概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理工類第四版吳贛昌主編課后習(xí)題答案鶴鶴答案工作室隨機(jī)事件及其概率11隨機(jī)事件習(xí)題1試說明隨機(jī)試驗(yàn)應(yīng)具有的三個(gè)特點(diǎn)習(xí)題2將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A，B，C分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”，試寫出樣本空間及事件A，B，C中的樣本點(diǎn)12隨機(jī)事件的概率13古典概型與幾何概型14條件概率15事件的獨(dú)立性復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答習(xí)題3證明下列等式習(xí)題5習(xí)題6習(xí)題7習(xí)題8習(xí)題9習(xí)題10習(xí)題11習(xí)題12習(xí)題13習(xí)題14習(xí)題15習(xí)題16習(xí)題17習(xí)題18習(xí)題19習(xí)題20習(xí)題21習(xí)題22習(xí)題23習(xí)題24習(xí)題25習(xí)題26第二章隨機(jī)變量及其分布21隨機(jī)變量習(xí)題1隨機(jī)變量的特征是什么解答隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，事先或試驗(yàn)前不知道取哪個(gè)值隨機(jī)變量取特定值的概率大小是確定的習(xí)題2試述隨機(jī)變量的分類解答若隨機(jī)變量X的所有可能取值能夠一一列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量；否則稱為非離散型隨機(jī)變量若X的可能值不能一一列出，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量習(xí)題3盒中裝有大小相同的球10個(gè)，編號為0,1,2,9,從中任取1個(gè)，觀察號碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情況，試定義一個(gè)隨機(jī)變量來表達(dá)上述隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，并寫出該隨機(jī)變量取每一個(gè)特定值的概率解答分別用1,2,3表示試驗(yàn)的三個(gè)結(jié)果“小于5”，“等于5”，“大于5”，則樣本空間S1,2,3,定義隨機(jī)變量X如下XX0,11,2,2,3則X取每個(gè)值的概率為PX0P取出球的號碼小于55/10,PX1P取出球的號碼等于51/10,PX2P取出球的號碼大于54/1022離散型隨機(jī)變量及其概率分布習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，且PX1PX2,求解答由PX1PX2,得E2/2E,解得2習(xí)題2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為PXKK15,K1,2,3,4,5,試求1P123解答1P123PX4PX541551535習(xí)題3已知隨機(jī)變量X只能取1,0,1,2四個(gè)值，相應(yīng)概率依次為12C,34C,58C,716C,試確定常數(shù)C,并計(jì)算PX60,即PX20,PX20PX30PX4006就是說，加油站因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為06習(xí)題6設(shè)自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為P01,當(dāng)生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即進(jìn)行調(diào)整，X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求1X的概率分布；2PX53在兩次調(diào)整之間能以06的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少解答1PXK1PKP09K01,K0,1,2,2PX5K5PXKK509K010953設(shè)以06的概率保證在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品不少于M件，則M應(yīng)滿足PXM06,即PXM104由于PXM1K0M109K01109M,故上式化為109M04,解上式得M4855,因此，以06的概率保證在兩次調(diào)整之間的合格品數(shù)不少于5習(xí)題7設(shè)某運(yùn)動員投籃命中的概率為06,求他一次投籃時(shí)，投籃命中的概率分布解答此運(yùn)動員一次投籃的投中次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)為X,它可能的值只有兩個(gè)，即0和1X0表示未投中，其概率為P1PX010604,X1表示投中一次，其概率為P2PX106則隨機(jī)變量的分布律為X01P0406習(xí)題8某種產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，現(xiàn)從中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中次品的概率分布解答設(shè)X表示取出3件產(chǎn)品的次品數(shù)，則X的所有可能取值為0,1,2,3對應(yīng)概率分布為PX0C73C10335120,PX1C73C31C10336120,PX2C71C32C10321120,PX3C33C1031120X的分布律為X0123P3512036120211201120習(xí)題9一批產(chǎn)品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取出的產(chǎn)品仍放回去，求直至取到正品為止所需次數(shù)X的概率分布解答由于每次取出的產(chǎn)品仍放回去，各次抽取相互獨(dú)立，下次抽取時(shí)情況與前一次抽取時(shí)完全相同，所以X的可