1、1第六章第六章 自由電子論和電子的自由電子論和電子的輸運(yùn)性質(zhì)輸運(yùn)性質(zhì)經(jīng)典理論：經(jīng)典理論：上世紀(jì)初特魯?shù)略诶硐霘怏w理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。假設(shè)：假設(shè)：金屬中存在著自由電子，與理想氣體分子一樣，服從經(jīng)典的玻爾滋曼統(tǒng)計(jì)。成功之處成功之處：很好說明了金屬導(dǎo)電、導(dǎo)熱等現(xiàn)象；遇到一些根本性矛盾遇到一些根本性矛盾：（1）金屬中自由電子對(duì)熱容量貢獻(xiàn)小。（2）電子具有很長“自由程”兩套自由電子論：經(jīng)典理論和量子理論。2量子力學(xué)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)規(guī)律確立后，關(guān)于電子熱容量的矛盾才得到解決，在費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上重新建立起現(xiàn)代的金屬電子理論（索末菲）。費(fèi)米統(tǒng)計(jì)和能帶論基礎(chǔ)上，逐步發(fā)展了關(guān)于輸運(yùn)過程的量子理論。為處理電子運(yùn)動(dòng)以及電

2、子自由程問題提供了新的基礎(chǔ)。本章首先利用費(fèi)米統(tǒng)計(jì)理論對(duì)價(jià)電子對(duì)金屬熱容量貢獻(xiàn)小的原因作解釋。利用費(fèi)米統(tǒng)計(jì)和能帶理論從理論上解釋純金屬電阻率的實(shí)驗(yàn)規(guī)律。3本本 章章 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容6.16.1 電子氣的費(fèi)米能和熱容量電子氣的費(fèi)米能和熱容量6.2 6.2 接觸電勢(shì)差接觸電勢(shì)差 熱電子發(fā)射熱電子發(fā)射6.3 6.3 玻爾茲曼方程玻爾茲曼方程6.4 6.4 馳預(yù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)理論馳預(yù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)理論6.5 6.5 電子與聲子的相互作用電子與聲子的相互作用6.6 6.6 金屬的電導(dǎo)率金屬的電導(dǎo)率6.7 6.7 純金屬電阻率的統(tǒng)計(jì)模型純金屬電阻率的統(tǒng)計(jì)模型6.8 6.8 弱磁場(chǎng)下弱磁場(chǎng)下玻玻爾茲曼方程的解

3、爾茲曼方程的解6.9 6.9 金屬的熱導(dǎo)率金屬的熱導(dǎo)率46.1 電子氣的費(fèi)米能和熱容量電子氣的費(fèi)米能和熱容量一一 、費(fèi)米能量、費(fèi)米能量金屬中價(jià)電子價(jià)電子的運(yùn)動(dòng)決定了金屬的輸運(yùn)特性。能帶理論是一種單電子近似，每個(gè)電子運(yùn)動(dòng)視為獨(dú)立的，具有一系列確定本征態(tài)。系統(tǒng)的宏觀態(tài)系統(tǒng)的宏觀態(tài)可由電子在這些本征態(tài)間的統(tǒng)計(jì)分布來描述。1、電子的費(fèi)米分布函數(shù)、電子的費(fèi)米分布函數(shù)（1）單電子近似到宏觀態(tài)）單電子近似到宏觀態(tài)5溫度T時(shí)，E 能級(jí)上分布的電子數(shù)目（費(fèi)米狄費(fèi)米狄拉克拉克統(tǒng)計(jì)）：1)(TkEEBFegnEF:費(fèi)米能，化學(xué)勢(shì)費(fèi)米能，化學(xué)勢(shì)簡(jiǎn)并度簡(jiǎn)并度電子的費(fèi)米分布函數(shù)：電子的費(fèi)米分布函數(shù)：溫度T時(shí)，能級(jí)E的一個(gè)

4、量子態(tài)上平均分布的電子數(shù)為n/g。11)()(TkEEBFeEf能量為E的每個(gè)量子態(tài)被電子占據(jù)的平均幾率（2）費(fèi)米分布函數(shù)）費(fèi)米分布函數(shù)6（1）T 0時(shí)，費(fèi)米能級(jí)EF上，有一半量子態(tài)有電 子 = 一個(gè)量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率為 = 一量子態(tài)被電子填充和不被填充的幾率相等 （2）分布函數(shù)變化區(qū)域主要在EFkBT EF+kBT。T 0時(shí),21)E(fF11)()(TkEEBFeEf不同溫度下的分布函數(shù)1.00.500KT0KEEFEF0EFkBTEF+kBT討論討論:72、自由電子模型的費(fèi)米能量、自由電子模型的費(fèi)米能量此能量區(qū)間的自由電子數(shù)目dE)E(fEC)E(dZfdNE E+dE能量范圍內(nèi)量子

