1、/-/-/-/河北省衡水高三下學(xué)期第二次摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題第I卷（共60分）、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A kN |、, 10 k NB x|x 2n或 x 3n,n N ,則 AI B ()A.6,93,6,91,6,9,106,9,102.若復(fù)數(shù)z滿足z2i1 3i2 （i為虛數(shù)單位）,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A.第一象限.第三象限.第四象限3.某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高2400人、高二人進(jìn)行問卷調(diào)查A. 20.已知高B被抽取的人數(shù)為 36,那么高三被抽取的人數(shù)為（20

2、00人、高三n人中，抽取90 ）4.已知命題p:e,的是（1,b1,logab 2logb a2.2則下列命題中為真命題A.pC.5.九章算術(shù)中有如下問題:“今有勾八步,股一k五步，問勾中容圓，徑幾何?”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步,問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是（A.310320C.1210,12206.若實(shí)數(shù)x, y滿足條件2x2xA.64157.已知a'4A.1588.已知奇函數(shù)00,4x3x2y的最大值為（）C.1619sin x dx ,則二項(xiàng)式9的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為212C.Acos x0,0

3、,0的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，E是最高點(diǎn)，且 MNE是邊長為1的正三角形，那么I'A.,3C.9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1 ,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為（）Jul J-11 Ji J/ 1J. _L_ LA. 28 4,3 12.24 3 12/2C. 36 4,2 12312.2A.C.S的值等于（10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出2、3tan 一92.3tan 一911.橢圓x2在直線y八 2A5112.已知f '2122b 1的左焦點(diǎn)為tan左,39 22tan 9,25廠tan39 21tan 9B,若FAB的外接圓圓心 P m,nx

4、的左下方，則該橢圓離心率的取值范圍為2,1C._.20,T0,12是函數(shù)f x的導(dǎo)函數(shù),且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f '2x 3 f x （e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），f 01 ,若不等式f x k 0的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（A.1,0e,0 eC.4,0 e第II卷（共90分）、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）r13.已知a4, b 5,crrb( , R),若 ar r rb,c b14.在ABC中，a,b,c分別為角A, B,C的對(duì)邊，B2-,若 ai 23皿 sin A C4ac,貝Usin AsinC2的左、右焦點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右1

5、5 .已知點(diǎn) 冗下2分別是雙曲線 C:x2 -y2 1 b0 1 2 3 4 5 6 7 R 9 10 JI 12 13 14 15 16 Ff（1）若該人到達(dá)后停留 2天（到達(dá)當(dāng)日算1天），求此人停留期間空氣質(zhì)量都是重度污染的概率；（2）若該人到達(dá)后停留 3天（到達(dá)當(dāng)日算1天，設(shè)X是此人停留期間空氣重度污染的天數(shù)，求 X的分 布列與數(shù)學(xué)期望.19.如圖，四棱錐 P ABCD中，平面PAD 平面ABCD,底面ABCD為梯形，AB/CD,AB 2DC 273, AC I BD F,且 PAD與 ABD均為正三角形，G為 PAD的重心.支上，且滿足IF1F2 2 OP ,tan PF2F1 4,則

6、雙曲線C的焦點(diǎn)的取值范圍為16 .點(diǎn)M為正方體ABCD AB1clD1的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)2NBi NCi,DM BN ,若球。的體積為9/2 ,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長度為 .三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17 .已知數(shù)列 an 滿足 a1 1,Jan1 3 ,an 3 2,n N .（1）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;設(shè)以2為公比的等比數(shù)列bn滿足410g2bl log2bn1 an 12n 11（n N ），求數(shù)列bn 10g2bn的前n項(xiàng)和sn.18 .如圖是某市2017年3月1日至16日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)AQI小于100表

7、示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于 200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇 3月1日至3月14日中的某一天 到達(dá)該市.空飛碉粒指數(shù)（AQI）/-/(1)求證：GF / /平面PDC ；(2)求平面AGC與平面PAB所成銳二面角的正切值.20 .已知拋物線C:y2 2Pxp 0的焦點(diǎn)為F, A為C上位于第一象限的任意一點(diǎn)， 過點(diǎn)A的直線l交C 于另一點(diǎn)B ,交x軸的正半軸于點(diǎn) D .(1)若FA |AD ,當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3 2J2時(shí)， ADF為等腰直角三角形，求 C的方程；1(2)對(duì)于(1)中求出的拋物線 C,若點(diǎn)D x0,0 x0 -，記點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E,AE交x軸于點(diǎn)P ,且AP BP

