1、三角函數(shù)最值與值域?qū)ｎ}三角函數(shù)的最值問題是高考的一個(gè)重要內(nèi)容,要求掌握求三角函數(shù)最值的常見方法。類型一：介值法利用這一有界性求最值。例1：求函數(shù)的值域。解：由變形為，知，則有，則此函數(shù)的值域是例2,若函數(shù)的最大值是1，最小值是，求a,b練習(xí)：1，求函數(shù)的值域 2,函數(shù)的定義域?yàn)閍，b，值域?yàn)椋瑒tb-a的最大值和最小值之和為ba b c d3求函數(shù)y=的最大值和最小值。解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+)=， |sin(x+)|1, 1，解出y的范圍即可。 解法2：幾何法表示的是過點(diǎn)(2, 2)與點(diǎn)(cosx, sinx)的斜率，而點(diǎn)(cosx, sinx)是單

2、位圓上的點(diǎn)，觀察圖形可以得出在直線與圓相切時(shí)取極值。 4求函數(shù)的值域。值域是。解法：轉(zhuǎn)化為再利用輔助角公式求其最值；采用數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為斜率問題）求最值。練習(xí)：求函數(shù)的最值。 y/2即為單位圓上的點(diǎn)(cos，sin)與定點(diǎn)(3，1)連線的斜率，由數(shù)形結(jié)合可知y/20，3/4, y0，3/2類型二：引入輔助角法型。此類型通?？梢钥苫癁榍笃渥钪担ɑ蛑涤颍?。例1：求函數(shù)的最值。解：2,求函數(shù)（）的最值。解法:，函數(shù)的最大值為，最小值為。練習(xí)：1,函數(shù)y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是： （ c ） a、b、c、7 d、82,已知函數(shù)，直線xt（t）與

3、函數(shù)f(x)、g(x)的圖像分別交于m、n兩點(diǎn)，則|mn|的最大值是 3已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x的值；(3)若當(dāng)x，時(shí)，f(x)的反函數(shù)為f1(x)，求f-1(1)的值.解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)f(x)的最小正周期t=(2)當(dāng)2x+=2k，即x=k (kz)時(shí)，f(x)取得最小值2.4：求函數(shù)的最值

4、，并求取得最值時(shí)x的值。解：， ，的最小值為，此時(shí)，無最大值。5已知：求的最大值及此時(shí)的集合解：，當(dāng)時(shí)， 此時(shí)，即所以的最大值為，此時(shí)的集合為類型三：配方法型。此類型可化為在區(qū)間上的最值問題。例1：求函數(shù)（）的最值解：函數(shù)的最大值為，最小值為例2：求函數(shù)（，）的最大值。解：轉(zhuǎn)化為配方得：當(dāng)，即時(shí)，在sinx=1，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在sinx=1，當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)，綜上： 練習(xí)：函數(shù)的值是da0bcd類型四：換元法含有的最值問題。解此類型最值問題通常令，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題。例：求函數(shù)的最大值并指出當(dāng)x為何值時(shí)，取得最大值。解：設(shè)t=sinx+cosx，則 。練習(xí)：1,求函數(shù)的最大、

5、最小值解：原函數(shù)可化為：，令，則，且函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，2,函數(shù)的值域是abcd類型五:轉(zhuǎn)化為對號函數(shù)法型（轉(zhuǎn)化為對號函數(shù)）函數(shù)最值問題。例：求函數(shù)的最大、最小值1sinx0 y0,當(dāng)sinx=1時(shí)ymin=0,當(dāng)1sinx>0時(shí),1sinx+2, ymax=1/2已知 ，則函數(shù)的最大值與最小值的和為 .當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值4練習(xí)：1,已知，求函數(shù)的最大值；2,當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為 4 類型六：條件最值問題。例1：已知，求的取值范圍。解：， sin=0時(shí)，； 時(shí)， 。2, 練習(xí)：1,已知sinx+siny=，求sinycos2x的最大值2,已知，因式cosx+cosy的最大值為a2 b0 cdd類型七：導(dǎo)數(shù)法例1：函數(shù)在的最小值為 類型八：三角代換法求函數(shù)的最大值和最小值，并指出當(dāng)x分別為何值時(shí)取到最大值和最小值。解：定義域?yàn)?x1，可設(shè)且，即當(dāng)或，即 =0或（此時(shí)x=1或x=0），y=1；當(dāng)，即時(shí)，（此時(shí)），當(dāng)x=0或x=1時(shí)，y有最小