5、態(tài)數(shù)目dEECdZ 2322)2(2mVCc其中（1） E E+dE能量范圍內(nèi)電子數(shù)目能量范圍內(nèi)電子數(shù)目8（2）T = 0K時(shí)的費(fèi)米能時(shí)的費(fèi)米能0F0FEE;0EE; 1)E(f電子濃度n = N/Vc得到32220)3(2nmEFmkE2/223/120F)n3(k（費(fèi)米半徑）金屬中自由電子總數(shù)2300)(320FEECdEECNF2322)2(2mVCcEF0kF00K9（1）kF0是0K時(shí)電子的最大波矢。（2）費(fèi)米半徑和0K的費(fèi)米能只是電子濃度函數(shù)。 n 1028/m3：kF0 67109/m，EF0 幾eV。 即使是0K，由于電子遵從泡利不相容原理，不可能所有電子都處在最低能級(jí)E0上。

6、00235310FEEdEENCEdNNEF（4）絕對(duì)零度時(shí)電子的平均動(dòng)能不等于0。2322)2(2mVCc 上式是電子服從費(fèi)米分布的必然結(jié)果上式是電子服從費(fèi)米分布的必然結(jié)果討論：討論：32220)3(2nmEF3/120F)n3(k（一般高于或遠(yuǎn)高于金屬熔點(diǎn)）（3）費(fèi)米溫度：K1010k/ET54B0F0F10T0 K時(shí)的費(fèi)米能時(shí)的費(fèi)米能若不存在電子發(fā)射，價(jià)電子總數(shù)不變 02302302132)(32)(dEEfECEECfdEEECfNTTF0或kBTEF0成立023dE)Ef(EC32NE時(shí), f(E) 011偏微分函數(shù)在E = EF 處取極大值，偏離EF其值迅速減小。與(E-EF)函數(shù)

7、性質(zhì)相似，積分值主要取決于EEF附近積分。Ef)E(f與Ef)E(fEEF )E(g)Tk(6)E(gF2B2F0dE)Ef)(E(g的性質(zhì)及積分方程的解的性質(zhì)及積分方程的解Ef023dE)Ef(EC32N120)(dEEfEgI改變積分下限dEEfEgI)(將g(E)在E=EF處展成泰勒級(jí)數(shù) 2)()()()(FFFFFEEEgEEEgEgEgdEEfEgI)(210IIII的積分Ef13)()01)()()()(0FFFEgEgffEgIxTk/ )EE(BFdxxfxEgTkIFB)()(1dEEfEgIF)()(0dE)Ef)(EE()E(gIFF1 dEEfEEEgIFF)()()(

8、2122210IIIIf/ x 是以x=0為對(duì)稱的偶函數(shù)I1 = 014 0 x3x2x2F2B2x2xF2B2dx)e3e2e(x)E(g)Tk()e1(dxxe)E(g)Tk(21I)()(6)31211 (2)()(22222FBFBEgTkEgTk )()(6)(22FBFEgTkEgI210IIII1111)()(xTkEEeeEfBF1523CE32)E(gT0K 時(shí)的費(fèi)米能)(81 322223FBEETkCENF )()(6)(22FBFEgTkEgI023)(32dEEfECNdEEfEgI)(FB230FETk)E(C32N)TT(121EE20F20FF16（1）溫度升高

9、，費(fèi)米能降低（EFEF0）；（2）T 0KEEFEF0EFkBTEF+kBT17二、金屬中電子氣的熱容量二、金屬中電子氣的熱容量電子是費(fèi)米子，受泡利不相容原理的約束，在討論電子的熱容量時(shí)，必須考慮電子的費(fèi)米費(fèi)米狄拉克分布狄拉克分布。1、價(jià)電子作為經(jīng)典粒子遇到的問題、價(jià)電子作為經(jīng)典粒子遇到的問題金屬中N個(gè)價(jià)電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)：經(jīng)典粒子（自由粒子）熱容量應(yīng)為3NkB/2；實(shí)驗(yàn)測(cè)得價(jià)電子對(duì)熱容量貢獻(xiàn)比3NkB/2低兩個(gè)數(shù)量級(jí)。18金屬中有N個(gè)價(jià)電子，每個(gè)電子的平均能量023)(1dEEEfNCEdNNE025dE)Ef(ENC52E分部積分2、熱容量的計(jì)算、熱容量的計(jì)算)TT(1251E53E20F

10、20F )E(g)Tk(6)E(gF2B2F0dE)Ef)(E(g19平均每個(gè)電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)B0F2VVk )TT(2)TE(C)(1251 532020FFTTEE（1）在常溫下，T/TF010-2，價(jià)電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)大約是自由粒子的百分之幾。（自由粒子熱容量應(yīng)為3kB/2）討論：討論：（2）電子熱容量與溫度T成正比。（3）一般溫度下，晶格熱容量比電子熱容量大得多。（4）低溫范圍晶格熱容量按T3迅速下降，而電子按T下降，在液氦溫度范圍兩者的大小就可以相比。20051015200.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040 Cv (cal/mo

11、l K)T (K)TbT321常溫下，費(fèi)米球內(nèi)部離費(fèi)米面遠(yuǎn)的狀態(tài)全被電子占據(jù)，這些電子從晶格振動(dòng)獲取能量不足以使其躍遷到費(fèi)米面附近或以外空狀態(tài)上；能夠發(fā)生能態(tài)躍遷的僅是費(fèi)米面附近少數(shù)電子，絕大多數(shù)電子能量不隨溫度變化。這導(dǎo)致電子平均能量的溫度變化率很小，即在常溫下電子熱容量很小的原因。3、價(jià)電子對(duì)熱容量貢獻(xiàn)小的原因、價(jià)電子對(duì)熱容量貢獻(xiàn)小的原因EFkF1.00.500KT0KEEFEF022低溫下，晶格振動(dòng)的熱容量與T3成正比34)(512DBVTNkC4、低溫下、低溫下CV/TT2關(guān)系關(guān)系溫度很低時(shí)溫度很低時(shí)，晶格熱容迅速減小，電子的熱容達(dá)到不可忽略的程度，金屬的熱容量應(yīng)計(jì)及價(jià)電子與晶格振動(dòng)兩