8、 ,求證：點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0,0 ,并求點(diǎn)P到直線AB的距離d的取值范圍.21 .設(shè)函數(shù) f x e2x, g x kx 1(k R).(1)若直線y g x和函數(shù)y f x的圖象相切，求k的值；(2)當(dāng)k 0時(shí)，若存在正實(shí)數(shù) m,使對(duì)任意x 0,m都有f x g x2x恒成立，求k的取值范圍.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22 .選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 一x acost一 在直角坐標(biāo)系中xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a 0).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸y 2sin t正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為cos 272 .4(1)

9、設(shè)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)a 2 73時(shí)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值；(2)若曲線C上所有的點(diǎn)均在直線l的右下方，求a的取值范圍.23 .選彳4-5 :不等式選講已知定義在R上的函數(shù)fx x 2m x , m N,且fx4恒成立.(1)求實(shí)數(shù)m的值；_一 一41若 0,1 ,0,1 , f f 3,求證：上,18.-/-/-/16.3.305河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期第二次摸底考試數(shù)學(xué)(理)試題參考答案一、選擇題1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12: AC二、填空題2510 J3- 2.1713. 禧 14.15.2, /-/-/17.解：(1)由題知數(shù)列 h 3是以2為首

10、項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列,an 3 2 2 n 1 2n,an 4n2 3. n 1(2)設(shè)等比數(shù)列bn的首項(xiàng)為b1，則bn 62 ，依題有410g2bnlog2bn14log2bi2n1log2b12n4 log2bln 1log2bln2224 21og2 b 1124 log2bl410g2bl 4 210g2bl 1 n 4n 4n 12n 8,即2，解得4 log2 bl410g 2 bl 81 n 1n 1)10g 2“ 2, b 4,2212n Sn故 bn 4 22 ,Q bn log 2 bn 2 n 1 ,n 2 n 1-n2,nn32n 2 4.2 2118.解：設(shè)A表示事

11、件“此人于 3月i日到達(dá)該市”i 1,2,.,14 .依題意知，P A ,，且14A I Aji j .(1)設(shè)B為事件“此人停留2天空氣質(zhì)量都是重度污染”，則B A1U A2 U A12 U A13 U A4,所以PBPAUPA2UPA2UPA3UPA42，即此人停留2天空氣質(zhì)量都是重度污染的概145 率為一.14(2)由題意可知，X的所有可能取值為 0,1,2,3,且3P X 0PA4UAUA9PA4PA8PA9,14 P X 2 P A2UA1UA4P A2P A11P A4一，14/-/-/A U A12 U A13P A1P A2 PA13314PX0PX2PX33143143145

12、14(或PP A3 U A5U A U A7U AoPA3P A5P A6P A7PAoX0123P314514314314所以X的分布列為3故X的期望E X 0 149 31 - 21431410719.解：(1)連接AG并延長交PD于H，連接CH .由梯形ABCD, AB /CD且AB2DC，知廿FC又G為PAD的重心,AGGHAFFC2£ ,故 GF /HC .又 HC 平面 PCD,GF 1平面 PCD, GF /平面PDC .(2) Q 平面 PAD平面ABCD,PAD與 ABD均為正三角形，延長 PG交AD的中點(diǎn)E ,連接BE,PE AD,BEAD, PE 平面ABCD

13、,以E為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,Q AB uuiT AG2DC 2.3, 一 uuu .3,0,1 ,ABA 3,0,0 ,P 0,0,3 ,B 0,3,0 , D ' 3,0,0 ,G 0,0,1X0, y(0,z0 ,QUULTDCXo3.3urn1一 uur .3,3,0 ,AP .3,0,31 uuu -ab, 2X03, yo, zo73,3,0 ,可得32,Z0ur區(qū) n1由urn10, Cuuu AB uuu AP得平面AGC的一個(gè)法向量uun23、3 3 八 ,-,0 ,2 2、3X1'3X13y13zi3,5,3 ,Q與平面PAB所成銳二面角的正切值

