1、1課程指導(dǎo)課四課程指導(dǎo)課四第第4章章 振動振動4.1 簡諧振動及其描述簡諧振動及其描述4.2 簡諧振動的動力學(xué)方程簡諧振動的動力學(xué)方程4.3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量4.4 簡諧振動的合成簡諧振動的合成4.5 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振教師：鄭采星教師：鄭采星大學(xué)物理大學(xué)物理2基本要求基本要求教學(xué)基本內(nèi)容、基本公式教學(xué)基本內(nèi)容、基本公式第第4章振動章振動掌握簡諧振動及其特征量（頻率、周期、振幅和周相），掌握旋轉(zhuǎn)矢量掌握簡諧振動及其特征量（頻率、周期、振幅和周相），掌握旋轉(zhuǎn)矢量法。能建立諧振動運(yùn)動學(xué)方程。理解諧振動的能量。了解阻尼振動、受法。能建立諧振動運(yùn)動學(xué)方程。理解諧振

2、動的能量。了解阻尼振動、受迫振動、共振。掌握同方向同頻率諧振動的合成。了解同方向不同頻率迫振動、共振。掌握同方向同頻率諧振動的合成。了解同方向不同頻率諧振動的合成，相互垂直的諧振動的合成。了解頻譜分析。諧振動的合成，相互垂直的諧振動的合成。了解頻譜分析。1. 振動、振動、簡諧振動簡諧振動任何物理量在某值附近變化都稱任何物理量在某值附近變化都稱振動振動。簡諧振動簡諧振動：物體運(yùn)動時(shí)，離開平衡位置的位移：物體運(yùn)動時(shí)，離開平衡位置的位移( (或角位移或角位移) )按余弦按余弦( (或或正弦正弦) )規(guī)律隨時(shí)間變化。規(guī)律隨時(shí)間變化。)cos(0tAx簡諧振動的特征量（振幅、周期、頻率和相位）簡諧振動的

3、特征量（振幅、周期、頻率和相位）振幅振幅 A周期周期T 和頻率和頻率 2TT1相位相位)(0t初相位初相位03xxmka20dd222xtx諧振動微分方程諧振動微分方程 該方程的通解可寫為：該方程的通解可寫為：)cos(0tAxmkA和和 0由初始條件由初始條件確定確定22020vxA000 tan xv動力學(xué)分析：動力學(xué)分析：物體所受的力物體所受的力F跟位移跟位移x正比反向，物體作諧振動。正比反向，物體作諧振動。 ,2xxmka,kxF物體的加速度跟位移正比反向，物體作諧振動。物體的加速度跟位移正比反向，物體作諧振動。 固有固有( (圓圓) )頻率，頻率，由系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)所決定。由系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)

4、所決定。42. 簡諧簡諧振動的能量振動的能量 (以水平彈簧振子為例以水平彈簧振子為例) 動能動能)(sin21022tkAEk)(cos21022tkAEP勢能勢能系統(tǒng)總的機(jī)械能：系統(tǒng)總的機(jī)械能：221kAEEEpk簡諧振動系統(tǒng)機(jī)械能守恒簡諧振動系統(tǒng)機(jī)械能守恒3.簡諧振動的合成簡諧振動的合成(1)(1)兩個(gè)同方向同頻率簡諧振動的合成兩個(gè)同方向同頻率簡諧振動的合成合振動合振動仍是簡諧振動仍是簡諧振動, ,其頻率與分振動的頻率相同。其頻率與分振動的頻率相同。 )cos(21020212221AAAAA)cos(),cos(20221011tAxtAx)cos(021tAxxx若兩分振動同相若兩分振

5、動同相 20 10= 2k (k =0,1,2,)則則A=A1+A2,兩分振動相互加強(qiáng)兩分振動相互加強(qiáng)若兩分振動反相若兩分振動反相 20 10= (2k+1) (k =0,1,2,)則則A=|A1-A2|,兩分振動相互減弱兩分振動相互減弱5(2)(2)同方向不同頻率的兩個(gè)簡諧振動的合成同方向不同頻率的兩個(gè)簡諧振動的合成兩個(gè)簡諧振動的頻率兩個(gè)簡諧振動的頻率 1和和 2很接近，很接近，合成產(chǎn)生合成產(chǎn)生拍現(xiàn)象。拍現(xiàn)象。12拍頻拍頻: : 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)(3)(3)兩個(gè)同頻率相互垂直的兩個(gè)同頻率相互垂直的簡諧振動的合成簡諧振動的合成合運(yùn)動一般一個(gè)橢圓。合運(yùn)動一般一個(gè)橢

