習(xí)題111有一動圈傳聲器的振膜可當作質(zhì)點振動系統(tǒng)來對待,其固有頻率為F，質(zhì)量為M，求它的彈性系數(shù)。解由公式MMOMKF21得MFKM2212設(shè)有一質(zhì)量MM用長為L的細繩鉛直懸掛著，繩子一端固定構(gòu)成一單擺，如圖所示，假設(shè)繩子的質(zhì)量和彈性均可忽略。試問（1）當這一質(zhì)點被拉離平衡位置時，它所受到的恢復(fù)平衡的力由何產(chǎn)生并應(yīng)怎樣表示（2）當外力去掉后，質(zhì)點MM在此力作用下在平衡位置附近產(chǎn)生振動，它的振動頻率應(yīng)如何表示（答LGF210，G為重力加速度）圖習(xí)題12解（1）如右圖所示，對MM作受力分析它受重力MMG，方向豎直向下；受沿繩方向的拉力T，這兩力的合力F就是小球擺動時的恢復(fù)力，方向沿小球擺動軌跡的切線方向。設(shè)繩子擺動后與豎直方向夾角為，則SINL受力分析可得SINMMFMGMGL（2）外力去掉后上述拉力去掉后，小球在F作用下在平衡位置附近產(chǎn)生擺動，加速度的方向與位移的方向相反。由牛頓定律可知22DDMFMT則22DDMMMMGTL即22D0,DGTL20GL即01,2GFL這就是小球產(chǎn)生的振動頻率。13有一長為L的細繩，以張力T固定在兩端，設(shè)在位置0X處，掛著一質(zhì)量MM，如圖所示，試問1當質(zhì)量被垂直拉離平衡位置時，它所受到的恢復(fù)平衡的力由何產(chǎn)生并應(yīng)怎樣表示2當外力去掉后，質(zhì)量MM在此恢復(fù)力作用下產(chǎn)生振動，它的振動頻率應(yīng)如何表示3當質(zhì)量置于哪一位置時，振動頻率最低解首先對MM進行受力分析，見右圖，022002200XXTXLXLTFX（0X，2022020220,XLXLXX。）220220XTXLTFY00XTXLT00XLXTL可見質(zhì)量MM受力可等效為一個質(zhì)點振動系統(tǒng)，質(zhì)量MMM，彈性系數(shù)00XLXTLK。（1）恢復(fù)平衡的力由兩根繩子拉力的合力產(chǎn)生，大小為00XLXTLF，方向為豎直向下。（2）振動頻率為MMXLXTLMK00。（3）對分析可得，當20LX時，系統(tǒng)的振動頻率最低。14設(shè)有一長為L的細繩，它以張力T固定在兩端，如圖所示。設(shè)在繩的0X位置處懸有一質(zhì)量為M圖習(xí)題13的重物。求該系統(tǒng)的固有頻率。提示當懸有M時，繩子向下產(chǎn)生靜位移0以保持力的平衡，并假定M離平衡位置0的振動位移很小，滿足0條件。圖習(xí)題14解如右圖所示，受力分析可得002COS4COS12TMGMGLL又0，TT，可得振動方程為202D2D2TMLT即202D44DTTMTLL001411222TLMGGFMM15有一質(zhì)點振動系統(tǒng)，已知其初位移為0，初速度為零，試求其振動位移、速度和能量。解設(shè)振動位移COS0TA，速度表達式為SIN00TVA。由于00T，00TV，代入上面兩式計算可得T00COS；TV000SIN。振動能量22022121AMAMMVME。16有一質(zhì)點振動系統(tǒng)，已知其初位移為0，初速度為0V，試求其振動位移、速度、和能量。解如右圖所示為一質(zhì)點振動系統(tǒng)，彈簧的彈性系數(shù)為MK，質(zhì)量為MM，取正方向沿X軸，位移為。則質(zhì)點自由振動方程為2202D0,DT（其中20,MMKM）解得00COS,AT000000DSINCOSD2AAVTTT當00T，00TVV時，00000COSCOS2AAV222000000001ARCTANAVV質(zhì)點振動位移為222000000001COSARCTANVVT質(zhì)點振動速度為2220000000COSARCTAN2VVVT質(zhì)點振動的能量為22220001122MAMEMVMV17假定一質(zhì)點振動系統(tǒng)的位移是由下列兩個不同頻率、不同振幅振動的疊加TT2SIN21SIN，試問1在什么時候位移最大2在什么時候速度最大解TT2SIN21SIN，TTDTD2COSCOSTTDTD2SIN2SIN2222。令0DTD，得32KT或KT2，經(jīng)檢驗后得32KT時，位移最大。令022DTD，得KT或41ARCCOS2KT，經(jīng)檢驗后得KT2時，速度最大。