1、11.1 函數(shù)(hnsh)第1頁/共121頁第一頁，共122頁。2一、集合(jh)1. 集合(jh)的基本概念與運(yùn)算集合（簡(jiǎn)稱為集）是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念.集合通常理解為具有某種性質(zhì)的事物的全體(qunt). 集合中的每一個(gè)事物稱為該集合的元素. 某事物a與集合E具有下列兩種關(guān)系之一:(1) a是E的元素，記作aE; (2) a不是E的元素，記作aE. 由有限個(gè)元素組成的集合，可將它的元素一一列舉出來. 這種表示法稱為枚舉法. 例如： 由元素a1，a2，an組成的集合A，記作 A = a1，a2，an. 第2頁/共121頁第二頁，共122頁。3性質(zhì)描述法表示:設(shè)E是具有(jyu)性質(zhì)P的元素x的

2、全體所組成的集合，就記作 E = x | x具有(jyu)性質(zhì)P 或 E = x | P(x). 通常(tngchng)，以Z、Q、R和 C分別表示整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集. 如果集合A的元素都是集合B的元素，即若x A，則必有x B，就稱A是B的子集，記作AB或BA. 如果AB與AB同時(shí)成立，則稱A與B相等(xingdng)，記作A=B. 例如，設(shè)有集合A = -1，-2， B = x | x2+3x+2= 0，則A = B. 若AB且A B，則稱A是B的真子集，記作AB. 例如QR.第3頁/共121頁第三頁，共122頁。4不含任何元素的集合(jh)稱為空集，記作. 如集合(jh)

3、x | x R， x2 +1 = 0= .規(guī)定空集是任何集A的子集, 即 A.集合的基本(jbn)運(yùn)算有并、交、差： 設(shè)A和B是兩個(gè)集合,由A和B的所有元素構(gòu)成的集合,稱為A與B的并,記為AB,即AB=x | xA 或xB . 由A和B的所有公共元素構(gòu)成的集合,稱為A與B的交,記為AB,即AB=x | xA 且xB . 由屬于A而不屬于B的所有元素構(gòu)成的集合,稱為A與B的差,記為AB,即AB=x | xA 且xB . 第4頁/共121頁第四頁，共122頁。5 如果在某個(gè)過程中，我們所研究的對(duì)象同屬于某一個(gè)集合S, 那么這個(gè)集合稱為全集或基礎(chǔ)集. 本書在一般情況下用實(shí)數(shù)集R當(dāng)全集. 一般地, 設(shè)

4、A是全集S的子集,那么S中不屬于A的元素全體組成的集合稱為A的余集,記為 ,即 =S A.例如, 對(duì)于全集R, 子集A =x | 0 x 1的余集就是 =RA =x | x 0或x 1.AAA第5頁/共121頁第五頁，共122頁。62. 鄰域(ln y)、開集、閉集、區(qū)間 對(duì)于實(shí)數(shù)a及正數(shù) ，數(shù)集x | |x - a| 稱為a的 (以點(diǎn)a為中心、以 為半徑的) 鄰域,記作U(a; ) , 即U(a; )= x | |x - a| . 如圖1-1-1所示. 圖1-1-1第6頁/共121頁第六頁，共122頁。7 數(shù)集x | 0 |x - a| 稱為點(diǎn)a的去心 鄰域，記為 (a; ). 當(dāng)不強(qiáng)調(diào) 的

5、大小時(shí)，a的 鄰域和 去心鄰域分別簡(jiǎn)稱為a的鄰域和去心鄰域，并分別記作U(a) 和 (a).UU 設(shè)a與b是兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，且a b. 數(shù)集 x | a x b稱為開區(qū)間，記作(a, b)，即(a, b) = x | a x b，其中a與b稱為開區(qū)間(a, b)的端點(diǎn). 因此, 鄰域是一個(gè)以a為中心的開區(qū)間, 即U(a; ) = (a- , a+ ). 第7頁/共121頁第七頁，共122頁。8 數(shù)集 x | a x b稱為閉區(qū)間，記作a, b， 即a, b = x | a x b，其中a與b稱為閉區(qū)間a, b的端點(diǎn)(dun din). 數(shù)集a, b = x | a x b和 a, b = x

6、| a a , -, b ) = x | x b, -, + ) = x |- x + = R. a, + = x | x a，-, b = x | x b .這些區(qū)間在數(shù)軸上表示如圖1-1-2.圖1-1-2第9頁/共121頁第九頁，共122頁。10 對(duì)(a, b), -, b ), (a, +)和-, + )這四類區(qū)間做進(jìn)一步的分析發(fā)現(xiàn), 它們中的任何一點(diǎn)x0都至少存在一個(gè)鄰域U(x0)使得U(x0)整個(gè)被包含(bohn)于x0所在的區(qū)間. 一般地,設(shè)E是R的一個(gè)子集,若對(duì)任意x0E都存在U(x0)E,則稱E是一個(gè)開集. 因此, 這四種區(qū)間都是開集,特別, 開區(qū)間和鄰域U(a)都是開集. 設(shè)

7、F是R的一個(gè)子集,若存在開集E使得F=RE, 則稱F是一個(gè)閉集. 這就是說，閉集是開集的余集；反之，開集也是閉集的余集.于是，閉區(qū)間a, b, -, b 和 a, + 都是閉集. 第10頁/共121頁第十頁，共122頁。11二、函數(shù)(hnsh)的基本概念 1. 函數(shù)(hnsh)的定義 在生產(chǎn)、生活或科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，我們會(huì)遇到兩種類型的量：一種(y zhn)是在一定條件下保持不變的量，稱為常量，如每天的時(shí)間總量T都是24小時(shí)，地面上重力加速度g = 9.8m/s2，T和g是常量；另一種(y zhn)是在一定過程中變化著的量，稱為變量，如運(yùn)動(dòng)的路程及花費(fèi)的時(shí)間，一天之中的氣溫等. 第11頁/共12

8、1頁第十一頁，共122頁。12例1 正方形的面積S與它的邊長(zhǎng)a之間的關(guān)系可用S = a2來表示，即對(duì)任意的a0，面積S相應(yīng)地有一個(gè)確定的值. 例2 一個(gè)物體作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，出發(fā)后經(jīng)過t秒時(shí)所走過的路程s可按如下公式確定： s = a t2， t 0，T (其中a是加速度，T是最大運(yùn)動(dòng)時(shí)間).21第12頁/共121頁第十二頁，共122頁。13例3 漳州是水仙花的故鄉(xiāng). 漳州市郊區(qū)農(nóng)民近六年生產(chǎn)花卉出口創(chuàng)匯日益(ry)增加. 某村各年出口創(chuàng)匯的數(shù)量如下表所示:年度200120022003200420052006創(chuàng)匯金額（萬元）20102240380590880 以上三個(gè)例子都反映了兩個(gè)變量之間的

