1、第四節(jié)歸納與類比考綱傳真了解合情推理的含義，能進行簡單的歸納推理和類比推理，體會合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用知識全通關奪實基礎掃榜宜點It E y I A N1. 歸納推理根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性,推斷該類事物中每一個都有這種屬 性.我們將這種推理方式稱為歸納推理.2. 類比推理由于兩類不同對象具有某些類似的特征， 在此基礎上，根據(jù)一類對象的其他 特征，推斷另一類對象也具有類似的其他特征, 我們把這種推理過程稱為類比推 理.3.歸納推理和類比推理是最常見的合情推理，合情推理的結果不一定正確.基礎自測1.（思考辨析）判斷下列結論的正誤.（正確的打“V”，錯誤的打“X”） 歸納推理得到的結

2、論不一定正確，類比推理得到的結論一定正確.（ ）（2）由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理（）（3）在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適（）答案（1）X V（3）X2. （教材改編）已知數(shù)列an中，ai= 1，n2 時，an= an-i+ 2n1,依次計算 a2，a3，a4后，猜想 an的表達式是（）A. an= 3n 1B. an= 4n 3*EE1課刖C. an= n2D. an= 3n 1C a1= 1， a2= 4， a3= 9， a4= 16，猜想 an= n 3.下面幾種推理是合情推理的是（ ）1由圓的性質(zhì)類比出球的有關性質(zhì)；2由直角

3、三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是 180,歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是 180 ；3李鋒某次考試成績是 100 分，由此推出全班同學的成績都是 100 分；4三角形內(nèi)角和是 180,四邊形內(nèi)角和是 360,五邊形內(nèi)角和是 540,由 此得凸n 邊形內(nèi)角和是(n 2) 180.A B C.D C 合情推理分為類比推理和歸納推理其中是類比推理，是歸納推理故選 C.4._ (教材改編)在等差數(shù)列an中，若 a10= 0,則有 a+ &+an= a+ a2+ a19-n(nv19, n N*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若 b9= 1, 則 b1b2b3bn=.b1b2b17

4、n(nv17，n N*) vb9= 1，二在等比數(shù)列中 b1b2b3bn=b1b2b17n(nv17，nN ).歸納推理題型丄_?考法 1 與數(shù)式有關的推理【例 1】(1)(2019 南昌模擬)已知 13+ 23= |2,13+ 23+ 33=122,13+ 23+ 33+ 43=晉2,，若 13+ 23+ 33+ 43+ n3= 3 025,則 n =()A. 8B . 9C. 10D . 11(2)(2019 濟寧模擬)已知 a 0(i = 1,2,3,，n),觀察下列不等式：課堂題型全突破a+a2+ a3a1a2a3；a1+ a22 a1a2；照此規(guī)律，當 n N*, n2 時,n :-

5、(1)C (2) aia2an(1)觀察所提供的式子可知,等號左邊最后一個數(shù)是 n3時，等號右邊的數(shù)為 巴!)1 2,因此，令 巴已匸 3 025,則葺丄)=55,I2丿I2丿2n= 10 或 n= 11(舍).故選 C.a1+ a2+ + ann-*a1a2an( n N ,?考法 2 與圖形有關的推理【例 2】 某種平面分形圖如圖所示，一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段, 長度均為 1,兩兩夾角為 120二級分形圖是從一級分形圖的每條線段的末端出1發(fā)再生成兩條長度為原來的 3 的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為 120，1 n 級分形圖中共有 _線段；2 n 級分形圖中所有線段長度之和為

6、 _ n*2n*(1)3X2 3(n N ) (2)9 9X3(n N ) (1)由題圖知，一級分形圖中的線段條數(shù)為 3 二 3X2 3,二級分形圖中的線段條數(shù)為 9 二 3X22 3,三級分形圖中的線段條數(shù)為 21 二 3X23 3,按此規(guī)律，n 級分形圖中的線段條數(shù)為 an= 3X2n3(n N*).(2)v從分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的ai+ a2+ a3+ a44n2).aia2a3a4；依此規(guī)律得到 n 級分形圖.13 的線段,一級分形圖二級分形圖三級分形圈n_1- n 級分形圖中第 n 級的所有線段的長度和為 bn= 3X3 (n N*)，/ n 級分形n21_