18假設(shè)一質(zhì)點振動系統(tǒng)的位移由下式表示COSCOS2211TT試證明COSTA其中COS212212221A，22112211COSCOSSINSINARCTAN證明COSCOS2211TT11112222COSCOSSINSINCOSCOSSINSINTTTT11221122COSCOSCOSSINSINSINTT設(shè)1122COSCOSA，1122SINSINB則COSSINATBT22COSABT（其中ARCTANBA）又22222211221212COSCOS2COSCOSAB222211221212SINSIN2SINSIN22121212122COSCOSSINSIN221212212COS又ARCTANBA11221122SINSINARCTANCOSCOS令22221212212COSAAB則COSTA19假設(shè)一質(zhì)點振動系統(tǒng)的位移由下式表示TWTW2211COSCOS12WW試證明COS1TWA，其中,COSSINARCTAN,COS221212212221WWWWTWTWTA解因為位移是矢量，故可以用矢量圖來表示。由余弦定理知，COS212212221TWTWACOS2212221WT其中，12WWW。由三角形面積知，SIN21SIN21121AWT得AWTSINSIN2得WTWTTGA22222SINSIN2212COSSINWTWTWTWTCOSSIN212故WTWTCOSSIN212即可證。110有一質(zhì)點振動系統(tǒng)，其固有頻率F0為已知，而質(zhì)量MM與彈性系數(shù)KM待求，現(xiàn)設(shè)法在此質(zhì)量MM上附加一已知質(zhì)量M，并測得由此而引起的彈簧伸長1，于是系統(tǒng)的質(zhì)量和彈性系數(shù)都可求得，試證明之證由胡克定理得MGKM1KMMG/1由質(zhì)點振動系統(tǒng)固有頻率的表達式MMMKF210得，120220244FMGFKMMM縱上所述，系統(tǒng)的質(zhì)量MM和彈性系數(shù)KM都可求解111有一質(zhì)點振動系統(tǒng)，其固有頻率F0為已知，而質(zhì)量MM與彈性系數(shù)待求，現(xiàn)設(shè)法在此質(zhì)量MM上附加一質(zhì)量M，并測得由此而引起的系統(tǒng)固有頻率變?yōu)镕0,于是系統(tǒng)的質(zhì)量和彈性系數(shù)都可求得，試證明之。解由MMMKF210得MMMFK202由MMKFMM210得,220MMFKMM聯(lián)立兩式，求得202020FFFMMM，2020202024FFFMFKM112設(shè)有如圖123和圖124所示的彈簧串接和并接兩種系統(tǒng)，試分別寫出它們的動力學(xué)方程，并求出它們的等效彈性系數(shù)。解串接時，動力學(xué)方程為0212122MMMMMKKKKDTDM，等效彈性系數(shù)為MMMMKKKKK2121。并接時，動力學(xué)方程為02122MMMKKDTDM，等效彈性系數(shù)為MMKKK21。113有一宇航員欲在月球表面用一彈簧秤稱月球上一巖石樣品。此秤已在地球上經(jīng)過校驗，彈簧壓縮0100MM可稱01KG。宇航員取得一塊巖石，利用此秤從刻度上讀得為04KG，然后，使它振動一下，測得其振動周期為1S，試問月球表面的重力加速度是多少而該巖石的實際質(zhì)量是多少解設(shè)該巖石的實際質(zhì)量為M，地球表面的重力加速度為298GMS，月球表面的重力加速度為G由虎克定律知,MFKX又MFMG則11001MGGKGX0221MTK則221010982544GMKG又104XX則004XMMGKX則224004158KGXMSM故月球表面的重力加速度約為2158MS，而該巖石的實際質(zhì)量約為25KG。114試求證1COS2COSCOSCOSNTATATATA圖123圖12421COS2SIN2SINNTNA證12NTJTJTJTJAEAEAEAE1JTJEAESINCOS1SINCOS111JJJNJNAEEEAETJNTJ2COS2SIN2COS2SIN2SIN2SINSIN2SIN2SIN2SIN222JNJNNAEJNJNAETJTJ2121212222SIN2SIN2SIN2SIN2SIN2SINNTJNJTJJNJTJENAENAEEENAE同時取上式的實部，結(jié)論即可得證。115有一彈簧MK在它上面加一重物MM，構(gòu)成一振動系統(tǒng)，其固有頻率為0F，1假設(shè)要求固有頻率比原來降低一半，試問應(yīng)該添加幾只相同的彈簧，并怎樣聯(lián)接2假設(shè)重物要加重一倍，而要求固有頻率0F不變，試問應(yīng)該添加幾只相同的彈簧，并怎樣聯(lián)接解固有頻率MMOMKF21。（1）200FF4MMKK，故應(yīng)該另外串接三根相同的彈簧；（2）002FFMMMMMMKK2，故應(yīng)該另外并接一根相同的彈簧。116有一直徑為D的紙盆揚聲器，低頻時其紙盆一音圈系統(tǒng)可作質(zhì)點系統(tǒng)來對待?，F(xiàn)已知其總質(zhì)量為MM，彈性系數(shù)為MK。試求該揚聲器的固有頻率。解該揚聲器的固有頻率為012MMKFM。