9、聯(lián)系，當(dāng)其中一個(gè)變量在某個(gè)數(shù)集內(nèi)取值時(shí)，另一個(gè)變量在另一數(shù)集內(nèi)有唯一的值與之對(duì)應(yīng). 兩個(gè)變量之間的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系反映了函數(shù)概念(ginin)的實(shí)質(zhì). 第13頁/共121頁第十三頁，共122頁。14定義 設(shè)D是實(shí)數(shù)(shsh)集R的一個(gè)非空子集，若對(duì)D中的每一個(gè)x，按照對(duì)應(yīng)法則f ，實(shí)數(shù)(shsh)集R中有唯一的數(shù)y與之相對(duì)應(yīng)，我們稱f為從D到R的一個(gè)函數(shù)，記作 f : D R y與x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系記作y = f (x)，并稱y為x的函數(shù)值；D稱為函數(shù)的定義域，數(shù)集稱為函數(shù)的值域. 若把x，y看成變量，則x稱為自變量，y稱為因變量. 當(dāng)值域f (D)僅由一個(gè)實(shí)數(shù)C組成的集合時(shí), f (x)稱為(c

10、hn wi)常值函數(shù). 這時(shí), f (x)C, 也就是說,我們把常量看成特殊的因變量. 第14頁/共121頁第十四頁，共122頁。15說明：(1) 為了使用方便并考慮傳統(tǒng)的表示習(xí)慣，我們常用“y = f (x)”表示函數(shù)，并稱“f (x)是x的函數(shù)(值)”. 當(dāng)強(qiáng)調(diào)定義域時(shí), 也常記作 y = f (x), x D.(2) 函數(shù)y = f (x)中表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的符號(hào)f也可改用其它字母，如“j”，“F”等等. 這時(shí)函數(shù)就記為y = j (x)，y = F (x)，等等. (3) 用y = f (x)表示一個(gè)函數(shù)時(shí)，f所代表(dibio)的對(duì)應(yīng)法則已完全確定，對(duì)應(yīng)于點(diǎn)x = x0的函數(shù)值記為f (

11、x0)或y|x=x0 .例如，設(shè)y = f (x) = ，它在點(diǎn) 的函數(shù)值分別為24x2, 0 xx0)2(4|, 204)0(|2220 xxyfy第15頁/共121頁第十五頁，共122頁。16(4) 從函數(shù)的定義知，定義域和對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的兩個(gè)基本要素，兩個(gè)函數(shù)相同當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同. (5) 在實(shí)際(shj)問題中，函數(shù)的定義域可根據(jù)變量的實(shí)際(shj)意義來確定；但在解題中，對(duì)于用表達(dá)式表示的函數(shù)，其省略未表出的定義域通常指的是:使該表達(dá)式有意義的自變量取值范圍. 第16頁/共121頁第十六頁，共122頁。17例4 求函數(shù) 的定義域. 1021log1yxx 112D

12、xx解: 要使函數(shù)式子有意義，x必須滿足 ，于是，所求函數(shù)的定義域?yàn)?01012xx第17頁/共121頁第十七頁，共122頁。182. 函數(shù)(hnsh)的表示法 (1) 解析法當(dāng)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則用數(shù)學(xué)式子表出時(shí)，這種表示函數(shù)的方法稱為解析法. 如都是解析法表示的函數(shù)，這是我們今后表達(dá)函數(shù)的主要形式. . 1|,11; 1, 3222xxyxxxy第18頁/共121頁第十八頁，共122頁。19例5 設(shè)x為任一實(shí)數(shù). 不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記為y = x， 則 . 這個(gè)函數(shù)稱為取整函數(shù). 56 . 4, 22, 3, 13, 043 一個(gè)函數(shù)也可以在其定義域的不同部分用不同的解析式表示

13、，如:例6 例7 絕對(duì)值函數(shù) . ).0 ,(,1, 0,21), 0(,2xxxxxy0,0,|xxxxxy第19頁/共121頁第十九頁，共122頁。20例8 . 易知，對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，都有x = (sgn x)| x |成立. 這個(gè)函數(shù)稱為符號(hào)函數(shù). 像例6、7、8這種形式的函數(shù)，稱為分段函數(shù). 0, 10, 00, 1sgnxxxxy第20頁/共121頁第二十頁，共122頁。21(2) 列表法 若函數(shù)y = f (x)采用含有自變量x的值與函數(shù)f (x)對(duì)應(yīng)值的表格來表示，則稱這種表示函數(shù)的方法為列表法. 如上述例3及通常所用(su yn)的三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表等等，都是用列表法表達(dá)函數(shù)的

14、例子. 第21頁/共121頁第二十一頁，共122頁。22(3) 圖像法 設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)镈. 那么，對(duì)于任意(rny)取定的x D，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為y = f (x). 這樣，以x為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo), 就在xOy平面上確定一點(diǎn)(x, y). 當(dāng)x遍取D上的每一個(gè)數(shù)值時(shí)，就得到平面點(diǎn)集C =( x, y)| y = f (x)，x D，稱其為函數(shù)y = f (x)的圖像. 采用圖像給出函數(shù)的方法稱為圖像法. 圖1-1-3、圖1-1-4與圖1-1-5就是用圖像法分別表示的取整函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)和符號(hào)函數(shù). 第22頁/共121頁第二十二頁，共122頁。23圖1-1-3第23頁/共1

15、21頁第二十三頁，共122頁。24圖1-1-4 第24頁/共121頁第二十四頁，共122頁。25圖1-1-5 第25頁/共121頁第二十五頁，共122頁。26三、函數(shù)(hnsh)的基本性質(zhì) 1. 函數(shù)(hnsh)的有界性 定義 設(shè)函數(shù)y = f (x)在某一實(shí)數(shù)集D1上有定義（即D1是f (x)的定義域D的子集），若存在常數(shù)(chngsh)M（或m）使得不等式f (x) M (或f (x) m)對(duì)所有x D1都成立，則稱函數(shù)y = f (x)在D1有上界（或有下界），同時(shí)稱M為f (x)在D1的一個(gè)上界（或m為f (x)在D1的一個(gè)下界）. 若f (x)在D1既有上界又有下界，則稱 f (x)

