概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第1頁共98頁第一章隨機事件及其概率1寫出下列隨機試驗的樣本空間（1）同時擲兩顆骰子，記錄兩顆骰子的點數(shù)之和；（2）在單位圓內(nèi)任意一點，記錄它的坐標；（3）10件產(chǎn)品中有三件是次品，每次從其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出為止，記錄抽取的次數(shù)；（4）測量一汽車通過給定點的速度解所求的樣本空間如下（1）S2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12（2）SX,Y|X2Y202設(shè)A、B、C為三個事件，用A、B、C的運算關(guān)系表示下列事件（1）A發(fā)生，B和C不發(fā)生；（2）A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生；（3）A、B、C都發(fā)生；（4）A、B、C都不發(fā)生；（5）A、B、C不都發(fā)生；（6）A、B、C至少有一個發(fā)生；（7）A、B、C不多于一個發(fā)生；（8）A、B、C至少有兩個發(fā)生解所求的事件表示如下12345678ABCAB3在某小學(xué)的學(xué)生中任選一名，若事件A表示被選學(xué)生是男生，事件B表示該生是三年級學(xué)生，事件C表示該學(xué)生是運動員，則（1）事件AB表示什么（2）在什么條件下ABCC成立（3）在什么條件下關(guān)系式是正確的B（4）在什么條件下成立A解所求的事件表示如下（1）事件AB表示該生是三年級男生，但不是運動員（2）當全校運動員都是三年級男生時，ABCC成立（3）當全校運動員都是三年級學(xué)生時，關(guān)系式是正確的B（4）當全校女生都在三年級，并且三年級學(xué)生都是女生時，成立A4設(shè)PA07，PAB03，試求PA概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第2頁共98頁解由于ABAAB,PA07所以PABPAABPAPAB03,所以PAB04,故104065對事件A、B和C，已知PAPBPC，PABPCB0,PAC1418求A、B、C中至少有一個發(fā)生的概率解由于故PABC0,0,則PABCPAPBPCPABPBCPACPABC115486設(shè)盒中有只紅球和B只白球，現(xiàn)從中隨機地取出兩只球，試求下列事件的概率A兩球顏色相同，B兩球顏色不同解由題意，基本事件總數(shù)為，有利于A的事件數(shù)為，有利于B的2AB2ABA事件數(shù)為,111ABAA則212BABPPB7若10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品,（1）不放回地每次從中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次從中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率解（1）設(shè)A取得三件次品則3310106272或者CAPAP（2）設(shè)B取到三個次品,則378某旅行社100名導(dǎo)游中有43人會講英語，35人會講日語，32人會講日語和英語，9人會講法語、英語和日語，且每人至少會講英、日、法三種語言中的一種，求（1）此人會講英語和日語，但不會講法語的概率；（2）此人只會講法語的概率解設(shè)A此人會講英語,B此人會講日語,C此人會講法語根據(jù)題意,可得13293100PABCPABC2011概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第3頁共98頁4352410109罐中有12顆圍棋子，其中8顆白子4顆黑子，若從中任取3顆，求（1）取到的都是白子的概率；（2）取到兩顆白子，一顆黑子的概率；（3）取到三顆棋子中至少有一顆黑子的概率；（4）取到三顆棋子顏色相同的概率解1設(shè)A取到的都是白子則3812405CPA2設(shè)B取到兩顆白子,一顆黑子843129B3設(shè)C取三顆子中至少的一顆黑子075PCA4設(shè)D取到三顆子顏色相同38412D10（1）500人中，至少有一個的生日是7月1日的概率是多少1年按365日計算（2）6個人中，恰好有4個人的生日在同一個月的概率是多少解1設(shè)A至少有一個人生日在7月1日,則50361P2設(shè)所求的概率為PB42617CB11將C，C，E，E，I，N，S7個字母隨意排成一行，試求恰好排成SCIENCE的概率P解由于兩個C，兩個E共有種排法，而基本事件總數(shù)為，因此有2A7A27094AP12從5副不同的手套中任取款4只，求這4只都不配對的概率解要4只都不配對，我們先取出4雙，再從每一雙中任取一只，共有中452C取法設(shè)A4只手套都不配對，則有451028CPA概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第4頁共98頁13一實習生用一臺機器接連獨立地制造三只同種零件，第I只零件是不合格的概率為，I1，2，3，若以X表示零件中合格品的個數(shù)，則PX2為1IPI多少解設(shè)AI第I個零件不合格，I1,2,3,則1IIPAP所以1IIPP23123123XA由于零件制造相互獨立，有，123123PP123123APA,234234X所以14假設(shè)目標出現(xiàn)在射程之內(nèi)的概率為07，這時射擊命中目標的概率為06，試求兩次獨立射擊至少有一次命中目標的概率P解設(shè)A目標出現(xiàn)在射程內(nèi)，B射擊擊中目標，BI第I次擊中目標,I1,2則PA07,PBI|A06另外BB1B2，由全概率公式12|PBAPBA另外,由于兩次射擊是獨立的,故PB1B2|APB1|APB2|A036由加法公式PB1B2|APB1|APB2|APB1B2|A0606036084因此PBPAPB1B2|A07084058815設(shè)某種產(chǎn)品50件為一批，如果每批產(chǎn)品中沒有次品的概率為035，有1，2，3，4件次品的概率分別為025,02,018,002，今從某批產(chǎn)品中抽取10件，檢查出一件次品，求該批產(chǎn)品中次品不超過兩件的概率解設(shè)AI一批產(chǎn)品中有I件次品，I0,1,2,3,4,B任取10件檢查出一件次品,C產(chǎn)品中次品不超兩件,由題意概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第5頁共98頁01945281093475016|2PBACPBAC由于A0,A1,A2,A3,A4構(gòu)成了一個完備的事件組,由全概率公式0|0196IIIPB由BAYES公式0111222|5|3PBAP故0|58IICB16由以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運輸某種物品損壞2，10和90的概率分別為08，015，005，現(xiàn)在從中隨機地取三件，發(fā)現(xiàn)三件全是好的，試分析這批物品的損壞率是多少（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出一件后不影響下一件的概率）解設(shè)B三件都是好的，A1損壞2,A2損壞10,A3損壞90，則A1,A2,A3是兩兩互斥,且A1A2A3,PA108,PA2015,PA2005因此有PB|A10983,PB|A20903,PB|A3013,由全概率公式31333|0895095018624IIIPB由BAYES公式,這批貨物的損壞率為2,10,90的概率分別為1323|8|7624|0159|018|8IIIIIIAPBP由于PA1|B遠大于PA3|B,PA2|B,因此可以認為這批貨物的損壞率為0217驗收成箱包裝的玻璃器皿，每箱24只裝，統(tǒng)計資料表明，每箱最多有兩只殘次品，且含0，1和2件殘次品的箱各占80，15和5，現(xiàn)在隨意抽取一箱，隨意檢查其中4只；若未發(fā)現(xiàn)殘次品，則通過驗收，否則要逐一檢驗并概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第6頁共98頁更換殘次品，試求（1）一次通過驗收的概率；（2）通過驗收的箱中確定無殘次品的概率解設(shè)HI箱中實際有的次品數(shù),A通過驗收012I則PH008,PH1015,PH2005,那么有423142|,5,69|8PAC1由全概率公式0|096IIIPAHPA2由BAYES公式得0|81|3I18一建筑物內(nèi)裝有5臺同類型的空調(diào)設(shè)備，調(diào)查表明，在任一時刻，每臺設(shè)備被使用的概率為01，問在同一時刻（1）恰有兩臺設(shè)備被使用的概率是多少（2）至少有三臺設(shè)備被使用的概率是多少解設(shè)5臺設(shè)備在同一時刻是否工作是相互獨立的,因此本題可以看作是5重伯努利試驗由題意，有P01,Q1P09,故123155019072PC2234P24150559856C19甲、乙兩個乒乓球運動員進行乒乓球單打比賽，如果每一局甲勝的概率為06，乙勝的概率為04，比賽時可以采用三局二勝制或五局三勝制，問在哪一種比賽制度下甲獲勝的可能性較大解在三局兩勝時,甲隊獲勝的概率為32130064648APC在五局三勝的情況下,甲隊獲勝的概率為553241506482BPC因此，采用五局三勝制的情況下，甲獲勝的可能性較大204次重復(fù)獨立試驗中事件A至少出現(xiàn)一次的概率為，求在一次試驗中A出8現(xiàn)的概率解設(shè)在一次獨立試驗中A出現(xiàn)一次的概率為P,則由題意04446511PCPQ解得P1/3概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第7頁共98頁21（87，2分）三個箱子，第一個箱子中有4只黑球1只白球，第二個箱子中有3只黑球3只白球，第三個箱子有3只黑球5只白球現(xiàn)隨機地取一個箱子，再從這個箱子中取出一個球，這個球為白球的概率等于已知取出的球是白球，此球?qū)儆诘诙€箱子的概率為解設(shè)“取出白球”，“球取自第個箱子”，是一BIAI3,21I321,A個完全事件組，3,21,/PI5/|ABP/|BP，應(yīng)用全概率公式與貝葉斯公式8/5|3A,1203853|31IIIAB|222BPAP22（89，2分）已知隨機事件的概率，隨機事件B的概率A50及條件概率，則和事件的概率60BP8|BPAP解70|APA23（90，2分）設(shè)隨機事件，及其和事件的概率分別是，和AB43若表示的對立事件，那么積事件的概率60B解與互不相容，且于是AB30PAP24（92，3分）已知，41CB，則事件，全不發(fā)生的概率為16BCAP解從可知，00ABPABCPACP851641概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第8頁共98頁25（93，3分）一批產(chǎn)品共有10件正品和兩件次品，任意抽取兩次，每次抽一件，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率為解設(shè)事件“第次抽出次品”，則，IBI2,1I,12/BP12/0應(yīng)用全概率公式/|,1/|122PP|12112B6026（94，3分）已知，兩個事件滿足條件，且，ABAPP則BP解因，故有1ABPBABAP1,PP27（06，4分）設(shè)，為隨機事件，且，則必有（0|）AAPBBCDBPA解選（C）28（05