117原先有一個05的質(zhì)量懸掛在無質(zhì)量的彈簧上，彈簧處于靜態(tài)平衡中，后來又將一個02的質(zhì)量附加在其上面，這時彈簧比原來伸長了004M，當此附加質(zhì)量突然拿掉后，已知這05質(zhì)量的振幅在1S內(nèi)減少到初始值的1/E倍，試計算（1）這一系統(tǒng)的力學(xué)參數(shù)KM，RM，F(xiàn)0；（2）當02的附加質(zhì)量突然拿掉時，系統(tǒng)所具有的能量；（3）在經(jīng)過1S后，系統(tǒng)具有的平均能量。解（1）由胡克定理知，KMMG/所以KM0298/00449N/M1/1EE故MSNRMRMMM/12HZFWW57115049210200（2）系統(tǒng)所具有的能量JKEM0392004049212122（3）平均能量JEKETM32201031521118試求當力學(xué)品質(zhì)因素50MQ時，質(zhì)點衰減振動方程的解。假設(shè)初始時刻0，0VV，試討論解的結(jié)果。解系統(tǒng)的振動方程為022MMMKDTDRDTDM進一步可轉(zhuǎn)化為，設(shè)MMMR2，02222DTDDTD設(shè)TIE于是方程可化為02202TJEJ解得202JTE202方程一般解可寫成202202TTTBEAEE存在初始條件00T，00VVT代入方程計算得20202VA，20202VB解的結(jié)果為202202TTTBEAEE其中20202VA，20202VB。119有一質(zhì)點振動系統(tǒng)，其固有頻率為1F，如果已知外力的頻率為2F，試求這時系統(tǒng)的彈性抗與質(zhì)量抗之比。解質(zhì)點振動系統(tǒng)在外力作用下作強迫振動時彈性抗為MK，質(zhì)量抗為MM已知050FHZ，300FHZ則MMKM2222002222241501430036MMFKMF120有一質(zhì)量為04KG的重物懸掛在質(zhì)量為03KG，彈性系數(shù)為150N/M的彈簧上，試問1這系統(tǒng)的固有頻率為多少2如果系統(tǒng)中引入5KG/S的力阻，則系統(tǒng)的固有頻率變?yōu)槎嗌?當外力頻率為多少時，該系統(tǒng)質(zhì)點位移振幅為最大4相應(yīng)的速度與加速度共振頻率為多少解1考慮彈簧的質(zhì)量，HZ7623/3040150213/210SMMMMKF2考慮彈簧本身質(zhì)量的系統(tǒng)仍可作為質(zhì)點振動系統(tǒng)，但此時系統(tǒng)的等效質(zhì)量MM為MMMS/3550252MMMR，HZ64253/3040150212122200F3品質(zhì)因素66155058160MMMRMQ，位移共振頻率HZ39221120MRQFF4速度共振頻率HZ6420FFR，加速度共振頻率HZ92221120MMRQFQF121有一質(zhì)點振動系統(tǒng)被外力所策動，試證明當系統(tǒng)發(fā)生速度共振時，系統(tǒng)每周期的損耗能量與總的振動能量之比等于MQ2。解系統(tǒng)每個周期損耗的能量TVRTWEAMF221MMAMAMFMRVMTVREE222121，發(fā)生速度共振時，0FF。MMMMMQRMMFREE2200。122試證明（1）質(zhì)點作強迫振動時，產(chǎn)生最大的平均損耗功率的頻率就等于系統(tǒng)的無阻尼固有頻率0F；（2）假定1F與2F為在0F兩側(cè)，其平均損耗功率比0F下降一半時所對應(yīng)的兩個頻率，則有120FFFQM證明（1）平均損耗功率為2011D2TRRMAWWTRVT（MR為力阻，AV為速度振幅）質(zhì)點強迫振動時的速度振幅為22220,1AMAMMFQZVMZZQAF為外力振幅，0為固有頻率，MM為質(zhì)量，MQ為力學(xué)品質(zhì)因素，頻率比00FFZ）當Z1即0FF時，發(fā)生速度共振，AV取最大值，產(chǎn)生最大的平均損耗功率。（2）221AMRVRW2MAXMAX21AMRVRW2202221MMAMMQFRRWMAX21RW則221AMVR212122022MMAMMQFR即22AV22022MMAMQF（1）把22220,1AMAMMFQZVMZZQ帶入式（1），則22221MQZZ（2）由式（2）得MQZZ12解得MMQQZ24112取MMQQZ241121MQZZ12解得MMQQZ24112取MMQQZ241122則MQZZ112即MQFFFFFFF10120102120FFFQM123有一質(zhì)量為04的重物懸掛在質(zhì)量可以忽略，彈性系數(shù)為160N/M的彈簧上，設(shè)系統(tǒng)的力阻為2NS/M，作用在重物上的外力為TNFF8COS5。