1、江蘇省蘇中三市（南通泰州揚(yáng)州）2012 屆高三 3 月第一次調(diào)研測(cè)試2012.03數(shù)學(xué)（ ?）（正題）一、填空 . 本大 共 10小 ，每小 5 分，共 50 分. 把正確答案填在相 位置 .1在平面直角坐 系中，雙曲 的離心率 2若復(fù)數(shù) 足（ i 是虛數(shù) 位）， 3在右 的算法中，最后 出的的 依次是4 一 組 數(shù) 據(jù)9.8 ， 9.9 ， 10 ， 10.2的 平 均 數(shù) 為10 ， 則 該 組 數(shù) 據(jù) 的 方 差為5 全集，集合， （用列 法表示） 6在平面直角坐 系中，已知向量， 7將甲、 乙兩個(gè)球隨機(jī)放入 號(hào) 1,2,3 的 3 個(gè)盒子中， 每個(gè)盒子的放球數(shù)量不限， 在 1,2號(hào)盒子

2、中各有1 個(gè)球的概率 8 P 函數(shù) 象上異于原點(diǎn)的 點(diǎn)，且 象在點(diǎn)P 的切 的 斜角 ， 的取 范 是9如 ，矩形 ABCD 的三個(gè) 點(diǎn) A、B、C 分 在函數(shù)的 象上，且矩形的 分 平行于兩坐 ，若點(diǎn) A 的 坐 2， 點(diǎn) D的坐 10 察下列等式：31 ，1339 ，1232333，61332333，00134 1猜想： 132333n3（ n N* ）.11在棱 4 的正方體ABCDA1 B1C1 D1 中， E，F(xiàn) 分 棱 AA1 , D1C1 上的 點(diǎn)，點(diǎn) G 為正方形 B1 BCC1 的中心， 空 四 形AEFG 在 正方體各個(gè)面上的正投影所構(gòu)成的 形中，面 的最大 12若 a1

3、xsin xa2 x 任意的 x 0, 都成立， a2 a1 的最小 213 如 圖 ， 在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 xOy 中 ， F1 , F2 分 別 為 橢 圓x2y21(ab 0) 的左、右焦點(diǎn)， B， C 分 的上、a2b2下 頂 點(diǎn) ， 直 線(xiàn) BF2 與 橢 圓 的 另 一 個(gè) 交 點(diǎn) 為 D ， 若cosF1 BF27 ， 直 CD 的斜率 2514各 均 正偶數(shù)的數(shù)列 a1 ,a2 , a3 ,a4 中，前三 依次成公差 d( d0)的等差數(shù)列，后三 依次成公比 q 的等比數(shù)列，若a4a1二、 解答題88，則 q 的所有可能的值構(gòu)成的集合為. 本大題共2 小題，共 30

4、 分 . 解答時(shí)要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推理步驟 .15.在斜三角形ABC 中，角A ，B ， C 的對(duì)邊分別為a ， b ， c.（1）若2sin A cosCsin B ，求a的值；（2）若sin( 2AB)3sin B ，求ctan A的值 .tan C16.如圖，在六面體ABCDA1 B1C1D1 中，AA1 / CC1 ，A1 BA1D ，ABAD.求證：（ 1）AA1BD ；（ 2） BB1 / DD1 .17.將 52 名志愿者分成A ， B 兩組參加義務(wù)植樹(shù)活動(dòng)，A 組種植組種植 200 捆沙棘樹(shù)苗 .假定 A ， B 兩組同時(shí)開(kāi)始種植 .2 小時(shí)，種植一捆沙棘樹(shù)苗用

5、時(shí)1（1）根據(jù)歷年統(tǒng)計(jì)，每名志愿者種植一捆白楊樹(shù)苗用時(shí)25小時(shí) .應(yīng)如何分配 A ， B 兩組的人數(shù)，使植樹(shù)活動(dòng)持續(xù)時(shí)間最短？（2）在按（ 1）分配的人數(shù)種植1 小時(shí)后發(fā)現(xiàn)，每名志愿者種植一捆白楊樹(shù)苗仍用時(shí)2 小5時(shí)，而每名志愿者種植一捆沙棘樹(shù)苗實(shí)際用時(shí)2 小時(shí)，于是從 A 組抽調(diào)6 名志愿者加入 B 組3繼續(xù)種植，求植樹(shù)活動(dòng)所持續(xù)的時(shí)間.18.如 圖 ， 在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 xOy 中 ， 已 知 圓 C1 : ( x1)2y 21， 圓C2 : ( x 3) 2( y 4)21.（1）若過(guò)點(diǎn)C1( 1,0) 的直線(xiàn) l 被圓 C2 截得的弦長(zhǎng)為6 ，求直線(xiàn) l 的方程；5（2）

