1、數(shù)學(xué)親愛的2019屆平岡學(xué)子：恭喜你進(jìn)入平岡中學(xué)！你們是高中生了，做好了充分的準(zhǔn)備嗎？其實(shí)學(xué)好高中數(shù)學(xué)并不難，你只要有堅(jiān)韌不拔的毅力，認(rèn)真 做題，善于總結(jié)歸納，持之以恒，相信你一定能成功。從2016年開始，廣東省高考數(shù)學(xué)tS題使用全國 I卷，縱觀今年高考數(shù)學(xué)試題，我們發(fā)現(xiàn)它最大的特點(diǎn)就是區(qū)分度特別大，選拔性很明顯，難度相比以前廣東自主命題難度大大提升。打鐵還需自身硬，因此，讓自己變強(qiáng)大才是硬道理。假期發(fā)給你們的這 本小冊子，是為了使你們在初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上形成較好的連續(xù)性，能有效地克服知識(shí)和方法上的跳躍，利于激發(fā)你們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的 興趣。你們一定要利用好暑假，做好充分的準(zhǔn)備工作。這里給大家?guī)讉€(gè)學(xué)數(shù)學(xué)

2、的建議：1、記數(shù)學(xué)筆記，特別是對概念理解的不同側(cè)面和數(shù)學(xué)規(guī)律，教師為備戰(zhàn)高考而加的課外知識(shí)。記錄本章你覺得最有價(jià)值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以便今后將其補(bǔ)上。2、建立數(shù)學(xué)糾錯(cuò)本。把平時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的知識(shí)或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯(cuò)、析錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)。達(dá)到：能從 反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯(cuò)誤原因弄個(gè)水落石出、以便對癥下藥；解答問題完整、推理嚴(yán)密。3、熟記一些數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)小結(jié)論，使自己平時(shí)的運(yùn)算技能達(dá)到了自動(dòng)化或半自動(dòng)化的熟練程度。4、經(jīng)常對知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理，形成板塊結(jié)構(gòu)，實(shí)行整體集裝”，如表格化，使知識(shí)結(jié)構(gòu)一目了然；經(jīng)常對習(xí)題進(jìn)行類化，由一例到一類

3、，由一類到多類，由多類到統(tǒng)一；使幾類問題歸納于同一知識(shí)方法。5、閱讀數(shù)學(xué)課外書籍與報(bào)刊，參加數(shù)學(xué)學(xué)科課外活動(dòng)與講座，多做數(shù)學(xué)課外題，加大自學(xué)力度，拓展自己的知識(shí)面。6、及時(shí)復(fù)習(xí)，強(qiáng)化對基本概念知識(shí)體系的理解與記憶，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆磸?fù)鞏固，消滅前學(xué)后忘。7、學(xué)會(huì)從多角度、多層次地進(jìn)行總結(jié)歸類。如：從數(shù)學(xué)思想分類從解題方法歸類從知識(shí)應(yīng)用上分類等，使所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng) 化、條理化、專題化、網(wǎng)絡(luò)化。8、經(jīng)常在做題后進(jìn)行一定的反思”，思考一下本題所用的基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)學(xué)思想方法是什么，為什么要這樣想，是否還有別的想法和解法，本題的分析方法與解法，在解其它問題時(shí)，是否也用到過。9、無論是作業(yè)還是測驗(yàn)，都應(yīng)把準(zhǔn)確性放在

4、第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要問 題。初高中數(shù)學(xué)銜接呼應(yīng)版塊1 .立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。2 .因式分解初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對系數(shù)不為“ 1”的涉及不多，而且對三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到，如解方程、不等式等。3 .二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。4 .初中教材對二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡圖、求值域、解二 次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，

5、研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與常用方法。5 .二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在初中不作要求，此類題目僅限于簡單常規(guī)運(yùn)算和難 度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，6 .圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對其圖像的上、下；左、右平移，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)，軸、 直線的對稱問題必須掌握。7 .含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中這部分內(nèi)容視為重難點(diǎn)。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。8 .幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線