能取值是所有正整數(shù)1,2,K,設(shè)第K次才取到正品前K1次都取到次品,則隨機(jī)變量X的分布律為PXK310310310710310K1710,K1,2,習(xí)題10設(shè)隨機(jī)變量XB2,P,YB3,P,若PX159,求PY1解答因?yàn)閄B2,P,PX01P21PX115/94/9,所以P1/3因?yàn)閅B3,P,所以PY11PY012/3319/27習(xí)題11紡織廠女工照顧800個(gè)紡綻，每一紡錠在某一段時(shí)間內(nèi)斷頭的概率為0005,在這段時(shí)間內(nèi)斷頭次數(shù)不大于2的概率解答以X記紡錠斷頭數(shù),N800,P0005,NP4,應(yīng)用泊松定理，所求概率為P0X2P0XI2XXIK02BK800,0005K02PK4E414142202381習(xí)題12設(shè)書籍上每頁的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)X服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤與有兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗(yàn)4頁，每頁上都沒有印刷錯(cuò)誤的概率解答B(yǎng)ECAUSEPX1PX2,即11E22E2,PX0E2,PE24E823隨機(jī)變量的分布函數(shù)習(xí)題1FX0,X05,P17051PX051F05105/2075,P1700,X0,試求1A,B的值；2P100,X0習(xí)題4服從拉普拉斯分布的隨機(jī)變量X的概率密度FXAEX,求系數(shù)A及分布函數(shù)FX解答由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知，F(xiàn)XDX1,即AEXDX1,而AEXDX0AEXDX0AEXDXAEX0AEX0AA2A或AEXDX20AEXDX2AEX02A,所以2A1,即A1/2從而FX12EX,150150FXDX150100X2DX100從而三個(gè)電子管在使用150小時(shí)以上不需要更換的概率為P2/338/27習(xí)題6設(shè)一個(gè)汽車站上，某路公共汽車每5分鐘有一輛車到達(dá)，設(shè)乘客在5分鐘內(nèi)任一時(shí)間到達(dá)是等可能的，試計(jì)算在車站候車的10位乘客中只有1位等待時(shí)間超過4分鐘的概率解答設(shè)X為每位乘客的候車時(shí)間，則X服從0,5上的均勻分布設(shè)Y表示車站上10位乘客中等待時(shí)間超過4分鐘的人數(shù)由于每人到達(dá)時(shí)間是相互獨(dú)立的這是10重伯努力概型Y服從二項(xiàng)分布，其參數(shù)N10,PPX41502,所以PY1C101020890268習(xí)題7設(shè)XN3,221確定C,使得PXCPXC2設(shè)D滿足PXD09,問D至多為多少解答因?yàn)閄N3,22,所以X32ZN0,11欲使PXCPXC,必有1PXCPXC,即PXC1/2,亦即C3212,所以C320,故C32由PXD09可得1PXD09,即PXD01于是D3201,3D209查表得3D21282,所以D0436習(xí)題8設(shè)測量誤差XN0,102,先進(jìn)行100次獨(dú)立測量，求誤差的絕對值超過196的次數(shù)不小于3的概率解答先求任意誤差的絕對值超過196的概率P,PPX1961PX1961PX10196119619612196112097511095005設(shè)Y為100次測量中誤差絕對值超過196的次數(shù)，則YB100,005因?yàn)镹很大，P很小，可用泊松分布近似，NP5,所以PY3150E5051E5152E52137225087習(xí)題9某玩具廠裝配車間準(zhǔn)備實(shí)行計(jì)件超產(chǎn)獎(jiǎng)，為此需對生產(chǎn)定額作出規(guī)定根據(jù)以往記錄，各工人每月裝配產(chǎn)品數(shù)服從正態(tài)分布N4000,3600假定車間主任希望10的工人獲得超產(chǎn)獎(jiǎng)，求工人每月需完成多少件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng)解答用X表示工人每月需裝配的產(chǎn)品數(shù)，則XN4000,3600設(shè)工人每月需完成X件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng)，依題意得PXX01,即1PXX0005解答已知血壓XN110,1221PX105PX11012512104203372,P100X005,求X,即1PXX005,亦即X11012095,查表得X100121645,從而X12974習(xí)題11設(shè)某城市男子身高XN170,36,問應(yīng)如何選擇公共汽車車門的高度使男子與車門碰頭的機(jī)會小于001解答XN170,36,則X1706N0,1設(shè)公共汽車門的高度為XCM，由題意PXXX1PXX1X1706099,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得X1706233,故X18398CM因此，車門的高度超過18398CM時(shí)，男子與車門碰頭的機(jī)會小于001習(xí)題12某人去火車站乘車，有兩條路可以走第一條路程較短，但交通擁擠，所需時(shí)間單位分鐘服從正態(tài)分布N40,102第二條路程較長，但意外阻塞較少，所需時(shí)間服從正態(tài)分布N50,42,求1若動身時(shí)離開車時(shí)間只有60分鐘，應(yīng)走哪一條路線2若動身時(shí)離開車時(shí)間只有45分鐘，應(yīng)走哪一條路線解答設(shè)X,Y分別為該人走第一、二條路到達(dá)火車站所用時(shí)間，則XN40,102,YN50,42哪一條路線在開車之前到達(dá)火車站的可能性大就走哪一條路線1因?yàn)镻X0時(shí)，F(xiàn)YY1CBA,CADYCBD0,其它,當(dāng)C1時(shí)PY12XY12Y12Y1212EX2DX,所以FYYFYY22E12Y12122Y1,Y1,于是FYY12Y1EY14,Y10,Y1習(xí)題6設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