12、部分貢獻(xiàn)：3bTTCCCaVeVV（對(duì)應(yīng)摩爾熱容量）42512DRb2324由實(shí)驗(yàn)可將低溫下晶格和電子對(duì)熱容的貢獻(xiàn)分離開來。3bTTCCCaVeVV實(shí)驗(yàn)作出CV/TT2的關(guān)系曲線2bTTCV25低溫下CV/TT2關(guān)系曲線2bTTCV斜率為b截距為266.2 接觸電勢(shì)差接觸電勢(shì)差 熱電子發(fā)射熱電子發(fā)射一、接觸電勢(shì)差一、接觸電勢(shì)差接觸電勢(shì)差：不同金屬接觸后產(chǎn)生電勢(shì)差。用途：制作熱電偶測(cè)量溫度。1、概念、概念27價(jià)電子能量FNEU53費(fèi)米能3222)3(2nmEF價(jià)電子總數(shù)（2）金屬帶電：除動(dòng)能外，還有靜電勢(shì)能。假定金屬的電勢(shì)為V。價(jià)電子的總能量NeVNE53UF（1）金屬不帶電：對(duì)自由電子模型，忽

13、略絕對(duì)零度與常溫下費(fèi)米能的差異，價(jià)電子總能量FEEdEENU0)(212322)2(2)(EmVENC2、價(jià)電子的總能量、價(jià)電子的總能量28+ + + + + + + + + + + + + + + + + + V1V2V1V23、金屬接觸電勢(shì)差圖示、金屬接觸電勢(shì)差圖示29金屬金屬1金屬金屬2接觸前體積VC1VC2費(fèi)米能EF1EF2價(jià)電子總數(shù)N1N2接觸后體積VC1VC2費(fèi)米能EF1EF2價(jià)電子總數(shù)N1N2電勢(shì)V1V24、金屬接觸前后的物理量、金屬接觸前后的物理量305、金屬接觸價(jià)電子系統(tǒng)的總能量、金屬接觸價(jià)電子系統(tǒng)的總能量222211115353eVNENeVNENUFF2121322222

14、23221121)3(2)3(2NNNNVNmEVNmEcFcF22121135121322c22351321c22eV)NN()VV( eN)NNN()V3(m253)N()V3(m253U31材料一定，兩金屬電勢(shì)差是常數(shù)。由平衡時(shí)價(jià)電子系統(tǒng)能量取極小值的條件dU/dN1=0)(12121FFEEeVV6、兩金屬電勢(shì)差是常數(shù)的含義、兩金屬電勢(shì)差是常數(shù)的含義V1 0，V2 0和V2 0，V2 0，V2 kBT42設(shè)金屬表面垂直于z軸，mvz2/2E0電子沿z軸脫離金屬。速度分量vx 、vy可取任意值。vz dvz +dvz區(qū)間內(nèi)的電子數(shù)目zTkmvTkE3zdvee)hm2()dn(vBzBF

15、22yTkmvxTkmvdvedveByBx2222（4 4）熱電子發(fā)射電流密度）熱電子發(fā)射電流密度adxeax2zTkmvTkEBzdveTekhmvdnBzBF23224)(vzvzdtvz43對(duì)EE0電子，在dt時(shí)間內(nèi)，只有表面附近vz dt體積內(nèi)的電子才能逃離金屬，逃出的電子數(shù)目（單位面積）dtvvdndNzz)(dtvvednedNdqzz)(攜帶的電荷vzvzdtvz形成的電流密度zzvvedndtdq)(dtv )v(edndqzz44Richarson-dushman公式溫度越高，脫出功越小，發(fā)射電流越大z)mE2(Tk2mvzTkEB32dvevTekhem4dtdqj210

16、B2zBFTk2Tk)EE(2B3BBF0eATe)Tk(hem4總的熱電子發(fā)射電流密度zTkmvTkEBzdveTekhmvdnBzBF23224)(zzvvedndtdq)(456.3 玻爾茲曼方程玻爾茲曼方程一、平衡狀態(tài)和非平衡狀態(tài)電子的分布函數(shù)一、平衡狀態(tài)和非平衡狀態(tài)電子的分布函數(shù)1)(01TkEEBFef平衡狀態(tài)（比熱問題）：電子分布函數(shù)只是能量E函數(shù)（費(fèi)米狄拉克分布）導(dǎo)電狀態(tài)：在宏觀電場(chǎng)作用下，電子分布不再是平衡狀態(tài)下的費(fèi)米狄拉克分布。但對(duì)導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的仍是費(fèi)米面附近的電子。46 有外電場(chǎng) 時(shí)，電子波矢的時(shí)間變化率kedtd所有價(jià)電子的波矢變化率，即在波矢空間的漂移速度都相同。沒有電