7、 2=3X- = 91_ 2規(guī)律方法歸納推理問題的常見類型及解題策略(1) 與數(shù)字有關的等式的推理.觀察數(shù)字特點， 找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及 符號可解.(2) 與式子有關的推理.觀察每個式子的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后 可解.(3) 與圖形變化有關的推理.合理利用特殊圖形歸納推理得出結論， 并用賦 值檢驗法驗證其真?zhèn)涡?跟蹤練習(1)聊齋志異中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術.得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的寫出第 n 個圖形中小正方形的個數(shù)是圖中所有線段長度之和為01n_1Sn=3X3+3X2+3X2等式具有“穿墻術如圖的圖形由小正方形組成，請

8、觀察圖至圖的規(guī)律，并依此規(guī)律,234154-，則按照以上規(guī)律A. 25 B. 48 C. 63“穿墻術”，則 n =()n_14,4由題圖知第 n 個圖形的小正方形個數(shù)為 1+ 2 + 3+-+ n.所以總個數(shù)為n n+ 1*2 (n N).類比推理復，但原式卻是個定值 x,這可以通過方程，2 + x=x 確定出來 x= 2,類似地不1難得到 1+=(1+寸V5 i B .丁霆型蘭_【例 3】 （1） 我國古代數(shù)學名著九章算術 中割圓術有：失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”.2+ 2+. 2+中“”種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在“割之彌細， 所其體現(xiàn)的是一即代表無限次重

9、A.3SiS2S3S1 2+S2+ S2C.2Si9S3S2+ S2+S25 1A.215B.S1S2S3S2+ S2+SsD.3S0S3S2+ S2+ S211+ 1 +121+ V51-V51即 1 + X= X, 即 X x 1= 0, 解得 X=2(X=2舍)，故 1 +1 1+ 一 1+(2)設空間中三棱錐 O-ABC 的三條兩兩垂直的側(cè)棱 OA, OB, OC 的長分別為 a, b, c,不妨設三個側(cè)面的面積分別為8OAB=qab= S1, SsAc=2ac= S2,SOBC1 =qbc= S3,則 ab= 2S1, ac= 2S2, bc= 2S3.過 O 作 OD 丄 BC 于

10、 D ,連接 AD(圖略),由 OA 丄 OB, OA 丄 OC,且 OBGOC=O,得 OA 丄平面 OBC,所以 OA 丄 BC,又 OAGOD = O,所以 BC 丄平面 AOD,又 BC 平面 OBC,所以平面 OBC 丄平面 AOD,所以點 O 在平面 ABC 內(nèi)的射影 O在線段 AD 上,連接 OO(2S1)(2S2)(2S3)_2S1S2S3(1)CC 令 1 +=x(x 0),1+ 52 ，故選 C.因為 AO 丄 OD ,所以在直角三角形 OAD 中，OOOA ODOA2+ OD2在直角三角形 OBC 中,bc.ab bc caV (ab)2+(acf + (bcf2Si2+

11、 2S32+ 2S22_ . S2+S2+ S3.ai+ &+ aioo50 ai+ aiooai+ aiooio0bib2b3bioo= i0(bibioo$0=p bibioo,所以 20b4ib42b43b6o= io0bib2b3bioo,20_所以在正項等比數(shù)列bn中，類似的結論為b4lb42b43b60=規(guī)律方法求解類比推理題的關鍵：會定類，即找出兩類對象之間可以確切得出一個命題(猜想)a4i+ a42+ a60ai+ a2+ aioo跟蹤練習(i)在正項等差數(shù)列an中有一 一- 20100成立，則在正項等比數(shù)列bn中，類似的結論為(2)如圖所示，點 O 是厶 ABC 內(nèi)任

12、意一點，連接 AO, BO, CO,并延長交 對邊于 Ai, Bi, Ci,則 OAi+OH +i,類比猜想：點 O 是空間四面體 VBCD內(nèi)的任意一點，如圖 所示，連接 VO, BO, CO, DO 并延長分別交面 BCD,VCD，VBD，VBC 于點 Vi，Bi，Ci，Di，則有(2)OVi+OBi+OCi+如=i(2)VVi+BBi+CCi+DDi-1由等差數(shù)列的性質(zhì)知，a4i +a42 + -+ a6oi0 a4i+ a6oai+ aioo20二 20=220i0020(b4ib6o翼=* 20(bibiooj0.bibioo,c圖D- iib42b43b60=b2b3biooib42

13、b43b60=100-bib2b3bi00.(2)利用類比推理,猜想應有做+BB1+DDi=i.用“體積法”證明如下：OViOBiOCiODiVO-BCDVO-VCDVO-VBDVO-VBCVV-BCDVvi+BBi+CCi+DDi=VV-BCD+VB-VCD+VC-VBD+VD-VBC=VV-BCD=門推理在生活中的應用塹型目|_【例 4】 甲、乙、丙、丁四位同學參加比賽，只有其中三位獲獎.甲說:“乙或丙未獲獎”；乙說：“甲、丙都獲獎”；丙說：“我未獲獎”；丁說：“乙 獲獎” 四位同學的話恰有兩句是對的，貝 U()A 甲和乙不可能同時獲獎B.丙和丁不可能同時獲獎C 乙和丁不可能同時獲獎D.