6、分線段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒有學(xué)習(xí)， 而高中都要涉及。9 .角度問題，三角函數(shù)問題。在初中只涉及3600范圍內(nèi)的角，而高中是任意角。三角函數(shù)在初中也只是銳角三角函數(shù)，高中是任意角三角函數(shù)，定義的范圍大大不同。同時(shí)，度量角也引進(jìn)了弧度制這個(gè)新的度量辦法。10 .高中階段特別注重?cái)?shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)。另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識(shí)的講授。1.1 數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1. 對值1.1.2. 乘法公式1.1.3. 二次根式1.1.4. .分式1.1.5. 2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判別式2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系

7、(韋達(dá)定理)2.2 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)y=ax2+bx+ c的圖像和性質(zhì)2.2.2 二次函數(shù)的三種表示方式2.2.3 二次函數(shù)的簡單應(yīng)用2.3 方程與不等式2.3.1 二元二次方程組解法2.3.2 一元二次不等式解法1.1 數(shù)與式的運(yùn)算工a,|a|= 0,-aa 0, a = 0, ,a :二 0.1.1.1. 絕對值、概念：絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零.即絕對值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.兩個(gè)數(shù)的差的絕對值的幾何意義：a -b表示在數(shù)軸上，數(shù) a和數(shù)b之間的距離.、典型例題:例1解不等式：|x1

8、|>4解法一：由x 1 = 0,得若x <1,xv -3;若1 Wx,即x . 5不等式可變?yōu)椴坏仁娇勺優(yōu)橛謝 _1綜上所述，原不等式的解為 解法二：如圖1. 1-1,x =1;-(x -1) > 4 ,即 1x>4,得 x<3,又 xv1,(x -1) >4 ,x 5x < 一3 或 x a 5。x-1表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離|PA|,即 |PA|=|x 1|;所以|x -1 >4的幾何意義即為|PA|>4.可知點(diǎn)P在點(diǎn)C(坐標(biāo)為-3)的左側(cè)、或點(diǎn)P在x < -3 或 x >5。練習(xí)A1.填空：(1)

9、若 x = 5 ,貝U x=;若 x = 4 ,(2)如果 a + b = 5,且 a = 1,則 b=PCADID.x-315x點(diǎn)D(坐標(biāo)5)的右側(cè)K/V|x1| 圖1.11貝 U x=.；若 1 - c = 2,則 c=.2 .選擇題：下列敘述正確的是(B)右 ab,則 ab(D)若 a = b ,則 a = ±b(A)右 a = b,則 a=b(C)若 a <b ,則 a <|b練習(xí)B3 .解不等式：| x - 2 | ： 34、化簡：|x-5|-|2x-13| (x>5).1.1.2.乘法公式、復(fù)習(xí)：我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：(1)平方差公式(

10、a +b)(a b) =a2 b2 ；(2)完全平方公式(a±b)2 =a2±2ab + b2.我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:必須記住(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三數(shù)和平方公式(4)兩數(shù)和立方公式(5)兩數(shù)差立方公式知上面列出的五個(gè)公式,(a+b)(a2 -ab + b2) =a3 +b3 ；(a -b)(a2 +ab + b2) =a3 -b3 ；22. 22(a+b+c) =a +b +c +2(ab + bc + ac)；(a +b)3 =a3 +3a2b +3ab2 +b3 ；(a-b)3 =a3-3a2b + 3ab2-b3.有興趣的同學(xué)可以自

11、己去證明.、典型例題例 1 計(jì)算：(x+1)(x1)(x2x+1)(x2+x+1).解法一：原式=(x2 -1) |(x2 1)2 -x2=(x2 -1)(x4 +x2 +1)= x6 -1 .解法二：原式=(x 1)(x2 - x 1)(x -1)(x2 x 1)=(x3 1)(x3 -1)6 =x -1 .例 2 已知 a+b+c =4, ab+bc + ac =4 ,求 a2+b2 +c2 的值.解：a2 +b2 +c2 =(a +b +c)2 2(ab + bc + ac) = 8.練習(xí)A1 .填空：1 2 1 . 2 ,1 ,1 、(1) a - b =(b+a)()；9423、22

