第七節(jié)雙曲線一1了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)2理解數(shù)形結(jié)合的思想知識梳理一、雙曲線的定義我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)小于|F1F2|的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，用符號表示為|AF1|AF2|2A，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做雙曲線的焦距二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1A0，B0，其中焦點(diǎn)X2A2Y2B2坐標(biāo)為F1C,0，F(xiàn)2C,0，且C2A2B2；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在Y軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1A0，B0，其中焦點(diǎn)Y2A2X2B2坐標(biāo)為F10，C，F(xiàn)20，C，且C2A2B2當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)形式三、雙曲線的幾何性質(zhì)方程1X2A2Y2B21Y2A2X2B2圖形范圍XA或XA，YRYA或YA，XR對稱性關(guān)于X軸、Y軸及原點(diǎn)對稱關(guān)于X軸、Y軸及原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)A1A,0，A2A,0B10，A，B20，A離心率EE1CAEE1CA漸近線YXBAYXABA，B，C的關(guān)系C2A2B2C2A2B2基礎(chǔ)自測1XX卷雙曲線X2Y21的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于AB1222C1D2解析因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離都相等，故可取雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為1,0，取一條漸近線為YX，所以點(diǎn)1,0到直線YX的距離為22答案B2X北京東城區(qū)若雙曲線1的漸近線與圓X32Y2R2R0相切，則RX26Y23AB23C3D6解析雙曲線1的漸近線方程為YX，因?yàn)殡p曲線的漸近線與圓X3X26Y23222Y2R2R0相切，故圓心3,0到直線YX的距離等于圓的半徑R，則R22|2320|243答案A3過雙曲線X2Y28的左焦點(diǎn)F1有一條弦PQ在左支上，若|PQ|7，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則PF2Q的周長是_答案14824設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線X21的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在雙曲線上，Y29且0，則|_PF1PF2PF1PF2解析因?yàn)镕1，F(xiàn)2分別是雙曲線X21的左、右焦點(diǎn)，所以F1，0，F(xiàn)2Y2910，0由題意知F1PF2為直角三角形，|2|F1F2|210PF1PF2PO10答案2101X遼寧卷已知F為雙曲線C1的左焦點(diǎn)，P，Q為C上的點(diǎn)若PQ的X29Y216長等于虛軸長的2倍，點(diǎn)A5,0在線段PQ上，則PQF的周長為_解析由雙曲線C的方程，知A3，B4，C5，所以點(diǎn)A5,0是雙曲線C的右焦點(diǎn)，且|PQ|QA|PA|4B16，由雙曲線定義，|PF|PA|6，|QF|QA|6所以|PF|QF|X|PA|QA|28，因此PQF的周長為|PF|QF|PQ|281644答案442XX卷設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C1AB0的兩個(gè)焦點(diǎn)若在C上存在一X2A2Y2B2點(diǎn)P使PF1PF2，且PF1F230，則C的離心率為_解析在RTF1F2P，設(shè)2C|F1F2|2，則|PF2|1，|PF1|，得2A|PF1|PF2|31，所以E13CA2313答案131X江門一模在平面直角坐標(biāo)系XOY中，若雙曲線1的焦距為8，則X2MY2M24M_解析因?yàn)樵谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系XOY中，雙曲線1的焦距為8，所以X2MY2M24M0，焦點(diǎn)在X軸，所以A2M，B2M24，所以C2M2M4，又雙曲線1的焦距為8，所以M2M416，即M2MX0，解得M3或X2MY2M24M4舍答案32X韶關(guān)二模設(shè)點(diǎn)P是雙曲線1A0，B0與圓X2Y2A2B2在X象限X2A2Y2B2的交點(diǎn)，其中F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若TANPF2F13，則雙曲線的離心率為_解析因?yàn)閳AX2Y2A2B2的半徑RC，所以|F1F2|是圓的直徑，所以A2B2F1PF290依據(jù)雙曲線的定義|PF1|PF2|2A，又因?yàn)樵赗TF1PF2中，TANPF2F13，即|PF1|3|PF2|，所以|PF1|3A，|PF2|A，在直角三角形F1PF2中由3A2A22C2，得EC2A2102答案102X節(jié)圓的方程掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程知識梳理一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