1、第第1 1章章 成效實(shí)際與保險(xiǎn)成效實(shí)際與保險(xiǎn)1.1引言例：我們有這樣的二種選擇：A：0.1%的時(shí)機(jī)得到10000元錢，99.9%的時(shí)機(jī)什么也得不到。B：100%的時(shí)機(jī)得到10元。選擇A？或B？喜好風(fēng)險(xiǎn)例：我們有這樣的二種選擇：A：0.1%的失去得到10000元錢，99.9%的時(shí)機(jī)不損失。B：100%的時(shí)機(jī)夫去10元。選擇A？或B？厭惡風(fēng)險(xiǎn)例：我們有這樣的二種選擇：A：0.1%的失去得到10000元錢，99.9%的時(shí)機(jī)不損失。B：100%的時(shí)機(jī)夫去20元。選擇A？或B？1.2 期望成效模型期望成效模型 假設(shè)一個(gè)個(gè)面子臨損失額為假設(shè)一個(gè)個(gè)面子臨損失額為B ，發(fā)生概率，發(fā)生概率0.01 的風(fēng)險(xiǎn)，他可

2、以將損失進(jìn)展投保，并情愿為這份的風(fēng)險(xiǎn)，他可以將損失進(jìn)展投保，并情愿為這份保單支付保費(fèi)保單支付保費(fèi)P，B 和和P之間有何種關(guān)系？之間有何種關(guān)系？ 假設(shè)假設(shè)B 非常小，那么非常小，那么P幾乎不會(huì)大于幾乎不會(huì)大于0.01B； 假設(shè)假設(shè)B略微大一點(diǎn)，如略微大一點(diǎn)，如500，那么，那么P就能夠比就能夠比5 稍大一些；稍大一些； 假設(shè)假設(shè)B 非常大，那么非常大，那么P 就會(huì)比就會(huì)比0.01B大很多。大很多。 由于這么大的損失一但發(fā)生可以導(dǎo)致破產(chǎn)。由于這么大的損失一但發(fā)生可以導(dǎo)致破產(chǎn)。 結(jié)論：可以付出比期望值高的費(fèi)用為風(fēng)險(xiǎn)投保。結(jié)論：可以付出比期望值高的費(fèi)用為風(fēng)險(xiǎn)投保。例例 1.2.1(1.2.1(圣彼得堡

3、悖論圣彼得堡悖論) ) 以價(jià)格以價(jià)格 P P 元參與如元參與如下的游戲拋擲一枚均勻的硬幣，直到出現(xiàn)正面為下的游戲拋擲一枚均勻的硬幣，直到出現(xiàn)正面為止如果投擲止如果投擲 n n 次才首次出現(xiàn)正面，則游戲的參與者次才首次出現(xiàn)正面，則游戲的參與者就可以獲得就可以獲得2n元因此，從該游戲中獲得的期望收益元因此，從該游戲中獲得的期望收益是是1122nnn 然而，除非然而，除非 P P 很小，否則很少有人會(huì)很小，否則很少有人會(huì)參加這樣的游戲，這就意味著人們并不僅僅看到期望參加這樣的游戲，這就意味著人們并不僅僅看到期望收益收益 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，由馮在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，由馮 諾伊曼（諾伊曼（von Neumannvon

4、Neumann）和）和摩根斯特恩（摩根斯特恩（MorgensternMorgenstern）于）于 1947 1947 年引入的模型描年引入的模型描述了決策者怎樣在不確定的結(jié)果中做出選擇述了決策者怎樣在不確定的結(jié)果中做出選擇 一個(gè)評(píng)估財(cái)富一個(gè)評(píng)估財(cái)富 w w 的效用函數(shù)的效用函數(shù) u ， 決策決策基于期望基于期望E u wX 如如果果有有二二個(gè)個(gè)損失損失 X X，Y Y，比比較較E u wX與與)(YwuE的的大大小小來來決定決定 為比較X 和Y，成效函數(shù)與其線性變換是等價(jià)的，即無論選擇哪個(gè)成效函數(shù)會(huì)得出一樣的決策。 當(dāng)且僅當(dāng))(xubxau)(與與是等價(jià)的。是等價(jià)的。成效函數(shù)確實(shí)定成效函數(shù)是

5、存在的。但很難給出一個(gè)明確的解析式?？梢韵驔Q策都提出大量的問題，經(jīng)過他對(duì)這些問題的回答來決議該決策都的成效函數(shù)。如“為了防止以概率q損失1個(gè)單位貨幣，他情愿支付多少保費(fèi)這P？例例 1.2.2（偏好風(fēng)險(xiǎn)與厭惡風(fēng)險(xiǎn)）（偏好風(fēng)險(xiǎn)與厭惡風(fēng)險(xiǎn)） 假設(shè)一個(gè)擁有資假設(shè)一個(gè)擁有資本本 w 的個(gè)體使用效用函數(shù)的個(gè)體使用效用函數(shù) u 衡量其財(cái)富的價(jià)值他面衡量其財(cái)富的價(jià)值他面臨兩種選擇：臨兩種選擇： A 以概率以概率 1/2 損失損失 b 元，元， B 僅支付固定的僅支付固定的 b/2 元元 他的決策是這樣的：他的決策是這樣的： 當(dāng)當(dāng) b = 1 時(shí)，他選擇時(shí)，他選擇 A； 當(dāng)當(dāng) b =4 時(shí)，他選擇時(shí)，他選擇 B