6、設(shè)動(dòng)圓 C 同時(shí)平分圓C1 的周長(zhǎng)、圓 C2 的周長(zhǎng) .證明：動(dòng)圓圓心C 在一條定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)；動(dòng)圓 C 是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.19.已知函數(shù)f ( x)xsin x.（1）設(shè) P ， Q 是函數(shù)f (x) 的圖象上相異的兩點(diǎn)，證明：直線(xiàn)（2）求實(shí)數(shù) a 的取值范圍，使不等式 f ( x)ax cos x在 0,220.設(shè)數(shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù) .若對(duì)任意的 nN ，存在 kN ，使得 an k2an an 2 k 成立，則稱(chēng)數(shù)列為“Jk 型”數(shù)列 .（1）若數(shù)列an是“ J2 ”型數(shù)列，且 a28 ， a8 1 ，求 a2n ；（2）若數(shù)列an既是“

7、J3 ”型數(shù)列，又是“J 4 ”型數(shù)列，證明：數(shù)列an 是等比數(shù)列 .數(shù)學(xué)（）（附加題）21. 選做題A . 選修 41：幾何證明選講如圖， AB 是半圓O 的直徑，延長(zhǎng)AB 到 C ，使BC3 ，CD 切半圓于點(diǎn)D ，DEAB ，垂足為E ，若AE： EB3: 1，求DE的長(zhǎng) .B . 選修42 ：矩陣與變換在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，直線(xiàn)01y kx 在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下得到的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)10P( 4,1) ，求實(shí)數(shù) k 的值 .C . 選修 44 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，已知圓a sin（ a0 ）與直線(xiàn)cos()1相切，求實(shí)數(shù) a 的值 .45 ：不等式選講4D . 選修已知 a

8、，b， c 滿(mǎn)足abc1( a2)(b2)(c2)27.，求證：22. 已知數(shù)列 an滿(mǎn)足： a11， an 12an（ nN ） .2an 1（1）求 a2， a3 的值；（2）證明：不等式 0 anan1 對(duì)于任意的 nN 都成立 .23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F (1,0) ，過(guò)拋物線(xiàn)在 x軸上方的不同兩點(diǎn)A 、 B 作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)AC 、 BD ，與 x 軸分別交于 C 、 D 兩點(diǎn)，且 AC與 BD 交于點(diǎn) M，直線(xiàn) AD 與 BC 交于點(diǎn) N .（ 1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2）求證： MN x 軸；（3）若直線(xiàn) MN 與 x 軸的交點(diǎn)恰為F

9、 (1,0) ，求證：直線(xiàn)AB 過(guò)定點(diǎn) .江蘇省蘇中三市（南通泰州揚(yáng)州）2012測(cè)試數(shù)學(xué) 講評(píng)建議1考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)答案：22考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算答案：1 + 2i3考查基本算法語(yǔ)句答案：2， 14考查總體特征數(shù)的估計(jì)答案：0.025考查集合的運(yùn)算、一元二次不等式，本題要提醒學(xué)生注意審題答案：0 ， 1考查平面向量的數(shù)量積 本題可以直接出b = (， ，得a b0，也可以由aa1 b564 2)2得 a2 1 ab 5 ，即 51 a b 5 ，所以 ab 0 答案： 0227考查古典概型答案：298考查導(dǎo)數(shù)、基本不等式，傾斜角與斜率的關(guān)系y1(3x1) 1233 ，所以2x2ta

10、n 3 ，得 答案：，23239 考查冪、指、對(duì)函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及基本運(yùn)算能力，基本思路為yAxA xD，yA yBxB xCyCyD ，其中 A、B、C 點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1，(4,2)，1答案： 1 ，1,2)(4,)242410考查合情推理能力和等差數(shù)列知識(shí)，提醒學(xué)生從等號(hào)右側(cè)數(shù)都為平方數(shù)入手尋找發(fā)現(xiàn)規(guī)n( n2律答案：1)211考查空間幾何體知識(shí)和空間想象能力，本題源于必修2立體幾何章節(jié)復(fù)習(xí)題A1FB1 A1D1 (F) DFD1FC1CEA1B1GGGGEEDCB ADAA (E)BBA（第 11 題）如 ，當(dāng) E 與 A1 重合， F 與 B1 重合 ，四 形AEFG 在前、后兩個(gè)面