6、圓。 (4)(4)方向垂直的不同頻率的簡諧振動的合成方向垂直的不同頻率的簡諧振動的合成兩振動的頻率成整數(shù)比，兩振動的頻率成整數(shù)比，合運(yùn)動軌跡稱為李薩如圖形。合運(yùn)動軌跡稱為李薩如圖形。)cos(),cos(02220111tAxtAx兩個(gè)簡諧振動合成得：兩個(gè)簡諧振動合成得：)2cos()2cos(201212ttAx61.一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，周期為一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，周期為T當(dāng)它由平衡位置向當(dāng)它由平衡位置向x軸正方向運(yùn)軸正方向運(yùn)動時(shí)，從二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時(shí)動時(shí)，從二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時(shí)間為間為(A)T/12(B)T/8(C)T/6(D)T/4x0

7、2A3/旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法首先畫出二分之一最大位移處首先畫出二分之一最大位移處旋轉(zhuǎn)矢量圖，旋轉(zhuǎn)矢量圖，然后，再畫然后，再畫最大位移處最大位移處旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量圖。圖。設(shè)所求的時(shí)間為設(shè)所求的時(shí)間為 t，則有，則有3tT26Tt C72.如圖所示，質(zhì)量為如圖所示，質(zhì)量為m的物體，由勁度系數(shù)為的物體，由勁度系數(shù)為k1和和k2的兩個(gè)輕彈簧的兩個(gè)輕彈簧連接到固定端，在水平光滑導(dǎo)軌上作微小振動，其振動頻率為連接到固定端，在水平光滑導(dǎo)軌上作微小振動，其振動頻率為 m k1 k2 (A) (B) (C) (D) mkk212mkk2121212121kmkkk )(212121kkmkkD k1k2k彈簧彈

8、簧(上上)可視為可視為兩彈簧兩彈簧(下下)的串聯(lián)的串聯(lián)21111kkk2121kkkkkmk2T)(2112121kkmkkT8設(shè)設(shè)2個(gè)彈簧的彈性系數(shù)分別為個(gè)彈簧的彈性系數(shù)分別為k1，k2，他們的伸長量分別是他們的伸長量分別是x1和和x2，那么有關(guān)系：那么有關(guān)系：)2(2211xkxkT) 1 (21xxx而同一根繩子上的張力相等，也就是說而同一根繩子上的張力相等，也就是說2個(gè)彈簧中的張力相等，即有：個(gè)彈簧中的張力相等，即有：聯(lián)立聯(lián)立2式，可解出式，可解出：xkkkkT2121對于等效的對于等效的k，有，有2121kkkkkmx01k2kmxkxT 所以所以93.一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動其運(yùn)動速度與時(shí)

9、間的曲線如圖所示若質(zhì)一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動其運(yùn)動速度與時(shí)間的曲線如圖所示若質(zhì)點(diǎn)的振動規(guī)律用余弦函數(shù)描述，則其初相應(yīng)為點(diǎn)的振動規(guī)律用余弦函數(shù)描述，則其初相應(yīng)為(A) /6(B)5 /6(C)-5 /6(D)- /6(E)-2 /3v (m/s)t (s)Ovmmv21答案：答案：(C)參考解答：參考解答：令簡諧振動的表達(dá)式：令簡諧振動的表達(dá)式： )cos(tAx對對 t 求導(dǎo)數(shù)得速度表達(dá)式：求導(dǎo)數(shù)得速度表達(dá)式：)sin()sin(ttAmvvAmv.sin, 00mtvv在本題中，在本題中，,2, 00mtvv .21sin.61,65),cos(ddttmvv,cosdd0mvvtt考慮考慮0dd0