6、； 當(dāng)當(dāng) b =2 時(shí)，兩種選擇等價(jià)時(shí)，兩種選擇等價(jià) 這個(gè)人喜歡一定程度的冒險(xiǎn)，但他又害怕大的損失。這個(gè)人喜歡一定程度的冒險(xiǎn)，但他又害怕大的損失。 （這樣的人會(huì)購(gòu)買火災(zāi)保單，同時(shí)愿意參與抽獎(jiǎng)的活動(dòng) ）（這樣的人會(huì)購(gòu)買火災(zāi)保單，同時(shí)愿意參與抽獎(jiǎng)的活動(dòng) ） 對(duì)于這樣的決策，效用函數(shù)對(duì)于這樣的決策，效用函數(shù) u 應(yīng)該具有怎樣的形式？應(yīng)該具有怎樣的形式？ 選擇 w=0假設(shè) 00u和11u 當(dāng)當(dāng)b = 1 b = 1 時(shí)，他選擇時(shí)，他選擇A A；當(dāng)當(dāng)b =4 b =4 時(shí)，他選擇時(shí)，他選擇B B；當(dāng)當(dāng)b =2 b =2 時(shí)，兩者等價(jià)時(shí)，兩者等價(jià))1()0(21)21(uuu)4()0(21)2(uuu這

7、既不是凸函數(shù)也不是凹函數(shù)。這既不是凸函數(shù)也不是凹函數(shù)。有艱苦的決策時(shí)，決策者往往在風(fēng)險(xiǎn)厭惡者。有艱苦的決策時(shí)，決策者往往在風(fēng)險(xiǎn)厭惡者。被保險(xiǎn)人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者。被保險(xiǎn)人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者。 風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的成效函數(shù)的特點(diǎn)：風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的成效函數(shù)的特點(diǎn)： 1 邊邊際際效效用用遞遞減減0)( xu； 2 凹凹函函數(shù)數(shù)0)( xu。 定理1.2.3 ( Jensen 不等式 假設(shè)是一個(gè)凸函數(shù)，Y 是一個(gè)隨機(jī)變量，那么其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)在Y 的支撐集上是線性的或Var (Y)=0，由此不等式可以得到，對(duì)于一個(gè)凹的成效函數(shù)，有被保險(xiǎn)人方面：被保險(xiǎn)人方面： 如果 u 是一個(gè)非減的連續(xù)函數(shù)，則有P P。 設(shè)保險(xiǎn)人的效用函

8、數(shù)為 U，資本為 W 如果 E U WPXU W,那么保險(xiǎn)人將以保費(fèi) P 承保損失 X 。 保險(xiǎn)人方面：保險(xiǎn)人方面：如如果果PP，那那么么交交易易會(huì)會(huì)同同時(shí)時(shí)增增加加保保險(xiǎn)險(xiǎn)人人與與被被保保險(xiǎn)險(xiǎn)人人雙雙方方的的期期望望效效用用。 買賣勝利！買賣勝利！實(shí)踐風(fēng)險(xiǎn)是中性的，即對(duì)于恣意的風(fēng)險(xiǎn)X，有期望保費(fèi)EX就夠了。由大數(shù)定律可知： EXnXXXn21風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)厭厭惡惡系系數(shù)數(shù)：效效用用函函數(shù)數(shù))(xu在在財(cái)財(cái)富富 W 處處的的風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)厭厭惡惡系系數(shù)數(shù))(wr為為 )( )( )(wuwuwr 記記和和2分分別別表表示示 X 的的均均值值與與方方差差 在后面式子的兩邊同時(shí)取期望，得到在后面式子的兩邊同時(shí)

9、取期望，得到例例 1.2.4 給給定定效效用用函函數(shù)數(shù) u x， 我我們們?nèi)缛绾魏谓扑朴?jì)計(jì)算算風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn) X 最最大大保保費(fèi)費(fèi)P？ 因此，風(fēng)險(xiǎn)因此，風(fēng)險(xiǎn)X 的最大保費(fèi)近似為的最大保費(fèi)近似為PP于是風(fēng)險(xiǎn)于是風(fēng)險(xiǎn)X 的最大保費(fèi)近似為的最大保費(fèi)近似為P留意到留意到 用交換時(shí)，并沒有改用交換時(shí)，并沒有改動(dòng)從動(dòng)從1.18) ，我們可以看到風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)真正，我們可以看到風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)真正反映了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的程度：對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越高，預(yù)反映了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的程度：對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越高，預(yù)備支付的保費(fèi)也越大備支付的保費(fèi)也越大 u x au xb r w.成效函數(shù)族例例1.3.1指數(shù)保費(fèi)指數(shù)保費(fèi) 假設(shè)一保險(xiǎn)人運(yùn)用參假設(shè)一保

