FXMXN，,0MNR（I）求與的關(guān)系式；（II）求的單調(diào)區(qū)間；FX（III）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)斜率恒大于3，求1,YFXM的取值范圍M例7（2009天津理20）已知函數(shù)其中223,XFAXERA（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)處的切線(xiàn)的斜率；WWWKS5UCOM0A1,YF在點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。WWWKS5UCOM23FX本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類(lèi)討論的思想方法。滿(mǎn)分12分。解（I）31202EFEXXFEXFA，故，時(shí)，當(dāng)31,FY處的切線(xiàn)的斜率為在點(diǎn)所以曲線(xiàn)（II）WWWKS5UCOM422XEAXXF2320A知，由，或，解得令以下分兩種情況討論。（1），則當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表A若32A2XXF，X，2A，00極大值極小值22內(nèi)是減函數(shù)，內(nèi)是增函數(shù)，在，在所以AAXFWW