為FX,分布函數(shù)為FX,求下列隨機(jī)變量Y的概率密度1Y1X2YX解答1FYYPYYP1/XY當(dāng)Y0時(shí)，F(xiàn)YYP1/X0P00時(shí)，F(xiàn)YYPYXYFYFY這時(shí)FYYFYFY當(dāng)Y00,Y0習(xí)題7某物體的溫度TF是一個(gè)隨機(jī)變量,且有TN986,2,已知5T32/9,試求F的概率密度解答已知TN986,259T32,反函數(shù)為T5932,是單調(diào)函數(shù)，所以FYFT95Y3295122E95Y329862495910E81100Y372習(xí)題8設(shè)隨機(jī)變量X在任一區(qū)間A,B上的概率均大于0,其分布函數(shù)為FYX,又Y在0,1上服從均勻分布，證明ZFX1Y的分布函數(shù)與X的分布函數(shù)相同解答因X在任一有限區(qū)間A,B上的概率均大于0,故FXX是單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)FX1Y存在，又Y在0,1上服從均勻分布，故Y的分布函數(shù)為FYYPYY0,Y0,于是，Z的分布函數(shù)為FZZPZZPFX1YZPYFXZ0,FXZ1由于FXZ為X的分布函數(shù)，故0FXZ1FXZ1均勻不可能，故上式僅有FZZFXZ,因此，Z與X的分布函數(shù)相同總習(xí)題解答習(xí)題1從120的整數(shù)中取一個(gè)數(shù)，若取到整數(shù)K的概率與K成正比，求取到偶數(shù)的概率解答設(shè)AK為取到整數(shù)K,PAKCK,K1,2,20因?yàn)镻K120AKK120PAKCK120K1，所以C1210,P取到偶數(shù)PA2A4A20121024201121習(xí)題2若每次射擊中靶的概率為07,求射擊10炮,1命中3炮的概率2至少命中3炮的概率3最可能命中幾炮解答若隨機(jī)變量X表示射擊10炮中中靶的次數(shù)由于各炮是否中靶相互獨(dú)立，所以是一個(gè)10重伯努利概型，X服從二項(xiàng)分布，其參數(shù)為N10,P07,故1PX3C10307303700092PX31PX300000即X15人因此，P保險(xiǎn)公司虧本PX15K162500C2500K0002K09982500K1K015E55KK0000069,由此可見,在1年里保險(xiǎn)公司虧本的概率是很小的2P保險(xiǎn)公司獲利不少于100000元P300000200000X100000PX10K010C2500K000209982500KK010E55KK0986305,即保險(xiǎn)公司獲利不少于100000元的概率在98以上P保險(xiǎn)公司獲利不少于200000元P300000200000X200000PX5K05C2500K0002K09982500KK05E55KK0615961,即保險(xiǎn)公司獲利不少于200000元的概率接近于62習(xí)題4一臺總機(jī)共有300臺分機(jī)，總機(jī)擁有13條外線，假設(shè)每臺分機(jī)向總機(jī)要外線的概率為3,試求每臺分機(jī)向總機(jī)要外線時(shí)，能及時(shí)得到滿足的概率和同時(shí)向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺數(shù)解答設(shè)分機(jī)向總機(jī)要到外線的臺數(shù)為X,300臺分機(jī)可看成300次伯努利試驗(yàn)，一次試驗(yàn)是否要到外線設(shè)要到外線的事件為A,則PA003,顯然XB300,003,即PXKC300K003K097300KK0,1,2,300,因N300很大，P003又很小,NP3000039,可用泊松近似公式計(jì)算上面的概率因總共只有13條外線，要到外線的臺數(shù)不超過13，故PX13K0139KKE909265,查泊松分布表且同時(shí)向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺數(shù)K0N1P3010039習(xí)題5在長度為T的時(shí)間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)T2的泊松分布，而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無關(guān)時(shí)間以小時(shí)計(jì),求1某一天從中午12至下午3時(shí)沒有收到緊急呼救的概率；2某一天從中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次緊急呼救的概率解答1T3,3/2,PX0E3/202232T5,5/2,PX11PX01E5/20918習(xí)題6設(shè)X為一離散型隨機(jī)變量，其分布律為X101PI1/212QQ2試求1Q的值；2X的分布函數(shù)解答1BECAUSE離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)PXXIPI,滿足IPI1,且0PI1,1/212QQ21012Q1Q21,解得Q11/2從而X的分布律為下表所示X101PI1/2213/222由FXPXX計(jì)算X的分布函數(shù)FX0,1/2,21/2,1,X/2則A,PX0是常數(shù)，求電子管在損壞前已使用時(shí)數(shù)X的分布函數(shù)FX，并求電子管在T小時(shí)內(nèi)損壞的概率解答因X的可能取值充滿區(qū)間0,故應(yīng)分段求FXPXX當(dāng)X0時(shí)，F(xiàn)XPXXP0當(dāng)X0時(shí)，由題設(shè)知PXXPXXPX0,0,故X的分布函數(shù)為FX0,X01EX,X00,從而電子管在T小時(shí)內(nèi)損壞的概率為PXTFT1ET習(xí)題9設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為FXX,02時(shí)，F(xiàn)X00DT01TDT122TDT2X0DT1,故FX0,X212X2,02習(xí)題10某城市飲用水的日消費(fèi)量X單位百萬升是隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為FX19XEX3,X00