)圓心C坐標(biāo)為A，B，半徑是R，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是_特別地，圓心為O0,0時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為_二、圓的一般方程當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程X2Y2DXEYF0叫做圓的_，其圓心為_，半徑R_一、XA2YB2R2X2Y2R2二、一般方程D2，E2D2E24F2基礎(chǔ)自測1方程X2Y24KX2YK0表示圓的充要條件是A11414CKRDK或K114解析因?yàn)?K2224K15K2K220恒成立，所以KR故選C答案C2已知圓CX2Y2MX40上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線XY30對稱，則實(shí)數(shù)M的值為A8B4C6D無法確定解析圓上存在關(guān)于直線XY30對稱的兩點(diǎn)，則直線XY30過圓心，M2，0即30，M2所以M6答案C3過點(diǎn)A1，1，B1,1，且圓心在直線XY20上的圓的方程是_解析AB的垂直平分線為YX，由ERROR得圓心M1,1，故半徑R|AM|2，所以圓的方程為X12Y124答案X12Y1244X桂林模擬已知圓C的圓心與點(diǎn)P2,1關(guān)于直線YX1對稱直線3X4YX0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|6，則圓C的方程為_解析圓心的坐標(biāo)為0，1，所以R23218，411252圓的方程為X2Y1218答案X2Y12181X江西卷若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)4,0，且與直線Y1相切，則圓C的方程是_解析設(shè)圓心坐標(biāo)為2，Y0，則ERROR解得Y0，R，3252所以圓C的方程為X222Y32254答案X222Y322542在平面直角坐標(biāo)系XOY中，曲線YX26X1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上1求圓C的方程；2若圓C與直線XYA0交于A，B兩點(diǎn)，且OAOB，求A的值解析1曲線YX26X1與Y軸的交點(diǎn)為0,1，與X軸的交點(diǎn)為32，0，32，022故可設(shè)C的圓心為3，T，則有32T1222T2，2解得T1則圓C的半徑為R332112所以圓C的方程為X32Y1292設(shè)AX1，Y1，BX2，Y2，其坐標(biāo)滿足方程組ERROR消去Y，得方程2X22A8XA22A10由已知可得，判別式5616A4A20從而X1X24A，X1X2A22A12由于OAOB，可得X1X2Y1Y20又Y1X1A，Y2X2A，所以2X1X2AX1X2A20由得A1，滿足0，故A11X汕尾二模已知圓C的方程為X22Y225，則過M0,1的圓C的對稱軸所在的直線方程為_解析由X22Y225，得圓心C2,0，又圓C的對稱軸過M0,1，由直線方程的兩點(diǎn)式得，Y010X202整理得X2Y20所以過M0,1的圓C的對稱軸所在的直線方程為X2Y20答案X2Y202X揭陽一模已知圓C經(jīng)過直線2XY20與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，又經(jīng)過拋物線Y28X的焦點(diǎn)，則圓C的方程為_解析拋物線Y28X的焦點(diǎn)為F2,0，直線2XY20與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1,0，B0,2，設(shè)所求圓的方程為X2Y2DXEYF0將A、B、F三點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程得ERROR解得ERROR于是所求圓的方程為X2Y2XY20即22X12Y1252答案22X12Y1252第九節(jié)拋物線一1掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)2理解數(shù)形結(jié)合的思想知識梳理一、拋物線的定義平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離等于到定直線L定點(diǎn)不在定直線上的距離的點(diǎn)的軌跡是拋物線其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線注意當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過該定點(diǎn)且與定直線垂直的一條直線二、拋物線的類型、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)注意表中各式的P0標(biāo)準(zhǔn)方程Y22PXY22PXX22PYX22PY圖形焦點(diǎn)FP2，0FP2，0F0，P2F0，P2準(zhǔn)線XP2XP2YP2YP2范圍X0，YRX0，YRXR，Y0XR，Y0對稱軸X軸Y軸頂點(diǎn)0,0離心率E1焦半徑X1|PF|P2|PF|P2|X1|Y1|PF|P2|PF|P2|Y1|基礎(chǔ)自測1XX卷拋物線Y28X的焦點(diǎn)到直線XY0的距離是3A2B2CD133解析拋物線Y28X的焦點(diǎn)為F2,0，由點(diǎn)到直線的距離公式得F2,0到直線XY0的距離D1故選D3|230|123222答案D2一動圓的圓心在拋物線X28Y上，且動圓恒與直線Y20相切，則動圓必過定點(diǎn)A4,0B0，4C2,0D0，2解析由拋物線的定義知到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線的距離相等，動圓必過焦點(diǎn)0，2答案D3若動點(diǎn