1、重點增分專題八 空間位置關(guān)系的判斷與證明全國卷3年考情分析年份全國卷I全國卷n全國卷川2018直線與平面所成的角、正方體的截面-T 12求異面直線所成的角-T 9面面垂直的證明 7 19(1)面面垂直的證明-T 18(1)線面垂直的證明-T 20(1)2017面面垂直的證明-T 18(1)求異面直線所成的角-T 10圓錐、空間線線角的求解-T 16線面平行的證明-T 19(1)面面垂直的證明-T 19(1)2016求異面直線所成的角-T 11空間中線、面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)-T 14線面平行的證明 7 19(1)面面垂直的證明-T 18(1)翻折問題、線面垂直的證明-9(1)(1) 高考對此部

2、分的命題較為穩(wěn)定，一般為“一小一大”或“一大”，即一道選擇題(或填空題)和一道解答題或只考一道解答題.(2)選擇題一般在第911題的位置，填空題一般在第14題的位置，多考查線面位置關(guān)系的判斷，難度較小.(3)解答題多出現(xiàn)在第 18或19題的第一問的位置，考查空間中平行或垂直關(guān)系的證明,難度中等.考點一 空間點、線、面的位置關(guān)系保后講點大穩(wěn)定常規(guī)角度考雙基1.判定直線間的位置關(guān)系已知a是一個平面，m n是兩條直線，A是一個點，若n?a , n? a ,且AC m AC a，貝U m, n的位置關(guān)系不可能是()B.相交C.異面A.垂直D .平行解析：選D因為a是一個平面，m n是兩條直線,A 是一

3、個點，n?a , n? a,且 AC m, AC所以n在平面a內(nèi)，m與平面a相交,且A是m和平面a相交的點,所以m和n異面或相交，一定不平行.2.命題真假的判定已知直線 m ,平面a , 3 ,且mla , ? 3 ,給出下列命題: 若a / 3 ,貝Uml ;若a丄3 ,貝Um/ ;若mI ,貝U a丄3 ；若m/ I ,貝U a丄其中正確的命題是（A.C.解析：選A對于,若all3 , ml a ,則ml 3 ,又丨？ 3 ,所以ml ,故正確,排除B.對于，若mi ,ml a ,則I丄a ,又I ? 3 ,所以a丄3 .故正確.故選 A.3.線面垂直、面面垂直的判定G是EF的中點，現(xiàn)在沿

4、如圖，在正方形 ABC中, E, F分別是BC CD的中點,AE, AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B, C, D三點重A. AGL平面 EFHC. HFL平面 AEF合，重合后的點記為H,FAHI平面B .EFHHGL平面AEF解析：選B根據(jù)折疊前、后 AHI HE AHI HF不變,得AH!平面EFH B正確;過A只有一條直線與平面 EFH垂直， A不正確;/ AGL EF, EFI GH AGH GH= G, EF丄平面 HAG 又 EF?平面 AEF 平面 HAI AEF過H作直線垂直于平面 AEF 一定在平面 HAG , C不正確;由條件證不出 HGL平面AEF - D不正

5、確.故選 B.4.求異面直線所成的角（2018 全國卷n ）在正方體 ABCDAiBiCD中，E為棱CG的中點，則異面直線 AE與 CD所成角的正切值為（B.D.C1解析：選C如圖，連接BE因為AB/ CD所以AE與CD所成的角為/ EAB在 Rt ABE中 ,設(shè) AB= 2,貝U BE=75 ,貝U tan / EAB=魯爭，所以異面直線AE與CD所成角的正切值為解題方略判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)命題真假的3種方法（1）借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.（2）借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié) 合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或

6、否定.（3）借助于反證法，當(dāng)從正面入手較難時，可利用反證法，推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷.小創(chuàng)新變換角度考遷移1.與充要條件的交匯設(shè)I ,m n為三條不同的直線，其中m n在平面a內(nèi)，則“ I丄a”是“ I丄m且I丄n”的（A.充分不必要條件B 必要不充分條件C.充要條件D既不充分也不必要條件解析：選A當(dāng)l丄a時,垂直于a內(nèi)的任意一條直線，由于m n?a,故“ I丄m且I丄n”成立，反之，因為缺少m n相交的條件，故不一定能推出“ I丄a”故選A.2.線面位置中的創(chuàng)新某折疊餐桌的使用步驟如圖所示，有如下檢查項目.圖1項目:折疊狀態(tài)下（如圖1），檢查四條桌腿長相等;項目:打開

7、過程中（如圖2)，檢查 OMk ONh O M=O N;項目:打開過程中（如圖2)，檢查 OKh OLh O K=O L;項目:打開后（如圖3）,檢查/ 1 =/ 2 = / 3 =/ 4 = 90;項目:打開后（如圖3）,檢查 AB= CD= A B = C D .在檢查項目的組合中，可以判斷“桌子打開之后桌面與地面平行”的是A.B .C.D .解析：選B A選項，項目和項目可推出項目，若/MON/ M O N，則MN較低，M N較高，所以不平行，錯誤；B選項，因為/ 1 = / 2=/ 3=/ 4= 90所以平面ABCD平面A B C D，因為AB= A B，所以AA平行于地面，由知，OO