（1）試求這一系統(tǒng)的位移振幅、速度與加速度振幅以及平均損耗功率；（2）假設(shè)系統(tǒng)發(fā)生速度共振，試問這時外力頻率等于多少如果外力振幅仍為5N，那么這時系統(tǒng)的位移振幅、速度與加速度振幅、平均損耗功率將為多少解（1）由強迫振動方程FMMMFKDTDRDTDM22，得TDTDDTD8COS516024022則位移振幅MRWMWKFMMMAA036902222速度振幅SMWVAA/2960加速度振幅22/3642SMWAAA平均損耗功率08760212WVRPAM（2）速度共振時HZ158322120MMMMRMRRKFF則位移振幅MRWMWKFMMMAA12602222速度振幅SMWVAA/4952加速度振幅22/649SMWAAA平均損耗功率2256212WVRPAM124試求出圖141所示單振子系統(tǒng)，在0T，0V初始條件下，強迫振動位移解的表示式，并分別討論0與0兩種情形下，當0時解的結(jié)果。解對于強迫振動，解的形式為COSCOS000TTEAT其中MAAZF，20。初始條件0，0V，代入得0COSCOS00A0SINSINCOS00000A解得22,022200COSSINCOS2SINCOSA220222200COSSINCOS2SINCOSCOSARCCOS令22,0222COSSINCOS2SINCOSG得COSCOS0020TTGEATA。當0時，0MR，2ARCTAN0MMRX，20，0，20，A0，COS2COS0TTAACOSSIN0TTA。當0時，A，達到位移共振。125有一單振子系統(tǒng)，設(shè)在其質(zhì)量塊上受到外力TFF0221SIN的作用，試求其穩(wěn)態(tài)振動的位移振幅。解此單振子系統(tǒng)的強迫振動方程為22002DD111SINCOSDD222MMMFMRKFTTTTT則22DD1DD2MMMMRKTT（1）202DD1COSDD2MMMMRKTTT（2）由式（1）得12MK令JTFE代入式（2）得0001J2FMMMKRJM則122200012FMMMKRM012MR01122AMMKR126試求如圖所示振動系統(tǒng)，質(zhì)量塊M的穩(wěn)態(tài)位移表示式MFAEJWTK1,R1K2,R2解對質(zhì)量塊進行受力分析，可得質(zhì)量塊M的運動方程為WTAEFKKRRMJ2121該方程式穩(wěn)態(tài)解的一般形式為WTAEJ，將其代入上式可得2121KKMJRRJWFAA2J0|EA其中221221|KKMRRFAA，21210ARCTANRRKKM故質(zhì)量塊的穩(wěn)態(tài)位移表示式可以寫為2COS|0WTA127設(shè)有如圖所示的耦合振動系統(tǒng)，有一外力TJAEFF1作用于質(zhì)量1M上。1M的振動通過耦合彈簧12K引起2M也隨之振動，設(shè)1M和2M的振動位移與振動速度分別為1，1V與2，1V。試分別寫出1M和2M的振動方程，并求解方程而證明當穩(wěn)態(tài)振動時11221211221FZZZZZZZV與1122121122FZZZZZZV。其中1111RKMJZ，2222RKMJZ，1212JKZ。解對圖中兩個振子進行受力分析可得下列運動方程1211211112121FKKDTDRDTDM0121222222222KKDTDRDTDM設(shè)TJAE1，TJBE2TJEVV11，TJEVV22于是方程可化為AFBKKKRJMA12121121圖141圖習(xí)題127012122222AKKKRJMB設(shè)1111RKMJZ，2222RKMJZ，1212JKZ。對上面的兩個方程整理并求解可得11221211221FZZZZZZZV1122121122FZZZZZZV128有一所謂壓差式傳聲器，已知由聲波引起在傳聲器振膜上產(chǎn)生的作用力振幅為AAAPF，其中A為常數(shù)，AP為傳聲器所在處聲壓的振幅對頻率也為常數(shù)，如果傳聲器采用電動換能方式動圈式，并要求在一較寬的頻率范圍內(nèi)，傳聲器產(chǎn)生均勻的開路電壓輸出，試問這一傳聲器的振動系統(tǒng)應(yīng)工作在何種振動控制狀態(tài)為什么解壓差式傳聲器產(chǎn)生的作用力振幅為AAAPF，其中A，AP為常數(shù)，則AF隨變化。電動換能方式傳聲器，其開路電壓輸出為EBLV，要使E均勻恒定，則要V恒定系統(tǒng)處在質(zhì)量控制區(qū)時AAAMMFAPVMM，此時AV與頻率無關(guān)，故在一較寬的頻率范圍內(nèi)，傳聲器將產(chǎn)生均勻的開路電壓輸出。129對上題的壓差式傳聲器，如果采用靜電換能方式電容式，其他要求與上題相同，試問這一傳聲器的振動系統(tǒng)應(yīng)工作在何種振動控制狀態(tài)為什么解傳聲器開路輸出電壓E與振膜位移有如下關(guān)系DEE0只有在力阻控制區(qū)，MAMARAPRF，即在此控制區(qū)，輸出電壓E與頻率無關(guān)。