,其它,試求1該城市的水日消費(fèi)量不低于600萬升的概率；2水日消費(fèi)量介于600萬升到900萬升的概率解答先求X的分布函數(shù)FX顯然，當(dāng)XA0,其它0,求常數(shù)C及PA10,分布函數(shù)FX滿足1FA1FA2PXA21FA解答1FAAXDXATDTAXDX1AXDX1FA2PXAPXAFAPXAFA1FA21FA習(xí)題15設(shè)K在0,5上服從均勻分布，求X的方程4X24KXK20有實(shí)根的概率解答因?yàn)镵U0,5,所以FKK1/5,09012/52600228,PX901PX9010022809772又因?yàn)镻X90PX90,所以有9009772,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得902同理PX6083/52601578又因?yàn)镻X60PX60,故6001578因?yàn)?1578781PX781PX701078701010810788102119,因?yàn)?2119TPNT0E01T,FTPXT1PXT1E01T當(dāng)T00,X0I1,I0,1,2,PB0C902C1002,PB1C901C102C1002,PB2C102C1002,PAB01EXDXE1,PAB112E2XDXE2,PAB213E3XDXE3,由全概率公式PAI02PBIPABI0322由貝葉斯公式PB0APB0PAB0PA093習(xí)題19設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X21013PI1/51/61/51/1511/30試求YX2的分布律解答PI1/51/61/51/1511/30X21013X241019所以X20149PI1/57/301/511/30注隨機(jī)變量的值相同時(shí)要合并，對應(yīng)的概率為它們概率之和習(xí)題20設(shè)隨機(jī)變量X的密度為FXX0,X00,其它,求YEX的概率密度解答因?yàn)镸INY0,YMIN1,1,MAXY0,YMAX1,類似上題可得FYYFXHYHY,1A,YB解答PXA,YBF,BFA,B習(xí)題313設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表試求1P12Y1，且由正態(tài)分布圖形的對稱性，知PXYPXY,故PXY12習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量X,Y的概率密度為FX,YK6XY,01,有FX,YPX1,YY40XUDU01YDYX2最后，設(shè)X1,0Y1,有FX,YPX1,YY401XDX0YVDVY2函數(shù)FX,Y在平面各區(qū)域的表達(dá)式FX,Y0,X0或Y0X2,0X1,Y1X2Y2,0X1,0Y1Y2,X習(xí)題9設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y的概率密度為FX,Y48Y2X,0X1,XY10,其它,求邊緣概率密度FYY解答FXXFX,YDY0X48Y2XDY,0X10,其它24X22X,0X10,其它FYYFX,YDX0Y48Y2XDX,0Y10,其它24Y4YY2,0Y10,其它習(xí)題10設(shè)X,Y在曲線YX2,YX所圍成的區(qū)域G里服從均勻分布，求聯(lián)合分布密度和邊緣分布密度解答區(qū)域G的面積A01XX2DX16,由題設(shè)知X,Y的聯(lián)合分布密度為FX,Y6,0X1,X2YX0,其它,從而FXXFX,YDY6X2XDY6XX2,0X1,即FXX6XX2,0X10,其它FYYFX,YDX6YYDX6YY,0Y1,即FYY6YY,0Y10,其它32條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性習(xí)題1二維隨機(jī)變量X,Y的分布律為XY01017/157/307/301/151求Y的邊緣分布律；2求PY0X0,PY1X03判定X與Y是否獨(dú)立解答1由X,Y的分布律知，Y只取0及1兩個(gè)值PY0PX0,Y0PX1,Y071573007PY1I01PXI,Y1130115032PY0X0PX0,Y0PX023,PY1X0133已知PX0,Y0715,由1知PY007,類似可得PX007因?yàn)镻X0,Y0PX0PY0,所以X與Y不獨(dú)立習(xí)題2將某一醫(yī)藥公司9月份和8份的青霉素針劑的訂貨單分別記為X與Y據(jù)以往積累的資料知X和Y的聯(lián)合分布律為XY515253545551525354550060050050010010070050010010010050100100050050050020010010030050060050010031求邊緣分布律2求8月份的訂單數(shù)為51時(shí)，9月份訂單數(shù)的條件分布律解答1邊緣分布律為X5152535455PK018015035012020對應(yīng)X的值,將每行的概率相加,可得PXI對應(yīng)Y的值最上邊的一行,將每列的概率相加，可得PYJY5152535455PK0280280220090132當(dāng)Y51時(shí),X的條件分布律為PXKY51PXK,Y51PY51PK,51028,K51,52,53,54,55列表如下K5152535455PXKY516/287/285/285/285/28習(xí)題3已知X,Y的分布律如下表所示，試求1在Y1的條件下,X的條件分布律2在X2的條件下,Y的條件分布律XY0120121/41/8001/301/601/8解答由聯(lián)合分布律得關(guān)于X,Y的兩個(gè)邊緣分布律為X012PK3/81/37/24Y012PK5/1211/241/8故1在Y1條件下，X的條件分布律為XY1012PK3/118/1102在X2的條件下，Y的條件分布律為YX2012PK4/703/7習(xí)題4已知X,Y的概率密度函數(shù)為FX,Y3X,0X05X525Y125DYDX13習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量X與Y都服從N0,1分布，且X與Y相互獨(dú)立，求X,Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)解答由題意知，隨機(jī)變量X,Y的概率密度函數(shù)分別是FXX12