1、問題問題1:1:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積問題問題2:2:變速直線運動的路程變速直線運動的路程存在定理存在定理廣義積分廣義積分定積分定積分定積分定積分的性質(zhì)的性質(zhì)定積分的定積分的計算法計算法牛頓牛頓- -萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、問題的提出、問題的提出實例實例1 （求曲邊梯形的面積（求曲邊梯形的面積A）iniixfA )(lim10 曲曲邊邊梯梯形形 由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy )0)( xf、x軸與兩條直線軸與兩條直線ax 、bx 所所圍圍成成.實例實例2 （求變速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程）iniitvs )

2、(lim10 設(shè)某物體作直線運動，已知速度設(shè)某物體作直線運動，已知速度)(tvv 是時間是時間間隔間隔,21TT上上t的一個連續(xù)函數(shù)，且的一個連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程 S.方法方法:分割、求和、取極限分割、求和、取極限.2 2、定積分的定義、定積分的定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在,ba上有界，上有界，在在,ba中任意中任意若干若干個分點若干若干個分點bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在各小區(qū)間上任取在各小區(qū)間上任

3、取一點一點i （iix ），），定義定義,12110nnxxxxxx 怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上的的取取法法，只只要要當當0 時時，和和S總總趨趨于于確定的極限確定的極限I，在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的定積分定積分，記為記為記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba我們稱這個極限我們稱這個極限I為函數(shù)為函數(shù))(xf作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i點點i 怎怎樣樣并并作作和和iinixfS )(1 ，可積的兩個可積的兩個條件：條件： 當當函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上

4、連連續(xù)續(xù)時時，定理定理1定理定理2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積.且只有有限個間斷點，則且只有有限個間斷點，則)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上可積上可積.3 3、存在定理、存在定理4 4、定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì) badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性質(zhì)性質(zhì)1 babadxxfkdxxkf)()( (k為常數(shù)為常數(shù))性質(zhì)性質(zhì)2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(假假設(shè)設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 則則0)( dxxfba )(ba 性質(zhì)性質(zhì)5如果在區(qū)間如果在區(qū)間,ba上上0)( xf，推論：推論：

5、則則dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如果在區(qū)間如果在區(qū)間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性質(zhì)性質(zhì)4如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)，則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 (定積分中值定理定積分中值定理)設(shè)設(shè)M及及m分別是函數(shù)分別是函數(shù) 則則 )()()(abMdxxfabmba . )(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba性質(zhì)性質(zhì)6上上的的最最大大值值及及最最小小值值，積分中值公式積分中值公式5

6、 5、牛頓、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上具有導數(shù)，且它的導數(shù)上具有導數(shù)，且它的導數(shù)是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù).定理定理 3（微積分基本公式）（微積分基本公式） 如果如果)(xF是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的一個原函數(shù)，則上的一個原

7、函數(shù)，則 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 也可寫成也可寫成牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函數(shù)在區(qū)間它的任一原函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于上的定積分等于一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間表明表明baba6 6、定積分的計算法、定積分的計算法 dtttfdxxfba )()()(換元公式換元公式（1）換元法）換元法（2）分部積分法）分部積分法分部積分公式分部積分公式 bababavduuvudv、廣義積分、廣義積分(1)無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 adxxf)( babdxxf)(lim當極限存在時，稱廣義積分當極限存在時，稱

8、廣義積分收斂收斂；當極限不存在；當極限不存在時，稱廣義積分時，稱廣義積分發(fā)散發(fā)散. bdxxf)( baadxxf)(lim(2)無界函數(shù)的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分 badxxf)( badxxf )(lim0當極限存在時，稱廣義積分當極限存在時，稱廣義積分收斂收斂；當極限不存在；當極限不存在時，稱廣義積分時，稱廣義積分發(fā)散發(fā)散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0例例1 1解解.2sin120 dxx求求 20cossindxxx原式原式 2440)cos(sin)sin(c

9、osdxxxdxxx. 222 二、典型例題二、典型例題例例2 2解解.cossinsin20 dxxxx求求,cossinsin20 dxxxxI由由,cossincos20 dxxxxJ設(shè)設(shè),220 dxJI則則 20cossincossindxxxxxJI 20cossin)sin(cosxxxxd. 0 ,22 I故得故得.4 I即即例例3 3解解.12ln02 dxex求求,sintex 令令.sincos,sinlndtttdxtx 則則 62)sincos(cosdtttt原式原式 262sincosdtttxt02ln2 6 2626sinsintdttdt.23)32ln(

10、例例4 4解解.2sinln40 xdx求求,2tx 令令.sinln212sinln2040 tdtxdx 402sinlnxdxI 40)cossin2ln(dxxx 40)coslnsinln2(lndxxx 2440sinlnsinln2ln4xdxxdx 20sinln2ln4xdxI22ln4 . 2ln4 I例例5 5. )1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 例例6 6.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函數(shù)是偶函數(shù),dxx