傳聲器的振動系統(tǒng)應(yīng)工作在力阻控制區(qū)。130有一小型動圈揚聲器，如果在面積為0S的振膜前面加一聲號筒，如圖所示，已知在此情況下，振膜的輻射阻變?yōu)?00SCRR（參見55）。試問對這種揚聲器，欲在較寬的頻率范圍內(nèi)，在對頻率為恒定的外力作用下，產(chǎn)生均勻的聲功率，其振動系統(tǒng)應(yīng)工作在何種振動控制狀態(tài)為什么解動圈揚聲器消耗于聲輻射部分的平均損耗功率為212RAWRV200012ACSV其中0，0C，0S均為常數(shù)，要使W均勻，則2AV應(yīng)不受的W影響。故振動系統(tǒng)應(yīng)工作在力阻控制區(qū)，此時AAMFVR（其中AF為頻率恒定的外力，MR也恒定）。131有一如圖所示的供測試用動圈式振動臺，臺面MM由彈簧MK支撐著，現(xiàn)欲在較寬的頻率范圍內(nèi)，在音圈上施加對頻率恒定的電流時，能使臺面MM產(chǎn)生均勻的加速度，試問其振動系統(tǒng)應(yīng)工作在何種振動控制狀態(tài)為什么解音圈通以I電流時，在磁場下產(chǎn)生電動力BILF，由AMFM可見，只有在質(zhì)量控制區(qū)MAMFA時，產(chǎn)生的加速度與頻率無關(guān)，是均勻的。132有一試驗裝置的隔振臺，如圖所示，已知臺面的質(zhì)量MM15103，臺面由四組相同的彈簧支撐，每組由兩只相同的彈簧串聯(lián)而成。已知每只彈簧在承受最大負荷為600時，產(chǎn)生的位移3，試求該隔振系統(tǒng)的固有頻率，并問當外界基礎(chǔ)振動的位移振幅為1、頻率為20HZ時，隔振臺MM將產(chǎn)生多大的位移振幅解每只彈簧的勁度系數(shù)K60098/003196105N/M每組彈簧的總勁度K1K/2四組彈簧并聯(lián)后的勁度K24K12K392105N/M則固有頻率5722120MKFHZ由振動方程00MMKM，將JWTAE，JWTAE0代入得，圖習(xí)題131016802MWKKAA133設(shè)有如圖所示的主動隔聲系統(tǒng)，有一外力F0F10EJT作用于質(zhì)量塊MM上，試求傳遞在基礎(chǔ)上力F與F0的振幅比MMKM,RMF0F解對質(zhì)量塊進行受力分析，可得質(zhì)量塊MM的振動方程為WTMMMEFKRMJ10其穩(wěn)態(tài)解的一般形式為COSTA其中221010|MMMMAKMRFZF，MMMRKMARCTAN彈簧傳遞給基礎(chǔ)的作用力為COSTKKFAMM，則MAAKF由此傳遞給基礎(chǔ)的力F與F0的振幅比2210MMMMAFKMRKFFD134有一振動物體產(chǎn)生頻率為F，加速度振幅為10A的振動，現(xiàn)用一動圈式加速度計去測量。假定已知加速度計振動系統(tǒng)的固有頻率為0F，力學(xué)品質(zhì)因素為MQ，音圈導(dǎo)線總長為L，磁隙中的磁通量密度為B。試求該加速度計的開路輸出電壓將為多少解動圈式加速度計測量由0MMMMQR得0MMMMRQ由012MMKFM得2204MMKFM則10MAMMAEBLZ101222MMMMMBLAKRM1012222222MMMMMMMBLAKRMKM10122442222000224168MBLAFFFQ135設(shè)有一調(diào)制形式的外力作用于單振子系統(tǒng)的質(zhì)量上，此外力可表示成TTHFFAFSINSIN11，其中H為一常數(shù)，稱為調(diào)制深度，試求振動系統(tǒng)的位移。解外力表達式為TTHFFAFSINSIN11COSCOS212COS11TTHFTFAA用指數(shù)形式表示外力為TJATJATJAFHEFHEFEFF2112121振子進行強迫振動，由式（1514）得，振子系統(tǒng)的位移為20COS212COS313111TZHFTZFAA20COS212121TZHFA其中MMMRKMARCTAN1；MMMRKM112ARCTAN；MMMRKM113ARCTAN；221MMMKMRZ；21122MMMKMRZ；21123MMMKMRZ。136設(shè)有一呈鋸齒形式的外力作用于單振子的質(zhì)量上，此力可表示為21FATFFT（1,0,1,2,KTTKTK）試求振動系統(tǒng)的位移。