1、返回返回稱為質(zhì)點的動量矩，也就是物理學(xué)中的角動量。稱為質(zhì)點的動量矩，也就是物理學(xué)中的角動量。 iiiOim vrL質(zhì)點的動量矩是定位矢，其作用點在所選定的矩心質(zhì)點的動量矩是定位矢，其作用點在所選定的矩心O上。上。 考察由考察由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，如圖所示。其中第，如圖所示。其中第i個質(zhì)點的質(zhì)個質(zhì)點的質(zhì)量、位矢和速度分別為量、位矢和速度分別為mi 、ri 、 vi 。質(zhì)點的動量對點。質(zhì)點的動量對點O之矩為之矩為 質(zhì)點系的動量矩即是動量系的主質(zhì)點系的動量矩即是動量系的主矩，它是質(zhì)點系中各質(zhì)點的動量矩，它是質(zhì)點系中各質(zhì)點的動量對點對點O之矩的矢量和：之矩的矢量和： iiiiOm

2、vrL質(zhì)點系的動量矩是定位矢，其作用點在所選矩心質(zhì)點系的動量矩是定位矢，其作用點在所選矩心O上。它是度上。它是度量質(zhì)點系整體運動的又一基本特征量。量質(zhì)點系整體運動的又一基本特征量。 平移剛體對平移剛體對O點的動量矩點的動量矩 設(shè)剛體饒定軸設(shè)剛體饒定軸z轉(zhuǎn)動，如圖所示，轉(zhuǎn)動，如圖所示，其角速度與角加速度分別為其角速度與角加速度分別為和和 。剛體上第剛體上第i個質(zhì)點的質(zhì)量為個質(zhì)點的質(zhì)量為mi，到軸，到軸z的距離為的距離為ri ，則剛體對定軸的動量矩，則剛體對定軸的動量矩為為ziiiiiiizJrmrrmL)(2Jz稱為剛體對軸稱為剛體對軸z的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量(moment of inertial

3、)。 2zi iiJmr這表明：定軸轉(zhuǎn)動剛體對于轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛這表明：定軸轉(zhuǎn)動剛體對于轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。 對于簡單形狀均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量，有表可查。在計對于簡單形狀均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量，有表可查。在計算時還要特別說明以下兩點：算時還要特別說明以下兩點： 若已知剛體對某軸若已知剛體對某軸z的回轉(zhuǎn)半徑的回轉(zhuǎn)半徑z和剛體的質(zhì)量和剛體的質(zhì)量m，則其轉(zhuǎn)，則其轉(zhuǎn)動慣量可按下式計算動慣量可按下式計算剛體對任一軸剛體對任一軸z的回轉(zhuǎn)半徑或慣性半徑為的回轉(zhuǎn)半徑或慣性半徑為 1. 回轉(zhuǎn)半徑（或稱慣性半徑）回轉(zhuǎn)半徑（或稱慣性半徑）1. 回轉(zhuǎn)半徑（

4、或稱慣性半徑）回轉(zhuǎn)半徑（或稱慣性半徑） 上式表明，若將物體的質(zhì)量全部集中于一點，并上式表明，若將物體的質(zhì)量全部集中于一點，并令該質(zhì)點對于令該質(zhì)點對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量等于物體的轉(zhuǎn)動慣量，軸的轉(zhuǎn)動慣量等于物體的轉(zhuǎn)動慣量，則質(zhì)點到則質(zhì)點到z軸垂直距離即為回轉(zhuǎn)半徑。軸垂直距離即為回轉(zhuǎn)半徑。2平行移軸定理平行移軸定理2平行移軸定理平行移軸定理上述關(guān)系稱為上述關(guān)系稱為平行移軸定理平行移軸定理，它表明，它表明，剛體對任一軸剛體對任一軸z的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對通過質(zhì)心并與軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對通過質(zhì)心并與軸z平行的軸平行的軸zC的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體質(zhì)量與兩軸間距離平

5、方的乘積。積。返回返回返回返回 Oxyz為固定坐標系，建立在質(zhì)心為固定坐標系，建立在質(zhì)心C上隨質(zhì)心平移的動坐上隨質(zhì)心平移的動坐標系為標系為Cxyz 。質(zhì)點系內(nèi)第。質(zhì)點系內(nèi)第i個質(zhì)點的質(zhì)量為個質(zhì)點的質(zhì)量為mi ，相對質(zhì)心，相對質(zhì)心的位矢為的位矢為r i ，相對質(zhì)心的速度為，相對質(zhì)心的速度為vir 。 根據(jù)動量矩定義，質(zhì)點系相對質(zhì)心的動根據(jù)動量矩定義，質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩應(yīng)為量矩應(yīng)為 iiiCm vrL其中其中vi為第為第i個質(zhì)點的絕對速度。個質(zhì)點的絕對速度。r iCivvv則有則有 rr()()LrvvrvrvCiiCiiiCiiimmmrrvrvCCiiimmr0rviiimiiiCm vr