10、ttv即即 , 0cos.65104.一物塊懸掛在彈簧下方作簡諧振動一物塊懸掛在彈簧下方作簡諧振動,當(dāng)這物塊的位移等于振幅的一半時(shí)當(dāng)這物塊的位移等于振幅的一半時(shí),其動能是總能量的其動能是總能量的_（設(shè)平衡位置處勢能為零）當(dāng)這物塊在平（設(shè)平衡位置處勢能為零）當(dāng)這物塊在平衡位置時(shí)，彈簧的長度比原長長衡位置時(shí)，彈簧的長度比原長長 l，這一振動系統(tǒng)的周期為，這一振動系統(tǒng)的周期為_ 3/4，gl /2m0llxxo彈簧原長彈簧原長掛掛m后伸長后伸長某時(shí)刻某時(shí)刻m位置位置伸伸 長長平衡位置平衡位置k位移等于振幅的一半時(shí)位移等于振幅的一半時(shí))(sin21022tkAEk，得)cos(tAx21)cos(t3

11、)(t43212kA221kAEEEpk總代入2Ax mglkmkglT22lmgk/115. 圖中所示為兩個(gè)簡諧振動的振動曲線若以余弦函數(shù)表示這兩個(gè)振動圖中所示為兩個(gè)簡諧振動的振動曲線若以余弦函數(shù)表示這兩個(gè)振動的合成結(jié)果，則合振動的方程為的合成結(jié)果，則合振動的方程為x =x1+x2=_(SI) x (m)t (s)Ox1x2120.08-0.04設(shè)：設(shè)：)cos(),cos(222111tAxtAx04. 0,08. 0,221AAT, 0, 01xt, 0dd00ttxv.2, 0cos11.2, 0sin11同理：同理：, 0, 02xt.2, 0cos22, 0dd00ttxv.2,

12、0sin22)2cos(04. 0),2cos(08. 021txtx0 x1A2AA)2cos(04. 0tx126. N個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動，它們的振幅相等，初相分別為個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動，它們的振幅相等，初相分別為0, , , , 2 , ., , ., 依次差一個(gè)恒量依次差一個(gè)恒量 ，求合，求合振動的振幅。振動的振幅。tAxcos1)cos(2tAx )2cos(3tAx) 1(cosNtAxN21cos2sin2sinNtNAx2sin2sinNAA合合設(shè)單縫處的波陣面分成設(shè)單縫處的波陣面分成N個(gè)（個(gè)（N為很大的為很大的數(shù)）等寬的面元（垂直于畫面）。數(shù)）等寬的面元（垂直于

13、畫面）。假設(shè)每一個(gè)面元在假設(shè)每一個(gè)面元在P點(diǎn)引起的光波振幅點(diǎn)引起的光波振幅為為 ，根據(jù)多個(gè)等幅同頻振動的合振幅，根據(jù)多個(gè)等幅同頻振動的合振幅公式，可以分析單縫衍射光強(qiáng)分布，公式，可以分析單縫衍射光強(qiáng)分布，P0PBAaad單縫衍射示意圖單縫衍射示意圖為為光柵衍射光強(qiáng)分布光柵衍射光強(qiáng)分布奠定了基礎(chǔ)；也可奠定了基礎(chǔ)；也可以說是為光的衍射定量分析提供了一種以說是為光的衍射定量分析提供了一種巧妙的方法。巧妙的方法。遷移與應(yīng)用遷移與應(yīng)用13N個(gè)同方向、同頻率的簡諧個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動，它們的振幅相等，初振動，它們的振幅相等，初相分別為相分別為0, , , , 2 , ., , ., 依次差一個(gè)恒量依

14、次差一個(gè)恒量 ，振動表振動表達(dá)式可寫成達(dá)式可寫成 采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問題得到簡化，從而避開煩瑣采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問題得到簡化，從而避開煩瑣的三角函數(shù)運(yùn)算。的三角函數(shù)運(yùn)算。 根據(jù)矢量合成法則，根據(jù)矢量合成法則，N個(gè)簡諧振動對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量的個(gè)簡諧振動對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量的合成如下圖所示：合成如下圖所示：taxcos1)cos(2tax )2cos(3tax) 1(cosNtaxN多個(gè)同方向同頻率簡諧振動的合成多個(gè)同方向同頻率簡諧振動的合成合振動的頻率與分振動的頻率相同。合振動的頻率與分振動的頻率相同。 合振動的振幅和初相是分析的關(guān)鍵合振動的振幅和初相是分析的關(guān)鍵! !14NOCM taxcos1)cos