，4分）從數(shù)1，2，3，4中任取一個數(shù)，記為，再從1，2，中XX任取一個數(shù)，記為，則Y解填81329（96，3分）設(shè)工廠和工廠的產(chǎn)品的次品率分別為和，現(xiàn)從由AB12和的產(chǎn)品分別占和的一批產(chǎn)品中隨機抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則AB604該產(chǎn)品屬生產(chǎn)的概率是概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第9頁共98頁解設(shè)事件“抽取的產(chǎn)品是次品”，事件“抽取的產(chǎn)品是A生產(chǎn)的”，則CD表示“抽取的產(chǎn)品是工廠生產(chǎn)的”依題意有DB02|,01|,40,60CPCPDP應(yīng)用貝葉斯可以求得條件概率7346|C30（97，3分）袋中有50只乒乓球，其中20只是黃球，30只是白球，今有兩人依次隨機地從袋中各取一球，取后不放回，則第二個人取得黃球的概率是解設(shè)事件“第個人取得黃球”，根據(jù)題設(shè)條件可知IAI2,1I4920|,49|,503,5021211APAPP應(yīng)用全概率公式5350|1211212A31（87，2分）設(shè)在一次試驗中，事件發(fā)生的概率為?，F(xiàn)進行次獨立試驗，PN則至少發(fā)生一次的概率為；而事件至多發(fā)生一次的概率為AA解由于每次試驗中事件A發(fā)生的概率都是，并且次試驗相互獨立這是重伯努利試驗概型若“次試驗中事件A發(fā)生次”，則IBNK,210,1NQPCPNKK事件A至少發(fā)生一次的概率為0NPB事件A至多發(fā)生一次的概率為110NNP32（88，2分）設(shè)三次獨立實驗中，事件出現(xiàn)的概率相等若已知至少出現(xiàn)一AA次的概率等于，則事件在一次試驗中出現(xiàn)的概率為719解設(shè)事件在一次試驗中出現(xiàn)的概率為，這是一個3重伯努利試驗概型因此AP在三次獨立試驗中，事件至少出現(xiàn)一次的概率為依題意，有1P,27913解之得3/1P概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第10頁共98頁33（89，2分）甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為06和05現(xiàn)已知目標被命中，則它是甲射中的概率為解設(shè)事件“甲射中”，“乙射中”，依題意與ABABPA,50,6相互獨立因此B30P,80PA75|BABA34（98，3分）設(shè)，是兩個隨機事件，且，10P0，則必有（）|ABPA|B|CBPDA解應(yīng)用條件概率定義，從可得|ABP,即1ABPABP化簡得，應(yīng)選（C）ABP35（99，3分）設(shè)兩兩相互獨立的三事件，和滿足條件，C，且已知，則21169BAPAP解由于，兩兩獨立，且，所以ABC概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第11頁共98頁,22APCBPAABCPCBAP33依題意，有,1692AP01632AP解之，得（舍去）4/3,4/136（00，3分）設(shè)兩個相互獨立的事件和都不發(fā)生的概率為，發(fā)生不B9B發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等，則BAAP解依題意，故即PAPPA又因與獨立，故與獨立BA9/12APB解得3/2,3/1P37（07，4分）某人向同一目標獨立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標的概率為，P，則此人第4次射擊恰好第二次命中目標的概率為（）0PA213B6C22PD1解選（C）38（88，2分）在區(qū)間中隨機取兩個數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于”的概1,056率為概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第12頁共98頁解這是一個幾何概型的計算問題設(shè)分別表示在區(qū)間中隨機地取兩YX,1,0個數(shù)，則試驗的樣本空間為第一象限中的單位正方形區(qū)域，即設(shè)事件“兩個數(shù)之和小于”，則10,|,YXYA56由于點落在內(nèi)的任何區(qū)域的概率與,56|A區(qū)域的面積成正比，故,25174SAP其中與分別表示集合與集合的面積AS39（91，3分）隨機地向半圓（為正常數(shù)）內(nèi)擲一點，點落20XAY在半圓內(nèi)的任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點與該點的連線與軸的夾X角小于的概率為4解設(shè)事件“擲的點和原點連線與軸夾角小于”，這是一個幾何概型的計AX4算問題由幾何概率公式SAPD其中21,41224/1AASCIRLEABCD故21422AAP40（07，4分）在區(qū)間中隨機地取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之差的絕對值小于,0的概率為21解參考38題解得這兩個數(shù)之差的絕對值小于的概率為2143概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第13頁共98頁第二章隨機變量及其分布1有10件產(chǎn)品，其中正品8件，次品兩件，現(xiàn)從中任取兩件，求取得次品數(shù)X的分律解X的分布率如下表所示X012P28/4516/451/452進行某種試驗，設(shè)試驗成功的