17、場(chǎng)時(shí)分布是一個(gè)費(fèi)米球，有了電場(chǎng)后，費(fèi)米球?qū)⒀仉妶?chǎng)相反的方向發(fā)生剛性剛性漂移。1、金屬中兩種漂移、金屬中兩種漂移（1）外電場(chǎng)）外電場(chǎng)二、有外場(chǎng)時(shí)電子分布函數(shù)的特點(diǎn)和滿足的條件二、有外場(chǎng)時(shí)電子分布函數(shù)的特點(diǎn)和滿足的條件在外電場(chǎng)中費(fèi)米球的平移e47（2）溫度）溫度金屬中各處溫度不同時(shí)，電子會(huì)由高溫向低溫區(qū)域擴(kuò)散。溫度梯度均勻，電子將以恒定速度在金屬中擴(kuò)散。482、碰撞作用、碰撞作用阻滯上述兩種漂移，使電子不能無休止地漂移下去，幫助電子實(shí)現(xiàn)一個(gè)穩(wěn)定分布。雜質(zhì)、缺陷、晶格振動(dòng)引起的電子散射。都稱為電子遭到了碰撞。49電子分布函數(shù)：波矢k，空間坐標(biāo)r及時(shí)間t的函數(shù)f(k, r, t)。分布函數(shù)隨時(shí)間變化率

18、tftftfdtdfcd漂移作用引起的變化率碰撞作用引起的變化率穩(wěn)定狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)電子系統(tǒng)：（1）df/dt=0；（2）f不顯含t，對(duì)t求偏導(dǎo)數(shù)為零0tftfcd3、分布函數(shù)滿足的條件、分布函數(shù)滿足的條件（1）分布函數(shù)的時(shí)間變化率）分布函數(shù)的時(shí)間變化率50（2）漂移項(xiàng)）漂移項(xiàng)理想流體在水平放置的玻璃管中無摩擦的穩(wěn)定流動(dòng)。流速為v，壓強(qiáng)為P dttBdttAtBvdtxPxPxP)()()(tdt, x = xA = xBvdtt, x = xB51dt),(f),(flimtfdttt0dtdrkrkdt),(f)dt,dt(flimdttdtt0dtrkvrkkdttt)dt,dt(f),(f

19、vrkkrk與理想流體類似，不考慮碰撞，t時(shí)刻在相空間 (k, r) 附近的電子是t-dt時(shí)刻在(k- dt, r-vdt)處的電子漂移過來的kdt),(f)dt(flimdt),(f),dt(flimdttdtt0dtdttdtt0dtrkvrk,rkrkkffkvkdtdf)(f)d(fuudtuuu52（3）碰撞項(xiàng)）碰撞項(xiàng)設(shè)a0，b0，并記作abtcf3)2/(b單位時(shí)間內(nèi)因碰撞作用一種自旋的電子進(jìn)入(k, r)處單位體積電子數(shù)3)2/(a單位時(shí)間內(nèi)因碰撞作用同種自旋的電子離開(k, r)處單位體積的電子數(shù)3)2/(f單位體積內(nèi)一種自旋的電子數(shù)ct f3)2(1單位體積內(nèi)由于碰撞作用一種

20、自旋的電子在單位時(shí)間內(nèi)的增量單位時(shí)間一個(gè)電子因碰撞由 k 態(tài)躍遷到同自旋k態(tài)的幾率(k , k)53單位時(shí)間因碰撞由 k 態(tài)變成k態(tài)的電子數(shù)正比于： 同種自旋k 電子數(shù)目：f(k , r)/(2)3； k態(tài)未被占據(jù)的份額：1 f(k, r)； 電子由k 向k躍遷的幾率：(k , k)。)(1)()2(1),()2(33rk,r ,kkkkffb)(1)()2(1),()2(33r ,krk,kkkffa單位時(shí)間因碰撞進(jìn)入和離開k態(tài)的電子數(shù)：進(jìn)入進(jìn)入離開離開krk,r ,kkkdffb)(1)(),()2(13kr ,krk,kkdffa)(1)(),()2(1354（4）玻爾茲曼輸運(yùn)方程）玻爾

21、茲曼輸運(yùn)方程abtcfftfkdvk0tftfcdabffkkv玻爾茲曼輸運(yùn)方程玻爾茲曼輸運(yùn)方程（微分積分方程）554、玻爾茲曼輸運(yùn)方程的求解（弛豫時(shí)間近似法）、玻爾茲曼輸運(yùn)方程的求解（弛豫時(shí)間近似法）假設(shè)在漂移和碰撞的共同作用下，電子分布函數(shù)由原來的平衡態(tài)f0變到穩(wěn)定態(tài)f。令t = t時(shí)撤去外場(chǎng)，漂移作用消失，只有碰撞作用。電子分布函數(shù)將依靠碰撞作用，最終恢復(fù)到平衡態(tài)f0 ：偏差(f -f0)由t =t時(shí)的(f -f0) ，最終變?yōu)榱?。ff0tftt+E0E=056偏差按自然規(guī)律應(yīng)以指數(shù)形式作衰減tt00e )ff(ff對(duì)時(shí)間求微商0cfftf兩邊取極限0ccttffabtftflim撤去外