12、.,(2) (4m+) =16m +4m+()；2222(3 ) (a+2b-c)2 =a2+4b2+c2+().2.選擇題：21.(1)若x十一mx+k是一個(gè)完全平方式，則 k等于221212(A) m( B) - m( C) - m(2)不論a, b為何實(shí)數(shù)，a2+b2 - 2a4b+8的值(D)1 2一 m16(A)總是正數(shù)(C)可以是零(B)總是負(fù)數(shù)(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.1.3.二次根式一、概念：一般地，形如Va(a之0)的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式3a + Ja2 +b +2b , Ja2 +b2 等是無理式，而 72x2 + x

13、+ 1, x2+J2xy+y2, J a2 等是有理式.例如1 .分母(子)有理化把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化.為了進(jìn)行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如J2與，2,3ja與ja, J3+J6與第一#,273372與273+3點(diǎn)，.'般地，a JX 與JX ,aj"+ by aj"b y a+b?a J xb£ 為有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以

14、分子 的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式JSJb = JOB(a >0,b>0)；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡的 基礎(chǔ)上去括號與合并同類二次根式.2 .二次根式4a的意義4a=a = 1a, a °-a, a <0.二、典型例題3 1將下列式子化為最簡二次根式：(1) 712b;(2) 707b(a 之0)；(3) j4x6y(x<0).解：(1) /l2b=2>/3b ; Ta&#

15、165;= aW'b = aVb(a 2 0)；(3) 4X7 = 2 x3|6=2x3 77(x <0).例 2 計(jì)算：J3-(3-73).解法一：褥-(3/3 JL=-(3<3) = 33=3(+1) = V3i1.3- .3 (3- . 3) (3.3) 9-362V3_1=V3+1_ V3 + 13（、,3-1） .3-1（,3-1）（,3 1）2解法二：、3-：-(3、-3=) ''33- 3例3 試比較下列各組數(shù)的大?。海?）。12布和布一J10；（2） l2 和272-爬.6 4解：（1）布=壓-布=（屈-巨）（叫十萬）.二 1.12 J112

16、 .11一 “ 1- "101-1 103（ H 10）1力1/ =Tn；7T0;mr10又J12十布 a J11工J10, 712-711 < 而而.2 2力=2五6 =0/6）（2、2+，6）=2, 12 2+ 62、2+. 6又4>2亞. .米+4>血+2版，2<,6 42 2- ,6例4 化簡：（73 + 我）2004 （73-揚(yáng)2005.解：（、一3 、.2） 2004 （、3 -、.2）2005=（W、22）00 4 .（一 3- 22）°04一（ S=-（73+72） （73-72） I2004 <73-72）2）（2） ,x2

17、十口2（0<x<1）.解：(1)原式=v5 -45 +4（5）2-2 2 <5 22二,(2一,5)2=2閩=75-2.11.21(2)原式=J(x)=x,1 一 . .1- 0<x<1,->1 >x,所以，原式=-x.xx練習(xí)A1 .填空：(1) 1_e=_一；(2)若 J(5 x)(x 3)2 =(x 3)J5",則 x的取值范圍是1 ；31(3) 45/24 -6754 +3.y96 -2./150 _;(4)若 xg，則(提示先簡化后代入)2 .選擇題：等式匚匚=與成立的條件是()-x-2 x -2(A) x=2(B) x >0

18、(C) x>2(D) 0Mx <2練習(xí)B,.a2 -1 .1 - a23 .若 b =-，求 a +b 的值.a 14.比較大?。?透4幣(填”,1.1.4.分式、概念：1.分式的意義A形如總的式子，若B中含有字母，且B#0 B，則稱公為分式.當(dāng)MWO時(shí), B八.AAA M分式一具有下列性質(zhì)： 一=;BBB MA A ：- MB B- M上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).a像 b cdm+n+p這樣,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 2mn p二、典型例題:5x 3 4 A B5x 4 =A + _B_,求常數(shù)A,B的值.x(x 2) x x 2解:,A xB A(x 2) B

19、x (A B)x 2Ax(x 2)x(x 2)5x 4x(x 2)A B = 5, 2A =4,11)試證:(2)計(jì)算:(3)證明:解得 A=2,B= 3n(n 1) n n 1+ +HI +-；1 2 2 39 1011對任意大于1的正整數(shù)n, 有 十 +川+2 3 3 4n(n 1) 21(1)證明：. 1 _ 1 Jn 1)-n n n 1 n(n 1)111n(n 1)n（ n 1） n n 1解：由（1）可知（其中n是正整數(shù)）成立.2L3iH 2314=9 1 0(3)二1證明:1-1211 0 101_1一3)1 ii -To)n(n 1)111QjlH - «34 n又