)P到點(diǎn)F2,0的距離與它到直線X20的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程為_解析由拋物線定義知點(diǎn)P的軌跡是以F2,0為焦點(diǎn)，直線X2為準(zhǔn)線的拋物線，所以P4，所以其方程為Y28X答案Y28X4若拋物線Y22PX的焦點(diǎn)與橢圓1的右焦點(diǎn)重合，則P的值為_X26Y22解析橢圓1的右焦點(diǎn)為2,0，所以拋物線Y22PX的焦點(diǎn)為2,0，則P4X26Y22答案41X新課標(biāo)全國卷O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線CY24X的焦點(diǎn)，P為C上一2點(diǎn)，若|PF|4，則POF的面積為2A2B2C2D423解析由Y24X知焦點(diǎn)F，0，準(zhǔn)線X設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為X0，Y0，則X02224，22所以X03，所以Y4324，22022所以|Y0|2，所以SPOF22故選C612263答案C2已知平面內(nèi)一動點(diǎn)P到點(diǎn)F1,0的距離與點(diǎn)P到Y(jié)軸的距離的差等于11求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；2過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線L1，L2，設(shè)L1與軌跡C相交于點(diǎn)A，B，L2與軌跡C相交于點(diǎn)D，E，求AE的最小值DB解析1設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為X，Y，由題意有|X|1X12Y2化簡得Y22X2|X|當(dāng)X0時(shí)，Y24X；當(dāng)X|F1F2|_，即點(diǎn)集MP|PF1|PF2|2A,2A|F1F2|是橢圓其中兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做_，定點(diǎn)間的距離叫做_注意2A時(shí)，點(diǎn)的軌跡為線段|F1F2|F1F2,2AB0；X2A2Y2B2焦點(diǎn)在Y軸上1AB0Y2A2X2B2四、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1AB0X2A2Y2B21AB0Y2A2X2B2圖形中心0,00,0焦點(diǎn)F1C,0，F(xiàn)2C,0F10，C，F(xiàn)20，C頂點(diǎn)A,0，0，BB,0，0，A軸長長軸|A1A2|的長2A，短軸|B1B2|的長2B，|B2O|B，|OF2|C，|B2F2|A離心率E01213B0，X2A2Y2B2與直線X1聯(lián)立得Y，B2A因?yàn)镃1，所以2B23A，即2A213A,2A23A20，A0，解得A2負(fù)值舍去，所以B23，故所求橢圓方程為1故選CX24Y23答案C3X揚(yáng)州模擬已知F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，BX216Y29兩點(diǎn)在AF1B中，若有兩邊之和是10，則X邊的長度為_解析根據(jù)橢圓定義，知AF1B的周長為4A16，故所求的X邊的長度為16106答案64橢圓3X2KY23的一個(gè)焦點(diǎn)是0，則K_2解析方程3X2KY23可化為X21，Y23KA21B2，3KC2A2B212，解得K13K答案11XX卷已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F1,0，離心率等于，則C的方程是12A1B1X23Y24X24Y23C1D1X24Y22X24Y23解析依題意C1，因?yàn)殡x心率E，12所以A2，從而B，3所以橢圓方程為1故選DX24Y23答案D2X江西卷橢圓C1AB0的離心率E，AB3X2A2Y2B2321求橢圓C的方程；2如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線DP交X軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為K，MN的斜率為M，證明2MK為定值解析1因?yàn)镋，32CA故1，C2A2A2B2A2B2A234所以A2B，再由AB3得A2，B1,橢圓C的方程為Y21X242因?yàn)锽2,0，P不為橢圓頂點(diǎn)，則BP方程為YKX2K0且K12將代入Y21，解得PX248K224K21，4K4K21又直線AD的方程為YX1，12與聯(lián)立解得M，4K22K1，4K2K1由D0,1，P，8K224K21，4K4K21NX,0三點(diǎn)共線可解得N，4K22K1，0所以MN的分斜率為M，2K14則2MKK定值2K12121設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)X225Y216為6,4，則|PM|PF1|的最大值為_解析|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|PF2|易知點(diǎn)M在橢圓外，連接MF2并延長交橢圓于點(diǎn)P，此時(shí)|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值為10|MF2|101563242答案152X梅州二模已知圓CX42YM216MN，直線4X3Y160過橢圓E1AB0的右焦點(diǎn)，且交圓C所得的弦長為，點(diǎn)A3,1在橢圓E上X2A2Y2B23251求M的值及橢圓E的方程；2設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動點(diǎn)，求的取值范圍ACAQ解析1因?yàn)橹本€4X3Y160交圓C所