22、場(chǎng)作用后分布函數(shù)的變化弛豫時(shí)間ff0tftt+E0E=0abffkkv0kffffkv0ffab57金屬中溫度有差異，電子將由高溫區(qū)向低溫區(qū)擴(kuò)散，電子濃度n不是常數(shù)0kfff(enf)nTf)T)(Bvvv nnfTTff)(Bvke5 5、溫度有差異、電磁場(chǎng)作用下玻爾茲曼輸運(yùn)方程、溫度有差異、電磁場(chǎng)作用下玻爾茲曼輸運(yùn)方程0kffffkv586.4 弛豫時(shí)間的統(tǒng)計(jì)理論弛豫時(shí)間的統(tǒng)計(jì)理論上節(jié)引入的弛豫時(shí)間具有復(fù)雜的性質(zhì)，弛豫時(shí)間方法的根據(jù)如何以及本身的大小由什么決定，都不很明顯。在此情況下，考慮一個(gè)可以具體導(dǎo)出馳豫時(shí)間的特例很有意義。晶格完全各向同性，電子散射（碰撞躍遷）是彈性的情況正是這樣一個(gè)

23、特例。59各向同性，彈性散射的優(yōu)點(diǎn)：各向同性，彈性散射的優(yōu)點(diǎn)：（1）能帶情況各向同性：E(k)與k的方向無關(guān)，只是k的函數(shù)。（2）散射是彈性的，k只躍遷到相同能量的k狀態(tài)，可以表示如下： 如E(k) E(k)，則(k,k)=0（3）由于散射是由晶體引起的，各向同性意味著(k,k)不依賴于k和k各自在晶體中的方向，最多只依賴它們之間的夾角。60對(duì)k以外的其它波矢狀態(tài)求和f=f0，電子兩能態(tài)間的躍遷達(dá)到平衡 (k, k) = (k, k)(f1)(f ),()(f1)(f ),(abtfckkkkkkkkk)(f1)(f)2(1),()2(b33rk,r ,kkkk)(f1)(f)2(1),()2

24、(a33r ,krk,kkk無外場(chǎng)、無溫度梯度的熱平衡狀態(tài)1 1、彈性散射弛豫時(shí)間、彈性散射弛豫時(shí)間 的通式的通式61)(f1)(f ),()(f1)(f ),(tfckkkkkkkkk)()( ),(kkkkffk有外場(chǎng)及溫度梯度，有外場(chǎng)及溫度梯度，外場(chǎng)力及溫差作用力與原子內(nèi)部電場(chǎng)力相比小得多，f偏離平衡態(tài)f0不大： (k, k) (k, k)在彈性散射近似條件下)()()(00kEkEfff)()()(00kEkEfff)()(1 ),()(Eftf0ckkkkkk 統(tǒng)計(jì)表達(dá)式)()(1 ),(1kkkkk)(Effftf00ck62kkvEfmEfEEfffkkk02000)(f與f0偏

25、差不大，右端是小量2 2、恒定溫度、只施加外電場(chǎng)、恒定溫度、只施加外電場(chǎng) 情況的情況的弛豫時(shí)間弛豫時(shí)間玻爾茲曼方程為feffk00kfff(enf)nTf)T)(Bvvv )(00kmeEfffff0tftt+63)kme(Efff00)(Ef)(f)(f)(Ef)(f)(f0000kEkkEkkkkkme)(me)(取 沿x軸方向)()(1 ),(1kkkkk)kk1( ),(1xxkkk64自由電子彈性散射近似所有可能由k態(tài)向k 態(tài)散射，波矢分布在一個(gè)球面上取極軸與k重合。將矢量(k-k )分成兩個(gè)分量： 平行于k的分量為k(1-cos)； 垂直k的分量(k-k )。為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化弛豫時(shí)間

26、的表達(dá)式，先求和)( ),(k-kkkk 沿x軸方向)kk1( ),(1xxkkkkk O電子的彈性散射k-k (k-k )(k-k ) 65)cos-(1kkkk-kkkk-kkkkkk),()( ),()( ),(散射幾率(k, k)與散射方向無關(guān)最多是波矢的模和散射角函數(shù)：(k, k)= (k, k, )cos-(1kkkk-kkkkk),()( ),(k, k)=(k, k, )不變，(k-k )以極軸為對(duì)稱軸。保持角不變，環(huán)繞極軸對(duì)(k, k)(k-k )求和為0； 再從0到對(duì)(k, k)(k-k )求和，必然為0。kk O電子的彈性散射k-k (k-k )(k-k ) 66)kk1

27、( ),(1xxkkk)cos-(1k),(1kk只有外電場(chǎng)時(shí)，弛豫時(shí)間的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式取x方向的分量)cos-(1kkkkk),(k)kk1( ),(kxxxkx)cos-(1kkkk-kkkkk),()( ),(67)cos-(1k),(1kk討論：討論：（1）忽略掉(1-cos)，求和表示在k k狀態(tài)的電子被散射的總幾率，就是電子的自由碰撞時(shí)間；（2）(1-cos)反映了各種不同的散射對(duì)電阻的貢獻(xiàn)不同：小角度散射影響?。?= = 0），大角度散射（ = = ）影響大。小角度散射對(duì)應(yīng)電子遭受碰撞后，運(yùn)動(dòng)方向只有很小改變，它的定向運(yùn)動(dòng)在碰撞中并未完全失掉，這樣的碰撞顯然對(duì)電阻的影響很小。686.