16、在D1有界，或f (x)在D1是有界函數(shù)，否則，則稱函數(shù)f (x)在D1上無界，或稱在D1上函數(shù)f (x)是無界函數(shù). 第26頁/共121頁第二十六頁，共122頁。272. 函數(shù)(hnsh)的單調(diào)性 定義 設(shè)函數(shù)y = f (x)在某一實(shí)數(shù)集D上有定義. 若對(duì)于任意的x1，x2 D，當(dāng)x1 x2時(shí)恒有(1) f (x1) f (x2)， 則稱f (x)在D上單調(diào)減少. 單調(diào)增加(zngji)與單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù). 注：把(1)中的條件改為f (x1) f (x2), 則稱f (x)在D上不減; 把(2)中的條件改為f (x1) f (x2)成立時(shí)，則稱f (x)在D上不增. 不增與不

17、減的函數(shù)統(tǒng)稱為廣義單調(diào)函數(shù). 第27頁/共121頁第二十七頁，共122頁。283. 函數(shù)(hnsh)的奇偶性 定義(dngy) 設(shè)實(shí)數(shù)集滿足：x D當(dāng)且僅當(dāng)-x D，則稱D是一個(gè)對(duì)稱集.設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義(dngy)域是一個(gè)對(duì)稱集且滿足f (-x) = f (x)，x D，則稱函數(shù)f (x)是偶函數(shù)；若且滿足f (-x) = - f (x)， 則稱函數(shù)f (x)是奇函數(shù). 偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.第28頁/共121頁第二十八頁，共122頁。294. 函數(shù)(hnsh)的周期性 定義 設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)榧疍. 若存在一個(gè)非零的數(shù)T，使得對(duì)

18、于任意x D，有xTD且f (xT) = f (x),則稱f (x)為周期函數(shù)，同時(shí)稱T為f (x)的周期. 顯然，若T為f (x)的一個(gè)周期，則2T，3T，4T，也都是它的周期，故周期函數(shù)有無限多個(gè)周期. 若在周期函數(shù)f (x)的所有正周期中有一個(gè)最小者，則稱這個(gè)(zh ge)最小者為函數(shù)f (x)的最小正周期. 通常所說的周期就是指最小正周期. 第29頁/共121頁第二十九頁，共122頁。30四、反函數(shù) 定義(dngy) 設(shè)已知函數(shù)y = f (x)，x D 的值域?yàn)閒 (D). 若對(duì)于f (D)中每一個(gè)值y，D中有唯一確定的值x使得f (x) = y，就在f (D)上定義(dngy)了一

19、個(gè)函數(shù)，稱其為函數(shù)y = f (x)的反函數(shù)，記為x = f -1(y)， y f (D).第30頁/共121頁第三十頁，共122頁。31 y = f (x)與x = f -1(y)互為反函數(shù). 習(xí)慣上把自變量記為x，因變量記為y， 所以反函數(shù)x = f -1(y)也可寫作y = f -1(x). 相對(duì)于反函數(shù)y = f -1(x)而言，原來的函數(shù)y = f (x)稱為直接函數(shù). 容易看出(kn ch)，在同一坐標(biāo)平面上，反函數(shù) y = f -1(x)與直接函數(shù)y = f (x)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱. 如圖1-1-8. 第31頁/共121頁第三十一頁，共122頁。32圖1-1-8第32

20、頁/共121頁第三十二頁，共122頁。33定理 單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù). 單調(diào)增加(zngji)的函數(shù)的反函數(shù)必單調(diào)增加(zngji)，單調(diào)減少的函數(shù)的反函數(shù)必單調(diào)減少. 例9 函數(shù)y = x2 在0，+上是單調(diào)增加(zngji)的，它的反函數(shù) y =在其定義域 0，+上也是單調(diào)增加(zngji)的函數(shù). 第33頁/共121頁第三十三頁，共122頁。34五、復(fù)合(fh)函數(shù) 例10 某汽車行駛10小時(shí)，每公里(n l)耗油量為0. 2公升，行駛速度為每小時(shí)60公里(n l). 于是汽車在行駛過程中，耗油量y是行駛距離s的函數(shù) y = f (s) = 0. 2 s， s 0，+，而行駛距離s又是行駛

21、時(shí)間t的函數(shù) s = g(t) = 60t， t 0，10. 因此，汽車的耗油量y，通過中間變量s與時(shí)間t建立了函數(shù)關(guān)系 y = 0. 2s = 0. 2 60t = 12t， t 0，10，在這個(gè)例子中，y與t的對(duì)應(yīng)關(guān)系是由兩個(gè)函數(shù)y = f (s)與s = g(t)復(fù)合而成的. 第34頁/共121頁第三十四頁，共122頁。35定義 已知兩個(gè)(lin )函數(shù)y = f (u)， u E; u = g(x)， x D. 設(shè)D1 = x | g(x)E，xD 是非空集，那么通過下式y(tǒng) = f (g(x)， x D1. 確定的函數(shù)，稱為是由函數(shù)u = g(x)與y = f (u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它

22、的定義域?yàn)榧疍1，變量u稱為中間變量. u = g(x)與y = f (u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)也常記做f g，即 y = (f g)(x) = f (g(x)， x D1.第35頁/共121頁第三十五頁，共122頁。36例11 設(shè)函數(shù) ，而 u= 1- x2， x D = ( ) . 求復(fù)合函數(shù). 解 設(shè)f (u) = ，g(x) =1- x2. 那么 D1 = x | g(x) E，x D = x | 1- x20，x ( ) = -1，1.因此得到的復(fù)合函數(shù)為 ，x -1，1. 21xyu), 0,Euuy第36頁/共121頁第三十六頁，共122頁。37六、初等(chdng)函數(shù)1. 基本(j

23、bn)初等函數(shù)包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等. 著重介紹冪函數(shù). 函數(shù) y = xm (其中m是常數(shù)) 叫做冪函數(shù). 冪函數(shù)y = xm 的定義域根據(jù)m的取值而定. 例如:當(dāng)m = 3時(shí)， y = x3的定義域是(-，+); 當(dāng)m = 時(shí)， 的定義域是0，+); 當(dāng)m = - 時(shí)， 的定義域是 (0，+). 但無論 m 取什么值，冪函數(shù)在(0，+)內(nèi)總有定義.21xxy2121xxy121第37頁/共121頁第三十七頁，共122頁。382. 初等(chdng)函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合(fh)所得到的且可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函