20、n>2,且n是正整數(shù),1n+ 11+ <1 n n(1 )2設(shè)$ = 9,且 e> 1, 2c25ac+ 2a2=0,求 e 的值.a解：在2c2- 5ac+ 2a2= 0兩邊同除以 a2,2e2-5e+ 2=0,(2e- 1)(e 2)=0,1 e= 2<1,舍去；或e= 2.練習(xí)A1 .填空題:對任意的正整數(shù)n,n(n 2)1 (- n2一32 .選擇題：若2x y(A) 1(B)(C)(D) 653.正數(shù)x, y滿足y2= 2xy,x - y 3/土-的值.x y99 100114 .計(jì)算12 2 31.解不等式:-1 32 .已知 x +y =1 ,求 x3 +

21、y3 +3xy 的值.3.填空：(1) (2+壽)18(2 _#19 =； 若7(1-a)2 +J(1+a)2 =2 ,則a的取值范圍是 (3)11111+ +1；2、2；33.4 、,4 ;5 ,5,64.5.填空:已知:b =1,則33a2 - ab2Z23a 5ab2b組)(D) b <a <0B1 .選擇題：(1)若 J-a -b _27ab = Vb -4a ,貝U(C) a <b <0( )(C) 57a(A) a <b( B) a >b(2)計(jì)算a，'；等于(a)j-a( b)va11112 .計(jì)算：III1 3 2 4 3 59 11

22、1. 2分解因式一、復(fù)習(xí)引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法.1 .十字相乘法例1分解因式：(1) x23x+2;(2) x2+4x12;_22(3) x (a+b)xy+aby ；(4) xy1+x y.解：(1)如圖1, 21,將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè) x的積，再將常數(shù)項(xiàng) 2分解成一1與一2的乘積，而圖中的對角線上的兩個(gè) 數(shù)乘積的和為一3x,就是x23x+2中的一次項(xiàng)，所以，有 x2-3x + 2=(x-1)(x-2).12-1-211圖 1 . 23一ay圖 1 . 2 4一by圖 1. 2-1圖 1. 2-2說明：

23、今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖 1. 21中的兩個(gè)x用1來表示(如圖1. 2 2所示). (2)由圖 1. 2 3,彳號 x2+4x12= (x2)(x+6).(3)由圖 1. 2-4,得x2 _(a+b)xy + aby2 = (x_ ay) ( x by(4) xy_1+x_y=xy+ (x y) 1 = (x 1) (y+1)(如圖 1. 25 所示).2.提取公因式法與分組分解法例2分解因式：,、3_2_，、_ 22(1) x +9+3x +3x ;(2) 2x +xyy -4x + 5y-6.解： (1) x3 +9 +3x2 +3x = (x3+3x2)+(3x+

24、 9) = x2(x + 3) + 3(x+3)2= (x + 3)(x2 +3).或 x3 +9 + 3x2 +3x = (x3 +3x2 +3x +1)+8= (x+ 13 + 8 (x + 1)3 +232_2= (x 1) 2(x 1)2 -(x 1) 2 22= (x+3)x2 + 3)二次項(xiàng) 一次項(xiàng) 常數(shù)項(xiàng)2222、(2) 2x +xy y _4x+5y6 = (2x +xy- y ) -(4x -5y) -6=(2x-y)(x + y) -(4x-5y) -62x-y 2=(2x-y +2)(x + y 3) .x+y X-323.關(guān)于x的二次二項(xiàng)式 ax+bx+c(aw陰因式分

25、解.若關(guān)于x的方程ax2+bx+c = 0(a #0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1、則二次三項(xiàng)式ax2+bx + c(a ¥ 0)就可分解為a(x %)(x x2).例3 把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：(1) x2+2x1；(2) x2+4xy 4y2.解：(1)令 x2+2x 1=0,則解得 x1 =1 + 夜，x2=1J2,x2 2x -1= x -(-1.2) x -(-1 - 2)=(x+1-V2)(x+1 + x/2).(2)令 x2 +4xy 4y2 =0,則解得 x1 =(-2+272)y , x1 = (-2-2j2)y ,.x2 +4xy-4y2 = x + 2(1T2)