14、丁和甲不可能同時獲獎(2)(20i9 鄭州模擬)甲、乙、丙三位同學，其中一位是班長，一位是體育委員，一位是學習委員，已知丙比學習委員的年齡大，甲與體育委員的年齡不同，體育委員比乙的年齡小，據(jù)此推斷班長是 _(1)C 乙(i)若甲未獲獎，則乙、丙、丁三位同學獲獎，此時甲、乙、 丙說的都錯了，與題設矛盾，所以甲一定獲獎了；若丙未獲獎，則甲、乙、丁三 位同學獲獎，此時甲、丙、丁說的都對，與題設矛盾，所以丙也一定獲獎了，由 此可知乙、丁只有一個獲獎，不可能同時獲獎，故選 C.(2) 若甲是班長，由于體育委員比乙的年齡小，故丙是體育委員，乙是學習 委員，但這與丙比學習委員的年齡大矛盾，故甲不是班長；若丙

15、是班長，由于體 育委員比乙的年齡小，故甲是體育委員，這和甲與體育委員的年齡不同矛盾，故丙不是班長；若乙是班長，由于甲與體育委員的年齡不同，故甲是學習委員，丙 是體育委員，此時其他條件均成立，故乙是班長規(guī)律方法該類問題求解時，需要對題設條件認真分析，常從某一條件出 發(fā)，在推理中如果推出矛盾，則將其否定，如果沒有推出矛盾，則說明其為正確 的，從而得出結論跟蹤練習甲、乙、丙三人各從圖書館借來一本書，他們約定讀完后互相交 換三人都讀完了這三本書之后，甲說：“我最后讀的書與丙讀的第二本書相 同”乙說：“我讀的第二本書與甲讀的第一本書相同”根據(jù)以上說法， 推斷 乙讀的最后一本書是_ 讀的第一本書.丙因為共

16、有三本書，而乙讀的第一本書與第二本書已經(jīng)明確，只有丙讀的第一本書乙還沒有讀，所以乙讀的最后一本書是丙讀的第一本書1.（2017 全國卷U）甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有 2 位優(yōu)秀，2 位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則（）A乙可以知道四人的成績B. 丁可以知道四人的成績C. 乙、丁可以知道對方的成績D. 乙、丁可以知道自己的成績D 由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)?“ 1 個優(yōu)秀、1 個良好”.乙看丙的成績，結合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙

17、為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績.丁看甲的 成績，結合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為真題自主驗效果優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績故選 D .2.（2016 全國卷U）有三張卡片，分別寫有 1 和 2,1 和 3,2 和 3甲, 乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡 片上相同的數(shù)字不是 2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字1 和 3 法一：由題意得丙的卡片上的數(shù)字不是 2 和 3.若丙的卡片上的數(shù)字是 1 和 2,則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是 2 和 3, 則甲的卡片上的數(shù)字是 1 和 3

18、,滿足題意；若丙的卡片上的數(shù)字是 1 和 3,則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是 2 和 3, 則甲的卡片上的數(shù)字是 1 和 2,不滿足甲的說法.故甲的卡片上的數(shù)字是 1 和 3.法二：因為甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是 2,所以丙的卡片上必有數(shù)字 2. 又丙的卡片上的數(shù)字之和不是 5,所以丙的卡片上的數(shù)字是 1 和 2.因為乙與丙的 卡片上相同的數(shù)字不是 1,所以乙的卡片上的數(shù)字是 2 和 3,所以甲的卡片上的 數(shù)字是 1 和 3.3. （2014 全國卷I） 甲、 乙、 丙三位同學被問到是否去過 A , B, C 三個城市 時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過 B 城市；乙說：我沒去過 C 城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市.由此可判斷乙去過的城市為 _ .A A 由題意可推斷：甲沒去過 B B 城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過