10、險(xiǎn)人運(yùn)用參數(shù)為數(shù)為 的指數(shù)成效函數(shù)，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的指數(shù)成效函數(shù)，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)X ，最小，最小保費(fèi)保費(fèi) 應(yīng)為多少？應(yīng)為多少？Pa把 代入平衡方程1.11得 xU xeaa其中 是X 的矩母函數(shù) xxmE eaa假設(shè)損失假設(shè)損失X 服從服從 分布，其中分布，其中 表示參數(shù)為表示參數(shù)為 的指數(shù)分布令的指數(shù)分布令 0.01 ，那，那么么EX=100 ExpExp假設(shè)被保險(xiǎn)人的成效函數(shù)是參數(shù)為假設(shè)被保險(xiǎn)人的成效函數(shù)是參數(shù)為 的指數(shù)成效函數(shù)，的指數(shù)成效函數(shù)， 0.005a 因此被保險(xiǎn)人情愿在純保費(fèi)因此被保險(xiǎn)人情愿在純保費(fèi) 之上之上附加相當(dāng)數(shù)量的額外保費(fèi)附加相當(dāng)數(shù)量的額外保費(fèi) E X.6100由例1.2.4中近似式

11、(1.18)得顯然，近似表達(dá)式(1.22)隨 遞增，假設(shè)X 是方差有限的非負(fù)隨機(jī)變量，那么(1.20)所決議的保費(fèi)也是遞增的，詳細(xì)證明如下。令a由Jensen 不等式知取 那么 且expYX expv YXa對(duì)恣意 有a例例 1.3.2（平方效用函數(shù)）（平方效用函數(shù)） 假設(shè)被保險(xiǎn)人的效用函數(shù)為假設(shè)被保險(xiǎn)人的效用函數(shù)為5,10)(2wwwxu， 對(duì)損失額為， 對(duì)損失額為 1， 以概率， 以概率 1 / 2 發(fā)生的風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行承保的保單， 其最大保費(fèi)進(jìn)行承保的保單， 其最大保費(fèi) P作為作為)5 , 0( ww的函數(shù)是何的函數(shù)是何種形式？如果種形式？如果 w 增加，保費(fèi)會(huì)如何變化？增加，保費(fèi)會(huì)

12、如何變化？ 由方程(1.10)發(fā)生損失X 之后的期望成效為以及支付保費(fèi)P之后的成效為5 . 0),5(412112wwwP近似的最大保費(fèi)：例1.3.3不可保的風(fēng)險(xiǎn) 某決策者運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為 的指數(shù)成效函數(shù)，他想對(duì)分布為 的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)展投保，其中 表示參數(shù)為a, b的伽瑪分布確定 并證明 ，何時(shí) 此時(shí)闡明了什么？0a,1n,1nPPnP 由于 , 我們有 .因此 所以，計(jì)算出的保費(fèi)大于純保費(fèi)假設(shè) ，那么 ，這闡明決策者情愿支付任何有限的保費(fèi)按照成效實(shí)際，假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為 .那么承保該風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)人對(duì)于任何有限的保費(fèi)P，都會(huì)蒙受損失，由于 對(duì)于這些保險(xiǎn)人來說，這種風(fēng)險(xiǎn)是不可保的log 1,1,0 x

13、xxx log 1aa PE Xn1aP 1aP 1.4 停頓損失再保險(xiǎn)的最優(yōu)性 再保險(xiǎn)合同通常只承保保險(xiǎn)人的一部分風(fēng)險(xiǎn)停頓損失(再保險(xiǎn)承保損失超出指定免賠額的超額部分它的定義如下：假設(shè)發(fā)生的損失為X(我們假設(shè) ) . 那么理賠支付為0X 對(duì)于停頓損失保險(xiǎn)合同，其純保費(fèi) 稱為停頓損失保費(fèi)，記為EXd在離散情形， 為階梯函數(shù)，其在x 處的跳為 ；在延續(xù)情形， 有導(dǎo)函數(shù) 兩種情形下的停頓損失保費(fèi)都可由下式給出 XFx Xfx XFx Xfx為什么？定理定理1.4.l 停頓損失再保險(xiǎn)的最優(yōu)性用停頓損失再保險(xiǎn)的最優(yōu)性用 記當(dāng)損失為記當(dāng)損失為 時(shí)，某再保險(xiǎn)合同商定的理時(shí)，某再保險(xiǎn)合同商定的理賠支付假設(shè)賠支付假設(shè) 對(duì)于恣意對(duì)于恣意 成立成立,那那么么I X0X X 0I xx0 x 證明 由于 ，所以只需證明 E V XE W X上式成立的一個(gè)充分條件是上式成立的一個(gè)充分條件是