11、的正投影的面 最大 12；如 ，當(dāng) E 與 A1 重合，四 形AEFG 在左、右兩個(gè)面的正投影的面 最大 8；如 ，當(dāng) F 與 D 重合，四 形AEFG 在上、下兩個(gè)面的正投影的面 最大 8； 上得，面 最大 12.答案： 1212考 數(shù)在研究函數(shù)上的 用、三角函數(shù)的 象與性 ，由 形可知， 當(dāng) 原點(diǎn)的直 點(diǎn)， ，12 ；當(dāng) 原點(diǎn)的直 點(diǎn)，0 的切 ，21取得最小a 取得最大 a值 1； 割 逼近切 的思想方法答案：1213考 的 準(zhǔn)方程與幾何性 、直 的斜率、二倍角公式， 合性 由cosF1BF27 運(yùn)用二倍角公式得e 3 ，再由b2kBDkCDbkCD ，得 kCDbc，故255a 2ca

12、2kCDbc12. 提醒學(xué)生注意體會(huì)和使用“kBDkCDb2” 一重要 答案：12a 225a22514考 數(shù)列 合知 解答 程如下：設(shè) a1，a1d ，a12d ，a188 ，其中 a1 ，d 均 正偶數(shù)， 則 (a12d) 2( a1d )(a188) ，整理得a4d(22d )0 ，所以 (d22)(3d 88)0 ，即 22d88， d可能 24，13d88326， 28，當(dāng) d24 ， a112 ， q5；當(dāng) d26 ， a1208 （舍去）；當(dāng) d28 ， a1168 ，35q8；7所以 q 的所有可能 構(gòu)成的集合 5 ，8. 答案：5，8373715考 正、余弦定理、兩角和的三角

13、函數(shù)， 提醒學(xué)生考 “斜三角形” 個(gè)條件第 1 小 的解法 可以 ：2sin Acos C sin Bsin( AC)sin A cos Ccos Asin C ，于是 sin Acos C cos Asin C0 ，即 sin( AC) 0 . 3 分因 A， C 三角形的內(nèi)角，所以A C， ，從而 A C 0 ，所以 a = c，故 a =1.7 分c第 2 小 ，可先用A+B 與 A 求解，最后化 A、 C 的關(guān)系16考 直 與平面平行、垂直的判定與性 ，提醒學(xué)生要 范 寫(xiě)17考 函數(shù)模型及其 用，可以從 和 苗數(shù)兩個(gè)角度考 18考 直 與 的方程、直 與 、 與 的位置關(guān)系，考 學(xué)生運(yùn)

14、算能力思路 2： C ： x2y2DxEyF0 （ D 2E24F0 ），易得 C1222 x0 ，： xy圓 C2 ： x2y26x 8 y24 0 ，由 得 ( D 2) x EyF0 ，將 C1 (1，0) 代入得 FD2 ，由得 ( D6) x( E8) yF24 0 ，將 C2(3，4)代入得 ED 6 ，代入得22Dx(D6) yD20 ，xy整理得 (xy2220 ，1)D x y 6 yxy1，x13 2，x13 2，0得2或2由x2y26 y 2 0y 23 2，y23 2，22所以定點(diǎn)的坐 132，232，1 32，2 322222思路 3（幾何方法）：利用定點(diǎn) M 在直

15、C1C2 上， C1C2 的中點(diǎn) N， 心 C 滿(mǎn)足 CC12+12=r 2= CN2+CM2 ， CM 2= CN2 CC12 +1= C1N2+1=9 ， 而得出 （建 堂上不 解）19考 函數(shù)的 像與性 ，第 2 小 思路2 依 意得， Q(x) g ( x) f ( x)，ax cos x x sin x x021 當(dāng) a0 ， Q(x)0 恒成立； 8 分2 當(dāng) a0 ， Q ( x)(a 1)cos xaxsin x1 ，10 分， 上 減， ， Q (x)0 ， Q( x) 在00 a 22所以 Q( x)Q(0) 0 恒成立；12 分a 2 ，注意到當(dāng) x， ， x sin x