6、Lrrviiim 可見，計算質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩，用絕對速度和相對可見，計算質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩，用絕對速度和相對速度結(jié)果都是一樣的。對于一般運動的質(zhì)點系，通常可分解速度結(jié)果都是一樣的。對于一般運動的質(zhì)點系，通?？煞纸鉃殡S質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，因此，用上式中的第二項為隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，因此，用上式中的第二項計算質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩更方便些。計算質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩更方便些。 返回返回 設(shè)剛體繞定軸設(shè)剛體繞定軸z轉(zhuǎn)動，如圖所示，其轉(zhuǎn)動，如圖所示，其角速度與角加速度分別為角速度與角加速度分別為和和 。剛體。剛體上第上第i個質(zhì)點的質(zhì)量為個質(zhì)點的質(zhì)量為mi，到軸，到軸z的距離的距

7、離為為ri ，則剛體對定軸的動量矩為，則剛體對定軸的動量矩為ziiiiiiizJrmrrmL)(2其中，其中，Jz為剛體對軸為剛體對軸z的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量(moment of inertial)。 圖示鐘擺簡化模型中，已知均質(zhì)細圖示鐘擺簡化模型中，已知均質(zhì)細桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量分別為桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量分別為m1 、m2 ，桿長為桿長為l，圓盤直徑為，圓盤直徑為d。試求：試求：鐘擺作小擺動時的周期。鐘擺作小擺動時的周期。 分析受力，建立鐘擺的運動微分方程分析受力，建立鐘擺的運動微分方程zzJM12sin()sin22oldJm gm g l m2gFxFy 解：解：擺繞擺繞O軸作定軸轉(zhuǎn)動。設(shè)軸作

8、定軸轉(zhuǎn)動。設(shè) 為為任意時刻轉(zhuǎn)過的角度，規(guī)定逆時針為正任意時刻轉(zhuǎn)過的角度，規(guī)定逆時針為正。根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動的微分方程。根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動的微分方程擺的周期為擺的周期為 012222(2)JTg mlmld根據(jù)物理學(xué)中關(guān)于轉(zhuǎn)動慣量的定義根據(jù)物理學(xué)中關(guān)于轉(zhuǎn)動慣量的定義 12OOOJJJ其中其中JO1和和JO2分別為桿和圓盤對于轉(zhuǎn)動軸的分別為桿和圓盤對于轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量。轉(zhuǎn)動慣量。21113OJml222OCOCJJmd2dldOC2222222212222OCdddJJm lmm l（）（ ）（）m2PPPP 剛體平面運動微分方程 運動學(xué)中，確定作平面運動剛體運動學(xué)中，確定作平面運動剛體的位置，可由基點的位置

9、與剛體繞的位置，可由基點的位置與剛體繞基點轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)角確定。基點轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)角確定。 取質(zhì)心取質(zhì)心C為基點，其坐標為為基點，其坐標為xC、yC，設(shè)設(shè)D為剛體上任意為剛體上任意一點，一點，CD與與x軸的夾角為軸的夾角為 , 則剛體的位置可由則剛體的位置可由xC、yC和和 確定。確定。 xCyC 剛體平面運動微分方程 將剛體的運動分解為隨質(zhì)心的將剛體的運動分解為隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動兩部分。當剛平移和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動兩部分。當剛體具有質(zhì)量對稱面、且質(zhì)量對稱面體具有質(zhì)量對稱面、且質(zhì)量對稱面平行于運動平面時，則在固連于質(zhì)平行于運動平面時，則在固連于質(zhì)心的平移參考系中，剛體對質(zhì)心的心的平移參考系中，剛體對質(zhì)心

10、的動量矩為動量矩為CCJL其中其中JC為剛體對通過質(zhì)心為剛體對通過質(zhì)心C且與運動平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣且與運動平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量，量，為角速度。為角速度。 xCyC 剛體平面運動微分方程 CCJL當作用于剛體上的力系等價于質(zhì)量當作用于剛體上的力系等價于質(zhì)量對稱面內(nèi)的一個平面力系時，對剛對稱面內(nèi)的一個平面力系時，對剛體平面運動，應(yīng)用質(zhì)心運動定理和體平面運動，應(yīng)用質(zhì)心運動定理和相對質(zhì)心動量矩定理相對質(zhì)心動量矩定理 ，有，有 niiCCCniiCMJtJm)(ddeeFFaxCyC 剛體平面運動微分方程 這兩個方程都是剛體平面運動的微分方程。這兩個方程都是剛體平面運動的微分方程。 niiCCCni