概率為，失敗的概率為，以X表示試驗首次成功所3414需試驗的次數(shù)，試寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率解X的分布律為13,24KPX取偶數(shù)的概率2134163651KKPXKK為偶數(shù)3從5個數(shù)1，2，3，4，5中任取三個為數(shù)求23,XXMAX的分布律及PX4；,XYMIN的分布律及PY3123解基本事件總數(shù)為，510C1X的分布律為PX4P3P4042Y的分布律為PX304C應(yīng)取何值，函數(shù)FK，K1，2，0成為分布律C解由題意,即1KFXX345P010306Y123P060301概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第14頁共98頁01101KKKKCCCE解得E5已知X的分布律X112P6236求（1）X的分布函數(shù)；（2）；（3）312PX解1X的分布函數(shù)為KXFXXP0,11/62,2XX216PX33102P6設(shè)某運動員投籃投中的概率為P06，求一次投籃時投中次數(shù)X的分布函數(shù)，并作出其圖形解X的分布函數(shù)061XFX7對同一目標作三次獨立射擊，設(shè)每次射擊命中的概率為P，求（1）三次射擊中恰好命中兩次的概率；（2）目標被擊中兩彈或兩彈以上被擊毀，目標被擊毀的概率是多少解設(shè)A三次射擊中恰好命中兩次，B目標被擊毀，則1PA2323311PCPP2PB3323CP8一電話交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求（1）每分鐘恰有6次呼喚的概率；（2）每分鐘的呼喚次數(shù)不超過10次的概率解FX0X1061概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第15頁共98頁1PX6或者6401KEPX602148701106701042K467KKE2PX100997161041028KKE9設(shè)隨機變量X服從泊松分布，且PX1PX2，求PX4解由已知可得，12,E解得2，0不合題意00942,P因此10商店訂購1000瓶鮮橙汁，在運輸途中瓶子被打碎的概率為0003，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有兩只；（2）小于兩只；（3）多于兩只；（4）至少有一只的概率解設(shè)X1000瓶鮮橙汁中由于運輸而被打破的瓶子數(shù)，則X服從參數(shù)為N1000,P0003的二項分布，即XB1000,0003,由于N比較大，P比較小，NP3,因此可以用泊松分布來近似,即X3因此1PX22304E232110892KPXE332576K419KE11設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為20,1,XFXK求（1）系數(shù)K；（2）P02580/100PZ08120807XD如果供電量只有90萬千瓦，供電量不夠用的概率為PZ90/100PZ091209314某儀器裝有三只獨立工作的同型號電子元件，其壽命單位小時都服從同一指數(shù)分布，分布密度為601,XEF試求在儀器使用的最初200小時以內(nèi)，至少有一只電子元件損壞的概率解設(shè)X表示該型號電子元件的壽命，則X服從指數(shù)分布，設(shè)AX200，則概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第17頁共98頁PA1206031XED設(shè)Y三只電子元件在200小時內(nèi)損壞的數(shù)量，則所求的概率為103033PYCPAE15設(shè)X為正態(tài)隨機變量，且XN2，又P20時，2221|YYYYXXFFFYEE當Y0時，0Y因此有2,0YYEF22若隨機變量X的密度函數(shù)為2X4046P1/71/73/72/7X2049P1/74/72/7概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第19頁共98頁23,01XF其他求Y的分布函數(shù)和密度函數(shù)1X解Y在0,1上嚴格單調(diào)，且反函數(shù)為HY,Y1,HY1Y21Y22413|3YXXFYFHYFY因此有43,0YFOTHERY的分布函數(shù)為43311,10,YYYDYFOTHER23設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為2,010XFX試求YLNX的密度函數(shù)解由于嚴格單調(diào)，其反函數(shù)為,則LNYX,YYHEHE且2|1,YYXXYYFFHFEEY24設(shè)隨機變量X服從N,分布，求Y的分布密度2XE解由于嚴格單調(diào)，其反函數(shù)為Y0,則XYE1LN,HYY且概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第20頁共98頁221LN1|L,0YXXYFYFHFYE當時0YFY因此221LN,00,YYEF25假設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，證明Y在區(qū)間0,1上服從均勻21XE分布解由于在0,上單調(diào)增函數(shù)，其反函數(shù)為21XYELN,0,2H并且，則當1Y01Y12LN|21YXYFFHYE當Y0或Y1時，0YF因此Y在區(qū)間0,1上服從均勻分布26把一枚硬幣連擲三次，以X表示在三次中正面出現(xiàn)的次數(shù)，Y表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)之差的絕對值，試求（X，Y）