1、第十五章 靜定結(jié)構(gòu) 的位移計算,圖乘法,虛功原理,單位荷載法,荷載作用下的位移計算,第一節(jié) 概述,一、概念： 由荷載、溫度變化、支座移動或制造誤差等因素產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形，從而引起截面位置的改變稱為位移,1、線位移,1）水平線位移： H,2）鉛直線位移： V,2、角位移,3、“相對位移”與“絕對位移,4、上述各種位移統(tǒng)稱為“廣義位 移”。與廣義位移相對應(yīng)的力稱 為“廣義力,二、結(jié)構(gòu)位移計算的目的： 1. 校核剛度 2. 解超靜定問題 3. 滿足施工要求 4. 結(jié)構(gòu)的動力計算和穩(wěn)定分析中，都常需計算結(jié)構(gòu)的位移,三、計算位移的有關(guān)假定,3、結(jié)構(gòu)各部分之間為理想聯(lián)結(jié)，不計摩擦阻力,2、小變形假設(shè)。變形前后

2、荷載作用位置不變,1、結(jié)構(gòu)材料服從“胡克定律”，即應(yīng)力、應(yīng)變成線形關(guān)系,滿足以上要求的體系為“線變形體系”。因位移與荷載為線性關(guān)系，故求位移時可用疊加原理,4、當(dāng)桿件同時承受軸力與橫向力作用時， 不考慮由于桿彎曲所引起的桿端軸力對彎矩及彎曲變形的影響,第二節(jié) 虛功和虛功原理,功的定義,功等于廣義力與廣義位移的乘積,式中的廣義力可以是一個集中力、一對集中力，也可以是一個力偶、一對力偶；廣義位移是相應(yīng)的沿力方向的線位移和沿力偶轉(zhuǎn)向的角位移或相對位移,實功：力由于自身所引起的位移而作功。作的功與其作用點移動路線的形狀、路程的長短有關(guān),虛功：當(dāng)位移與作功的力無關(guān)時，且在作功的過程中，力的大小保持不變，

3、這樣的功稱為虛功,式中為總位移D在力P方向的投影,虛功的計算式為,虛功對應(yīng)的兩種狀態(tài)及應(yīng)滿足的條件,2）虛位移狀態(tài)：為求真實力而虛設(shè)的位移狀態(tài)，它應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件,1）虛力狀態(tài)：為求真實位移而虛設(shè)的力狀態(tài)，它應(yīng)滿足靜力平衡條件,剛體體系的虛功原理 剛體體系在任意平衡力系作用下，體系上所有外力在任一與約束 條件相符合的無限小剛體位移上所作的虛功總和恒等于零,變形體體系虛功原理 體系在任意平衡力系作用下，給體系以幾何可能的位移和變形， 體系上所有外力所作的虛功總和恒等于體系各微段上的內(nèi)力在其 變形上所作的虛功總和,虛功中作用力F與經(jīng)歷的位移必須是相應(yīng)的，但彼此獨立無關(guān)， 無因果關(guān)系,利用虛功原理

4、計算結(jié)構(gòu)的位移（單位荷載法,欲求實際狀態(tài)的未知位移，先建立相應(yīng)的虛設(shè)單位力狀態(tài)，再利用虛功原理計算各虛功項，疊加即得所求位移,第三節(jié)計算結(jié)構(gòu)位移的一般公式 單位荷載法,單位荷載法,圖示剛架，求D點的水平位移,沿D點水平方向虛設(shè)一單位力P=1,結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式,由桿件結(jié)構(gòu)的虛功方程,單位荷載的設(shè)置,1.求截面線位移,2.求兩截面間相對線位移,3.求截面角位移,4.求兩截面間相對角位移,5.求桁架桿件的角位移,6.求桁架兩桿間相對角位移,第四節(jié) 荷載作用下的位移計算,荷載作用下靜定結(jié)構(gòu)的位移計算公式,根據(jù)材力公式,因無支座移動,位移計算公式的簡化,1、梁和剛架（略去軸向變形和剪切變形影響,2

5、、桁架（只考慮軸力影響,3、拱：一般實體拱只考慮彎曲變形，扁平拱需考慮彎矩和軸力的影響,4、組合結(jié)構(gòu),例15-1 試求圖示桁架C點的豎向位移。EA=常數(shù),解：1.建立虛擬狀態(tài)，如圖,2.分別求兩種狀態(tài)各桿軸力,3.由公式計算位移,1,例15-2 試求圖示剛架A點的豎向位移AV。各桿材料相同，截面抗彎模量為EI,解： （1）在A點加一單位力，建立坐標(biāo)系如（圖2）示，寫出彎矩表達式,2）荷載作用下（圖1）的彎矩表達式,AB段,BC段,AB段,BC段,3）將以上彎矩表達式代入求位移公式,例15-3 試求圖示桁架C點的豎向位移CV。各桿材料相同,解：（1）在C點加一單位力，作出單位力作用下的桁架內(nèi)力圖