11、x,1min2220 原式原式 21102122dxxdxx. 2ln232 例例7 7.)()1(,)(102022 dxxfxdyexfxyy求求設(shè)設(shè)解解 10022)1(2dxdyexxyy原式原式 10231002322)1(31)1(31dxexdyexxxxyy 1021)1(2)1()1(612xdexxux 2)1(令令 016duueeu).2(61 e例例8 8.cos1)(sin2cos1)(sin:, 0)(0202 dxxxfdxxxxfxf證明證明上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)證證, tx 令令)(cos1)(sin)(02dtttft 左邊左邊,dtdx dxxxfx 02

12、cos1)(sin)(dxxxxfdxxxf 0202cos1)(sincos1)(sindxxxfdxxxxf 0202cos1)(sincos1)(sin2即即.cos1)(sin2cos1)(sin0202dxxxfdxxxxf 例例9 9.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 證明證明上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù),)()()()(2axtfdtdttfxFxaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa ,2)()()()( xaxaxadtdtxftfdttfxf0)2)()()()()

13、( dtxftftfxfxFxa即即2)()()()( xftftfxf, 0)( xf.)(單調(diào)增加單調(diào)增加xF, 0)( aF又又, 0)()( aFbF.)()()(2abxfdxdxxfbaba 即即例例1010.123)2(;94)1(:2122 xxxdxxxdx求下列廣義積分求下列廣義積分解解 (1) 02029494xxdxxxdx原式原式 bbaaxdxxdx02025)2(lim5)2(limbbaaxx0052arctan51lim52arctan51lim .5 (2),1231lim)(lim211 xxxxfxx.)(1的瑕點的瑕點為為xfx 2120123lim

14、xxxdx原式原式)11(2)11(lim21220 xxd210211arcsinlim x.43arcsin2 一、一、 選擇題：選擇題： 1 1、 2222221limnnnnnnnn ( ( ) ) （A A）0； （B B）21； （C C）4 ； （D D）2 . . 2 2、 xdttdxd02)1ln(= =（ ） （A A）)1ln(2 x； （B B）)1ln(2 t； （C C）)1ln(22 xx； （D D）)1ln(22 tt . .測測 驗驗 題題3 3、3020sinlimxdttxx =(=( ) ) （A A）0； （B B）1； （C C）31； （D D

15、） . .4 4. .、定積分、定積分 10dxex的值是的值是（ ） （A A）e； （B B）21； （C C）21e； （D D）2 . .5 5、下列積分中，使用變換正確的是、下列積分中，使用變換正確的是（） （A A）,sin103 xdx令令 txarctan ； （B B） 30321dxxx，令，令 txsin ； （C C） 21221)1ln(dxxxx，令，令 ux 21； （D D） 1121dxx，令，令31tx . .6 6、下列積分中，值為零的是、下列積分中，值為零的是（ ） （A A） 112dxx； ( (B B） 213dxx； （C C） 11dx； （D

16、 D） 112sin xdxx . .7 7、 已知已知5)2(,3)2(,1)0( fff, , 則則 20 )(dxxxf（ ） （A A）1212； （B B）8 8； （C C）7 7； （D D）6 6. . 8 8、設(shè)、設(shè) 0,110,11)(xexxxfx，則定積分，則定積分 20)1(dxxf = =（ ）（A A）)11ln(1e ； （B B）3ln)1ln(22 e；（C C）2ln)11ln(1 e; ; （D D）)11ln(1e . .9 9、廣義積分、廣義積分 222xxdx= =（ ） （A A）4ln； （B B）0； （C C）4ln31； （D D）發(fā)散）

17、發(fā)散. .1010、廣義積分、廣義積分 20234xxdx（ ） （A A）3ln1 ； （B B）32ln21； （C C）3ln； （D D）發(fā)散）發(fā)散. .二、證明不等式二、證明不等式: : )2(,6121210 nxdxn . .三、求下列函數(shù)的導數(shù)：三、求下列函數(shù)的導數(shù)： 1 1、 3241)(xxtdtxF; ; 2. 2.、由方程、由方程1sin2200 xytdtttdte，的的為為確定確定xy 函數(shù)，求函數(shù)，求dxdy. .四、求下列定積分：四、求下列定積分： 1 1、 41)1(xxdx； 2 2、 axaxdx022； 3 3、 301arcsindxxx； 4 4、 52232dxxx； 5 5、 11121xdx； 6 6、 942xxdx； 7 7、 212123xxxdx； 8 8、 111dxxx. .五、五、 設(shè)設(shè) 1,0)(在在xf上有連續(xù)導數(shù)，上有連續(xù)導數(shù)，,0)0( f 且且1)(0 xf, ,試證：試證： 103210)()(dxxfdxxf. .六、六、 設(shè)設(shè))(xf在在00，11上有二階連續(xù)導數(shù)，證明：