的聯(lián)合概率分布解根據(jù)題意可知,X,Y可能出現(xiàn)的情況有3次正面，2次正面1次反面,1次正面2次反面,3次反面,對應(yīng)的X,Y的取值及概率分別為PX3,Y3PX2,Y1182338CPX1,Y1PX0,Y3311328C1于是，（X，Y）的聯(lián)合分布表如下XY0123103/83/80概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第21頁共98頁31/8001/827在10件產(chǎn)品中有2件一級品，7件二級品和1件次品，從10件產(chǎn)品中無放回抽取3件，用X表示其中一級品件數(shù)，Y表示其中二級品件數(shù)，求（1）X與Y的聯(lián)合概率分布；（2）X、Y的邊緣概率分布；（3）X與Y相互獨立嗎解根據(jù)題意，X只能取0，1，2，Y可取的值有0，1，2，3，由古典概型公式得1其中,713,IJKIJCPPIJ,0,IJKI,123J,可以計算出聯(lián)合分布表如下KYX0123IP00021/12035/12056/1201014/12042/120056/12021/1207/120008/120JP1/12021/12063/12035/1202X,Y的邊緣分布如上表3由于PX0,Y00,而PX0PY00,PX0,Y0PX0PY0,因此X,Y不相互獨立28袋中有9張紙牌，其中兩張“2”，三張“3”，四張“4”，任取一張，不放回，再任取一張，前后所取紙牌上的數(shù)分別為X和Y，求二維隨機變量X,Y的聯(lián)合分布律，以及概率PXY6解1X,Y可取的值都為2,3,4,則X,Y的聯(lián)合概率分布為YX234IP29/1/36A129/A129/A2/931233346C1/3449/1249/629/4/9JP2/91/34/92PXY6PX3,Y4PX4,Y3PX4,Y41/61/61/61/229設(shè)二維連續(xù)型隨機變量X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第22頁共98頁,ARCTNARCTN23XYFXYABC求（1）系數(shù)A、B及C；（2）X,Y的聯(lián)合概率密度；（3）X，Y的邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度；（4）隨機變量X與Y是否獨立解1由X,Y的性質(zhì),FX,0,F,Y0,F,0,F,1,可以得到如下方程組ARCTN02TA312XABCYABC解得1,22226,49FXYFXYXY3X與Y的邊緣分布函數(shù)為211,ARCTNARCTN2X,RTA3YYYFYYX與Y的邊緣概率密度為24XFXX39YYFY4由2,3可知,所以X，Y相互獨立,XYFF30設(shè)二維隨機變量X,Y的聯(lián)合概率密度為XYE,0,XF其他（1）求分布函數(shù)FX,Y；（2）求X，Y落在由X0，Y0，XY1所圍成的三角形區(qū)域G內(nèi)的概率解1當X0,Y0時，0,1XUVXYFEDE否則，F(xiàn)X,Y02由題意，所求的概率為概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第23頁共98頁110,2064GXYPXYFDEE31設(shè)隨機變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為3X4YA,0XYFXY其他求（1）常數(shù)A；（2）X，Y的邊緣概率密度；（3）01,2PXY解1由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)，可得340,1/2XYFXYDAEDA解得A122X,Y的邊緣概率密度分別為343012,0,XYXXEDEFXFYDOTHR3440,XYYYFYFXTER301,2PXY2348ED32設(shè)隨機變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為2,01,2,30XYXYFXY其他求PXY1解由題意，所求的概率就是X,Y落入由直線X0,X1,Y0,Y2,XY1圍的區(qū)域G中,則1203,45672GXPXYFYDD概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第24頁共98頁33設(shè)二維隨機變量X,Y在圖220所示的區(qū)域G上服從均勻分布，試求X,Y的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度解由于X,Y服從均勻分布，則G的面積A為,2112001,6XGAFXYDDYXDX,Y的聯(lián)合概率密度為6,0FXYOTHERX,Y的邊緣概率密度為226,01,0,XXDYXFXFYOTHER,YYYFYFXTR34設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在0,02上服從均勻分布，Y的概率密度是5,0YYEF求（1）X和Y和聯(lián)合概率密度；（2）PYX解由于X在0,02上服從均勻分布，所以1/25XFX1由于X，Y相互獨立，因此X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為52,0,YYEFXYFOTHER2由題意，所求的概率是由直線X0,X02,Y0,YX所圍的區(qū)域，如右圖所示，因此0250251,1XYGXPYXFYDEDE35設(shè)（X，Y）的聯(lián)合概率密度為1,0,2,2XYFXY其他YX002XY概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第25頁共98頁求X與Y中至少有一個小于的概率12解所求的概率為051212