6、（右圖,2）作出荷載作用下的桁架內(nèi)力圖（左圖,第五節(jié) 圖乘法,一、適用條件,二、圖乘法公式,注意,yc坐標(biāo)必須從直線圖形中查找,二彎矩圖在桿軸同側(cè)，yc為正值；否則為負(fù)值,圖乘必須滿足三條件,直桿； EI為常量； 至少有一個直線彎矩圖,三、圖乘法的證明,四、使用乘法時應(yīng)注意的問題 1、 必須取自直線圖形,圖,圖,1,y1,2、當(dāng) 為折線圖形時，必須分段計算,2,y2,圖,圖,3、當(dāng)桿件為變截面時亦應(yīng)分段計算,MP圖,1,y1,2,y2,M圖,4、圖乘有正負(fù)之分：彎矩圖在桿軸線同側(cè)時，取正號； 異側(cè)時，取負(fù)號,M圖,MP圖,P,yo,P,yo,M圖,MP圖,1,y1,2,y2,5、若兩個圖形均為

7、直線圖形時，則面積、縱標(biāo)可任意分別 取自兩圖形,M圖,MP圖,6、圖乘時，可將彎矩圖分解為簡單圖形，按疊加法分別 圖乘,a,b,c,d,l,M圖,MP圖,6、圖乘時，可將彎矩圖分解為簡單圖形，按疊加法分別 圖乘,a,c,d,l,使用乘法時應(yīng)注意的問題小結(jié)： 1、yo必須取自直線圖形； 2、當(dāng)MK為折線圖形時，必須分段計算； 3、當(dāng)桿件為變截面時亦應(yīng)分段計算； 4、圖乘有正負(fù)之分； 5、若兩個圖形均為直線圖形時，則面積、縱標(biāo)可任意分別取自兩圖形； 6、圖乘時，可將彎矩圖分解為簡單圖形，按疊加法分別圖乘； 7、三角形、標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線的面積、形心公式必須牢記,例15-4 圖示外伸梁，EI=常數(shù)，試求

8、C點的豎向位移,解：1）畫實際狀態(tài)彎矩圖,2）建立虛設(shè)狀態(tài)并作其彎矩圖,例15-5 試求圖示三鉸剛架C鉸處左右兩截面的相對角位移 ，EI=常數(shù),解：1）作實際狀態(tài)的彎矩圖,2）建立虛設(shè)狀態(tài)，并作其彎矩圖,3）由公式求位移,第六節(jié) 支座移動和溫度改變時的位移計算,一、支座移動引起的結(jié)構(gòu)位移 支座移動時，靜定結(jié)構(gòu)發(fā)生剛體位移。因此移動不引起靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，故虛功方程中變形功為零，于是求位移公式簡化為,0,例15-6 三鉸剛架，支座B發(fā)生如圖所示的位移：a=5cm,b=3cm,l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座處桿端截面的轉(zhuǎn)角A,解：在要求位移方向上加單位力（圖2），求出支座反力后依求位移公式

9、計算位移,圖2,二、溫度變化引起的結(jié)構(gòu)位移 圖示懸臂梁由于溫度改變而引起變形。為求CV，在C點加一單位力，根據(jù)求位移公式計算CV,將以上各式代入求位移的一般公式，可得溫度改變位移計算式,若每一桿件沿其全長溫度改變相同，且截面高度相同，則,例15-7 圖示簡支剛架內(nèi)側(cè)溫度升高25C，外側(cè)溫度升高5C，各截面為矩形，h=0.5m,線膨脹系數(shù)=1.010-5,試求梁中點的豎向位移 DV,第七節(jié) 線性變形體系的互等定理,一、功的互等定理： 在線性變形體系中，狀態(tài)一的外力由于狀態(tài)二的位移所作的虛功等于狀態(tài)二的外力由于狀態(tài)一的位移所作的功,P112=P221,二、位移互等定理： 如果作用在體系上的力是單位力，則在第一個單位力方向上，由于第二個單位力所引起的位移等于第二個單位力方向上，由于第一個單位力所引起的位移,12=21,三、反力互等定理： 如果結(jié)構(gòu)支座發(fā)生的是單位位移，則支座1由于支座2的單位位移所引起的反力r12等于支座