EX22，F(xiàn)YY12EY22因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以X,Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)是FX,Y12E12XY2習(xí)題8設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度FX12EX0,各有PXA,XAPXAPXA,而事件XAXA,故由上式有PXAPXAPXA,PXA1PXA0PXA0或1PXAA0但當(dāng)A0時(shí)，兩者均不成立，出現(xiàn)矛盾，故X與X不獨(dú)立習(xí)題9設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在0,1上服從均勻分布，Y的概率密度為FYY12EY2,Y00,Y0,1求X與Y的聯(lián)合概率密度；2設(shè)有A的二次方程A22XAY0,求它有實(shí)根的概率解答1由題設(shè)易知FXX1,000,其它2因A有實(shí)根判別式24X24Y0X2Y,故如圖所示得到PA有實(shí)根PX2YX2YFX,YDXDY01DX0X212EY2DY01EX22DX11EX22DX0EX22DX12121EX22DX120EX22DX1210,又108413,005,于是1003413,所以PA有實(shí)根12101251034130143333二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都等可能地取1,2,3為值，求隨機(jī)變量UMAXX,Y和VMINX,Y的聯(lián)合分布解答由于UV,可見PUI,VJ0IJ,于是，隨機(jī)變量U和V的聯(lián)合概率分布為V概率U12311/92/92/9201/92/93001/9習(xí)題2設(shè)X,Y的分布律為XY112121/101/53/101/51/101/10試求1ZXY2ZXY3ZX/Y4ZMAXX,Y的分布律解答與一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律的計(jì)算類型，本質(zhì)上是利用事件及其概率的運(yùn)算法則注意，Z的相同值的概率要合并概率1/101/53/101/51/101/10X,YXYXYX/YMAXX,Y1,11,11,22,12,12,2201134112224111/2221112222于是12XY20134PI1/101/51/21/101/1034X/Y211/212PI1/51/53/101/51/10習(xí)題3設(shè)二維隨機(jī)向量X,Y服從矩形區(qū)域DX,Y0X2,0Y1的均勻分布，且U0,XY1,XY,V0,X2Y1,X2Y,求U與V的聯(lián)合概率分布解答依題U,V的概率分布為PU0,V0PXY,X2YPXY01DXX112DY14,PU0,V1PXY,X2Y0,PU1,V0PXY,X2YPY00,Z0習(xí)題5設(shè)隨機(jī)變量X,Y的概率密度為FX,Y12XYEXY,X0,Y00,其它,1問X和Y是否相互獨(dú)立2求ZXY的概率密度解答1FXXFX,YDY012XYEXYDY,X00,X0UNDER2LINE令XYTX12TETDT12X1EX,X00,X0,由對稱性知FYY12Y1EY,Y00,Y0,顯然FX,YFXXFYY,X0,Y0,所以X與Y不獨(dú)立2用卷積公式求FZZFX,ZXDXXY20134PI1/21/51/101/101/10MAXX,Y112PI1/101/57/10當(dāng)X0ZX0即X0X0時(shí)，F(xiàn)ZZ0Z12XEXDX12Z2EZ于是，ZXY的概率密度為FZZ12Z2EZ,Z00,Z0習(xí)題6設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，若X服從0,1上的均勻分布，Y服從參數(shù)1的指數(shù)分布，求隨機(jī)變量ZXY的概率密度解答據(jù)題意，X,Y的概率密度分布為FXX1,00時(shí)，F(xiàn)ZZ0FXZYEYDYMAX0,Z1ZEYDYEMAX0,Z1EZ,即FZZ0,Z01EZ,01習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量X,Y的概率密度為FX,YBEXY,000,X0,2YEY,Y00,Y0,其中0,0,試求系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度解答設(shè)ZMINX,Y,則FZPZZPMINX,YZ1PMINX,YZ1PXZ,YZ11PX00,Z0習(xí)題9設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，試明PAA2PXB2解答設(shè)MINX,YZ,則PAZ1PXZ,YZ1PXZPYZ1PXZ2,代入得PAB21PXA2PXA2PXB2證畢復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答習(xí)題1在一箱子中裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中取兩次，每次任取一只，考慮兩種試驗(yàn)1放回抽樣；2不放回抽樣我們定義隨機(jī)變量X,Y如下X0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品,Y0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,試分別就1,2兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律解答1有放回抽樣，X,Y分布律如下PX0,Y0101012122536PX1,Y02101212536,PX0,Y11021212536,PX1,Y1221212136,2不放回抽樣，X,Y的分布律如下PX0,Y010912114566,PX0,Y110212111066,PX1,Y021012111066,PX1,Y1211211166,YX010145/6610/6610/661/66習(xí)題2假設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，隨機(jī)變量XK0,若YK1,若YKK1