11、iCMJtJm)(ddeeFFa()FeCxeCyeCcimxFmyFJM或者或者 需要指出的是，如果上述投影方程中各式等號的左側(cè)各需要指出的是，如果上述投影方程中各式等號的左側(cè)各項均恒等于零，則得到靜力學(xué)中平面力系的平衡方程，即外項均恒等于零，則得到靜力學(xué)中平面力系的平衡方程，即外力系的主矢、主矩均等于零。因此，質(zhì)點系動量定理與動量力系的主矢、主矩均等于零。因此，質(zhì)點系動量定理與動量矩定理，不但完全確定了剛體一般運動的動力學(xué)方程，而且矩定理，不但完全確定了剛體一般運動的動力學(xué)方程，而且還完成了對剛體平面運動的特例還完成了對剛體平面運動的特例 平衡情形的靜力學(xué)描平衡情形的靜力學(xué)描述。述。 剛體

12、平面運動微分方程 半徑為半徑為r的勻質(zhì)圓盤從靜止開的勻質(zhì)圓盤從靜止開始，沿傾角為始，沿傾角為的斜面無滑動的斜面無滑動的滾下。的滾下。 試求：試求： 1圓輪滾至任意位置時的圓輪滾至任意位置時的質(zhì)心加速度質(zhì)心加速度aC； 2圓輪在斜面上不打滑的圓輪在斜面上不打滑的最小靜摩擦因數(shù)。最小靜摩擦因數(shù)。 剛體平面運動微分方程 aC 解：解：分析圓輪受力分析圓輪受力sinCmamgFN0cosmgFFrJC 圓輪作平面運動。根據(jù)剛體平面圓輪作平面運動。根據(jù)剛體平面運動微分方程，有運動微分方程，有 FN1確定圓輪質(zhì)心的加速度確定圓輪質(zhì)心的加速度運動學(xué)補充關(guān)系運動學(xué)補充關(guān)系 CarFrJCCCCmaramrrJ

13、F212122CCCmaramrrJF212122sinCmamgFsin32gaCsinCmamgFN0cosmgFFrJCaCFN 解：解：2 2確定圓輪在斜面上不滑動的確定圓輪在斜面上不滑動的最小靜摩擦因數(shù)最小靜摩擦因數(shù)N1sin3sFmgF fN0cosmgFN1sin3sFmgF fmin1tan3sf 此即圓輪在斜面上不滑動的最小靜摩擦因數(shù)。此即圓輪在斜面上不滑動的最小靜摩擦因數(shù)。CCCmaramrrJF212122sin32gaCaCFN 3. 3. 本例討論本例討論 如果圓輪可以在斜面上滑動，本例將如何求解？補如果圓輪可以在斜面上滑動，本例將如何求解？補充方程將如何建立？充方程

14、將如何建立？ aCFN 均質(zhì)桿均質(zhì)桿AB長為長為l，放置于鉛垂，放置于鉛垂平面內(nèi)，桿一端平面內(nèi)，桿一端A靠在光滑的鉛靠在光滑的鉛垂墻上，另一端垂墻上，另一端B放在光滑的水放在光滑的水平面上，與水平面的夾角為平面上，與水平面的夾角為0。然后，令桿由靜止狀態(tài)滑下。然后，令桿由靜止狀態(tài)滑下。 求：求：桿在任意位置時的角桿在任意位置時的角加速度。加速度。 解：解：分析分析受力受力00cossin22CxACyBCBAmaFmaFmgllJFF 桿作平面運動，按平面運動微分桿作平面運動，按平面運動微分方程可列出方程可列出 解：解：桿作平面運動，受力如圖桿作平面運動，受力如圖。按平面運動微分方程可列出。按

15、平面運動微分方程可列出 00cossin22CxACyBCBAmaFmaFmgllJFF式中有五個未知量，如果要求得全部未知量，還需兩個運動式中有五個未知量，如果要求得全部未知量，還需兩個運動學(xué)補充方程。顯然，這一方法比較麻煩。如果應(yīng)用相對特殊學(xué)補充方程。顯然，這一方法比較麻煩。如果應(yīng)用相對特殊瞬心的動量矩定理，求解就比較方便。瞬心的動量矩定理，求解就比較方便。 相對特殊瞬心的動量矩定理：相對特殊瞬心的動量矩定理：平面運平面運動過程中，如果剛體的質(zhì)心動過程中，如果剛體的質(zhì)心C到速度瞬到速度瞬心心C*的距離保持不變時，則質(zhì)點系相對的距離保持不變時，則質(zhì)點系相對速度瞬心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)速度瞬心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點系外力對同一點的主矩，即點系外力對同一點的主矩，即C*ed()dFCiCiLMt 注意到桿的質(zhì)心到速度瞬心的距離恒等于注意到桿的質(zhì)心到速