24、數(shù). 如：sin121xyx21,yx32arccos,1xyxx第38頁/共121頁第三十八頁，共122頁。39七、常用的經(jīng)濟(jì)(jngj)函數(shù)1. 需求(xqi)函數(shù) 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,某一商品的需求量是指關(guān)于一定的價(jià)格水平某一商品的需求量是指關(guān)于一定的價(jià)格水平,在一在一定的時(shí)間內(nèi)消費(fèi)者愿意而且有支付能力購(gòu)買的商品量定的時(shí)間內(nèi)消費(fèi)者愿意而且有支付能力購(gòu)買的商品量.通常用通常用Q表表示商品的需求量示商品的需求量, P表示它的價(jià)格表示它的價(jià)格, 在一定條件在一定條件(tiojin)下下, Q可視可視為為P的函數(shù)的函數(shù), 記作記作Q = f (P)或或Q = Q (P), 并稱之為需求函數(shù)并稱

25、之為需求函數(shù). 第39頁/共121頁第三十九頁，共122頁。40 根據(jù)市場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)，常采用如下四種類型的函數(shù)(hnsh): 線性函數(shù)(hnsh):Q = -aP+b, a0, b0; 冪函數(shù)(hnsh): Q=kP-a , k 0, a0;指數(shù)函數(shù)(hnsh):Q = ae-bP, a0, b0; 二次函數(shù)(hnsh): Q = P(a bP), a0, b0.第40頁/共121頁第四十頁，共122頁。412. 供給(gngj)函數(shù) 供給是與需求供給是與需求(xqi)相對(duì)的概念，需求相對(duì)的概念，需求(xqi)是就購(gòu)買者而是就購(gòu)買者而言，供給是就生產(chǎn)者而言的言，供給是就生產(chǎn)者而言

26、的.供給量是指生產(chǎn)者在某一時(shí)刻內(nèi)，在供給量是指生產(chǎn)者在某一時(shí)刻內(nèi)，在各種可能的價(jià)格水平上，對(duì)某種商品愿意并能夠出售的商品數(shù)量各種可能的價(jià)格水平上，對(duì)某種商品愿意并能夠出售的商品數(shù)量. 供給量也是由多個(gè)因素決定的，如果認(rèn)為在一定時(shí)間范圍內(nèi)除價(jià)格供給量也是由多個(gè)因素決定的，如果認(rèn)為在一定時(shí)間范圍內(nèi)除價(jià)格而外的其他因素變化很小，則供給量而外的其他因素變化很小，則供給量Q就是價(jià)格的函數(shù)，稱為供就是價(jià)格的函數(shù)，稱為供給函數(shù)給函數(shù). 記作記作Q=Q(P)或或Q = f (P).第41頁/共121頁第四十一頁，共122頁。42 根據(jù)市場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí),常采用(ciyng)如下三種類型的函數(shù): 線性

27、函數(shù):Q = aP-b, a0, b0; 冪函數(shù): Q = kPa , k 0, a0;指數(shù)函數(shù):Q = a ebP, a0, b0. 第42頁/共121頁第四十二頁，共122頁。433. 成本(chngbn)函數(shù) 某產(chǎn)品的總成本某產(chǎn)品的總成本C是指一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部資源是指一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部資源投入的價(jià)格或費(fèi)用的總額，它由固定成本投入的價(jià)格或費(fèi)用的總額，它由固定成本C1和可變成本和可變成本C2組成組成. 其中其中C1為常數(shù)，為常數(shù)，C2即為產(chǎn)量即為產(chǎn)量Q的函數(shù)，常表示成的函數(shù)，常表示成C2 = C2(Q). 同時(shí)用同時(shí)用C = C(Q)表示總成本函數(shù)，于是，總成本函數(shù)表示總成本函

28、數(shù)，于是，總成本函數(shù) C = C(Q)= C1+ C2(Q). 經(jīng)常還要研究由總成本函數(shù)派生的函數(shù)，如平均成本函數(shù)經(jīng)常還要研究由總成本函數(shù)派生的函數(shù)，如平均成本函數(shù) (Q): C12( )( )( )CC QC QC QQQQ第43頁/共121頁第四十三頁，共122頁。444. 收益(shuy)函數(shù) 總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部收入，總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部收入，因此總收益因此總收益R是出售量是出售量Q的函數(shù)的函數(shù)(hnsh)，稱為收益函數(shù)，稱為收益函數(shù)(hnsh)，記作，記作R=R(Q). 例如，當(dāng)某產(chǎn)品的價(jià)格為例如，當(dāng)某產(chǎn)品的價(jià)格為P，銷售，銷售量為量為Q時(shí)

29、，則銷售該產(chǎn)品的總收益為時(shí)，則銷售該產(chǎn)品的總收益為R=PQ.第44頁/共121頁第四十四頁，共122頁。455. 利潤(rùn)(lrn)函數(shù) 利潤(rùn)利潤(rùn)L是生產(chǎn)中獲得的總收益是生產(chǎn)中獲得的總收益(shuy)與投入的總成本之差，與投入的總成本之差，若收益若收益(shuy)函數(shù)函數(shù)R=R(Q)，總成本函數(shù)，總成本函數(shù)C(Q)都是產(chǎn)量或出售都是產(chǎn)量或出售量量Q的函數(shù)，則利潤(rùn)的函數(shù)，則利潤(rùn)L也是也是Q的函數(shù)，稱之為利潤(rùn)函數(shù)的函數(shù)，稱之為利潤(rùn)函數(shù). 那么，那么， L(Q) = R(Q) -C(Q). 第45頁/共121頁第四十五頁，共122頁。461.2 極限(jxin)第46頁/共121頁第四十六頁，共122頁