,2,求X1,X2的聯(lián)合分布率與邊緣分布率解答因?yàn)閅服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，X10,若Y11,若Y1,所以有PX11PY11EYDYE1,PX101E1,同理PX21PY22EYDYE2,PX201E2,因?yàn)镻X11,X21PY2E2，PX11,X20PX11PX11,X21E1E2,PX10,X20PY11E1,PX10,X21PX10PX10,X200,故X1,X2聯(lián)合分布率與邊緣分布率如下表所示X1SLASHX201PX1I01E101E11E1E2E2E1PX2J1E2E2習(xí)題3在元旦茶話會上，每人發(fā)給一袋水果，內(nèi)裝3只橘子，2只蘋果，3只香蕉今從袋中隨機(jī)抽出4只，以X記橘子數(shù)，Y記蘋果數(shù)，求X,Y的聯(lián)合分布解答X可取值為0,1,2,3,Y可取值0,1,2PX0,Y0P0,PX0,Y1C30C21C33/C842/70,PX0,Y2C30C22C32/C843/70,PX1,Y0C31C20C33/C843/70,PX1,Y1C31C21C32/C8418/70,PX1,Y2C31C22C31/C849/70,PX2,Y0C32C20C32/C849/70,PX2,Y1C32C21C31/C8418/70,PX2,Y2C32C22C30/C843/70,PX3,Y0C33C20C31/C843/70,PX3,Y1C33C21C30/C842/70,PX3,Y2P0,所以，X,Y的聯(lián)合分布如下XY012301203/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布律及關(guān)于X與Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處XYY1Y2Y3PIX11/8X21/8PJ1/61解答由題設(shè)X與Y相互獨(dú)立，即有PIJPIPJI1,2J1,2,3,P1P21P111618124,又由獨(dú)立性，有P11P1P1P116故P114從而P131412418,又由P12P1P2,即1814P2從而P212類似的有P313,P1314,P234將上述數(shù)值填入表中有XYY1Y2Y3PIX11/241/81/121/4X21/83/81/43/4PJ1/61/21/31習(xí)題5設(shè)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布如下表求1A值；2X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)FX,Y；3X,Y關(guān)于X,Y的邊緣分布函數(shù)FXX與FYY解答1BECAUSE由分布律的性質(zhì)可知IJPIJ1,故141416A1,A132因FX,YPXX,YY當(dāng)X0時(shí)，F(xiàn)X,YPX1,Y1PX1,Y01/2當(dāng)X2,Y0時(shí)，F(xiàn)X,YPX1,Y1PX2,Y1PX1,Y0PX2,Y01綜上所述，得X,Y聯(lián)合分布函數(shù)為FX,Y0,X0,Y00,其它,1確定常數(shù)C2求X,Y的邊緣概率密度函數(shù)；3求聯(lián)合分布函數(shù)FX,Y4求PYX5求條件概率密度函數(shù)FXYXY6求PX00,X02E2X,X00,X0,FYYFX,YDX02E2XEYDX,Y00,其它EY,Y00,Y03FX,YXYFU,VDVDU0X0Y2E2UEVDVDU,X0,Y00,其它1E2X1EY,X0,Y00,其它4PYX0DX0X2E2XEYDY02E2X1EXDX135當(dāng)Y0時(shí)，F(xiàn)XYXYFX,YFYY2E2XEYEY,X00,X02E2X,X00,X06PXR時(shí)，F(xiàn)XXFX,YDY0DY0當(dāng)RXR時(shí)，F(xiàn)XXFX,YDY1R2R2X2R2X2DY2R2R2X2于是FXX2R2X2R2,RXR0,其它由于X和Y的地位平等，同法可得Y的邊緣概率密度是FYY2R2Y2R2,RYR0,其它2FXYXYFX,YFYY注意在Y處X值位于XR2Y2這個(gè)范圍內(nèi)，F(xiàn)X,Y才有非零值，故在此范圍內(nèi)，有FXYXY1R22R2R2Y212R2Y2,即YY時(shí)X的條件概率密度為FXYXY12R2Y2,XR2Y20,其它同法可得XX時(shí)Y的條件概率密度為FYXYX12R2X2,YR2X20,其它由于條件概率密度與邊緣概率密度不相等，所以X與Y不獨(dú)立習(xí)題15設(shè)X,Y的分布律如下表所示XY112121/102/103/102/101/101/10求1ZXY2ZMAXX,Y的分布律解答與一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律的計(jì)算類似，本質(zhì)上是利用事件及其概率的運(yùn)算法則注意，Z的相同值的概率要合并概率X,YXYXYX/YMAXX,Y1/102/103/102/101/101/101,11,11,22,12,12,2201134112224111/2221112222于是1XY20134PI1/102/105/101/101/102MAXX,Y112PI1/102/107/10習(xí)題16設(shè)X,Y的概率密度為FX,Y1,00,Y00,其它,求隨機(jī)變量ZX2Y的分布函數(shù)解答按FZZPX2YZ,當(dāng)Z0時(shí)，F(xiàn)ZZX2YZFX,YDXDYX2YZ0DXDY0當(dāng)Z0時(shí)，F(xiàn)ZZX2YZFX,YDXDY0ZDX0ZX/22EX2YDY0ZEX1EXZDX0ZEXEZDXEX0ZZEZ1EZZEZ,故分布函數(shù)為FZZ0,Z01EZZEZ,Z0習(xí)題18設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，其概率密度函數(shù)分別為FXX1,0X10,其它,FYYAEY,Y00,Y0,求1常數(shù)A2隨機(jī)變量Z2XY的概率密度函數(shù)解答11FYYDY0AEYDYA2因X與Y相互獨(dú)立，故X,Y的聯(lián)合概率密度為FX,YEY,0X1,Y00,其它于是當(dāng)Z2時(shí)，有FZP2XY201DX0Z2XEYDY011E2XZDX利用分布函數(shù)法求得Z2XY的概率密度函數(shù)為FZZ0,ZA,應(yīng)如何確定B才能使公司可期望獲益，若有M人參加保險(xiǎn)，公司可期望從中收益多少解答令X“從一個(gè)參保人身上所得的收益”，由X的概率分布為EXAPAB1PAB1P0,即A0,又已知EX075,求K,A的值解答B(yǎng)ECAUSEFXDX1,XFXDX075,01KXADX1,01XKXADX075,即KA1XA1011,KA2XA201075,即KA11KA2075,K3,A2習(xí)題8設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為FX11X,000,X0,工廠規(guī)定，出售的設(shè)備若在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換若工廠售出一臺設(shè)備贏利100元，調(diào)換一臺設(shè)備廠方需花300元，試求廠方出售一臺設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望解答先求出利潤函數(shù)LXLX100,X1300100200,X00,X0,求1Y2X的數(shù)學(xué)期望；2YE2X的數(shù)學(xué)期望解答1EYE2X2XFXDX02XEXDX22EE2XE2XFXDX0E3XDX13習(xí)題11設(shè)X,Y的分布律為YX1231010201000100030101011求EX,EY2設(shè)ZY/X,求EZ3設(shè)ZXY2,求EZ解答1先求X與Y的邊緣分布律，然后求EX,EYX123PK040204Y101PK030403所以EX10420230420,EY10300410302可以利用X,Y的聯(lián)合分布先求出Z的分布律，然后求EZ,也可以利用定理直接求EZ,下面采取直接求法EZEYXIJYJXIPIJ1021011201120113013011153EZEXY2IJXIYJ2PIJ1120210201112013201220012014200320322015也可以利用期望的性質(zhì)求EZ,得EXY2EX22XYY2EX22EXYEY21204220232042102101201201300301120312035習(xí)題12設(shè)X,Y的概率密度為FX,Y12Y2,0YX10,其它,求EX,EY,EXY,EX2Y2解答如右圖所示EXXFX,YDXDY01DX0XX12Y2DY45,EYYFX,YDXDY01DX0XY12Y2DY35,EXYXYFX,YDXDY01DX0XXY12Y2DY12,EX2Y2X2Y2FX,YDXDY01DX0XX2Y212Y2DY236151615習(xí)題13設(shè)X和Y相互獨(dú)立，概率密度分別為1X2X,0X10,其它,2YEY5,Y50,其它,求EXY解答解法一由獨(dú)立性EXYEXEY01X2XDX0YEY5DY2364解法二令ZY5,則EXYEXEY01X2XDXEZ52315442方差習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，且PX1PX2,求EX,DX解答由題設(shè)知，X的分布律為PXKKKE0由PX1PX2,得11E22E，即0舍去,2所以EX2,DX2習(xí)題2下列命題中錯(cuò)誤的是A若XP,則EXDXB若X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則EXDX1C若XB1,則EX,DX1D若X服從區(qū)間A,B上的均勻分布，則EX2A2ABB23解答應(yīng)選BEX1,DX12習(xí)題3設(shè)X1,X2,XN是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從正態(tài)分布N,20,則1NI1NI服從的分布是解答由多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布知有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，且EX,DX2N習(xí)題4若XINI,I2I1,2,N,且X1,X2,XN相互獨(dú)立，則YI1NAIXIBI服從的分布是解答應(yīng)填NI1NAIIBI,I1NAI2I2由多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布知有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，且EYI1NAIIBI,DYI1NAI2I2習(xí)題5設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，且3PX12PX24PX0,求X的期望與方差解答X的分布律為PXKKKE,K0,1,2,于是由已知條件得311E222E400E,即2340,解之得4舍,1,故EX1,DX1習(xí)題6設(shè)甲，乙兩家燈泡廠生產(chǎn)的壽命單位小時(shí)X和Y的分布律分別為X90010001100PI010801Y95010001050PI030403試問哪家工廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好解答哪家工廠的燈泡壽命期望值大，哪家的燈泡質(zhì)量就好由期望的定義有EX900011000081100011000,EY950031000041050031000今兩廠燈泡的期望值相等EXEY1000,即甲，乙兩廠的生產(chǎn)水平相當(dāng)這就需要進(jìn)一步考察哪家工廠燈泡的質(zhì)量比較穩(wěn)定，即看哪家工廠的燈泡壽命取值更集中一些，這就需要比較其方差方差小的，壽命值較穩(wěn)定，燈泡質(zhì)量較好，則方差的定義式得DX900100020110001000208110010002012200,DY950100020310001000204105010002031500因DXDY,故乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較甲廠穩(wěn)定習(xí)題7已知XBN,P,且EX3,DX2,試求X的全部可能取值，并計(jì)算PX8解答B(yǎng)ECAUSEEXNP,DXNP1P,NP3NP1P2,即N9P13,X的