28、5 電子與聲子的相互作用電子與聲子的相互作用對(duì)純金屬，如原子實(shí)處在嚴(yán)格的周期排列的位置不作振動(dòng)，則價(jià)電子處在布洛赫函數(shù)所描述的穩(wěn)定態(tài)，電子具有確定的能量和波矢。但是原子實(shí)時(shí)刻在其平衡位置附近作振動(dòng)，嚴(yán)格周期性不存在，電子實(shí)際上在一個(gè)不嚴(yán)格的周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，會(huì)遭到偏離平衡位置原子實(shí)散射作用。原子實(shí)振動(dòng)形成格波，電子散射可理解為電子與格波的相互作用。格波能量子稱為聲子，電子與格波的相互作用又可視為電子與聲子的相互作用。69設(shè)格點(diǎn)Rn處原子實(shí)在平衡位置時(shí)，其原子勢(shì)場(chǎng))(nVRr t時(shí)刻，Rn處原子的位移為 n。若把原子勢(shì)場(chǎng)隨原子的位移視為剛性位移，則勢(shì)場(chǎng))(VnnRr原子偏離平衡位置引起的勢(shì)場(chǎng)變化)

29、(V)(V)(VVnnnnnnRrRrRr)tcos(AnnRqu原子振幅格波波矢原子振動(dòng)引起的勢(shì)場(chǎng)變化原子振動(dòng)引起的勢(shì)場(chǎng)變化原子位移方向上的單位矢量70由微擾理論，躍遷矩陣元rrrkkkkd)(H)(M*,躍遷幾率222k ,k)(E)(Et )(E)(E(21sinM4),(kkkkkk散射躍遷幾率散射躍遷幾率nnitinn)(Vee2AVHnRruRqnnitiVeeAn)(2RruRq)(V)(V)(VVnnnnnnRrRrRr)tcos(AnnRqu71對(duì)應(yīng)電子吸收一個(gè)聲子散射對(duì)應(yīng)電子發(fā)射一個(gè)聲子散射)()(kkEE)(E)(Ekk躍遷幾率最大的條件222k ,k)(E)(Et )(

30、E)(E(21sinM4),(kkkkkk散射過程的能量守恒散射過程的能量守恒72躍遷矩陣元nni)( iti,d)(VeeN1e2AMnrRruRqrkkkknni)( itid)(VeeN1e2AnrRruRqrkknn)( i)()( itid)(VeeeN2AnnrRruRqkkRrkknn)( i)()( itid)(VeeeN2AnnrRruRqkkRrkk自由電子近似rkkrieN1)(rkkr ieN1)(散射過程的準(zhǔn)動(dòng)量守恒散射過程的準(zhǔn)動(dòng)量守恒rrrkkkkd)(H)(M*,nnitinn)(Vee2AVHnRruRqnniti)(Vee2AnRruRq73rrrrrRrIr

31、kkrkkRrkkd)(Ve1d)(Ve1d)(Ve1)( i)( in)()( in躍遷矩陣元為n)( itin)( iti,nneeN2AeeN2AMRqkkRqkkkkIuIuqKkkKqkkRqkkmmn,n)( iNNeqKkkqKkkkkIuIumm,ti,ti,e2Ae2AMKm 倒格矢74躍遷矩陣元不為零的條件qKkkmqKkkm或?qū)?yīng)電子發(fā)射一個(gè)聲子的散射對(duì)應(yīng)電子吸收一個(gè)聲子的散射Km0，正常散射過程qkkqkk散射過程中準(zhǔn)動(dòng)量守恒Km0的散射，稱為倒逆過程或U過程。倒逆過程對(duì)應(yīng)k，k本身大，散射角也大的情況。75電子的倒逆過程Kmkkq766.6 金屬的電導(dǎo)率金屬的電導(dǎo)率恒

32、定溫度下金屬處于一電場(chǎng)中feffk0電子分布函數(shù)化為feffk0f與f0相差不大)e(fff0k0一、加電場(chǎng)后電子的分布函數(shù)一、加電場(chǎng)后電子的分布函數(shù)波矢空間波矢空間77施加電場(chǎng)后，波矢空間穩(wěn)定態(tài)的電子分布函數(shù)，由平衡態(tài)分布函數(shù)f0(k)發(fā)生剛性平移產(chǎn)生。如平衡態(tài)f0(k)為一個(gè)費(fèi)米球分布，穩(wěn)定分布f(k)也是一個(gè)費(fèi)米球分布，球心在e /。在外電場(chǎng)中費(fèi)米球的平移)()(0kkeffuuuudf)(f)d(fu)e(fff0k0e78電子分布函數(shù)還可化為)*me(Efff00k)(eEfff00vmk*有外場(chǎng)后，穩(wěn)態(tài)電子分布函數(shù)f(E)是無外場(chǎng)時(shí)分布函數(shù)f0(E)發(fā)生剛性平移ev 產(chǎn)生的。dxd