15、(2tax )2cos(3tax) 1(cosNtaxNOx1a2a3a4a5aCAM 因各個(gè)振動的振幅相同且相差依次恒為因各個(gè)振動的振幅相同且相差依次恒為 , ,上圖中上圖中各個(gè)矢量各個(gè)矢量 的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在以的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在以C為圓心的圓周上，根據(jù)簡單的幾何關(guān)系，可得為圓心的圓周上，根據(jù)簡單的幾何關(guān)系，可得）、.(4321aaaa.21它們的夾角顯然等于，交于的垂直平分線，兩者相和作Caa15NOCM 在三角形在三角形OCM中中, ,OM 的長度就是的長度就是合合振動振動的的振幅振幅A, ,角度角度 MOX就是就是合合振動振動的初相的初相 ，據(jù)此得，據(jù)此得2sin2NAOC考慮到考慮到2s

16、in2OCa 2sin2sinNaA COMCOXMOX21)(21)(21NNOX1a2a3a4a5aCAM21cos2sin2sinNtNax167.分別敲擊某待測音叉和標(biāo)準(zhǔn)音叉，使它們同時(shí)發(fā)音，聽到時(shí)強(qiáng)時(shí)弱分別敲擊某待測音叉和標(biāo)準(zhǔn)音叉，使它們同時(shí)發(fā)音，聽到時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的拍音若測得在的拍音若測得在20s內(nèi)拍的次數(shù)為內(nèi)拍的次數(shù)為180次，標(biāo)準(zhǔn)音叉的頻率為次，標(biāo)準(zhǔn)音叉的頻率為300Hz，則待測音叉的頻率為則待測音叉的頻率為_12拍頻拍頻: : 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)Hz3001設(shè)992112，或者則有：)(12Hz291Hz30922，或者8.圖為兩個(gè)互相垂直的諧振動合成

17、運(yùn)動的軌跡若圖為兩個(gè)互相垂直的諧振動合成運(yùn)動的軌跡若且動點(diǎn)運(yùn)動方向如圖所示，則且動點(diǎn)運(yùn)動方向如圖所示，則y=_ O x y A A -A -A ,costAx查閱教材李薩如圖形，為查閱教材李薩如圖形，為2:1:21xyTT221xy)22cos(tAy17 O x y A A -A -A 0t對結(jié)果進(jìn)行核對對結(jié)果進(jìn)行核對)22cos(tAyyotAxcosxo6t62t63toxy64t65t66t189.一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動通過軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動通過A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)點(diǎn)(t=0)，經(jīng)過，經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過B

18、點(diǎn)，再經(jīng)過點(diǎn)，再經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過B點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率，且兩點(diǎn)具有相同的速率，且AB =10cm求：求：(1)質(zhì)點(diǎn)的振動方程；質(zhì)點(diǎn)的振動方程；(2)質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)處的速率點(diǎn)處的速率 ABx解：解：，做旋轉(zhuǎn)矢量圖，做旋轉(zhuǎn)矢量圖由由BvvAx0ABAvBv0tst2st4可知可知42, 42TT(1) 以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x 軸指向右方軸指向右方 t=0時(shí)，時(shí)， coscm5Ax t=2s時(shí)，時(shí)， sin)2cos(cm5AAx由上二式解得由上二式解得 1tan因?yàn)樵谝驗(yàn)樵贏點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的速度大于零，所以點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的速度

19、大于零，所以（如圖）（如圖）或或4543)cos(tAx)sin(tAvBvvAA和和B所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量在同一直線上。矢量在同一直線上。Bv199.一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動通過軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動通過A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)點(diǎn)(t=0)，經(jīng)過，經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過B點(diǎn)，再經(jīng)過點(diǎn)，再經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過B點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率，且兩點(diǎn)具有相同的速率，且AB =10cm求：求：(1)質(zhì)點(diǎn)的振動方程；質(zhì)點(diǎn)的振動方程；(2)質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)處的速率點(diǎn)處的速率

20、ABx解：解：x0ABAvBv0tst2st4443Bv t=0時(shí)，時(shí)， coscm5Axcm25)4/3cos(5A 振動方程振動方程 (SI)434cos(10252tx (2)速率速率 )434sin(41025dd2ttxv當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)點(diǎn) m/s1093. 3)43sin(10425dd22txv2010如圖如圖1所示，一定滑輪的半徑為所示，一定滑輪的半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為，轉(zhuǎn)動慣量為I，其上掛一輕繩，繩，其上掛一輕繩，繩的一端系一質(zhì)量為的一端系一質(zhì)量為m的物體，另一端與一固定的輕彈簧相連，如圖所的物體，另一端與一固定的輕彈簧相連，如圖所示設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為示設(shè)彈簧