,58PXYFXYD36設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且X113Y31PP25104求二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布律解由獨立性，計算如下表XY113JP31/81/203/401/413/83/209/403/4IP1/21/56/2037設(shè)二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為X123Y1619182ABC（1）求常數(shù)A，B，C應(yīng)滿足的條件；（2）設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，求常數(shù)A，B，C解由聯(lián)合分布律的性質(zhì)，有,即ABC11698C123又，X,Y相互獨立，可得698從而可以得到2,3AC38設(shè)二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第26頁共98頁232,0,11,XYYF其他，求邊緣分布函數(shù)與，并判斷隨機變量X與Y是否相互獨立XY解由題意,邊緣分布函數(shù)22LIM,0,10,YXXFX下面計算FYY232,0,LIM,11,YXXYYYY可以看出，F(xiàn)X,YFXXFYY,因此，X，Y相互獨立39設(shè)二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為132,1,0YEXFX其他，求邊緣概率密度與，并判斷隨機變量X與Y是否相互獨立XFYFY解先計算,當X1時,FXF當1X0時,12100XDYX再計算,當Y1時,YFYF當1Y0時,120YFXXY由于,所以隨機變量X,Y不獨立1,XYFXYFY41設(shè)二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為2,0,0XYEFY其他求隨機變量ZX2Y的分布密度解先求Z的分布函數(shù)FZ22,DXYZFZPFXYD當Z0,Y0,X2YZ求得220ZYYDED241ZYZZ當Z0時，積分區(qū)域為DX,Y|X0,Y0,X2YZ，20ZYXYFDED241YZZE由此,隨機變量Z的分布函數(shù)為1,02ZZEF因此,得Z的密度函數(shù)為0ZXYZXYXYYX2YZX2YZZXYXY0ZXYDYYDY概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第28頁共98頁1,02ZEF42設(shè)隨機變量X和Y獨立，X，Y服從B，BB0上的均勻分布，求2N隨機變量ZXY的分布密度解解法一由題意，211ZYABXYFZFZYFDEDB令則/,ATT2112ZBAZBAZBAED解法二2,112112XYZBFZFXZX0時有非零值，僅當ZX0，即ZX時有非零值，所以當XFXZ0時，有0ZX,因此概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第29頁共98頁11320ZZXXZFED163320ZZXE44設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布律為X0123Y0000500801210010090120152002011013012求（1）ZXY的分布律；（2）UMAX（X，Y）的分布律；（3）VMIN（X，Y）的分布律解1XY的可能取值為0，1，2，3，4，5，且有PZ0PX0,Y00PZ1PX1,Y0PX0,Y1006PZ2PX2,Y0PX0,Y2PX1,Y1019PZ3PX3,Y0PX1,Y2PX2,Y1035PZ4PX2,Y2PX3,Y1028PZ5PX3,Y2012ZXY的分布如下Z012345P0006019035028012同理，UMAXX,Y的分布如下U0,1,2,3U0123P0015046039同理，VMINX,Y的分布分別如下V0,1,245（90，2分）已知隨機變量的概率密度函數(shù)X,21|XEXFX則的概率分布函數(shù)XF解當時，0XV012P028047025概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第30頁共98頁21XXTXEDTFF當時，0X0000XXTTXEDTFTFX因此，的概率分布函數(shù)為X0,21XEXFX46（97，7分）從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是，設(shè)為遇到紅燈的次數(shù)，求隨機變量的分布5XX律解可以看出隨機變量服從二項分布，其概率分布為X/2,3B3,210,5KCKPK于是隨機變量的分布律為X0123P27/12554/12536/1258/12547（02，3分）設(shè)和是任意兩個相互獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度分別12為和，分布函數(shù)分別為和，則（）1XF2F1XF2A必為某一隨機變量的概率密度B必為某一隨機變量的概率密度1XF2C必為某一隨機變量的分布函數(shù)FD必為某一隨機變量的分布函數(shù)1X2解首先可以否定選項（A）和（C），因為,1221DXFXFF對于選項（B），若，則對任何，OTHERWISXXF,01OTHERWISXXF,02X概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第31頁共98頁因此也否定（C）故選（D）,021XF,1021DXF事實上，是隨機變量的分布函數(shù)F,MA21X48（88，2分）設(shè)隨機變量服從均值為10，均方差為002的正態(tài)分布。