33、xdfxfdxxf)()()e(Ef)E(f0能量空間能量空間79二、加電場(chǎng)后金屬中的電流密度二、加電場(chǎng)后金屬中的電流密度考慮同一波矢k k對(duì)應(yīng)自旋相反兩電子，對(duì)電流密度的貢獻(xiàn)相同設(shè)金屬體積為單位體積，電流密度為kkjd)Efef(4efde)2(20033)(eEfff00k(jd)Ef4e032f0是波矢k的偶函數(shù)，v是k的奇函數(shù)，第1項(xiàng)為零80取體積元EdSdEdkkE+dEdEdsdk波矢空間兩等能面間體積元電流密度為EdSdE)Ef4ek032(j)(0FEEEfFSk32EdS)4e(jFSxk2x32xEdSv4ej外電場(chǎng)沿x方向81立方結(jié)構(gòu)金屬的電導(dǎo)率FSkxEdSve2324

34、積分僅限于費(fèi)米面上積分，即對(duì)金屬導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的只是費(fèi)米面附近電子三、立方晶系金屬的電導(dǎo)率三、立方晶系金屬的電導(dǎo)率立方晶系中電流與電場(chǎng)的關(guān)系式zyxzyx000000jjjFSxk2x32xEdSv4ej823/1FFF2F2F)n3(kkv*mv31vx*2mneF立方晶系金屬的電阻率Fnem2*假設(shè)費(fèi)米面是球面，則電導(dǎo)率FFFFkvex223244FSkxEdSve2324討論：（1）金屬電導(dǎo)率與自由電子濃度成正比；（2）與馳豫時(shí)間成正比。836.7 純金屬電阻率的統(tǒng)計(jì)模型純金屬電阻率的統(tǒng)計(jì)模型高溫時(shí)，與溫度T成正比；低溫時(shí)，與T5成正比（Bloch-Grneisen定理）一、純金屬電阻率的實(shí)

35、驗(yàn)規(guī)律一、純金屬電阻率的實(shí)驗(yàn)規(guī)律電阻率與溫度的關(guān)系電阻率與溫度的關(guān)系84Fnem2*e，m*與溫度無關(guān)；忽略熱膨脹，n也與溫度無關(guān)；電阻率與溫度的依賴關(guān)系完全取決于1/F。電阻率主要來自晶格振動(dòng)對(duì)電子的散射作用（純金屬中缺陷、雜質(zhì)可忽略不計(jì)）。二、聲子的統(tǒng)計(jì)平均模型描述二、聲子的統(tǒng)計(jì)平均模型描述1、電阻率與溫度的依賴關(guān)系完全取決于、電阻率與溫度的依賴關(guān)系完全取決于1/ F85電阻率是一個(gè)宏觀物理量，是電子與聲子相互作用的統(tǒng)計(jì)平均效應(yīng)，可采用一個(gè)聲子的統(tǒng)計(jì)平均模型。聲子的統(tǒng)計(jì)平均模型聲子的統(tǒng)計(jì)平均模型：聲子系統(tǒng)是由平均聲子構(gòu)成，每個(gè)聲子動(dòng)量等于原聲子系統(tǒng)中聲子的平均動(dòng)量。電子被聲子散射可看成費(fèi)米

36、面附近的電子被平均聲子所散射（金屬中被散射的電子僅僅是費(fèi)米面附近的電子）。2、聲子的統(tǒng)計(jì)平均模型、聲子的統(tǒng)計(jì)平均模型86)cos-(1k),(1kk)cos1)(,k ,k(Z1F是一常數(shù)，是除k k態(tài)外，費(fèi)米面上其它電子態(tài)總和電子遭受到平均聲子散射作用的散射角波矢為k的電子單位時(shí)間內(nèi)與一個(gè)平均聲子的碰撞幾率3、聲子的統(tǒng)計(jì)平均模型公式、聲子的統(tǒng)計(jì)平均模型公式kk Oqk-k87電子與聲子的平均相對(duì)速度是一常數(shù)： 費(fèi)米面附近的電子的速度為kF/m*，為常數(shù)。 德拜模型，聲子速度為金屬中聲速，為常數(shù)。按經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論，單位時(shí)間內(nèi)某A氣體分子與B氣體分子的碰撞次數(shù)，正比于 （1）B分子的濃度（聲子濃度

37、）； （2）A和B分子的平均相對(duì)速度：2122)(BArvvv（1）(k, k, )正比于聲子的濃度正比于聲子的濃度n4、電阻率與平均聲子數(shù)和平均動(dòng)量的關(guān)系、電阻率與平均聲子數(shù)和平均動(dòng)量的關(guān)系Fnem2*)cos1)(,k ,k(Z1F88FFk2qk2qk2q2sin聲子的平均動(dòng)量電子的正常散射過程電子的正常散射過程電子正常散射過程kk q2F22)k(2)q(2sin2)cos1()cos1()2(89)cos1)(,k ,k(Z1FF12)q(n 純金屬電阻率的統(tǒng)計(jì)理論：純金屬電阻率與聲子濃度及平均動(dòng)量的平方正比。（3）純金屬電阻率與聲子濃度及平均動(dòng)量的關(guān)系2)(1qnFn),k ,k(