30、。47一、數(shù)列(shli)及數(shù)列(shli)的極限1. 數(shù)列(shli)極限的定義數(shù)列是按次序排列的一列數(shù) x1， x2，xn ，簡(jiǎn)記作xn. 準(zhǔn)確(zhnqu)地說, 數(shù)列是定義在正整數(shù)集N上的函數(shù) xn = f (n) ， n N,其中每一個(gè)n表示項(xiàng)數(shù), xn表示第n項(xiàng); 因?yàn)轫?xiàng)數(shù)n是一個(gè)變量, 故xn常稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng). 第47頁/共121頁第四十七頁，共122頁。48例例2 研究數(shù)列研究數(shù)列 1，-1，1，-1， 的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì).解解 該數(shù)列的通項(xiàng)為該數(shù)列的通項(xiàng)為xn = (-1)n+1. 當(dāng)當(dāng)n無限增大時(shí)，無限增大時(shí)， xn總在總在1和和 -1兩個(gè)數(shù)值兩個(gè)數(shù)值(shz)上

31、跳躍，永遠(yuǎn)不會(huì)趨近于一個(gè)固定的數(shù)上跳躍，永遠(yuǎn)不會(huì)趨近于一個(gè)固定的數(shù). 例例1 研究數(shù)列研究數(shù)列 的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì). 解解 該數(shù)列的通項(xiàng)為該數(shù)列的通項(xiàng)為 . 當(dāng)當(dāng)n無限增大時(shí)，無限增大時(shí)，2n也無限增也無限增大，其倒數(shù)大，其倒數(shù) 會(huì)隨之越變?cè)叫?，無限地趨近于會(huì)隨之越變?cè)叫。瑹o限地趨近于0. ,21,81,41,21, 1nnnx21n21例例3 研究數(shù)列研究數(shù)列 的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì). 解解 該數(shù)列的通項(xiàng)為該數(shù)列的通項(xiàng)為 . 當(dāng)當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)無限增大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)xn將大于任意給定的正數(shù)將大于任意給定的正數(shù). ,4, 3,2, 1nnxn第48頁/共121頁第四十八頁，共122頁

32、。49 上述三個(gè)數(shù)列，當(dāng)上述三個(gè)數(shù)列，當(dāng)n無限增大時(shí)的變化趨勢(shì)各不相同，可歸無限增大時(shí)的變化趨勢(shì)各不相同，可歸納為兩種情形納為兩種情形. 第一種情形第一種情形: 數(shù)列數(shù)列xn隨著隨著n的無限增大而（無限）趨于某一個(gè)的無限增大而（無限）趨于某一個(gè)(y )固定的常數(shù)固定的常數(shù)a；這時(shí)稱；這時(shí)稱xn為收斂數(shù)列，常數(shù)為收斂數(shù)列，常數(shù)a為該數(shù)列的為該數(shù)列的極限；極限；第二種情形第二種情形: 數(shù)列數(shù)列xn隨著隨著n的無限增大而不趨于任何確定的常的無限增大而不趨于任何確定的常數(shù)數(shù). 這時(shí)稱這時(shí)稱xn為不收斂為不收斂. 第49頁/共121頁第四十九頁，共122頁。50定義定義1 設(shè)設(shè)xn是一個(gè)數(shù)列是一個(gè)數(shù)列,

33、 a是一個(gè)常數(shù)是一個(gè)常數(shù). 如果對(duì)任給的如果對(duì)任給的 0，總存在一個(gè)正整數(shù)，總存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)，使得當(dāng)n N時(shí)總有時(shí)總有| xn- a| N時(shí)總有時(shí)總有因此因此 . 12nx11lim22nnn 112Nnnnxn21212121n2121n111222nnxn11lim22nnn 第51頁/共121頁第五十一頁，共122頁。522. 收斂數(shù)列(shli)的性質(zhì)定理1 (唯一性) 若數(shù)列(shli)xn收斂，則它只有一個(gè)極限. 對(duì)于數(shù)列xn，如果(rgu)存在一個(gè)正數(shù)，使對(duì)一切nN，都有| xn | M，就稱xn為有界數(shù)列，否則就稱xn為無界數(shù)列.定理2 (有界性) 若數(shù)列xn收斂，則

34、它必為有界數(shù)列. 定理3 (保號(hào)性) 若 (或aN時(shí)，都有xn 0 (或xn 0，作平行于x軸的兩條直線y =A- 與y =A+ ，總可找到點(diǎn)x0的一個(gè) 鄰域，使得當(dāng) 且 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足: A- f (x) X時(shí)，f (x)都滿足不等式 ，則稱當(dāng)x時(shí)，f (x)有極限（收斂）且A為f (x)的極限，記作 或 . 如果滿足上述條件的常數(shù)不存在，則稱當(dāng)x時(shí)，f (x)的極限不存在（不收斂）. Axf Axfxlim xAxf第56頁/共121頁第五十六頁，共122頁。57例7 證明 . 證 對(duì)于任給 ，由于只要取 ，于是對(duì)于適合|x|X的所有x，不等式 成立. 所以 . 1lim0 xx01

35、10 xx1X10 x1lim0 xx第57頁/共121頁第五十七頁，共122頁。58單側(cè)極限(jxin) 定義4 設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0的左側(cè)有定義,而A是常數(shù). 如果對(duì)任給的正數(shù) ，總有某一正數(shù) ，使得當(dāng)時(shí)，f (x)都滿足不等式 成立，則稱當(dāng)x趨于x0時(shí)，f (x)有左極限且A為f (x)的左極限，記作 , f (x) A（xx0-）或 . fxA 0limxxf xA00fxA00 xxx第58頁/共121頁第五十八頁，共122頁。59類似可給出 當(dāng)x趨于x0時(shí)，A為f (x)的右極限的定義，記作 , f (x) A（xx0+）或 . 0limxxf xA00fxA定理4 當(dāng)xx0時(shí)

36、，函數(shù)f (x)極限存在的充要條件是當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)f (x)的左、右極限都存在且相等，即這里A是一個(gè)確定的數(shù). 000limlimlimxxxxxxf xAf xf xA第59頁/共121頁第五十九頁，共122頁。60例8 設(shè)函數(shù) ，求 和 . 00, 1,xxxxf xfx0lim xfx0lim解 根據(jù)函數(shù)的定義知, f (x)當(dāng)x0時(shí)的左極限為 ；f (x) 當(dāng)x0時(shí)的右極限為 .由此可知，f (x)當(dāng)x0時(shí)的極限不存在. 0limlim00 xxfxx 11limlim00 xxxf第60頁/共121頁第六十頁，共122頁。61定義5 設(shè)函數(shù)f (x)當(dāng) x 大于某一正數(shù)（或小于某一