已知，則落在區(qū)間內(nèi)的概率為XDUE2193805051,9解依題意，因此于是,2NX,021NX98760152|0519PP49（89，2分）若隨機變量在上服從均勻分布，則方程有實根的6,2X概率是解設(shè)事件“方程有實根”，而方程有實根的充要條件是根的判別式A042即因此42802PP50（91，3分）若隨機變量服從均值為2，方差為的正態(tài)分布，且X2，則042XP0解依題意,242P80530X于是212051（08，4分）設(shè)隨機變量和獨立同分布，且的分布密度函數(shù)為，則XYXXF的分布函數(shù)為（）,MAXYXZA2F概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第32頁共98頁BYFXC21DYX解選（A）52（08，11分）設(shè)隨機變量與相互獨立，的概率分布為，XYX31IXP，的概率密度為1,0IY,0,1OTHERWISYYFY記，求XZ（1）；0|2P（2）的概率密度ZFZ解（1）21021,021,0|2YPXPXZPP（2）ZYZZZF11310,1,1,ZFZFYPYPXPZYXZXZYOTHERWISZFFFFYYZY,021353（04，4分）設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，對給定的，數(shù)X1,N滿足，若，則等于（）UUP|XPA2概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第33頁共98頁B21UC21D解由于，故對于任何正數(shù)，有1,0NX|21XPXP若，則因，必有，且|XP10X21|1|2X由此可見，應(yīng)選（C）21UX54（06，4分）設(shè)隨機變量與相互獨立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則XY3,01,MAXYXP解填955（88，6分）設(shè)隨機變量的概率密度為，求隨機變量X12XF的概率密度函數(shù)。31XYYFY解先求出隨機變量的分布函數(shù)，再求YFY1113233YYDXXPPYF用變下限積分求導(dǎo)可得162YDYFFYY56（93，3分）設(shè)隨機變量服從上均勻分布，則隨機變量在內(nèi)X2,02XY4,0概率分布密度YFY解方法一，先求隨機變量的分布函數(shù)，再求YFY概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第34頁共98頁當時，當時，當時，0Y0YFY41YFY40Y22YFXPPX于是，OTHERWISYYFFY,0441方法二，應(yīng)用單調(diào)公式法由于在內(nèi)單調(diào)，反函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)2XY4,0YX2,0恒不為零，因此隨機變量的概率分布密度H1YOTHERWISYFYHFXY,04,|TERISY,4157（95，6分）設(shè)隨機變量的概率密度為求隨機變量X0,XXFX的概率密度XEYYFY解方法一，先求隨機變量的分布函數(shù)，再求YFY當時，當時，1Y0YFY11LNLN0YDXEYXPYEPYX于是，1,02YYFFY方法二，應(yīng)用單調(diào)公式法由于在內(nèi)單調(diào)，其反函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)且其導(dǎo)數(shù)XEY,0XLN,概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第35頁共98頁因此,01YX1,01,02LNYYEYFY58（98，3分）設(shè)平面區(qū)域由曲線及直線，所圍成，二維隨DXX2E機變量在區(qū)域上服從均勻分布，則關(guān)于的邊緣概率密度在處的,YX,YXX值為解首先求的聯(lián)合概率密度設(shè)區(qū)域的面積為，則依題意有,YXFDDS,2|LN121EEDDS,0,YXYXF其中10,1|,2EXYD其次，求關(guān)于的邊緣概率密度當或時，當時，XX2E0XFX21EX故關(guān)于的邊緣概率密度在處的值2,10DYYXFFXX,YX為41259（99，8分）設(shè)隨機變量和相互獨立，下表列出二維隨機變量聯(lián)合分布律XY,YX及關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律中的部分數(shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。XY1Y2Y3YIJPX1X8128JJPYY611解首先根據(jù)邊緣分布公式求出然后再依次求出其他值見下表21IP241概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第36頁共98頁YX1Y2Y3YIJPXX1X2481124128343JJPYY61213160（01，7分）設(shè)某班車起點站上客人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，每位乘客X0,在中途下車的概率為，且中途下車與否相互獨立，以表示在中途下車的人P10Y數(shù)，求（1）在發(fā)車時有個乘客的條件下，中途有人下車的概率；NM（2）二維隨機變量的概率分布。,YX解（1），,1|NMNPCPN,10,2（2）,1|,MNMNPCEXYPN，,10N,1061（03，4分）二維隨機變量的概率分布為,YX,016,OTHERWISYXYXF則1YXP解416,1012XYXDYDYF62（87，6分）設(shè)隨機變量，相互獨立，其概率密度函數(shù)分別為XY,0,1OTHERWISXYF,YFY求隨機變量的概率密度。