14、為_811uurACuruu.cos, n1, n2:X1X15 “ 3 3 c ,-,02 2-3y1、- 3z1ur urn nit , uun n2,設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為Zi1,得u1J3,1,1 ,同理可11,，,所以平面 AGC"85/-/-/-/20.解：由題知F 已,FA 3 2、.2 ”DV2IFAI 3s/2 4 3p,則D 3.2E,0 ,FD的中點(diǎn)坐標(biāo)為 23.2 223.2 22解得p 2,2故C的方程為y2 4x.（2）依題可設(shè)直線AB的方程為xmyXo m,A %, y , B X2, y2 ，貝U EX2, y2 ,由y2 4x消去X ,x my

15、x0得 y2 4 my4X00,Qx0216m16x0 0,y y24m, 丫也uuu uurPE/PA,所以 x24xo,設(shè)P的坐標(biāo)為Xp,0 ,則uuuPEmuX2 Xp, y2 ,PAX1Xp , y1，由題知xpyy2 X1XpX2，y2X1y1y2xp22y2 y1y1 yyi y2 yiy2,顯然 y y 4m 0,所以Xpyy24x。，即證XPX0,0 ,由題知EPB為等腰直角三角形，所以 kAP 1 ,即yy2X1X2y12 y1y22 y2所以yiV24,V1V224%丫2_ 一 一 216 ,即16m216x0 16, m1X0, X0X0所以X01,dx0X01 m22x

16、01 m22 X0X02 t2,d2 2 t22t ，易知f42t在、61,-6上是減函數(shù),21.解：（1）設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為. 2tt,ee2x得2 2x2e,所以切線方程為2t 八 2te 2e x2ty e x2t e2t2e1 2t2t ekX1為同一條直線,2e2t k,2t2t eeX,則 h',0時(shí),h' x 0,h x 單調(diào)遞增，當(dāng)0,時(shí)，h' x0,hX單調(diào)遞減,x h 01.當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立,t 0,k（注明:若由函數(shù) fkX 1相交于點(diǎn)0,1 ,直線g x kx 1和函數(shù)f Xe2x的圖象相切于 0,1 ,得出k3分)（2）當(dāng)k 2時(shí)，由（1）結(jié)

17、合函數(shù)的圖象知，存在x0 0,使得對(duì)于任意的x0,X0，都有 f x g x ,則不等式f x g x2x 等價(jià)于 f x g x 2x,即 k 2 x 1 e2x2xt x k 2 x 1 e,t' x k2xx 2e ，令 t x-1 k 2_0得 x - ln，令 t' x 0得 x221 , k 2-ln 221 k右2 k 4 1n 20,Q 0,xo1 ln2在0,x0上單調(diào)遞減，注意到t00,所以對(duì)任意的x0,X00,與題設(shè)不符.14, ln21 k 20, 0,-ln 221 k 2在0,1lnd上單調(diào)遞增, 22Qt 10,所以對(duì)任意的x 0,-ln2當(dāng)0c

18、1 ,0, 一 ln20,符合題設(shè).此時(shí)取1 k 2 一 .、min x0, - ln,可得對(duì)任思 x22k 2時(shí)，由(1)結(jié)合函數(shù)的圖象知2x2xg x e kx 1 e2x等價(jià)于e2x2e2xk 2 ,由'x題設(shè).綜上所述,22.解:0,m2x.2xk的取值范圍為 4,cos 一42x e2x0,得x0,對(duì)任意x 0都成立,0.設(shè)2x e0,c /口 1 , k 20 得 x ln220,所以對(duì)任意的x1 k 20,1ln2k- ，都有220,不符合cos sin2灰,化成直角坐標(biāo)方程，得2x22.2,即直線l的方程為設(shè)P 2j3cost,2sin t ,貝U P到直線l的距離d2 3cost 2sin t24cos t6.2272 272cos t ,當(dāng) t 2k ，即66t 2k,k Z 時(shí)