37、負(fù)數(shù)）時(shí)有定義,而A是常數(shù). 如果對(duì)于任給的正數(shù) ，總有某一個(gè)正數(shù)X，使得對(duì)于當(dāng) x X（或相應(yīng)地x - X）時(shí)，f (x)都滿足不等式 | f (x) - A| 0. 由極限定義，存在 ，使得當(dāng) 時(shí)，有 ; 而當(dāng) 時(shí)，有 . 取 ，則當(dāng) 時(shí)，總有 ,矛盾. 所以有ab.axfxx)(lim00lim( )xxf xbba 0, 02110|0 xx2|)(|axf020 |xx|( )|2f xb12min , 00 |xx| |( )|( )|22abf xaf xbab第63頁/共121頁第六十三頁，共122頁。64證 由于 ，所以對(duì)正數(shù) ，存在正數(shù) ，使得當(dāng)x滿足 時(shí)，都有于是，有記M

38、 =1+| a |，則對(duì)任意滿足 的x都有| f (x)| M. , 1|)(|0axfaxfxx)(lim0|00 xx|,|1|)(| )(|0aaaaxfxf|00 xx定理6 (局部有界性) 若 ，則存在正數(shù)M和正數(shù) ，使得當(dāng) 時(shí)，都有axfxx)(lim0|00 xx.| )(|Mxf第64頁/共121頁第六十四頁，共122頁。65定理7(局部保號(hào)性) 若 且a 0（或a 0（或f (x) 0. 由于 0，所以對(duì)正數(shù) ，存在 0，使得當(dāng)0 | x-x0| 時(shí)有 . 因此， .對(duì)a N0時(shí)，均有 ，則 . .limlimayxnnnnnnnyzxaznnlim準(zhǔn)則I (函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)

39、則) 如果在a的去心鄰域有 ，并且 ，則 . xhxgxf Axhxfaxaxlimlim Axgaxlim第74頁/共121頁第七十四頁，共122頁。75遞增(dzng)數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列. 如果數(shù)列an滿足條件 ，就稱an是遞增的或單調(diào)增加的; 如果數(shù)列an滿足條件 ，就稱an是遞減的或單調(diào)減少的. 1321nnaaaaa1321nnaaaaa準(zhǔn)則(zhnz)II(單調(diào)有界準(zhǔn)則(zhnz) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 注 與單調(diào)函數(shù)指嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)不同，習(xí)慣上把廣義(gungy)單調(diào)數(shù)列稱為單調(diào)數(shù)列.第75頁/共121頁第七十五頁，共122頁。76二、兩個(gè)(lin )重要極限重要極限1

40、: . （利用準(zhǔn)則I來證明）1sinlim0 xxx例1 求 .解 . xxx3tanlim033cos1lim33sinlim33cos133sinlim33tanlim030300 xxxxxxxxxxxx第76頁/共121頁第七十六頁，共122頁。77例2 求 . 20cos1limxxx解 因?yàn)?，所以 .22222222sin2122sin212sin2cos1xxxxxxxx20cos1limxxx2022sin21limxxx2112122sinlim21202xxx第77頁/共121頁第七十七頁，共122頁。78重要極限2: . （利用準(zhǔn)則II證明存在性）1lim 1nnen例

41、3 求 . 解 令 ，則 時(shí)， . 于是 .2lim 1xxx2xtx t 222111lim11lim21limettxttttxx第78頁/共121頁第七十八頁，共122頁。79例4 求 .10lim 1 2xxx解 令t = 2x,那么當(dāng)x0 時(shí)有t0. 因此, .20lim 1ttt120lim1ttt1220lim 1ttte10lim 12xxx第79頁/共121頁第七十九頁，共122頁。801.5 無窮小與無窮大、無窮小的比較(bjio)第80頁/共121頁第八十頁，共122頁。81一、無窮小及其性質(zhì)(xngzh)定義1 如果f (x)當(dāng)xx0 （或x）時(shí)以0為極限(jxin)，

42、則稱 f (x)是當(dāng)xx0 （或x）時(shí)的無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮小. 例如，當(dāng)x1時(shí)，x1是一個(gè)無窮小; 當(dāng)x 時(shí)， 是一個(gè)無窮小等等. 1x定理1 若 ，則 是當(dāng) 時(shí)的無窮小. 0 xx fxA 0limxxf xA第81頁/共121頁第八十一頁，共122頁。82 根據(jù)極限性質(zhì)及四則運(yùn)算法則，可以(ky)證明下列無窮小的性質(zhì)（1）和（3）:(1) 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和是無窮小. (2) 有界變量與無窮小的乘積是無窮小. (3) 有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小. 第82頁/共121頁第八十二頁，共122頁。83證明(zhngmng)性質(zhì)（2）. 設(shè)在x0的某個(gè)去心鄰域 ，g(x)為無窮小，f (x)為有

43、界函數(shù). 那么存在常數(shù)M 0使得| f (x)| M在 成立；同時(shí)，對(duì)任意 0, 存在 0使得當(dāng) 時(shí)都有| g(x) |K)時(shí)，都有| f (x)| M， 則稱f (x)是當(dāng)xx0（或x)時(shí)的無窮大. 00 xxx2第85頁/共121頁第八十五頁，共122頁。86例2 證明 是 時(shí)的無窮大. 11x1x 證 對(duì)任意給定的正數(shù)M，取正數(shù) ，那么，當(dāng) 時(shí)有 ， 所以， 是 時(shí)的無窮大. 1M01x11Mx11x1x 第86頁/共121頁第八十六頁，共122頁。87定理2 在同一變化過程中，(1) 若f (x)為無窮大，則 為無窮小;(2) 若f (x)為無窮小且f (x) 0，則 為無窮大. xf

44、1 xf1第87頁/共121頁第八十七頁，共122頁。88例3 求 .2221lim32xxxx解 當(dāng)x2 時(shí)分母的極限為0，不能直接應(yīng)用商的極限運(yùn)算法則. 但是，由于分子的極限不為0，因此, 可以先求原式倒數(shù)的極限 = 0，再利用無窮小與無窮大的關(guān)系，得 = .2232lim21xxxx2221lim32xxxx第88頁/共121頁第八十八頁，共122頁。89三、無窮小的比較(bjio)定義 設(shè)u，v是同一變化過程的兩個(gè)無窮小，即 （如果u，v是數(shù)列，lim應(yīng)理解為 ，否則，u，v是同一自變量的函數(shù)，則lim應(yīng)理解為 、 或其它單側(cè)極限過程）.又設(shè)v 0,并用 表示這一變化過程的極限.lim

45、0v lim0,u limn0limxxlimxlimuv第89頁/共121頁第八十九頁，共122頁。90(1) 若 ，則稱u為比v高階的無窮小，記為 ;(2) 若 ，則稱u為比v低階的無窮小;(3) 若 ，則稱u與v是同階無窮小;特別地, 若 ，則稱u與v是等價(jià)無窮小，記為u v. (4)如果存在正整數(shù)k和常數(shù)c 0,使得 ，則稱u是v的k階無窮小.lim1uvlimuv lim0ua avlim0uv vou cvuklim第90頁/共121頁第九十頁，共122頁。91例如， 由 ， ， ， 知，當(dāng)x0時(shí) ， ; 當(dāng)x時(shí)， 與 是同階無窮小;當(dāng)x1時(shí)，x-1是比(x-1)2低階的無窮小.