XZ2概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第37頁共98頁解由于，相互獨立，因此它們的聯(lián)合概率密度為XYOTHERWISYXEYFXYFYYX,00,1,隨機變量的分布函數(shù)為ZZYXDFYXPZF2,22,0,2012ZDYEXZXZ2,1,022ZDXEZZ2,120,ZEZZ隨機變量的概率密度為Z2,120,ZEZFFZZ63（89，6分）設(shè)隨機變量與獨立，且服從均值為1，標準差（均方差）為的XY2正態(tài)分布，而服從標準正態(tài)分布，試求隨機變量的概率密度函數(shù)。Y32YXZ解由于獨立的正態(tài)隨機變量與的線性組合仍服從正態(tài)分布，于是隨機變量的概率密度函數(shù)為32XZ2311825ZEZFZ64（91，6分）設(shè)二維隨機變量的概率密度為,YX,002,OTHERWISYXEYXFYX概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第38頁共98頁求隨機變量的概率密度。YXZ2解ZYXDXYFPZZF2,當時，當時，0010022ZZZZXZYXEDEDEDZ所以，隨機變量的概率密度函數(shù)為YXZ,ZEZF65（92，6分）設(shè)隨機變量與獨立，且服從正態(tài)分布，而服從XY,2NY上的均勻分布，試求的概率密度函數(shù)（計算結(jié)果用標準正態(tài)分布函數(shù),Z表示，其中）。XDTEX21解解法一先求分布函數(shù)ZFZDYZDXEDYXYFZYXPZZZYYXZ21212因此，的概率密度函數(shù)為YZZFFZ其中是標準正態(tài)分布的密度函數(shù)由于是偶函數(shù)，因此有XZYZ于是2112ZZDYZFZ解法二直接應(yīng)用獨立隨機變量之和密度的卷積公式2122ZZDYEDYEFZFZFZYXYXZ概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第39頁共98頁66（94，3分）設(shè)相互獨立隨機變量，具有同一分布律，且的分布律為XYX01P212則隨機變量的分布律為,MAXYXZ解易見只取0與1兩個可能值，且,4100,0,YPXYXPP43Z67（96，6分）設(shè)是相互獨立且服從同一分布律的兩個隨機變量，已知的分布律為,，又設(shè)，。321IIP,MAXX,INY（1）寫出二維隨機變量的分布律；,Y（2）求隨機變量的數(shù)學(xué)期望。E解（1）易見的可能取值為，二維,X1,2,1,32,3,隨機變量的分布律見下表Y1231900229103291（2）先將表中各行相加，求得的分布率為XX123P1/93/95/9于是935291E68（99，3分）設(shè)兩個相互獨立的隨機變量和分別服從正態(tài)分布和XY1,0N概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第40頁共98頁，則（）1,NA210YXPBCD21YXP解因為隨機變量和相互獨立，它們又服從正態(tài)分布，所以與也都服YX從正態(tài)分布，且，由于,N2,1NYX0P故選（B）69（05，4分）設(shè)二維隨機變量的概率分布,YX010104BA01已知隨機事件與相互獨立，則（）XYA30,2BAB14C,D0BA解選（B）70（05，9分）設(shè)二維隨機變量的概率密度為,YX,020,1,OTHERWISXYXYXF求（1）的邊緣概率密度和；,YXFXFY（2）的概率密度。ZZZ概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第41頁共98頁解（1）當時，當或時，10X2,0XDYXFFXX01X即XFXOTHERWISXXFX,012當時，當或時，20Y,12YDYFYFYY0Y即FYOTHERWISYYFY,02/1（2）解法一當時，當時，0ZZFZZ4,222ZDXYFYXPZYXZ當時，所以，2Z1ZF,0/1OTHERWISZZFZ解法二2,DXZFZFZ其中OTHERWISXXZXFZ,00,12,當或時，當時，即0ZFZ2Z212ZDXZFZZ,0/1OTHERISF71（06，9分）設(shè)隨機變量的概率密度為X,0,21,42OTHERWISXXF令，為二維隨機變量的分布函數(shù)，求2XY,YXFYX（1）的概率密度；FY概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第42頁共98頁（2）4,1F解（1）的分布函數(shù)為當時，Y2YXPYYFY0,0YFY當時，0YF1Y,43120YYXPYPY當時，83YFY1,4120YYXPPYFY當時，故的概率密度81YFY,Y0FY,0418,3OTHERWISYYFY（2）4,214,21XPYF4121,XP72（07，4分）設(shè)隨機變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，,YXYXFX概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第二章第43頁共98頁分別表示，的概率密度，則在的條件下，的條件概率密度YFYXYYYX為（）|XXAFBYYCXFXDYFY解選（A）73（07，11分）設(shè)二維隨機變量的概率密度為,YX,0102,OTHERWISYXYYXF求（1）；（2）的概率密度YXPYZZFZ解（1）247852,10012DXDYXDXYFYX（2）,ZFZFZ其中OTHERWISXZXXZXFZ,010,2,TIZ,1當或時，當時，當0Z20ZFZ20ZDXZZFZ時，即121ZDXZ,021,2OTHER