26、yx + 2(1 +拘y.二、練習(xí)A1 .選擇題：22多項(xiàng)式2x -xy-15y的一個(gè)因式為()(A) 2x -5y(B) x-3y (C) x+3y(D) x-5y2.分解因式：(1) x2+6x+ 8;(2) 8a3b3;(3) x2-2x- 1;(4) 4(x-y+1)+y(y-2x).練習(xí)B組1.分解因式：342(1) a +1；(2) 4x -13x +9；22(3) b +c +2ab+2ac+2bc ；2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解:(2) x2 -2s/2x-3;2(1) x -5x+3 ;(3) 3x2 + 4xy - y2 ；3.分解因式：x2+x(a2 a).2.1 一元二次方

27、程2.1.1根的判別式、概念:因?yàn)槲覀冎?，對于一元二次方?2/ b 2 b -4ac(x 丁)二 ，22a 4aawQ 所以，4a2>0.于ax2+bx+c= 0 (awQ,用配方法可以將其變形為(1)當(dāng)b24ac>0時(shí)，方程的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)當(dāng)b24ac=0時(shí)，方程的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x _ -b± Jb2 -4ac2abX1 = X2=2a(3)當(dāng)b24acv0時(shí)，方程的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程的左邊(x + 2)2一定大于或等于零，因此，原方程沒有實(shí)數(shù)根.2a由此可知，一元二次方程 ax2+bx+ c=

28、0 (aw。的根的情況可以由 b24ac來判定，我們把 b2 4ac叫做一元二次方程 a: =0 (aw。的根的判別式，通常用符號“A來表示.綜上所述，對于一元二次方程 ax2+bx+ c= 0 (aw。，有2+ bx+ c(1) 當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根-b 二- b2 -4ac;X1, 2 =2a(2)當(dāng)A= 0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根bX1= x2=- 一 ；2a(3)當(dāng)AV 0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.、典型例題：例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中 a為常數(shù))，如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根.(1) x2 - 3x+ 3=0;(2) x2ax1 = 0;(3)

29、x2ax+ (a1)=0;(4) x22x+ a=0.解：(1)A= 324X1X3=3V0, .方程沒有實(shí)數(shù)根.(2)該方程的根的判別式 A= a2-4X1x(-1)=a2 + 4>0,所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1=a7a +4 ,2a - ；a 4x2 :2(3)由于該方程的根的判別式為A= a2 4X1 X(a- 1)= a2 4a+ 4= (a 2)2,所以，當(dāng)a= 2時(shí)，= 0,所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根xi = X2=1；當(dāng)aw2時(shí)，A>0,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根xi=1, X2=a-1.(4)由于該方程的根的判別式為A= 224X1 Xa= 4 4a =

30、4(1 a),所以當(dāng)A>0,即4(1a) >0,即a<1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x =1 . J1 -a ,X2 =1 f ；1 -a ;當(dāng)A= 0,即a= 1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根X1=X2=1；當(dāng)Av 0,即a>1時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.說明：在第3, 4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論.分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來 解決問題.2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)、概念：1、若一元二次方程 ax2+bx+ c=0

31、 (awQ有兩個(gè)實(shí)數(shù)根-b4 ac2a則有-b % 4 4 acX1, X2 二2aX1-b - > b2 -4ac -b - b2 -4ac2a2a-2b b=-:2a a-b . b2 -4ac -b- .b2-4ac b 2-(b 2 4ac) 4ac cX1X2222a2a4a24 a2 a所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理.如果 ax2+bx+ c= 0 (aw。的兩根分別是 x1? x2,那么 x1 + x2=b, x1 x2=-.這aa2、特別地，對于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程 x2+px+ q=0,若X1, X2是其兩根，由韋達(dá)定理可知X

32、1+X2=p, x1 x2= q,即 p= (X1 + X2), q=X1X2,所以，方程x2+px+q=0可化為x2(X1 +X2)x+X1X2= 0,由于X1,X2是一元二次方程x2+px+ q=0的兩根，所以，X1,X2也是一元二次方程 x2-(X1 + X2)X + X1 X2= 0 的兩根，因此有以兩個(gè)數(shù)X1 , X2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x2 - (X1 + X2)x+ X1 X2 = 0、典型例題:2例2已知萬程5X+kX-6 =0勺一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及 k的值.分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出 k的值，再由方程解出另一個(gè)根.但由于