取值為0,1,2,9,PX81PX91139習(xí)題8設(shè)XN1,2,Y服從參數(shù)為3的泊松分布，且X與Y獨(dú)立，求DXY解答B(yǎng)ECAUSEDXYEXY2E2XYEX2Y2E2X2Y又BECAUSEEX2Y2X2Y2FX,YDXDYX2FXXDXY2FYYDYEX2EY2,DXYEX2EY2E2XE2YDXE2XDYE2YE2XE2YDXDYDXE2YDYE2X2323231227習(xí)題9設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X3,X4相互獨(dú)立，且有EXII,DXI5I,I1,2,3,4,又設(shè)Y2X1X23X312X4,求EY,DY解答EYE2X1X23X312X42EX1EX23EX312EX4212331247,DY4DX1DX29DX314DX4443921413725習(xí)題105家商店聯(lián)營，它們每兩周售出的某種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量以KG計(jì)分別為X1,X2,X3,X4,X5已知X1N200,225,X2N240,240,X3N180,225,X4N260,265,X5N320,270,X1,X2,X3,X4,X5相互獨(dú)立1求5家商店兩周的總銷售量的均值和方差；2商店每隔兩周進(jìn)貨一次，為了使新的供貨到達(dá)前商店不會脫銷的概率大于099，問商店的倉庫應(yīng)至少儲存該產(chǎn)品多少千克解答1設(shè)總銷售量為X,由題設(shè)條件知XX1X2X3X4X5,于是EXI15EXI2002401802603201200,DXI15DXI22524022526527012252設(shè)商店的倉庫應(yīng)至少儲存Y千克該產(chǎn)品，為使PXY099,求Y由1易知，XN1200,1225,PXYPX12001225Y12001225Y12001225099查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得Y12001225233,Y233122512001282KG習(xí)題11設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,XN相互獨(dú)立，且都服從數(shù)學(xué)期望為1的指數(shù)分布，求ZMINX1,X2,XN的數(shù)學(xué)期望和方差解答XII1,2,N的分布函數(shù)為FX1EX,X00,其它,ZMINX1,X2,XN的分布函數(shù)為FZZ11FZN1ENZ,Z00,其它,于是EZ0ZNENZDZZENZ0ENZDZ1N,而EZ20Z2NENZDZ2N2,于是DZEZ2EZ21N243協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)習(xí)題1設(shè)X,Y服從二維正態(tài)分布，則下列條件中不是X,Y相互獨(dú)立的充分必要條件是AX,Y不相關(guān)；BEXYEXEYCCOVX,Y0DEXEY0解答應(yīng)選（D）。當(dāng)X,Y服從二維正態(tài)分布時(shí)，不相關(guān)性獨(dú)立性若X,Y服從一般的分布，則X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)反之未必習(xí)題2設(shè)X服從參數(shù)為2的泊松分布，Y3X2,試求EY,DY,COVX,Y及XY解答EYE3X23EX23224DYD3X29DX9218,COVX,YCOVX,3X23DX6,XYCOVX,YDXDY62181習(xí)題3設(shè)隨機(jī)變量X的方差DX16,隨機(jī)變量Y的方差DY25,又X與Y的相關(guān)系數(shù)XY05,求DXY與DXY解答DXYDXDY2COVX,YDXDY2DXDYXY16252450561,DXYDXDY2COVX,YDXDY2DXDYXY16252450521習(xí)題4設(shè)X,Y服從單位圓域GX2Y21上的均勻分布，證明X,Y不相關(guān)解答EXYX2Y211XYDXDY111DXDY1X21X2YDY0,又EXX2Y211XDXDY111XDX1X21X2DY1112X1X2DX0,同理，EY0,故COVX,YEXYEXEY0,即X,Y不相關(guān)習(xí)題5設(shè)100件產(chǎn)品中的一，二，三等品率分別為08,01和01現(xiàn)從中隨機(jī)地取1件，并記XI1,取得I等品0,其它I1,2,3,求X1X2解答首先求X1,X2的聯(lián)合分布PX10,X20PX3101,PX10,X21PX2101,PX11,X20PX1108,PX11,X21P0關(guān)于X1和X2的邊緣分布律為PX1108,PX1002,PX2101,PX2009于是EX108,DX1016EX201,DX2009從而X1X2COVX1,X2DX1DX2EX1X2EX1EX2DX1DX210008001001008040323習(xí)題6設(shè)XN,2,YN,2,且X,Y相互獨(dú)立，試求Z1XY和Z2XY的相關(guān)系數(shù)其中,是不為零的常數(shù)解答COVZ1,Z2COVXY,XY2COVX,X2COVY,Y2DX2DY222,DZ1DXY2DX2DY2COVX,Y,DZ2DXY2DX2DY2COVX,Y因?yàn)閄,Y相互獨(dú)立，所以COVX,Y0,故DZ1222,DZ2222,相關(guān)系數(shù)COVZ1,Z2DZ1DZ22222習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量X,Y具有概率密度FX,Y18XY,0X2,0Y20,其它,求EX,EY,COVX,Y,XY,DXY解答EXXFX,YDYDX0202X18XYDYDX76由對稱性知，EY76,EXYXYFX,YDXDY0202XY18XYDXDY021883Y2Y2DY43,于是COVX,YEXYEXEY437676136，EX20202X218XYDYDX1402X3X2DX53由對稱性知，EY253,故DXEX2EX2537621136,DY1136,XYCOVX,YDXDY1361136111,DXYDXDY2COVX,Y11361136213659習(xí)題8設(shè)隨機(jī)變X,Y的分布律為YX1011011/81/