46、02lim20 xxx1sinlim0 xxx2111limxxx21211limxxxxox22xx sin1x121x第91頁/共121頁第九十一頁，共122頁。92例4 證明：當(dāng)x0時(shí)，tan x -sin x x3.21證 利用三角公式變形得: .由于 , 再由1.4例2知, . 故由極限的四則運(yùn)算法則得 所以tan x -sin x x3.3212tansinsin1 cos12cosxxxxxxxx0sinlim1xxx201cos1lim2xxx32100002tansinsin1 cos1lim2limlimlim1 .cosxxxxxxxxxxxx12第92頁/共121頁第九

47、十二頁，共122頁。93定理1 u 與 v是等價(jià)無窮小的充分(chngfn)必要條件是u = v +o(v).定理2 設(shè)u u , v v 且存在 , 則存在 且 .limuvlimuvlimlimuuvv第93頁/共121頁第九十三頁，共122頁。94例5 求 .xxxx203tanlim解 當(dāng)x0時(shí), tan x x, 無窮小3x2+x 與自身等價(jià), 所以 . 2000tan1limlimlim13(31)31xxxxxxxxxx第94頁/共121頁第九十四頁，共122頁。95注意：記住一些常用(chn yn)的等價(jià)無窮小,這對(duì)于求極限運(yùn)算常帶來許多方便. 同時(shí)應(yīng)該注意, 等價(jià)無窮小只適用

48、于代替分子或分母的因子, 不可隨意代替非因子的式子. 比如,在例4求極限時(shí), 若把分子tan x sin x分別用tan x和sin x的等價(jià)無窮小代入, 將出現(xiàn)如下錯(cuò)誤:第95頁/共121頁第九十五頁，共122頁。961.6 函數(shù)(hnsh)的連續(xù)性第96頁/共121頁第九十六頁，共122頁。97一、函數(shù)(hnsh)連續(xù)性的概念 假定函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量從 x0變化到x時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從f (x0)變化到f (x)，稱x = x - x0為自變量x（在點(diǎn)x0）的改變量或增量. 相應(yīng)地，把 y = f (x) -f (x0) 即y = f (x0+x)- f

49、 (x0)稱為函數(shù)y（在點(diǎn)x0）的改變量或增量應(yīng)注意(zh y)，自變量的增量x和函數(shù)的增量y可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)或0第97頁/共121頁第九十七頁，共122頁。98定義1 設(shè)函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果那么就稱函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0連續(xù), 0)()(limlim0000 xfxxfyxx 由于 等價(jià)于 ， 等價(jià)于 ，因此函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0連續(xù)等價(jià)于 所以，函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0連續(xù)的定義又可敘述為：對(duì)任意的 ，總存在 ，使得當(dāng) 時(shí)，有 0 x0 xx 0y)()(0 xfxf)()(lim00 xfxfxx000 xx)()(0 xfx

50、f第98頁/共121頁第九十八頁，共122頁。99 如果 f (x)在區(qū)間I的每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，則稱y = f (x)在I上連續(xù)或y = f (x)是I上的連續(xù)函數(shù)，這里對(duì)于區(qū)間的端點(diǎn)(dun din)(如果它屬于I的話)只要求單側(cè)(左或右)連續(xù). 定義2 若函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0的某右（左）鄰域內(nèi)有定義，如果那么就稱函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0右（左）連續(xù).)()(lim00 xfxfxx,)()(lim00 xfxfxx第99頁/共121頁第九十九頁，共122頁。100定理1 函數(shù)(hnsh)f (x)在點(diǎn)x0連續(xù)的充要條件是：f (x)在x = x0既是右連續(xù)的，又是左連續(xù)的例1 證明正

51、弦函數(shù)y = sin x在(- , + )上連續(xù)證 對(duì)任意x0 (- , + )，由和差化積公式得 .因?yàn)?所以 故y = sin x在x0點(diǎn)連續(xù)，由x0 (- , + )的任意性可知，y = sin x在 (- , + ) 連續(xù)2sin)2cos(2sin)sin(000 xxxxxxy, 02sinlim, 1| )2cos(|00 xxxx0lim0 xy 第100頁/共121頁第一百頁，共122頁。101二、函數(shù)(hnsh)的間斷點(diǎn)及其分類 根據(jù)函數(shù)根據(jù)函數(shù)y = f (x)在在x0點(diǎn)處連續(xù)的定義可知，函數(shù)點(diǎn)處連續(xù)的定義可知，函數(shù)f (x)在在x0點(diǎn)處連續(xù)必須且只需同時(shí)滿足下面三個(gè)條件

52、：點(diǎn)處連續(xù)必須且只需同時(shí)滿足下面三個(gè)條件：(1) f (x)在在x0處有定義；處有定義；(2) 存在，即存在，即 存在且存在且相等；相等； (3)(lim0 xfxx)0()0(00 xfxf與)()(lim00 xfxfxx第101頁/共121頁第一百零一頁，共122頁。102 如果這三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足，也就是說，如果如果這三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足，也就是說，如果f (x)在在x0無定義；或者無定義；或者 f (x)在在x0雖有定義但在雖有定義但在x0的極限不存的極限不存在；或者在；或者f (x)在在x0有定義，極限也存在，但極限值不等于有定義，極限也存在，但極限值不等于(dngy)f (