33、我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出 k的值.解法一： 2是方程的一個(gè)根，5X22+kX2- 6=0, k=- 7.所以，方程就為5x2-7x- 6=0,解得X1=2, X2= - 3 .5一 、一3所以，方程的另一個(gè)根為一 3, k的值為一7.5解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為X1,則 2x1=-1=-.55由(- § ) + 2= - 乂，得 k= - 7.55一 、一3所以，方程的另一個(gè)根為一 3, k的值為一7.5例3 已知關(guān)于x的方程x2+2(m2)x+m2+4=

34、0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21,求m的值.分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于 m的方程，從而解得 m的值.但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零.解：設(shè)x1, *2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得x1 + x2=- 2(m 2), x1 x2= m2+ 4.X12+ X22 X1 X2= 21 ,(X1 + X2)2 3 X1 X2= 21 ,即 2(m2)2 3(m2+ 4)=21,化簡，得 m216m 17=0,解得 m=1,或 m=17.當(dāng)m= 1時(shí)，方程為 x2+6x+5=0, A&

35、gt;0,滿足題意；當(dāng) m=17 時(shí)，方程為 X2+30X+293=0, A= 3024X1X293V0,不合題意，舍去.綜上，m= -1.m的范圍，然后再由 兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)是否大于或大于等于零.因?yàn)?，韋達(dá)定理成立說明：(1)在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對應(yīng)的根的積大21”求出m的值，取滿足條件的 m的值即可.()在今后的解題過程中，如果用由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式的前提是二次方程有實(shí)數(shù)根.例4分析:已知兩個(gè)數(shù)的和為 4,積為一12,我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為 X求這兩個(gè)數(shù).y,利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù).也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出二次方程來求解.

36、解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是則 x+y= 4,xy=一 由，得 代入，得即Xi =X12.y= 4-x, x(4-x)=- 12 x2-4x-12 = 02, x2 = 6.=-2,yi =6,x, V, X x2 =6, 或2y2 - -2.因此，這兩個(gè)數(shù)是2和6.解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程x2-4x-12=0的兩個(gè)根.解這個(gè)方程，得X1=-2, X2=6.所以，這兩個(gè)數(shù)是一 2和6.說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二(直接利用韋達(dá)定理來解題)要比解法一簡捷.例5若X1和X2分別是二次方程 2x2+ 5x-3= 0的兩根.113,3(1)求| X1X2|的值；(2)求+1的值

37、；(3) X1 +X2X1X2解：X1和X2分別是5一次方程 2x + 5x 3= 0的兩根，. . X)+X2 =-2X1X2(1)22225、23、 | X1 X2I = X1 + X2 - 2 x1X2=(X1 + X2) 一 4 x1X2= (- -) - 4 ( -)生+ 6=翌, | X1 X2|= 一 .(2)12 Xi12X222X1 x222XiX2, 52 。，3、(X1 X2) -2x1X2 _( 222 一3(X1X2)(_3)22空3494379(3)X13+ X23=(X1+ X2)( X12 X1X2 + X22) = (X1+ X2) ( X1 + *2)2 3

38、X1X2=(-5P(-f )2-3X(-3)=-皆2228汪忠: 說明：二次方程的兩根之差的絕對值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問題,為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)X1和X2分別是二次方程 ax2+bx+c= 0 (aw。，則-b . b2 -4acXi =", X2 =2a-b - . b2 - 4ac | Xi X2| =-b : b2 -4ac2a2a-b - b2-4ac2a2x b2 - 4ac2a b2 -4ac|a I于是有下面的結(jié)論：若Xi和X2分別是.次方程 aX2+bX+c= 0 (aw。，則 | X1 X2|= (其中 A= b24a

39、c).|a|今后，在求二次方程的兩根之差的絕對值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論.例6若關(guān)于X的二次方程 X2-X+ a- 4= 0的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：設(shè)x1 , x2是方程的兩根，則x1x2= a- 4< 0,且 A=(1)24(a4)>0.由得a<4,由得a<17 .4，a的取值范圍是 a<4.練習(xí)A1 .選擇題：(1)方程X2 2J3kx +3k2 = 0的根的情況是()(A)有一個(gè)實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(C)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)沒有實(shí)數(shù)根(2)若關(guān)于x的方程mx2+ (2m + 1)x+ m= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