16、 ，02于是 Q( x)ax cos xx sin x ax cos x 2 xx(a cos x2) ，必存在 x0，使得當(dāng) x(0，x) ，有 Q( x )0 ，不能使恒成立 .0200Q(x) 0 上所述， 數(shù)a 的取 范 a2 16 分20考 等比數(shù)列知 ，第 2 小 思路2：由 知，當(dāng)n8 ，an6， an3 ，an， an 3， an6 成等比數(shù)列；an6， an2 ，an 2， an6 也成等比數(shù)列從而當(dāng) n8 ， an2 an3an 3 an6 an6（ * ）且 an 6an6 an 2an2 所以當(dāng) n8 ， an2 an2an 2，即 an 2ananan2于是當(dāng) n9

17、， an 3， an 1，an 1， an 3 成等比數(shù)列，從而 an 3an 3 an 1an 1，故由（ *）式知 an2 an 1an 1，即 an 1ananan 1當(dāng) n 9 ， qan an 1當(dāng) 2 m 9 ， m 6 8，從而由（ * ）式知 am 62 amam 12，故 am 72 am1am13，2am 1am 13 ，從而 am 72am 6amam 12于是 am 1q 2q amq因此 an 1q 任意 n 2 都成立an因 a42a1a7，所以 q2 a2a4 a3 a2a4a7a7 a6 a5q3 ，a1a3 a2 a1a1a4a6 a5 a4于是 a2q a1

18、故數(shù)列 an 等比數(shù)列南通市 2012 屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué) II 講評(píng)建議21【 做 】A 修 4 1：幾何 明 本小 主要考 的幾何性 等基 知 ，考 推理 能力 分10 分如 ， AB 是半 O 的直徑，延 AB 到 C，使 BC3 ，DCD 切半 O 于點(diǎn) D， DE AB，垂足 E若 AE EB31，求 DE 的 解： 接 AD、 DO、DB 由 AE EB 3 1，得 DO OE2 1又 DE AB，所以DOE 60 ACOEB故 ODB 正三角形 5 分（第 21 A 題）于是DAC30BDC 而ABD60，故C 30BDC 所以 DBBC3 在 OBD 中， DE3 DB3

19、 10 分22B 修 4 2：矩 與 10 分本小 主要考 二 矩 的 等基 知 ，考 運(yùn)算求解能力 分在平面直角坐 系xOy 中，直 ykx 在矩 01 的 下得到的直 點(diǎn)10P(4, 1) ，求 數(shù) k 的 解： T： xx ， x01xy，即x，y 5 分yyy10yxyx.代入直 ykx ，得 x ky 將點(diǎn) P(4，1) 代入上式，得 k410 分C 修 4 4：坐 系與參數(shù)方程本小 主要考 直 與 的極坐 方程等基 知 ，考 運(yùn)算求解能力 分10 分在極坐 系中，已知 a sin（ a0 ）與直 cos1 相切，求 數(shù)a 的 2解：將 a sin化成普通方程 x2y2ay ，整理，

20、得 x2yaa 224將直 cos1化成普通方程 x y20 6 分a22aa42 210 分由 意，得22 解得21D. (a 2)(b2)(c2)abc 2(ab bcca)4(abc)892(abbcca)4(abc)923 3 ( ab)(bc)( ca)433 abc27.22. 本 （ 2）可由 求出數(shù)列 an 的通 公式：（方法 1）因 a11， an 12an( nN* ) ，所以 an0( n N* ) .2an 1于是在 an 12an兩 取倒數(shù)得 1111 ，整理得an1an 12an2111111an 112 an1 ，而 a1，所以 1n 1，得 1n 111110 ，an2an2n所以 01111，an 12an故不等式0an an 1 于任意 nN* 都成立（方法 2）由 a11 ， a22 ，a34 ，a48，猜想： an1n 1 (nN* ) 2359112用數(shù)學(xué) 法 明猜想 明 ：當(dāng) n1 ，由（ 1），知 0a1a2 ，不等式成立4 分 當(dāng) nk (kN * ) ， 0akak1 成立，6 分 當(dāng) nk1 ，由 假 ，知ak 10 2ak12a2ak 1 ak1 2