8、 / AA /平面MNN M ,所以桌面平行于地面， 故正確；C選項，由得，Oh= ON OA丄AA , 0 A丄AA , AB= A B,所以AA / BB ,但OA與O A是否相等不確定,所以不確定00與BB是否平行，又 OO/ MN所以不確定 BB與MN是否平行，故錯誤；D選項，0P 0L= 0 K = 0 L，所以 AA / BB，但不確定 0M與 ON 0 M ,0 N 的關(guān)系，所以無法判斷MN與地面的關(guān)系，故錯誤綜上，選B.3.線面角與體積交匯（2018 全國卷I）在長方體ABCDABCD 中,AB= BC= 2, AC與平面BBCC所成的角為30則該長方體的體積為（B .誹C.

9、8pD . 8/3解析：選C 如圖，連接 AC, BC, AC / AB!平面A.8BBCC,/ ACB為直線 AC與平面BBCC所成的角，/ ACB= 30又AB=2BC= 2,在 Rt ABC中, AC= sn而=4.在 Rt ACC中，CC=RAC/絢KAl= 42-22+ 22= 2 謔, V長方體=ABx BC CC = 2 X 2 X24.線面角與面積交匯（2018 全國卷n ）已知圓錐的頂點為S,母線SA SB所成角的余弦值為8, SA與圓錐底面所成角為 45若 SAB的面積為 如5,則該圓錐的側(cè)面積為解析：如圖， SA與底面成45角, SA0為等腰直角三角形.設(shè) 0A= r,貝

10、y S0= r, SA= SB=/2r.在 SAB中, cos / ASB= 7,8 sin / ASB=5,8 &SAE= SA- SB- sin / ASB=2x(72 02jr5,= 40血 n .答案：40返n考點二空間平行、垂直關(guān)系的證明 增度精點析母題一一高考年年“神”相似求典例 如圖，在四棱錐 P-ABCDK AB/ CD AB1 AD CD= 2AB 平面PADL底面ABCD PAL AD, E和F分別是CD和PC的中點,證:PAL底面 ABCDBE/平面PAD平面BEFL平面PCD證明(1) 平面PAD_底面ABCD且PA垂直于這兩個平面的交線 AD PA?平面PAD PAI

11、底面 ABCD(2) AB/ CD CD= 2AB E 為 CD的中點, AB/ DE 且 AB= DE四邊形ABED平行四邊形. BE/ AD又 B曰平面PAD AD?平面PAD BE/平面 PAD/ AB! AD且四邊形 ABED為平行四邊形. BE! CD ADI CD由(1)知PA!底面ABCD PAI CD PAG AD= A, PA?平面 PAD AD?平面 PAD CD!平面PAD又PD?平面PADCDL PD/ E和F分別是CD和PC的中點, PD/ EF,CDL EF又 BE! CD且 EFn BE= E,CDL平面 BEF又CD?平面PCD平面BEF!平面PCD練子題一一高

12、考年年“形”不同1.在本例條件下，證明平面BE巳平面ABCD證明：如圖，連接 AE ACDc線面平行的判定定理:a? a , b? a , a/ b? a/線面平行的性質(zhì)定理:a T 3 = b? a / b.面面平行的判定定理:a? 3 , b?3 , aT b= P , a / a , b / a ? a / 3 .面面平行的性質(zhì)定理:Ty = a, 3門丫 = b? a / b.設(shè)ACT BE= O連接FO/ AB/ CD CD= 2AB 且 E 為 CD的中點, AB綊 CE四邊形ABCE為平行四邊形. O為AC的中點，貝U FO綊2PA又PAL平面ABCD FO!平面 ABCD又 F

13、C?平面 BEF平面BEF!平面 ABCD2.在本例條件下，若 AB= BC求證BE1平面PAC證明：如圖，連接 AE AC設(shè)ACT BE= O AB/ CD CD= 2AB 且 E 為 CD的中點. AB綊 CE又 AB= BC 四邊形 ABCE為菱形, BE! AC又 PAL平面 ABCD BE?平面 ABCD PAI BE又 PAT AC= A, PA?平面 PAC AC?平面 PAC BE!平面 PAC解題方略1.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理:m?n?a , mT n= P , l 丄 m, l 丄 n? I 丄 a .(2)線面

14、垂直的性質(zhì)定理:a ? a / b.(3)面面垂直的判定定理:a? 3 ,(4)面面垂直的性質(zhì)定理:T 3= l , a? a , a 丄 l ? a 丄 3 .多練強化C1.(2019屆高三鄭州模擬均為平行四邊形，M N, G分別是AB AD EF的中點.求證：BE/平面DMF平面BDE/平面MNG證明：如圖，連接 AE貝U AE必過DF與GN的交點Q連接MQ則 皿0為 ABE的中位線，所以 BE/ MQ又BE?平面DMF MQ平面DMF所以BE/平面DMF 因為N, G分別為平行四邊形 ADEF的邊AD EF的中點,所以DE/ GN又DE?平面MNG GN?平面MNG所以DE/平面MNG又