38、2F2)k(2)q()cos1(90由德拜近似，聲子的色散關(guān)系為qv頻率為的聲子數(shù)11)(TkBen1、聲子濃度、聲子濃度三、純金屬電阻率與溫度的關(guān)三、純金屬電阻率與溫度的關(guān)系系聲子濃度為DBDTkpcedvdDnVn02320123)()(13p22cv2V3)(D模式密度Fnem2*2)(1qnF912、聲子的平均波矢、聲子的平均波矢DBB03T22cTkT3L22cTkLcdv2V1e1v2v2V1e1vVn1qDBDB0Tk24s0Tk33p1edv1edv4T4L4sv2v1v3DB0Tk34T4L2ccd1ev2v12VVn1DB0Tk23p21edv23n92德拜溫度TkxBT0

39、 x22T0 x351edxx1edxxATD38s225B3pvne2kv*m3A4、純金屬的電阻率與溫度的關(guān)系、純金屬的電阻率與溫度的關(guān)系聲子濃度和聲子平均波矢的表達(dá)式代入2FF2)q(n1ne*mDBDB0Tk24s0Tk33p1edv1edvDB0Tk23p21edv23n93（）高溫時(shí)（）高溫時(shí)x1ex（）低溫時(shí)（）低溫時(shí)T/DT0 x22T0 x351edxx1edxxATD5AT6 .17低溫時(shí)，與T5成正比。T0 x22T0 x351edxx1edxxATDTA924D高溫時(shí)，電阻率與溫度T成正比5、討論、討論946.8 弱磁場(chǎng)下玻爾茲曼方程的解弱磁場(chǎng)下玻爾茲曼方程的解有外電場(chǎng)

40、和磁場(chǎng)時(shí)，金屬中的價(jià)電子除了作定向運(yùn)動(dòng)外，還做回旋運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)方向的改變會(huì)對(duì)電流密度有影響，可用等效的磁致電阻描述。電場(chǎng) 和磁場(chǎng)B同時(shí)存在0kfff(enf)nTf)T)(Bvvv 0kfff)(eBv95f)(effk0Bv在一般電場(chǎng)和弱磁場(chǎng)情況下，非平衡態(tài)電子分布函數(shù)與平衡態(tài)電子分布函數(shù)的偏差不大。Efff00f)(eEfk0Bv為小量*mEfEfEEfff200k00kkkv的零級(jí)近似為kv*mee0在零級(jí)近似下，磁場(chǎng)對(duì)分布函數(shù)的影響沒有體現(xiàn)，必須求高級(jí)近似96Efff00kkkkkEfEfff000)(kkEfEfEf000)(vk)(eeBvv忽略含有 因子的一階小量f)(eEfk0B

41、v97kBk)(*me*me222忽略了含有2小項(xiàng)k)(eeBvv一級(jí)近似一級(jí)近似0kkk*me0*me0kvk*m98kBBkBk)(*me)(*me*me333222kBk)(*me*me222)(*222Bmemek高級(jí)近似高級(jí)近似k)(eeBvv99電磁場(chǎng)同時(shí)存在下高級(jí)近似的電子分布函數(shù)電磁場(chǎng)同時(shí)存在下高級(jí)近似的電子分布函數(shù)kBBkBk)(*me)(*me*meEfff33322200電流密度電流密度kkvjd)Ef( v4efd)e()2(2033Efff00kBBkBk)(*me)(*me*me333222100EdSdEdB)()()EE(Efk2F0kBBBB立方晶系中的電流密

42、度立方晶系中的電流密度0*meF022*meF*20mneF對(duì)于弱磁場(chǎng)，B2項(xiàng)可忽略Bj0kjd)Ef( v4e03kBBkBk)(*me)(*me*me333222B)(20BBBj101BjBjxy0yyx0 xjy0Byx0霍爾電場(chǎng)，是電子在磁場(chǎng)中作回旋運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的霍爾系數(shù)neBBjRxy1202220霍爾系數(shù)為負(fù)值，是典型的電子導(dǎo)電的機(jī)制如磁場(chǎng)沿z軸方向，電流沿x軸方向yxBBj2220102)(20BBBjB將式子 化為j形式，可得出等效電導(dǎo)率000 xyxzyzBBBBBB求解中忽略B2項(xiàng)當(dāng)電場(chǎng)磁場(chǎng)都存在時(shí)，等效電導(dǎo)率是一個(gè)反對(duì)稱張量103當(dāng)j=jx，B=Bz，即電流與磁場(chǎng)垂直時(shí)0000000BB電阻率00202000000BB0=1/0為無磁場(chǎng)時(shí)金屬的電阻率10402020000000BBj=jx，B=Bx，即電流與磁場(chǎng)平行時(shí)1）有磁場(chǎng)后，立方晶系金屬電阻率有明顯的各項(xiàng)異性。2）磁致電阻分量可以是負(fù)值。3）由 = j的分量可知，當(dāng)有磁場(chǎng)后，金屬中將產(chǎn)生與磁場(chǎng)和電流都垂直的霍爾電場(chǎng)。1056.9 金屬的熱傳導(dǎo)金屬的熱傳導(dǎo)擴(kuò)散：擴(kuò)散：當(dāng)金屬存在溫度梯度時(shí)，導(dǎo)電電子由高溫區(qū)域向低溫區(qū)域擴(kuò)散。反向擴(kuò)散：反向擴(kuò)散：電子的擴(kuò)散，引起電荷密度不均勻，電荷密度的不均勻又產(chǎn)生一個(gè)