1、第十二章推理證明 、算法初步 、復數(shù)第 1 講歸納與類比一、選擇題1觀察下列事實： |x| |y|1 的不同整數(shù)解 (x，y)的個數(shù)為 4，|x|y| 2 的不同整數(shù)解 (x，y)的個數(shù)為 8， |x|y| 3 的不同整數(shù)解 (x， y)的個數(shù)為 12，, ，則|x|y| 20 的不同整數(shù)解 (x， y)的個數(shù)為()A76B80C86D92解析由|x| |y|1 的不同整數(shù)解的個數(shù)為4，|x| |y|2 的不同整數(shù)解的個數(shù)為 8，|x| |y|3 的不同整數(shù)解的個數(shù)為 12，歸納推理得 |x|y|n 的不同整數(shù)解的個數(shù)為 4n，故 |x|y|20 的不同整數(shù)解的個數(shù)為 80.故選 B.答案B2

2、古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)比如：他們研究過圖 1 中的 1,3,6,10，, ，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2 中的 1,4,9,16，, ，這樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A289B1 024C1 225D1 378解析觀察三角形數(shù)：1,3,6,10，,，記該數(shù)列為 an ，則a11，a2 a12，a3a2 3，,，an an1 n.a1 a2, an(a1a2,an 1)(123 , n)? an 123, nn n1 ，觀察正方形數(shù)： 1,4,9,16，, ，記該 22 數(shù)列為 bn ，則 bnn .把四個選項的

3、數(shù)字，分別代入上述兩個通項公式，可知使得 n 都為正整數(shù)的只有 1 225.3下面幾種推理過程是演繹推理的是()A 某校高三有 8 個班， 1 班有 51 人， 2 班有 53 人， 3 班有 52 人，由此推各班人數(shù)都超過 50 人B由三角形的性質，推測空間四面體的性質C平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分11D在數(shù)列 an 中， a11，an 2 an 1an 1 ，由此歸納出 an 的通項公式解析 A、D 是歸納推理， B 是類比推理； C 運用了 “ 三段論 ”是演繹推理答案 C4觀察 (x2) 2x， (x4) 4x3，(cos x) sin x，由

4、歸納推理可得：若定義在R 上的函數(shù) f(x)滿足 f( x)f(x)，記 g(x)為 f(x)的導函數(shù)，則 g(x)()Af(x)B f(x)Cg(x)D g(x)解析由所給函數(shù)及其導數(shù)知，偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)，因此當f(x)是偶函數(shù)時，其導函數(shù)應為奇函數(shù)，故g(x) g(x)答案D5給出下面類比推理命題 (其中 Q 為有理數(shù)， R 為實數(shù)集， C 為復數(shù)集 )：“若 a，bR，則 a b 0? ab”類比推出“ a，cC，則 a c0? ac”；“若 a，b，c，d R，則復數(shù) abicdi? ac，bd”類比推出“ a，b，c， d Q，則 a b 2cd2? a c，bd”；“若 a，

5、bR，則 ab>0? a>b”類比推出“若 a，bC，則 a b>0? a>b”；“若 xR，則 |x|<1? 1<x<1”類比推出“若 zC，則 |z|<1? 1<z<1”其中類比結論正確的個數(shù)有 ()A1B 2C3D4解析類比結論正確的只有 .答案B觀察下列各式：5 3 125,5615 625,5778 125，, ，則52 011 的末四位數(shù)字65為()A3 125B5 625C0 625D8 125解析553 125,5615 625,57 78 125,58390 625，591 953 125,5109765 625，,

6、5n Z，且n 的末四位數(shù)字呈周期性變化，且最小正周期為，記n(n5)45 (nZ，且 n5)的末四位數(shù)字為 f(n)，則 f(2011) f(501×4 7)f(7)52 011與 57 的末四位數(shù)字相同，均為8 125.故選 D.答案D二、填空題以下是對命題“若兩個正實數(shù)1，a2 滿足 a12a22 1，則 a1 a2 2”的證明7a過程：證明：構造函數(shù)f(x) (xa12(x a2 2 2x22(a1 a2)x ，因為對一切實)1數(shù) x，恒有 f(x)0，所以 0，從而得 4(a1a2280，所以 a1 a2 2.)222根據上述證明方法，若 n 個正實數(shù)滿足 a1 a2, a

7、n1 時，你能得到的結論為 _不(必證明 )解析依題意，構造函數(shù) f(x)(x a1)2 (xa22, (xan2，則有 f(x)nx2) 2(a1 a2, an)x1， 2(a1a2, an) 2 4n4(a1a2, an)24n 0，即有 a1a2,ann.答案a1a2, ann8對一個邊長為 1 的正方形進行如下操作；第一步，將它分割成3× 3 方格，接著用中心和四個角的5 個小正方形，構成如圖1 所示的幾何圖形，其面積S159；第二步，將圖 1 的 5 個小正方形中的每個小正方形都進行與第一步相同5 n的操作，得到圖 2；依此類推，到第 n 步，所得圖形的面積 Sn 9 .若

8、將以上操作類比推廣到棱長為 1 的正方體中，則到第 n 步，所得幾何體的體積 Vn_.解析對一個棱長為 1 的正方體進行如下操作：第一步，將它分割成3×3×3個小正方體，接著用中心和8 個角的 9 個小正方體，構成新 1 幾何體，其體積1 9 1；第二步，將新1 幾何體的 9 個小正方體中的每個小正方體都進行V2731 2與第一步相同的操作，得到新 2 幾何體，其體積 V2 3 ；, ，依此類推，到1 n第 n 步，所得新 n 幾何體的體積 Vn 3 .答案1 n39設 N2n(nN* ，n2)，將 N 個數(shù) x1， x2，, ， xN 依次放入編號為1,2，, ，N 的