15、M為AB的中點，N為AD的中點,所以MN ABD的中位線，所以 BD/ MN又BDP平面MNG MN平面MNG所以BD/平面MNG又DE與 BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線,所以平面BDE/平面MNG2.如圖，在四棱錐 RABCDK 平面PABL平面ABCDAD/ BCPAL AB CDL AD BC= CD= 2AD求證：PAI CD求證：平面 PBDL平面PABC證明： 因為平面PABL平面ABCD平面PABn平面ABCAB又因為PA1 AB所以PAL平面ABCD又CD?平面ABCDPcT A所以PAL CD取AD的中點為E,連接BE,由已知得，BC/ ED且BC= ED所以四邊形BCD是

16、平行四邊形,又CDL AD BC= CD所以四邊形 BCDE正方形,連接CE所以BDL CE又因為 BC/ AE BC= AE所以四邊形ABCE是平行四邊形,所以C日AB則BDIAB由 知PAI平面ABCD所以PA1 BD又因為PAn AB= A,所以BDI平面PAB因為BD?平面PBD所以平面 PBDL平面PAB考點三平面圖形中的折疊問題增分考點 講練沖關(guān)典例(2019屆高三湖北五校聯(lián)考)如圖，在直角梯形 ABCDK/ ADC= 90 AB/ CD AD= CD= 2AB= 2 , E為AC的中點，將 ACD沿AC折起，使折起后的平面 ACDf平面(1)求證：BC!平面ACD 點F在棱CD上

17、，且滿足 AD/平面BEF求幾何體 F-BCB的體積.解(1)證明： AC= paD + cD= 2也,/ BA(=/ ACD= 45 , AB= 4 ,在 ABC中 , bC= aC+ Ab 2ACX AB cos 45 = 8 ,- aB= aC+ bC= 16 , ACIBC平面ACDL平面 ABC平面ACDn平面 ABC= AC, BC?平面ABC BC!平面 ACD/ AD/平面BEF AD?平面ACD平面ACDn平面BEF= EF AD/ EF, E為AC的中點, EF% ACD的中位線,1由(1)知，VF-BCE= VbCEF=X SxCEfX BC3C1c111SLCEF=：S

18、4ACD= -X -X 2X 2=二,4422 VF-Bc= 1X 1x2 邊=解題方略平面圖形折疊問題的求解方法(1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線 段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口.(2)在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折 疊前的圖形.多練強化如圖，在矩形 ABCD中, AB= 3, BC= 4, E, F分別在線段 BC, AD上，EF/ AB將(1)求證：NC/平面MFD若EO 3，求證：NDL FC;求四面體NEFD體積的最大值.解： 證明：四邊形 MNEI和四邊形

19、EFDC都是矩形, MN/ EF, EF/ CD MN= EF= CD / MN綊 CD四邊形 MNC是平行四邊形， NC/ MD/ NC平面MFD MD平面MFD NC/平面 MFD證明：連接ED平面MNEE平面ECDF且NE! EF,平面MNER平面ECD三EF, NR 平面 MNEF NE!平面 ECDF FC?平面 ECDFED廠C FC! NE EC= CD 四邊形 ECDF為正方形， FC! ED又 Em NE= E ED NE 平面 NED FC丄平面NED/ ND?平面 NED - ND! FC. 設(shè) NE= x,貝U FD= EC= 4-x,其中 0x/2 ,設(shè) AF1a2+

20、 b2 1=a , FE= b,則 AEF的面積 S= jabw 2x二y = x-2 12= 2(當(dāng)且僅當(dāng)a= b= 1時等號成立),所以（VAEF）max= X g X 寸2 = -62.D(2)由題意得AC= AD答案：平、 1 1所以 V-ACE= 2 VP-AC:= 4VP-ABCD1 1=4 X 3SABCD PA43=4x 1 x 2x 密(何x 1=誓11.如圖，在直三棱柱 ABCABC中，AB= AO AA= 3 , BC= 2 ,匚D是BC的中點，F(xiàn)是CG上一點.(1)當(dāng)CF= 2時，證明：BF丄平面 ADF 若FD丄Bid 求三棱錐 Bi-ADF的體積.W|解：(1)證明：因為AB= AC D是BC的中點,所以ADL BC在直三棱柱 ABCABC中，因為BB丄底面ABC AD?底面ABC所以ADL B B.因為B8 Bi B= B,所以ADL平面Bi BCC因為Bi F?平面B BCC所以ADL Bi F.在矩形 B BCC中，因為 C F= CD=1, B C = CF= 2,所以 Rt DCF Rt FCB,所以/ CFD=/ CBF,所以/ B FD= 90所以Bi FL FD因為Am FD= D所以B F丄平面 ADF