53、x0)，則，則f (x)在在x0處不連續(xù)使函數(shù)處不連續(xù)使函數(shù)f (x)不連續(xù)的不連續(xù)的點(diǎn)點(diǎn)x0稱為稱為f (x)的間斷點(diǎn)通常將函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：一的間斷點(diǎn)通常將函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：一類是左右極限都存在的間斷點(diǎn)，稱為第一類間斷點(diǎn)；不是類是左右極限都存在的間斷點(diǎn)，稱為第一類間斷點(diǎn)；不是第一類的間斷點(diǎn)，都稱為第二類間斷點(diǎn)第一類的間斷點(diǎn)，都稱為第二類間斷點(diǎn)第102頁/共121頁第一百零二頁，共122頁。103例3 考察函數(shù) 由于它在x =1處無定義，所以x =1是間斷點(diǎn)又因?yàn)樗詘 =1是第一類間斷點(diǎn). 同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，只要補(bǔ)充定義f (1) = 2，則所給函數(shù)在x = 1處就連續(xù)了11)(2xx

54、xf, 2) 1(lim11lim)(lim1211xxxxfxxx 一般地，若x0是函數(shù)f (x)的間斷點(diǎn)且 存在，則稱x0為函數(shù)f (x)的可去間斷點(diǎn). 對(duì)于f (x)的可去間斷點(diǎn)x0，可用f (x)在x0的極限值來補(bǔ)充或修改f (x)在x0處的定義，得到在x0處連續(xù)的函數(shù). )(lim0 xfxx第103頁/共121頁第一百零三頁，共122頁。104例4考察函數(shù) 的間斷點(diǎn). 010, 00, 1)(xxxxxxf 由于 ， ，即函數(shù)在x = 0處的左右極限存在，但不相等，故極限 不存在，所以點(diǎn)x = 0是函數(shù)f (x)的第一類間斷點(diǎn), 但不是可去的.這種左右極限都存在但不相等的間斷點(diǎn)又稱

55、為跳躍間斷點(diǎn)1) 1(lim)(lim00 xxfxx1) 1(lim)(lim00 xxfxx)(lim0 xfx第104頁/共121頁第一百零四頁，共122頁。105例5考察函數(shù) 的間斷點(diǎn). 該函數(shù)在 x = 0沒定義，點(diǎn)x = 0是它的間斷點(diǎn)由于當(dāng) 時(shí)， 的左右極限都不存在, 所以點(diǎn)x = 0是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn). 實(shí)際上, 當(dāng) 時(shí)函數(shù)值在1與1之間變動(dòng)無限多次，因此, 這種間斷點(diǎn)也稱為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)xy1sinxy1sin0 x0 x第105頁/共121頁第一百零五頁，共122頁。106 根據(jù)定義(dngy)知,可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)都是第一類間斷點(diǎn)，振蕩間斷點(diǎn)和無窮間斷點(diǎn)都是第二類

56、間斷點(diǎn). 例6考察正切函數(shù) 在 的間斷點(diǎn). 因?yàn)?，所以點(diǎn) 是函數(shù) 的第二類間斷點(diǎn); 同時(shí)，根據(jù)它的極限狀態(tài)，我們又稱是函數(shù) 的無窮間斷點(diǎn)xytanxxtanlim22x2xxytanxytan0,第106頁/共121頁第一百零六頁，共122頁。107三、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性 定理定理(dngl)2 有限個(gè)在同一個(gè)點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連有限個(gè)在同一個(gè)點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)續(xù)的函數(shù)定理定理3 有限個(gè)在同一個(gè)點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積有限個(gè)在同一個(gè)點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積(chngj)是一是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)定理定理4 兩個(gè)在同一個(gè)點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個(gè)在

57、該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)，兩個(gè)在同一個(gè)點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)，只要只要(zhyo)分母在該點(diǎn)不為零分母在該點(diǎn)不為零第107頁/共121頁第一百零七頁，共122頁。108例例7考察函數(shù)考察函數(shù)tan x 和和cot x 的連續(xù)性的連續(xù)性. 解解 因因 ，而，而sin x和和cos x都在區(qū)間都在區(qū)間(- , + )內(nèi)連續(xù)，故由定理內(nèi)連續(xù)，故由定理4知知tan x和和cot x在它們的定在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的義域內(nèi)是連續(xù)的 xxxxxxsincoscot,cossintan第108頁/共121頁第一百零八頁，共122頁。109四、反函數(shù)與復(fù)合(fh)函數(shù)的連續(xù)性 定理定理5如果函數(shù)如果函數(shù)

58、y = f (x)在區(qū)間在區(qū)間I上單調(diào)增加上單調(diào)增加(zngji)（或單調(diào)（或單調(diào)減少）且連續(xù)，那么減少）且連續(xù)，那么f (x)的值域的值域J = f ( I )也是一個(gè)區(qū)間，且也是一個(gè)區(qū)間，且反函數(shù)反函數(shù)x = f -1(y)在在J上也單調(diào)增加上也單調(diào)增加(zngji)（或單調(diào)減少）（或單調(diào)減少）且連續(xù)且連續(xù)第109頁/共121頁第一百零九頁，共122頁。110例例8考查考查y = arcsin x在區(qū)間在區(qū)間1，1上的單調(diào)性與連續(xù)性上的單調(diào)性與連續(xù)性. 解解 由于由于y = sin x在區(qū)間在區(qū)間 上單調(diào)增加且連續(xù)，值域?yàn)樯蠁握{(diào)增加且連續(xù)，值域?yàn)?，1，所以它的反函數(shù)，所以它的反函數(shù)y =

59、 arcsin x在區(qū)間在區(qū)間1，1上上也單調(diào)增加且連續(xù)也單調(diào)增加且連續(xù)同樣，應(yīng)用定理可證：反三角函數(shù)同樣，應(yīng)用定理可證：反三角函數(shù)arcsin x，arccos x ，arctan x，arccot x在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的2,2第110頁/共121頁第一百一十頁，共122頁。111定理定理7設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在x=x0點(diǎn)連續(xù)且點(diǎn)連續(xù)且 ，而，而函數(shù)函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)在點(diǎn)u=u0連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)x=x0也是連續(xù)的也是連續(xù)的.)(xu)(xf00)(ux定理定理6設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)的極限存在且等于時(shí)的極限存在且等于a， 即即而函數(shù)而函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)u=a連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)當(dāng)當(dāng) 時(shí)的極限也存在且等于時(shí)的極限也存在且等于f (a)，即，即 )(xu0 xx 0lim( )xxxa)(ufy )(xfy).()(lim0afxfxx0 xx 第111頁/共121頁第一百一十一頁，共122頁。112五、初等(chdng)函數(shù)的連續(xù)性 定理定理(dngl)8 基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連