解質(zhì)點的振動方程為22DD21DDMMMFATMRKFTFTTT（1）又01COSSIN,FNNNFTAANTBNT（2T）（2）其中001D0TFAFTTT02COSD0TNFAFTNTTT022SINDTANFFBFTNTTTN式（2）也可表示為0COSFNNNFTFNT（3）其中222ANNNFFABN，2ARCTANANFN把式（3）表示成為復(fù)數(shù)形式J0ENNTFNNFTF則式（1）可寫成2J20DDENNTMMMNNMRKFTT（4）設(shè)0NN，代入式（4）可得J00EJNNTNNNNNFNZ其中JJMNNNMMKZRXRNMN取的實部得0COS2NNNNNFNTNZ202COS2ANNNNFNTNZ式中22MNMMKZRNMNARCTANARCTANMMNNMMKNMXNRR137設(shè)有如下形式的外力,2,1,0121,21,KTKTTKFATKTKTFFAF作用于單振子的質(zhì)量上，試求振動系統(tǒng)位移解將周期作用力展開成傅立葉級數(shù)，可得0COSNNNFTNFTF其中22NNNBAF，NNNABARCTAN0D100TFTTFTA，0DCOS20TFNTNWTTFTA，為偶數(shù)為奇數(shù)NNNFNFTNWTTFTBANATFN04112DSIN20由此NNBF，2為奇數(shù)NN，即ANAAAFNFFFFFFF4,54,34,4531；2,2,2,2531為奇數(shù)NNA由1514得質(zhì)點振動系統(tǒng)得位移02COSNNNNNNWTZNFCOS43COS94COS423311NNAAANWTZNFWTZFWTZFN為奇數(shù)習(xí)題221有一質(zhì)量為M，長為L的細弦以F的張力張緊，試問1當弦作自由振動時其基頻為多少2設(shè)弦中點位置基頻的位移振幅是B，求基頻振動的總能量。3距細弦一端4L處的速度振幅為多少解（1）簡正頻率TLNFN2，且線密度LM基頻MLTTLF21211。（2）基頻振動的總能量2222011616LTBLTE。（3）弦的位移的總和形式1COSSIN,NNNNNTXKBXT速度表達式為1SINSIN,NNNNNNTXKBTXTXTV距一端M250處的速度振幅4SIN2214LLNTLNBVNNLXA4SIN1NMLTBNNN43SIN22143LLNTLNBVNNLXA43SIN1NMLTBNNN22長為L的弦兩端固定，在距一端為0X處拉開弦以產(chǎn)生0的靜位移，然后釋放。（1）求解弦的振動位移；（2）以30LX為例，比較前三個振動方式的能量。解弦的振動位移形式為1SINCOSSIN,NNNNNNTDTCXKXT其中LNKN，LCNN，NNNBCCOS，NNNBDSIN（1）由初始條件可得00000000LXXXLXLXXXXT0000LXTTVT又LNNNLNNXDXKXVLDXDXKXLC0000SIN2SIN2則000222000000SIN2SINSIN200XLNXLXNLXDXKXLXLXDXKXXLCXLXNNN0ND則NNN0SINNNCBTLCNLXXLNXLXNLTXLCXTNNNNNCOS2SINSIN2COS2SIN,010022201（2）222222244NNNBLTNBLCNE當LX310時，3SIN93SIN3322202220NNLLNLLLNLCBNN則LTLTE22022021162433SIN94LTE22026424303E23長為L的弦兩端固定，在初始時刻以速度0V敲擊弦的中點，試求解弦的振動位移。解弦的振動位移表達式為1SINCOSSIN,NNNNNNTDTCXKXT可得速度表達式為1COSSINSIN,NNNNNNNNTDTCXKTXTXTV由題可得初始條件00T；XLVVXLVTT0000222LXLLX2,20,通過傅立葉變換可得0NC；2SIN2SIN4330KLKLKLVDNN。位移表達式為1SINSIN,NNNNTXKDXT其中2SIN2SIN4330KLKLKLVDNN。24長為L的弦兩端固定，在初始時刻以速度0V敲擊弦的中心，試證明外力傳給弦的初動能等于弦作自由振動時所有振動方式振動能的總和。解初始條件02000TLXTVT弦的總位移為1,SINCOSSIN,NNNNNNTXKXCTDT其中COS,SINNNNNNNCBDB，（,NNCLNNKC）又00N2SINDLNNDVXKXXL00N2SINDLNVKXXL02221COSVLNNC0NC當N為偶數(shù)時，2460DDD當N為奇數(shù)時，0124VLDC，032419VLDC，0524125VLDC，故NNBD，0N又弦振動時的總能量為1NNEE22214NNTNBL20224111925TVLC2202248TVLC2022TVLC202TVLT2012VL2012MV0KE（2TC）外力傳給弦的初始動能為0KE2012MV25設(shè)有一根弦，一端固定而另一端延伸到無限遠即認為沒有反射波回來，假設(shè)在離固定端距離L處，施加一垂直于弦的力TJAEFF，試求在LX力作用點的左、右兩方弦上的位移表達式。提示在弦的力作用點處，應(yīng)有連接條件21和FXTXT21。26有長為L，線密度為的弦。其一端經(jīng)一無摩擦的滑輪懸掛一重物M，已知弦所受的張力T，如圖所示。試求（1）該弦作自由振動時的頻率方程；（2）假設(shè)此重物M比弦的總質(zhì)量大很多時，求該弦的基頻近似值。