9、N個位置，得到排列P0 x1 2, xN 將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的x.數(shù)取出，并按原順序依次放入對應的前 N和后 N個位置，得到排列 P1x1 3, xN22x124,xN，將此操作稱為 C 變換將 P1 分成兩段，每段 N個數(shù)，并對每段作x x2變換，得到2；當 2i n2時，將iNCPi 分成 2 段，每段i個數(shù)，并對每段P2作 C 變換，得到 Pi1 例如，當N8時，2x1 5 3 7 2 6 48，此時 x7 位于 P2.Px x x x x x x中的第 4 個位置(1)當 N16 時， x7 位于 P2 中的第 _個位置；(2)當 N2n(n 8)時， x173 位于 P

10、4 中的第 _個位置解析(1)當 N16 時， P1x1 35 7 9, x16，此時 x7 在第一段內，再把這段變x x x x換 x7 位于偶數(shù)位的第 2 個位置，故在 P2 中， x7 位于后半段的第 2 個位置，即在 P2 中 x7 位于第 6 個位置(2)在 P1 中， x173 位于兩段中第一段的第 87 個位置，位于奇數(shù)位置上，此時在 P2 中 x173 位于四段中第一段的第 44 個位置上，再作變換得 P3 時， x173 位于八段中第二段的第 22 個位置上，再作變換時， x173 位于十六段中的第四段的第 11 個位置上，也就是位于 P4 中的第 (3× 2n41

11、1)個位置上n4答案63×211規(guī)律，第 100 個圖形中有白色地磚 _塊；現(xiàn)將一粒豆子隨機撒在第100個圖中，則豆子落在白色地磚上的概率是_解析按拼圖的規(guī)律，第1 個圖有白色地磚3×31(塊 )，第 2 個圖有白色地磚 3×52(塊 )，第 3 個圖有白色地磚 3× 73(塊)，, ，則第 100 個圖中有白色地磚 3×201100 503(塊)第 100 個圖中黑白地磚共有 603 塊，則將一粒503豆子隨機撒在第 100 個圖中，豆子落在白色地磚上的概率是603.答案503503603三、解答題11給出下面的數(shù)表序列：表1表2表31131

12、35448,12其中表 n(n1,2,3，, )有 n 行，第 1 行的 n 個數(shù)是 1,3,5，, ， 2n1，從第 2 行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和寫出表 4，驗證表 4 各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成等比數(shù)列，并將結論推廣到表 n(n3)(不要求證明 )解 表4為1357481212 2032它的第 1,2,3,4 行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32，它們構成首項為4，公比為2 的等比數(shù)列將這一結論推廣到表n(n3)，即表 n(n3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成首項為 n，公比為 2 的等比數(shù)列12觀察下表：1，2,34,5,6,7，8,9,10,1

13、1,12,13,14,15，,問： (1)此表第 n 行的最后一個數(shù)是多少？(2)此表第 n 行的各個數(shù)之和是多少？(3)2 013 是第幾行的第幾個數(shù)？解 (1)第 n1 行的第 1 個數(shù)是 2n，第 n 行的最后一個數(shù)是2n1.(2)2n 1 (2n 1 1)(2n1 2), (2n 1)n 1nn 1 22 1·2 3·22n 32n2.2(3) 2101 024,211 2 048,1 024<2 013<2 048， 2 013 在第 11 行，該行第 1 個數(shù)是 2101 024，由 2 013 1 0241990，知 2 013 是第 11 行的第

14、 990 個數(shù)13將各項均為正數(shù)的數(shù)列 an 中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成數(shù)表，如圖所示記表中各行的第一個數(shù)a1，a2，a4，a7，, ，構成數(shù)列bn ，各行的最后一個數(shù)a1 ，a3， a6，a10，, ，構成數(shù)列 cn ，第 n 行所有數(shù)的和為Sn(n1,2,3,4，, )已知數(shù)列 bn 是公差為 d 的等差數(shù)列，從第二行起，每一行中的數(shù)按照從左到右的順序每一個數(shù)與它前面一個數(shù)的比是常數(shù)q，且 a15a131，a313.(1)求數(shù)列 c ，S 的通項公式；nn(2)求數(shù)列 cn 的前 n 項和 Tn 的表達式解(1)bndnd1，前 n 行共有 1 2 3, nn n1個數(shù)，因

15、為 1324× 522 3，所以 a13b5×q ，7×8即(4d1)q2 1，又因為 3123，所以 a31b8× q2，251即(7d1)q 3，解得 d2，q3，1 n 12n1所以 bn2n 1， cnbn 3 3n 1 ，2n111n3nn33 112(2n1) ·3.Sn131352n1(2)Tn 2, n 1，133311352n13Tn33233 , 3n .兩式相減，得2111122n3Tn12 33 ,3n 1 3n1133n1212×2n2n1 3n2 3n，13n1所以 Tn3 3n 1 .14某同學在一次研究

16、性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：sin213°cos217° sin 13 cos° 17 ；° sin215°cos215° sin 15 cos° 15 ；°sin218°cos212° sin 18 cos° 12 ；°sin2( 18°)cos248° sin(18°)cos 48 ；° sin2( 25°)cos255° sin(25°)cos 55 . °(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據 (1)的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論解 (1)選擇式，計算如下：22113sin 15°cos 15°sin 15 cos°