21、的勁度系數(shù)為k，繩與滑輪間無滑動，且忽略軸的摩擦力及空，繩與滑輪間無滑動，且忽略軸的摩擦力及空氣阻力現(xiàn)將物體氣阻力現(xiàn)將物體m從平衡位置拉下一微小距離后放手，證明物體作簡從平衡位置拉下一微小距離后放手，證明物體作簡諧振動，并求出其角頻率諧振動，并求出其角頻率 m 圖 1 解：取如圖解：取如圖x坐標(biāo)，平衡位置為原點(diǎn)坐標(biāo)，平衡位置為原點(diǎn)O，向下為正，向下為正，m在平衡位置時(shí)彈簧已伸長在平衡位置時(shí)彈簧已伸長x0 ) 1 (0kxmg 設(shè)設(shè)m在在x位置，分析受力位置，分析受力,這時(shí)彈簧伸長這時(shí)彈簧伸長 0 xx )2()(02xxkT由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律列方程：由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律列方程： )3

22、(1maTmg)4(21IRTRT)5(Ra mg1T1T2T聯(lián)立解得聯(lián)立解得 mRJkxa)/(2由于由于x系數(shù)為一負(fù)常系數(shù)為一負(fù)常數(shù)，故物體做簡諧振數(shù)，故物體做簡諧振動，其角頻率為動，其角頻率為 222)/(mRIkRmRIkx0 x0 x211. 簡諧振動的初相簡諧振動的初相 0是不是一定指它開始振動時(shí)刻的位相？是不是一定指它開始振動時(shí)刻的位相？參考解答：參考解答：對于一個(gè)振幅和周期已定的簡諧振動，用數(shù)學(xué)公式表示時(shí)，由于選作原對于一個(gè)振幅和周期已定的簡諧振動，用數(shù)學(xué)公式表示時(shí)，由于選作原點(diǎn)的時(shí)刻不同，點(diǎn)的時(shí)刻不同， 0值就不同。值就不同。)cos(0tAxx000tx00tx000t例如

23、，選物體到達(dá)正向極大位移的時(shí)刻為時(shí)間原點(diǎn)，例如，選物體到達(dá)正向極大位移的時(shí)刻為時(shí)間原點(diǎn)， 0則值等于零；則值等于零；如果選物體到達(dá)負(fù)向極大位移的時(shí)刻為時(shí)間原點(diǎn)，如果選物體到達(dá)負(fù)向極大位移的時(shí)刻為時(shí)間原點(diǎn)， 0則等于則等于 。由于由于 0是由對時(shí)間原點(diǎn)的選擇所決定的，所以把它叫做振動的初相。是由對時(shí)間原點(diǎn)的選擇所決定的，所以把它叫做振動的初相。簡諧振動的初相不是一定指它開始振動時(shí)刻的位相。簡諧振動的初相不是一定指它開始振動時(shí)刻的位相。研討題研討題00022任何一個(gè)實(shí)際的彈簧都是有質(zhì)量的，如果考慮彈簧的質(zhì)量，任何一個(gè)實(shí)際的彈簧都是有質(zhì)量的，如果考慮彈簧的質(zhì)量，彈簧振子的振動周期將變大還是變??？彈簧振子的振動周期將變大還是變??？討論討論變大變大變小變小參考解答：因?yàn)閺椈烧褡拥闹芷跊Q定于系統(tǒng)的慣性和彈性，慣性越大參考解答：因?yàn)閺椈烧褡拥闹芷跊Q定于系統(tǒng)的慣性和彈性，慣性越大則周期越大。因此可以定性地說，在考慮了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振則周期越大。因此可以定性地說，在考慮了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振子的周期肯定會變大。子的周期肯定會變大。若振子的質(zhì)量為若振子的質(zhì)量為M，彈簧的質(zhì)量為，彈簧的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為，彈簧的勁度系數(shù)為k，可以計(jì)，可以計(jì)算出，在考慮了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振子的振動周期為算出，在考慮了彈簧的質(zhì)量之后，彈簧振子的振動周期為kmMT3/2研討題研討題23