圖26解（1）由題意可知其初始條件和邊界條件為LXLXXTMXT2200弦的振動位移為COSSINCOS,UTXCUBXCUAXT（其中U2NNF）當00X時，得0A則COSSIN,UTXCUBXTTSINSINUTXCUBU22TCOSSIN2UTXCUBUXCOSCOSUTXCUCUB帶入邊界條件可得COSCOSUTLCUCUTBCOSSIN2UTLCUMBU即MCUTLCUTANMMMLMCTLLCUMCUTLCULCUS2TAN（其中,TC弦的質(zhì)量為SM，線密度為）令LCUR，MMS，則RRTAN，這就是弦作自由振動時的頻率方程。（2）當MMFC，由5519可得聲源的速度振幅971212502000KSCWUAM/S，則位移振幅為410133AAUM250370200ACFKA，則聲源的平均輻射功率為0673041220000AUKASCWW525有一矩形管內(nèi)充空氣，管子的截面積為201008XYLLM，在管口有一聲源產(chǎn)生頻率從10002000HZHZ的振動，管的另一端延伸無限。試討論管中聲波的傳播情況解由2202XYYXNNXYNCNFLL得21034311715201FHZ，20134312143752008FHZ當10001715HZFHZ時，管中傳播的是一束沿Z軸方向，波陣面為一維平面波的0,0次波。當17152000HZFHZ時，管中傳播的是沿X軸程一定夾角方向斜向傳播，并經(jīng)壁面不斷反射而進行著的平面波1,0次高次波。527假設(shè)在一矩形管的管口0Z處聲源的振速分布為0SINJTXUTUXEL，試求前三個簡正波的聲壓振幅。解管中傳播的波的形式為JCOSCOSEZXYXYTKZNNNNXYPAKXKY在0Z處，COSCOSXYXYNNNNXYPAKXKY又在0Z處，0SINJTXUTUXEL則00000012SINDDXYLLXYXBUXXYULLL100002SINCOSDD0XYLLXYXXBUXXXYLLLL010002SINCOSDD0XYLLXYXYBUXYXYLLLL又0XYXYNNNNZABK則（1）對于0,0次簡正波，0ZCC00COSCOSXYANNXYPAKXKYNCOSCOSXYXNNXXNAXYLL000000002ZCABUK（2）對于1,0次簡正波，02220211ZXCCCL10AP01010COSCOS0XZXAXBXLKL（3）對于0,1次簡正波，02220211ZYCCCL01AP00101COSCOS0YZYAYBYLKL習(xí)題661對于脈動球源，在滿足KR0D，則由四個小球源輻射的聲波達到觀察點P時，振幅差別甚小，可用R代替R，R，R，R，但是它們對相位的差異不能忽略COS23JCOS2JCOS2JCOS23JKDKRWTKDKRWTKDKRWTKDKRWTERAERAERAERAPCOS23JCOS2JCOS2JCOS23JJKDKDKDKDKRWTEEEEERACOS2JCOS2JCOSDJCOS2JCOS2JCOSDJJKDKDKKDKDKKRWTEEEEEEERACOSDJCOSDJCOS2JCOS2JJKKKDKDKRWTEEEEERACOSDCOS2COS2SINJ2JKKDERAKRWT由于KD1，可將COS2SINKD近似為COS2KD，由此上式COSDCOS2COSJJKKDERAKRWTWTKREKERKADJJCOSDCOSCOS2J由此結(jié)論得證615證明如圖所示的剛性壁面前偶極子的遠場輻射聲壓為TJRKJEKDCOSJSINECOSR2KADJPDD/2PR硬證明由鏡像原理知，絕對硬邊界對聲源的影響等效于一個同相的的虛聲源。根據(jù)同相小球聲場疊加，分別得兩個相距3D的正相小球聲場COS23COS21KDERAPKRWTJ兩個相距D的負相小球聲場COS2COS22KDERAPKRWTJ則遠場COS2COSCOS23COS221KDKDERAPPPKRWTJCOS2SINCOSSIN4KDKDERAKRWTJ又COS2COS2SINKDKD，故得JWTJKREKDJERKADPCOSSINCOS2即得證。616由聲柱指向特性（6323）式出發(fā)，證明長度為L的均勻直線聲源的指向特性為SINSINSINLLD。證明由N個體積速度相等，相位相同，兩兩相距L的小脈動球源組成的聲柱的指向特性為KNKNDSINSIN長度為L的均勻直線聲源，利用極限將直線聲源等效為N（N）個小脈動球源。KNKNDNSINSINLIMSIN122SINSIN122SINLIMNLNNLNNSIN11LIMSINSINNLNLNSINSINSINLL證畢。618試用點源組合的方法求解有限長線聲源均勻輻射時的聲壓。,YXP2L2LXY解由點源組合法可將線聲源看成是無數(shù)個點聲源的組合首先計算任意點聲源在點P處產(chǎn)生的聲壓J,IKRWTIERAYXP，其中22IIYYXR由聲壓的疊加原理得線聲源在P點的聲壓為2/2/J,LLIKRWTIDYERAYXPIIYYXKWTLLIDYEYYXAIJ2/2/2222619如將一列很長的火車近似看作無限長線聲源，設(shè)單位長度的聲功率為1W，地面為聲學(xué)剛性平面，求距離火車垂直距離0R處的2EP（不計火車的運動），討論EP與0R的關(guān)系。