40、，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()(A) mv 1(B) m>- 1(C) mv 1 ,且 m0(D) m>- 1 ,且 mw。4444(3)已知關(guān)于x的方程x2+kx2=0的一個(gè)根是1,則它的另一個(gè)根是()(A) - 3(B) 3(C) - 2(D) 2(4)下列四個(gè)說法：方程x2+2x7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7；方程x22x+7= 0的兩根之和為一 2,兩根之積為7;方程3 x27=0的兩根之和為0,兩根之積為 _Z 3方程3 x2+2x= 0的兩根之和為一 2,兩根之積為0.其中正確說法的個(gè)數(shù)是()(A) 1 個(gè)(B) 2 個(gè)(C) 3 個(gè)(D) 4 個(gè)(5)關(guān)于x的一元

41、二次方程 ax25x+a2+a=0的一個(gè)根是0,則a的值是()(A) 0(B) 1(0-1(D) 0,或一12.填空：11(1)若方程x23x1 = 0的兩根分別是 和x2,則，+，=.X1 x2(2)方程 mx2+x2m=0 (mw。)的根的情況是 .(3)以一3和1為根的一元二次方程是 .(4)方程kx2+4x1 = 0的兩根之和為一2,則k =.(5)方程2x2x4= 0的兩根為a, &則a2+百=.(6)已知關(guān)于x的方程x2ax 3a=0的一個(gè)根是一2,則它的另一個(gè)根是 .(7)方程 2x2+2x1=0 的兩根為 和 x2,則 | x1-x2| =.3.已知Ja2 +8a +1

42、6 + |b-1| = 0,當(dāng)k取何值時(shí)，方程 kx2+ax+b= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?4,已知方程 x2 3x1 = 0的兩根為x1和x2,求(x1一 3)( x23)的值.5.試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程 m2x2-(2m+1) x+ 1 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒有實(shí)數(shù)根?6.求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2-7x-1 = 0各根的相反數(shù).練習(xí)B組1 .選擇題：若關(guān)于x的方程x2+(k21) x+k+1=0的兩實(shí)根互為相反數(shù)，則 k的值為 ()(A) 1,或一1(B) 1(C) - 1(D) 02 .填空：(1)若m, n是方程x2+2

43、005x 1= 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 m2n + mn2mn的值等于(2)如果a, b是方程x2+x 1 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式 a3+a2b+ ab2+b3的值是3 .已知關(guān)于x的方程x2-kx- 2=0.(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)方程的兩根為 xi和x2,如果2(xi+x2)>xix2,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.4 . 一元二次方程 ax2+bx+ c= 0 (aw。的兩根為 x1和x2.求:(1) | xi-x2|和 x1 +x2 ；(2) xi3+x23.25 .關(guān)于x的方程x2+4x+m=0的兩根為xn x?滿足|小一x2|=2,求實(shí)數(shù) m的值.2. 2 二

44、次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)y= ax2+bx+ c的圖像和性質(zhì)、復(fù)習(xí)引申：問題 1函數(shù)y= ax2與y=x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系?為了研究這一問題，我們可以先畫出y= 2x2, y= - x2, y=2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)y= x2的圖象之間的關(guān)系，推2導(dǎo)出函數(shù)y= ax2與y=x2的圖象之間所存在的關(guān)系.先畫出函數(shù)y= x2, y= 2x2的圖象.先列表:x-3-2-101232 x94101492x2188202818從表中不難看出，要得到 2x2的值，只要把相應(yīng)的 x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了.再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)y=x2, y=2x2的圖象(如圖21所示)，從圖2

45、1我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系:函數(shù)y=2x2的圖象可以由函數(shù) y=x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫?1 .y= - x , y= 一 2x 的圖象, 2并研究這兩個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)y=圖 2.2-1同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù) x2的圖象之間的關(guān)系.通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：1、二次函數(shù)y= ax2(aR)的圖象可以由y= x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得到.在二次函數(shù)y=ax2(a卻)中，二次項(xiàng)系數(shù) a決定了圖象的開口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開口的大小.問題2函數(shù)y= a(x+h)2+卜與y= ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾

46、個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系.同學(xué)們可以作出函數(shù)y=2(x+ 1)2+1與y=2x2的圖象(如圖2 2所示),從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y= 2x2的圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位， 就可以得到函數(shù) y=2(x+1)2+1的圖象.這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有 形狀 相同，位置不同”的特點(diǎn).類似地，還可以通過畫函數(shù)y=-3x2, y= 3(x1)2+1的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系.通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論:2、二次函數(shù)y=a(x+h)2+k(a加)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且h正左移，h負(fù)右移”；

47、k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且k正上移，k負(fù)下移”.由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y= ax2+ bx+ c(a卻)的圖象的方法：由于 y= ax2 + bx+ c= a(x2 + x )+ c= a(x2+ x + aab 2 b2 -4ac“2；)+F，所以，y = ax2 + bx+ c(a卻)的圖象可以看作是將函數(shù)22b、bT-2)+5 T4a4ay= ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的,圖 2.2-2于是，二次函數(shù) y= ax2+bx+c(aR)具有下列性質(zhì):3、(1)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為b 4ac-b22a 4a b)

48、,對稱軸為直線 x=- 2a；當(dāng)xv 上時(shí)，y2ab隨著x的增大而減??；當(dāng) x> 時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)2ax= 2a時(shí)，函數(shù)取最小值 y=4ac-b24a(2)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+ c圖象開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為b 4ac -b22a 4a),對稱軸為直線x=2axv2a時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng) x>2a時(shí)，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x=2a時(shí)，函數(shù)取最大值 y=24ac 一 b4a上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖2. 23和圖2.數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題.24直觀地表示出來.因此，在今后解決二次函數(shù)問題時(shí)，可以借助于函、典型例題：例1求二

49、次函數(shù)y=3x26x+1圖象的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值(或最小值),并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大(或減小)？并畫出該函數(shù)的圖象.解：y= -3x2-6x+1 = - 3(x+1)2+4,，函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線x=1;頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一1, 4);當(dāng)x = 1時(shí)，函數(shù)y取最大值y= 4;當(dāng)xv1時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng) x>1時(shí)，y隨著x的增大而減小;采用描點(diǎn)法畫圖，選頂點(diǎn) A(-1, 4),與x軸交于點(diǎn)B (2。3-3,0)和c(32,3 3,0)，交點(diǎn)為D(0, 1),過這四點(diǎn)畫出圖象(如圖 25所示).說明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函

50、數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選 點(diǎn)的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確.x /元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷售利例2某種產(chǎn)品的成本是 120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x (元)與產(chǎn)品的日銷售量間關(guān)系如下表所示：潤是多少？分析：由于每天的利潤=日銷售量值，首先需要求出每天的利潤與銷售價(jià) 解：由于y是x的一次函數(shù)，于yX銷售價(jià)x120),日銷售量y又是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大 x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤的最大值.,設(shè)

51、 y= kx+b將 x=130, y= 70; x=150, y= 50 代入方程，有70 = 130k b,50 = 150k b,解得 k= - 1, b=200.y= x+200.設(shè)每天的利潤為z (元)，則z= (-x+200)(x- 120)= x2+320x24000=-(x- 160)2+ 1600,當(dāng)x=160時(shí),答：當(dāng)售價(jià)為160元/件時(shí)，每天的利潤最大，為z取最大值1600.1600 元.例3 把二次函數(shù)y= x2+bx+ c的圖像向上平移 2個(gè)單位，再向左平移 4個(gè)單位，得到函數(shù) y=x2的圖像，求b, c的值.2. 22b 2 b b2 b解法一：y=x+bx+ c= (x+ - ) +c-,把它的圖像向上平移 2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到y(tǒng) = (x+ + 4) +c下+2的 圖像，也就是函數(shù) y=x2的圖像，所以，b / -422c b c,4解法二：解得 b= 8, c= 14.2。把二次函數(shù) y= x2+ bx+ c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù) y=x2的圖像，等價(jià)于把二次函數(shù)=x2的圖像向下平移 2個(gè)單位，再向右平移 4個(gè)單位，得到函數(shù)