（提示COS10RR，DRDX1COS）解建立模型如右圖所示，設(shè)火車首尾與觀察點的連線與垂線0R的夾角分別為1和2。取一小微元DX又COS10RR，DRDX1COSDXWRCDWRCDPE1210021002242將DRDX1COS代入并兩邊積分得21210022DWRCPE21COSCOS20202100DRRWC2120001RCW將火車看作無限長，則有21，2因此可得EP與0R的關(guān)系為000122RCWPE620如將火車近似看作有限長線聲源，設(shè)單位長度得聲功率為1W，地面為聲學(xué)剛性平面，火車首尾與觀察點連線的夾角（對于垂線0R）分別為1和2，距離火車垂直距離0R處得2EP（不計火車的運動），證明21200012RCWPE解JETKRAPR，2EAPR2222EAPR，2002WAC則20024EWCPR又0TANXR，20SECDXRD212002204XXWCPDXRX2120002201SEC41TANWCRDR002104WCR621設(shè)有一半徑為是圓形聲源，總輸出聲功率為W，已知每一面元是輻射聲功率都相同，而它們的相位卻是無規(guī)而各不相干。試求該聲源中心軸上Z處的平方平均聲壓。解已知每一面元相位是無規(guī)且各不相干的，因此，總平方平均聲壓DDWRCP20024DDSAWRC22004DDSZAWC2220014ADZAWCD0222002041LN42200ZAACW622有一直徑為30紙盆揚聲器嵌在無限大障板上向空氣中輻射聲波，假設(shè)它可以看作是活塞振動，試分別畫出它們在100HZ與1000HZ時的指向性圖。當F1000HZ時，主聲束角寬度為多少此揚聲器臨界距離GZ為多少解102SINSINAAPJKDPKA0200183FKFC，半徑0152DAM1100FHZ，1183K，10271KA21000FHZ，2183K，2273KA作圖如348P,AB2ARCSIN016A02ARCSIN016CFA03442ARCSIN0164310000152GAZ22001510000065344AFMC624已知活塞表面的振速為為TJNEAUTU1,220證明離活塞很遠處的輻射聲壓為11200SINSIN2KAKAJANERUJPNNKRTJ。證明面元在觀察點P產(chǎn)生的聲壓為002KHTJADSEUHCKJDP對整個活塞表面積分可得整個活塞的輻射聲壓為DSEUHCKJDPPKHTJAS002（）從圖中可看出有,COS2222RRRH，在離活塞很遠處有AR，上式則可近似為,COSRRH由解析幾何可得COSSIN,COSRRR于是（）式可化為AJKNKRTJDEDAERUJP020COSSIN220012（）柱貝塞爾函數(shù)有下列性質(zhì)20COS021DEXJJX，1XXJDXXXJNN通過以上性質(zhì)對（）式積分可得輻射聲壓為11200SINSIN2KAKAJANERUJPNNKRTJ626半徑為CM15的活塞嵌在無限大障板上向空氣中輻射聲波，已知振速幅值SMUA0020，求HZF300時軸上M1處的聲壓級，輻射聲功率及同振質(zhì)量。解低頻時，活塞軸線上的聲壓幅值為2SIN200ZRKUCPANA因此聲壓級為EAENAPZRKUCPPSPL22SIN2LG202LG2000已知SMUA0020，MA150，MZ1，MSPAC41500，HZF300又有02CFK，22ZAR，代入以上數(shù)值計算得DBSPL165。習(xí)題771有一壓強式動圈傳聲器，已知其振膜的有效半徑為MA210，振膜的質(zhì)量KGMM4102，固有頻率HZF3000，振動系統(tǒng)的力學(xué)品質(zhì)因素2MQ，音圈導(dǎo)線長度ML3，磁隙是磁通量密度21MWBB，假定有頻率為HZ100，HZ300，HZ1000有效聲壓都為PA1的聲波依次垂直作用在振膜上，試問該傳聲器的開路輸出有效電壓將各為多少解對HZF1001的聲波，10444010242NPESPAFA；3130010001FFZ代入222201MMMAAQZZMZQFV計算的103444SMVA，因此，開路輸出有效電壓1021924VBLVBLVEAEE。同樣的方法可求得HZF3002時，100054VEE；HZF10002時，101084VEE。72有一壓強式電容傳聲器，振膜由鎳做成，已知其半徑為210AM，厚度510HM,振膜與背極間的距離510DM，施加的極化電壓VE2000，假定有一頻率為200HZ有效聲壓為1PA的聲波作用在振膜上，試問該傳聲器的開路輸出有效電壓為多少解222210SAM，510HM，510DM，VE2000，200FHZ688010MMSHKG